Théorie algébrique des nombres Feuille d`exercices n 1

Universit´ e Bordeaux I
Master de Math´ematiques 1`ere ann´ee Second semestre
Th´eorie alg´ebrique des nombres
Feuille d’exercices n◦1
Dans ce qui suit, les anneaux consid´er´es sont suppos´es commutatifs et unitaires.
Exercice 1. Soit Aun anneau dans lequel tout id´eal strict est premier. Montrer que Aest
un corps.
Exercice 2. Soit Kun corps. Montrer que l’anneau de polynˆomes K[(xi)i∈N] n’est pas
noeth´erien.
Exercice 3. Soit Aun anneau noeth´erien. Montrer que A[[X]] est noeth´erien.
Exercice 4. Soient Aun anneau, Mun A-module noeth´erien et f:M→Mun endomor-
phisme surjectif. Montrer que fest injectif. La r´eciproque est-elle vraie ?
Exercice 5. (Lemme de Nakayama). Soient Aun anneau I⊆Aun id´eal et Mun A-module
de type fini. On suppose que IM =M. Montrer qu’il existe a∈Itel que (1 + a)M= 0.
En d´eduire que si I⊆rad(A) (i.e. si Iest inclus dans tous les id´eaux maximaux de A),
alors M= 0.
Exercice 6. Soient Aun anneau et I⊂Aun id´eal de type fini. Montrer que si I2=I,
alors Iest engendr´e par un ´el´ement etel que e2=e.
Exercice 7. (Lemme d’´evitement des id´eaux premiers). Soient Aun anneau, r∈N≥2
et I, p1,...,prdes id´eaux tels que p3,...,prsont premiers. On suppose que I6⊆ pipour
tout i∈ {1,...,r}. Montrer qu’il existe x∈Itel que x6∈ pipour tout i∈ {1,...,r}
(indication : proc´eder par r´ecurrence).
Exercice 8. Montrer que tout sous-anneau de Qest principal.
Exercice 9. Soit Aun anneau int`egre. Montrer que Aest un corps si et seulement si A[X]
est principal.
Exercice 10. Soient aet bdeux entiers naturels. Notons det mleur pgcd et leur ppcm
respectivement. Montrer que (Z/a Z)×(Z/b Z)∼ −→(Z/d Z)×(Z/m Z).
Exercice 11. Soit Aun anneau int`egre noeth´erien dans lequel tout id´eal maximal est
principal.
(1) Soit I(Aun id´eal. Montrer que I={0}ou I=αJ avec α∈A\A×et J⊆A
un id´eal contenant strictement I.
(2) En d´eduire que Aest principal.
Exercice 12. Soient M=Znet Nle sous-groupe de Mengendr´e par une famille libre
x1,...,xn.´ Ecrivons xi= (xi,1,...,xi,n)∈Met posons d= det(xi,j )1≤i,j≤n. Montrer que
[M:N] = |d|.
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Exercice 13. Soient pun nombre premier, Vun Q-espace vectoriel de dimension finie et
u∈EndQ(V). On suppose que les deux propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees :
(i) up= IdV;
(ii) pour tout vecteur v∈V, si u(v) = v, alors v= 0.
Montrer que la dimension de Vest divisible par p−1.
Donner un contre-exemple lorsque le corps Qest remplac´e par C, puis par R.
Exercice 14. (1) Montrer que Q/Zest un Z-module de torsion.
(2) Soient x1,...,xn∈Q. Montrer qu’il existe y∈Qtel que y6∈ Zx1+···+Zxn. En
d´eduire que Q/Zn’est pas de type fini.
Exercice 15. Montrer que l’anneau Z[j] est euclidien.
Exercice 16. Posons A=Z[ζ] o`u ζ2−ζ+5 = 0. On note Nla norme du corps de nombres
Q[ζ].
(a) Calculer N(x+yζ) pour x, y ∈Q. Quels sont les inversibles de Z[ζ] ?
(b) Soient a, b ∈Z[ζ]\ {0}, montrer qu’il existe q, r ∈Z[ζ] tels que : (r= 0 ou
N(r)< N(b)) et (a=bq +rou 2a=bq +r).
(c) Montrer que l’id´eal 2 Z[ζ] est maximal.
(d) Montrer que Z[ζ] est principal.
