La conjecture de Langlands locale pour GL(n, F) - IMJ-PRG

La conjecture de Langlands locale pour GL(n, F )modulo `quand `6=p, ` > n
Marie-France Vign´eras
6 septembre 1999- revised january 2000 -revised july 2000
The local Langlands conjecture for GL(n, F )modulo `, when `6=p, ` > n
Abstract Let Fbe a p-adic field. We will prove that the local Langlands conjecture between the
supercuspidal irreducible Q`-representations of GL(n, F ) and the irreducible Q`-representations of dimension
nof the Weil group WFis compatible with the reduction modulo `when `6=p, ` > n.
R´esum´e Soit Fun corps p-adique. Nous allons d´emontrer que la conjecture de Langlands locale entre
les Q`-repr´esentations irr´eductibles supercuspidales de GL(n, F ) et les Q`-repr´esentations irr´eductibles de
dimension ndu groupe de Weil WFest compatible avec la r´eduction modulo `quand `6=p, ` > n.
Soient pun nombre premier, Fun corps local non archim´edien de corps r´esiduel Fqde caract´eristique p,
ayant q´el´ements, Fune clˆoture alg´ebrique s´eparable de F,WFle groupe de Weil de F /F , et Wab
Fle plus grand
quotient ab´elien s´epar´e de WF. La loi de r´eciprocit´e de la th´eorie du corps de classes est un isomorphisme
topologique F∗'Wab
F; on la normalise, de sorte que l’inverse Fr−1d’un Frobenius arithm´etique corresponde
`a une uniformisante pFde F∗. La conjecture de Langlands locale est une g´en´eralisation de la loi de r´eciprocit´e.
Soient `un nombre premier distinct de p, 1 ≤nun entier, Q`une clˆoture alg´ebrique du corps des
nombres `-adiques, Z`l’anneau de ses entiers, F`le corps r´esiduel de Z`: une clˆoture alg´ebrique du corps
fini `a `´el´ements. Posons R=Q`ou R=F`; notons ScuspR(G) l’ensemble des classes d’isomorphisme
des R-repr´esentations irr´eductibles supercuspidales (`a ne pas confondre avec cuspidales si R=F`) de G:=
GL(n, F ), et IrrR(W)(n) l’ensemble des classes d’isomorphisme des R-repr´esentations irr´eductibles du groupe
de Weil WF, de dimension n.
La conjecture de Langlands locale concerne des repr´esentations complexes; on se ram`ene `a des Q`-
repr´esentations, en fixant une racine carr´ee αde qdans Q∗
`, et un isomorphisme entre Cet Q`, envoyant
√qsur α. Par la conjecture de Langlands locale (d´emontr´ee par Laumon-Rapoport-Stuhler (appendice 2
[LRS]) si Fest de caract´eristique >0 et par Harris-Taylor [HT] et Henniart [He] si Fest de caract´eristique
0), il existe une bijection entre ScuspQ`(G) et IrrQ`(W)(n), invariante par les automorphismes de Q`fixant
α, respectant les fonctions Let les facteurs εde paires; on l’appelle la bijection de Langlands sur Q`.
Si ` > n et Fde caract´eristique 0, on montrera que la bijection de Langlands sur Q`est compatible
avec la r´eduction modulo `, et que sa r´eduction modulo `donne une bijection (unique) entre IrrF`(W)(n) et
ScuspF`(G); on l’appellera la bijection de Langlands sur F`.
On obtiendra les r´esultats nouveaux suivants pour ` > n et Fde caract´eristique 0 :
- Les restrictions aux ´el´ements elliptiques des caract`eres de ScuspF`(G) sont lin´eairement ind´ependantes,
- Le changement de base [AC] et l’induction automorphe [H] pour les repr´esentations supercuspidales
sont compatibles `a la r´eduction modulo `.
Il y a quelques ann´ees, j’avais ´etudi´e les correspondances de Langlands sur F`dans le cas n= 2 [Vig0]
[Vig1], et conjectur´e la correspondance locale de Langlands sur F`[Vig2], en pensant que sa d´emonstration
serait une cons´equence de la description de la correspondance de Langlands avec les types (c’est certainement
vrai, Bushnell et Henniart ont d´eja beaucoup de r´esultats), et de la classification des F`-repr´esentations
irr´eductibles de GL(n, F ). La d´emonstration est n´ee de la conviction de Michael Harris que l’on avait assez
d’informations pour d´emontrer la correspondance locale de Langlands sur F`. L’induction automorphe de
Henniart-Herb et les calculs de germes et de transform´ees de Fourier d’int´egrales orbitales qui impliquent
1

que ` > n est le “cas r´egulier de l’analyse harmonique modulo `” pour un groupe r´eductif p-adique de type
An−1[VW], jouent un rˆole essentiel.
