Théorie algébrique des nombres Feuille d`exercices n 1

Université Bordeaux I
Master de Mathématiques 1ère année
Second semestre
Théorie algébrique des nombres
Feuille d’exercices n◦ 1
Dans ce qui suit, les anneaux considérés sont supposés commutatifs et unitaires.
Exercice 1. Soit A un anneau dans lequel tout idéal strict est premier. Montrer que A est
un corps.
Exercice 2. Soit K un corps. Montrer que l’anneau de polynômes K [(xi )i∈N ] n’est pas
noethérien.
Exercice 3. Soit A un anneau noethérien. Montrer que A[[X]] est noethérien.
Exercice 4. Soient A un anneau, M un A-module noethérien et f : M → M un endomorphisme surjectif. Montrer que f est injectif. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 5. (Lemme de Nakayama). Soient A un anneau I ⊆ A un idéal et M un A-module
de type fini. On suppose que IM = M. Montrer qu’il existe a ∈ I tel que (1 + a)M = 0.
En déduire que si I ⊆ rad(A) (i.e. si I est inclus dans tous les idéaux maximaux de A),
alors M = 0.
Exercice 6. Soient A un anneau et I ⊂ A un idéal de type fini. Montrer que si I 2 = I,
alors I est engendré par un élément e tel que e2 = e.
Exercice 7. (Lemme d’évitement des idéaux premiers). Soient A un anneau, r ∈ N≥2
et I, p1, . . . , pr des idéaux tels que p3 , . . . , pr sont premiers. On suppose que I 6⊆ pi pour
tout i ∈ {1, . . . , r}. Montrer qu’il existe x ∈ I tel que x 6∈ pi pour tout i ∈ {1, . . . , r}
(indication : procéder par récurrence).
Exercice 8. Montrer que tout sous-anneau de Q est principal.
Exercice 9. Soit A un anneau intègre. Montrer que A est un corps si et seulement si A[X]
est principal.
Exercice 10. Soient a et b deux entiers naturels. Notons d et m leur pgcd et leur ppcm
∼
respectivement. Montrer que (Z /a Z) × (Z /b Z) −→(Z /d Z) × (Z /m Z).
Exercice 11. Soit A un anneau intègre noethérien dans lequel tout idéal maximal est
principal.
(1) Soit I ( A un idéal. Montrer que I = {0} ou I = αJ avec α ∈ A \ A× et J ⊆ A
un idéal contenant strictement I.
(2) En déduire que A est principal.
Exercice 12. Soient M = Zn et N le sous-groupe de M engendré par une famille libre
x1 , . . . , xn . Écrivons xi = (xi,1 , . . . , xi,n ) ∈ M et posons d = det(xi,j )1≤i,j≤n . Montrer que
[M : N] = |d|.
1
2
Exercice 13. Soient p un nombre premier, V un Q-espace vectoriel de dimension finie et
u ∈ EndQ (V ). On suppose que les deux propriétés suivantes sont vérifiées :
(i) up = IdV ;
(ii) pour tout vecteur v ∈ V , si u(v) = v, alors v = 0.
Montrer que la dimension de V est divisible par p − 1.
Donner un contre-exemple lorsque le corps Q est remplacé par C, puis par R.
Exercice 14.
(1) Montrer que Q / Z est un Z-module de torsion.
(2) Soient x1 , . . . , xn ∈ Q. Montrer qu’il existe y ∈ Q tel que y 6∈ Z x1 + · · · + Z xn . En
déduire que Q / Z n’est pas de type fini.
Exercice 15. Montrer que l’anneau Z[j] est euclidien.
Exercice 16. Posons A = Z[ζ] où ζ 2 − ζ + 5 = 0. On note N la norme du corps de nombres
Q[ζ].
(a) Calculer N(x + yζ) pour x, y ∈ Q. Quels sont les inversibles de Z[ζ] ?
(b) Soient a, b ∈ Z[ζ] \ {0}, montrer qu’il existe q, r ∈ Z[ζ] tels que : (r = 0 ou
N(r) < N(b)) et (a = bq + r ou 2a = bq + r).
(c) Montrer que l’idéal 2 Z[ζ] est maximal.
(d) Montrer que Z[ζ] est principal.
Exercice 17. (Caractérisation des anneaux euclidiens). Soit A un anneau intègre qui n’est
pas un corps. On définit (par récurrence sur n ∈ N) une suite parties de A S
par : A0 = {0}
et An+1 = An ∪ {x ∈ A, A = xA + An } pour tout n ∈ N. Pour x ∈
An , on pose
n∈N
φ(x) = inf{n ∈ N, x ∈ An }.
