Groupes Profinis et Théorie de Galois

Groupes Profinis et
Th´eorie de Galois
Par Bruno Deschamps
Universit´e du Maine

Table des mati`eres
1 Nombres p-adiques 4
1.1 L’anneau de entiers p-adiques...................... 4
1.1.1 Propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Le groupe des unit´es p-adiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Topologie sur Zpet distance p-adique. . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Le corps des nombres p-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Le corps Qp............................ 8
1.2.2 D´eveloppement de Hensel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Les sous-groupes de Zp.......................... 11
2 Groupes profinis 12
2.1 Rappels sur les groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Limites projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Groupes profinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1 D´efinition, propri´et´es topologiques . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2 Caract´erisation topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.3 Le groupe Z∗
p............................ 26
2.3.4 Le groupe b Z............................ 28
3 Th´eorie de Sylow et groupes pronilpotents 30
3.1 Th´eorie de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.1 Nombres surnaturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2 Indices et th´eor`eme de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.3 Sous-groupes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Groupes pronilpotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Pronilpotence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 Sous-groupe de Frattini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Prolibert´e 37
4.1 Rang.................................... 37
4.1.1 Groupes profinis de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1.2 Rang topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Compl´etions profinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Groupes prolibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Th´eorie de Galois 45
5.1 Groupe de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.1 Clˆoture s´eparable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.2 Topologie de Krull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 Th´eorie de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.1 Correspondances galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.2 Propri´et´es galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2

3
5.3 Le th´eor`eme de Waterhouse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3.1 La m´ethode de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3.2 Les groupes profinis sont des groupes de Galois . . . . . . . . 57
6 Quelques exemples de groupes de Galois 58
6.1 Le groupe des Galois absolu d’un corps fini . . . . . . . . . . . . . . 58
6.2 Le groupe de Galois de l’extension Qab/Q............... 60
6.3 Le groupe de Galois absolu de K((X))................. 62
6.3.1 Le corps des s´eries de Puiseux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.3.2 Le cas K=Kde caract´eristique 0 . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3.3 Cas Qab ⊂K........................... 64
6.3.4 Le cas r´eel clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Chapitre 1
Nombres p-adiques
1.1 L’anneau de entiers p-adiques
1.1.1 Propri´et´es ´el´ementaires
On consid`ere un nombre premier pet pour tout entier n∈N∗, on note An=Z/pnZ
muni de sa structure d’anneau. On d´esigne par ϕn:An+1 −→ Anla surjection
canonique (les ϕnsont des morphismes d’anneaux et on a Kerϕn=pnAn+1). On
consid`ere l’anneau produit QnAnet le sous-ensemble Ede QnAnconstitu´e des
´el´ements (xn)n∈QnAntel que
∀n∈N∗, ϕn(xn+1) = xn
Il est clair, puisque les ϕnsont des morphismes d’anneaux, que QnAnconf`ere `a E
une structure d’anneau.
D´efinition 1.— On appelle anneau des entiers p-adiques, le sous-anneau Zpde
QnAnconstitu´es des ´el´ements (xn)n∈QnAntel que ∀n∈N∗, ϕn(xn+1) = xn.
Proposition 2.— L’anneau Zpest un anneau commutatif, unitaire, de caract´e-
ristique 0.
Preuve: Zpest visiblement commutatif puisque QnAnl’est. Le neutre de QnAn
est l’´el´ement (xn)navec xn= 1 pour tout n, il est visiblement dans Zp. Soit m
un entier, il existe un entier ntel que m<pnet dans Anon alors m.16= 0 ce qui
justifie que dans Zp,m.16= 0, c’est-`a-dire que Zpsoit de caract´eristique 0.
——–
Proposition 3.— 1/ La multiplication par pdans Zpest injective.
2/ Soit x= (xn)n∈Zp. Les propositions suivantes sont ´equivalentes:
i) xest divisible par p
ii) x1= 0.
Preuve: 1/ Soit x= (xn)n∈Zptel que px = 0. On a donc pxn+1 = 0 pour tout
n, donc xn+1 =pnyn+1 avec yn+1 ∈An+1. Ainsi,
xn=ϕn(xn+1) = ϕn(pn).ϕn(yn+1) = 0
et par suite x= 0.
2/ i)⇒ii) Imm´ediat.
4

Nombres p-adiques 5
ii)⇒i) On a xn+1 =pyn+1 avec yn+1 ∈Anpour tout n≥1. Il reste `a voir que
l’on peut choisir les ´el´ements ynde sorte que (yn)n∈Zp. Pour n≥2 posons :
En={(yk)k=2,···,n/∀k= 2,···, n, xk=pyket ϕk−1(yk) = yk−1}
Il est clair que pour tout n≥2, l’ensemble Enest fini et non vide. Pour n≥2,
posons
fn:En+1 −→ En
(yk)k=2,···,n+1 7−→ (yk)k=2,···,n
Le syst`eme (En, fn)nest alors un syst`eme projectif, et, en vertu de ???, on a
lim
←− En6=∅
Un ´el´ement de lim
←− End´efinit alors imm´ediatement une suite y= (yn)n∈Zp,
qui v´erifie bien x=py.
——–
De la mˆeme mani`ere, on obtient la caract´erisation suivante :
Proposition 4.— Soit k∈N∗et x= (xn)n∈Zp. Les propositions suivantes sont
´equivalentes:
i) xest divisible par pk
ii) xk= 0.
On note n:Zp−→ Anla n-i`eme application coordonn´ee.
Corollaire 5.— La suite
0−−−→ Zp
pn
−−−→ Zp
n
−−−→ An−−−→ 0
est exacte.
Preuve: La multiplication par pest injective dans Zpdonc la multiplication par pn
aussi. L’application nest visiblement surjective. Il est clair que pnZp⊂Ker(n),
soit maintenant un ´el´ement x= (xn)n∈Ker(n). On a xpn= 0 et par la proposi-
tion pr´ec´edente, on a donc x∈pnZp.
——–
Corollaire 6.— Le groupe quotient Zp/pnZpest isomorphe au groupe Z/pnZ.
1.1.2 Le groupe des unit´es p-adiques.
Posons U=Z∗
p, on appelle ce groupe groupes des unit´es p-adiques.
Proposition 7.— Soit x= (xn)n∈Zp, les propositions suivantes sont ´equiva-
lentes:
i) x∈U,
ii) xn’est pas divisible par p,
iii) x16= 0,
iv) ∃n∈N∗, xn∈(Z/pnZ)∗,
v) ∀n∈N∗, xn∈(Z/pnZ)∗.
Preuve: i)⇒ii) Soit y∈Zptel que xy = 1. Donc x16= 0, donc xn’est pas
divisible par p.