Addendum Ce texte est une version am´elior´ee de la pr´epublication 207 (mars 1999) de l’Institut de
Math´ematiques de Jussieu. On peut en fait supprimer la restriction ` > n, en ´evitant l’analyse harmonique
modulaire (modulo `), et en utilisant une m´ethode de Khare qui permet de globaliser des congruences locales
ainsi que la correspondance de Langlands globale de Harris-Taylor. On peut aussi supprimer la restriction
Fde caract´eristique 0 si l’on admet la correspondance de Langlands globale de Lafforgue [Vig7].
1 Le th´eor`eme principal
Une Q`-repr´esentation de longueur finie πde Gd’espace V, est dite enti`ere si Vcontient un Z`-sous-
module libre L, contenant une base de V, stable par G, de type fini comme Z`G-module. On dit que Lest
une structure enti`ere de π.
La repr´esentation L⊗F`de Gsur F`est de longueur finie, et sa semisimplifi´ee ne d´epend pas du choix
de L[Vig3 II.5.11]. On l’appelle la r´eduction modulo `de π, et on la note r`π.
Si πet π0sont deux Q`-repr´esentations de G, de longueur finie, enti`eres, de r´eductions modulo `
isomorphes, on note π≡π0.
On utilise les mˆemes notations pour WF(le cas galoisien).
Pour simplifier, on supprime l’indice Rlorsque R=Q`, on identifie π`a son espace Vou `a sa classe
d’isomorphie. Si π∈Scusp(G), σ ∈Irr(W)(n) se correspondent par la bijection de Langlands locale, on note
π↔σou σ↔π.
Une Q`-repr´esentation (dans le cas galoisien ou non) enti`ere πest dite `-irr´eductible si r`πest irr´eductible.
Dans le cas non galoisien, elle est dite `-supercuspidale si r`πest irr´eductible et supercuspidale (n’est pas un
sous-quotient d’une repr´esentation induite parabolique propre). Une repr´esentation enti`ere π∈Scusp(G) est
toujours `-irr´eductible, mais n’est pas toujours `-supercuspidale [Vig3 III.1.1 et III.5.10]. Une repr´esentation
enti`ere σ∈Irr(W)(n) n’est pas toujours `-irr´eductible.
1.1 Th´eor`eme principal Soient π, π0∈Scusp(G), correspondant `a σ, σ0∈Irr(W)(n)par la bijection
de Langlands locale sur Q`,π↔σ, π0↔σ0.
(1) σest enti`ere si et seulement si πest enti`ere.
Supposons les repr´esentations enti`eres, ` > n, et Fde caract´eristique 0, alors
(2) σest `-irr´eductible si et seulement si πest `-supercuspidale,
(3) σ≡σ0si et seulement si π≡π0.
La propri´et´e (1) est facile (2.1). Le th´eor`eme permet de d´efinir une correspondance entre ScuspF`(G)
et IrrF`(W)(n) par r´eduction modulo `, car les repr´esentations de ScuspF`(G) et de IrrF`(W)(n) se rel`event
`a Q`. On dit que π∈ScuspF`(G) et σ∈IrrF`(W)(n) sont en correspondance de Langlands, s’il existe
π0∈Scusp(G) et σ0∈Irr(W)(n) se correspondant par la bijection de Langlands sur Q`, telles que r`(π0) =
π, r`(σ0) = σ.
1.2 Th´eor`eme La correspondance de Langlands sur F`d´efinie par r´eduction modulo `est une
bijection entre ScuspF`(G)et σ∈IrrF`(W)(n).
La bijection de Langlands sur F`se prolonge en une bijection de l’ensemble des classes d’isomorphisme
des F`-repr´esentations semi-simples de dimension nde WF, sur l’ensemble des classes d’isomorphisme des
F`-repr´esentations irr´eductibles supercuspidales des sous-groupes de Levi de G, modulo conjugaison par G.
La partie (2) du th´eor`eme principal admet la g´en´eralisation suivante. Soit π∈IrrF`(G). Il existe
une repr´esentation ρ∈ScuspF`(L) d’un sous-groupe de Levi L'QiGL(ni, F ) de Gtel que πest un
sous-quotient de l’induite parabolique de ρ=⊗iρi. La somme Piρi(dans le Z-module libre de base
∪m≥1ScuspF`(GL(m, F )) ne d´epend que de πet s’appelle le support supercuspidal de π[Vig5 5.4].
2

1.3 Th´eor`eme Supposons ` > n et Fde caract´eristique 0. Soient π∈Scusp(G), σ ∈Irr(W)(n)
enti`eres, et en correspondance de Langlands π↔σ. Alors r`(σ)et le support supercuspidal de r`(π)se
correspondent par la bijection de Langlands locale sur F`.