Exercice 17. (Caract´erisation des anneaux euclidiens). Soit Aun anneau int`egre qui n’est
pas un corps. On d´efinit (par r´ecurrence sur n∈N) une suite parties de Apar : A0={0}
et An+1 =An∪ {x∈A, A =xA +An}pour tout n∈N. Pour x∈S
n∈N
An, on pose
φ(x) = inf{n∈N, x ∈An}.
(a) On supose que A=S
n∈N
An. Montrer que Aest euclidien pour le stathme φ.
(b) On suppose que Aest euclidien pour un stathme total ψ. Montrer que :
(i) pour tout x∈S
n∈N
An, on a φ(x)≤ψ(x) ;
(ii) A=S
n∈N
An(Indication : raisonner par l’absurde et utiliser (i)) ;
(iii) Aest euclidien pour le stathme φ,
(iv) si adivise bdans Aalors φ(a)≤φ(b) ;
(v) il existe x∈A\A×tel que la restriction `a A×∪{0}de la surjection canonique
A→A/xA soit surjective.
(c) D´eterminer φdans les cas suivants A=Zet A=k[X] (o`u kest un corps).
(d) On consid`ere l’anneau A=Z[ζ] o`u ζ2−ζ+ 5 = 0.
(i) Montrer que Aest int`egre et d´eterminer A×.
(ii) Montrer que l’´equation z2−z+ 5 = 0 n’a pas de solution dans F2ni dans F3.
(iii) Montrer que An’est pas euclidien (Indication : raisonner par l’absurde et
utiliser (b) (v)).
Exercice 18. Soit Kun corps. Montrer que le sous-anneau A=K[t2, t3] de K[t] n’est pas
factoriel.

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Exercice 19. Soit A=Z[i√5] = {x+iy√5∈C;x, y ∈Z}.
(a) Montrer que l’application
N:A\ {0} → N
x+iy√57→ x2+ 5y2
v´erifie N(ab) = N(a)N(b) quels que soient a,bdans A.
(b) Montrer que a∈Aest inversible si et seulement si N(a) = 1. En d´eduire a=±1.
(c) Montrer que les ´el´ements 2, 3, 1 + i√5, 1 −i√5 sont irr´eductibles dans A. En
d´eduire que An’est pas factoriel.
Exercice 20. (a) Montrer que 2 est irr´eductible mais non premier dans Z[√13].
(b) Trouver un ´el´ement irr´eductible non premier dans Z[2i]. Trouver un ´el´ement ad-
mettant deux d´ecompositions distinctes en produits d’irr´eductibles.
(c) Trouver un polynˆome irr´eductible sur Z[2i] qui n’est pas irr´eductible sur le corps
des fractions Q(i).
Exercice 21. Montrer que X4+ 10X3+ 7 est irr´eductible dans Z[X] (on pourra ´etudier
son image dans Z/5Z[X].)
Exercice 22. Soient a1, . . . , an∈Zdeux-`a-deux distincts. Montrer que le polynˆome (X−
a1)(X−a2)···(X−an)−1 est irr´eductible dans Z[X].
Exercice 23. Soit n∈N>1. Montrer que le polynˆome Xn+ 5Xn−1+ 3 est irr´eductible
dans Z[X].
Exercice 24. Parmi les anneaux suivants lesquels sont des corps ?
(a) Z[X]/(2X+ 2),(b) Q[X]/(2X+ 2),
(c) Z[X]/(X7−12X4+ 9X2−3),(d) Q[X]/(X7−12X4+ 9X2−3),
(e) R[X]/(X4+X3+ 2X2+ 7),(f) Z[X]/(4X2−1),
(g)Q[X]/(X4+ 5X3+ 2X+ 1).
Exercice 25. Montrez que les polynˆomes suivants sont irr´eductibles dans l’anneau Z[X] :
f(X) = X6+ 30X5−15X3+ 6X−120
g(X) = X2+ 11X+ 122
Montrez que le polynˆome h(X, Y ) = XY 2+X2+Yest irr´eductible dans l’anneau Z[X, Y ].
Exercice 26. Soit Kun corps. ´ Etudier l’irr´eductibilit´e dans K[X, Y ] des polynˆomes :
Y−X2,X2+Y2+1, X2+Y2−1, X2−Y2−1, Y2−X3,X3−Y2−X,XY 3−X2Y−Y2+X.
Exercice 27. Montrer que les id´eaux premiers de Z[X] sont de trois sortes :
(a) {0};
(b) P(X)Z[X] avec P(X)∈Z[X] irr´eductible ;
(c) (p, F (X)) Z[X] avec ppremier et F(X)∈Z[X] irr´eductible dans Fp[X].