(a) On supose que A =
S
An . Montrer que A est euclidien pour le stathme φ.
n∈N
(b) On suppose que A est
S euclidien pour un stathme total ψ. Montrer que :
(i) pour tout x ∈
An , on a φ(x) ≤ ψ(x) ;
n∈N
S
An (Indication : raisonner par l’absurde et utiliser (i)) ;
(ii) A =
n∈N
(iii) A est euclidien pour le stathme φ,
(iv) si a divise b dans A alors φ(a) ≤ φ(b) ;
(v) il existe x ∈ A \ A× tel que la restriction à A× ∪ {0} de la surjection canonique
A → A/xA soit surjective.
(c) Déterminer φ dans les cas suivants A = Z et A = k[X] (où k est un corps).
(d) On considère l’anneau A = Z[ζ] où ζ 2 − ζ + 5 = 0.
(i) Montrer que A est intègre et déterminer A× .
(ii) Montrer que l’équation z 2 − z + 5 = 0 n’a pas de solution dans F2 ni dans F3 .
(iii) Montrer que A n’est pas euclidien (Indication : raisonner par l’absurde et
utiliser (b) (v)).
Exercice 18. Soit K un corps. Montrer que le sous-anneau A = K[t2 , t3 ] de K[t] n’est pas
factoriel.
3
√
√
Exercice 19. Soit A = Z[i 5] = {x + iy 5 ∈ C; x, y ∈ Z}.
(a) Montrer que l’application
N : A \ {0} → N
√
x + iy 5 7→ x2 + 5y 2
vérifie N(ab) = N(a)N(b) quels que soient a, b dans A.
(b) Montrer que a ∈ A est inversible si et√seulement√si N(a) = 1. En déduire a = ±1.
(c) Montrer que les éléments 2, 3, 1 + i 5, 1 − i 5 sont irréductibles dans A. En
déduire que A n’est pas factoriel.
√
Exercice 20.
(a) Montrer que 2 est irréductible mais non premier dans Z[ 13].
(b) Trouver un élément irréductible non premier dans Z[2i]. Trouver un élément admettant deux décompositions distinctes en produits d’irréductibles.
(c) Trouver un polynôme irréductible sur Z[2i] qui n’est pas irréductible sur le corps
des fractions Q(i).
Exercice 21. Montrer que X 4 + 10X 3 + 7 est irréductible dans Z[X] (on pourra étudier
son image dans Z /5 Z[X].)
Exercice 22. Soient a1 , . . . , an ∈ Z deux-à-deux distincts. Montrer que le polynôme (X −
a1 )(X − a2 ) · · · (X − an ) − 1 est irréductible dans Z[X].
Exercice 23. Soit n ∈ N>1 . Montrer que le polynôme X n + 5X n−1 + 3 est irréductible
dans Z[X].
Exercice 24. Parmi les anneaux suivants lesquels sont des corps ?
(a)
(c)
(e)
(g)
Z[X]/(2X + 2),
(b)
Q[X]/(2X + 2),
Z[X]/(X 7 − 12X 4 + 9X 2 − 3),
(d)
Q[X]/(X 7 − 12X 4 + 9X 2 − 3),
R[X]/(X 4 + X 3 + 2X 2 + 7),
(f)
Q[X]/(X 4 + 5X 3 + 2X + 1).
Z[X]/(4X 2 − 1),
Exercice 25. Montrez que les polynômes suivants sont irréductibles dans l’anneau Z[X] :
f (X) = X 6 + 30X 5 − 15X 3 + 6X − 120
g(X) = X 2 + 11X + 122
Montrez que le polynôme h(X, Y ) = XY 2 + X 2 + Y est irréductible dans l’anneau Z[X, Y ].
Exercice 26. Soit K un corps. Étudier l’irréductibilité dans K[X, Y ] des polynômes :
Y −X 2 , X 2 +Y 2 +1, X 2 +Y 2 −1, X 2 −Y 2 −1, Y 2 −X 3 , X 3 −Y 2 −X, XY 3 −X 2 Y −Y 2 +X.
Exercice 27. Montrer que les idéaux premiers de Z[X] sont de trois sortes :
(a) {0} ;
(b) P (X) Z[X] avec P (X) ∈ Z[X] irréductible ;
(c) (p, F (X)) Z[X] avec p premier et F (X) ∈ Z[X] irréductible dans Fp [X].