La d´emonstration de cette g´en´eralisation a ´et´e rajout´ee au texte original, `a la demande du referee, en
(6.2).
Le th´eor`eme 1.3 implique la conjecture de Langlands pour toutes les repr´esentations irr´eductibles de
GL(n, F ) sur F`(appel´ee la conjecture de Deligne-Langlands dans [Vig4]).
On sait que les bijections de Langlands sur Q`sont caract´eris´ees par la conservation des facteurs Let ε
de paires. Ce n’est probablement plus vrai pour les bijections de Langlands sur F`, `a cause des congruences
v´erifi´ees par les facteurs Let εde paires. Il est possible que cela reste vrai, en modifiant la d´efinition des
L, ε. C’est le cas pour n= 2 [Vig8].
Ces deux questions int´eressantes demandent des techniques tr`es diff´erentes de celles consid´er´ees ici, et
ne seront pas d´evelopp´ees dans cet article.
1.4 Le th´eor`eme principal est valable pour toute bijection j=jn,F : Scusp(G)→Irr(W)(n), faisant
partie d’un syst`eme de bijections jm,E : Scusp(GL(m, E)) →Irr(WE)(m), pour tout entier 1 ≤m, et pour
toute extension E/F contenue dans F, non ramifi´ee, tels que [E:F]mdivise n, v´erifiant :
(a) Pour n= 1, la bijection j1,E est donn´ee par l’isomorphisme de r´eciprocit´e du corps de classes.
(b) Le d´eterminant de σ=jm,E(π)∈Irr(WE)(m) correspond au caract`ere central de π, par j1,E .
(c) Les bijections jm,E commutent avec la torsion par un caract`ere.
(d) Les bijections commutent avec l’induction (dite automorphe dans le cas non galoisien) ([HH] Corol-
lary 5 page 154).
(e) Les bijections jm,E sont Gal(E/F )-´equivariantes ([H] Proposition 6, page 111).
Toutes ces propri´et´es sont v´erifi´ees par la correspondance locale de Langlands [BHK 3.1]; on connaissait
l’existence de telles bijections depuis l’article de Harris [H].
Les paragraphes 2 `a 5 seront consacr´es `a la d´emonstration du th´eor`eme principal. Le corollaire 1.2 et
le th´eor`eme 1.3 seront d´emontr´es dans le paragraphe 6.
On note OFl’anneau des entiers de F,PFl’id´eal maximal de OF,pF∈PFune uniformisante (donc
PF=OFpF), Fr = FrF∈WFun Frobenius tel que l’image de Fr−1dans Wab
Fcorresponde `a pFpar
l’isomorphisme de r´eciprocit´e.
2 Repr´esentations
Le but de ce paragraphe est de montrer le (1) du th´eor`eme principal (facile), que le (3) du th´eor`eme
principal implique le (2), et de montrer (3) lorsqu’aucun caract`ere non ramifi´e non trivial ne fixe σ, π. On
peut supposer dans le chapitre 2 que la caract´eristique de Fest quelconque, la condition (`, n) = 1 n’apparait
que dans (2.8).
2.1 Repr´esentation enti`ere Une Q`-repr´esentation irr´eductible πde Gest enti`ere, si et seulement
si le caract`ere central de toute repr´esentation irr´eductible dans le support supercuspidal de πest entier [Vig3,
III.4.11].
Un caract`ere (lisse) ω:F∗→Q∗
`s’identifie `a un caract`ere de WF(par l’isomorphisme de r´eciprocit´e)
ou de G(par le d´eterminant). On indique par l’indice ωque l’on consid`ere des repr´esentations de Gde
caract`ere central ω, ou de WFde d´eterminant ω. La bijection de Langlands induit une bijection Scuspω(G)→
3

Irrω(W)(n) par la propri´et´e 1.4.b); ces repr´esentations sont enti`eres, si et seulement si ωest entier, si et
seulement si ω(pF)∈Z∗
`. Ceci d´emontre le (1) du th´eor`eme principal 1.1.
Un caract`ere entier dont la r´eduction modulo `est triviale, sera appel´e un `-caract`ere.
2.2 Torsion par un caract`ere non ramifi´e
Soit Run corps alg´ebriquement clos et χ:F∗→R∗un caract`ere de F∗. On dit que χest non ramifi´e
si χest trivial sur O∗
F, et que χest mod´er´ement ramifi´e si χest trivial sur 1 + PF. Pour r∈R∗, on note νr
le caract`ere non ramifi´e de F∗tel que
νr(upF) = r.
pour toute unit´e u∈O∗
F, i.e. pour toute uniformisante upF∈F∗.
Soient π∈Scusp(G) (resp. σ∈Irr(W)(n)). Le groupe X(π) (resp. X(σ)) des Q`-caract`eres non
ramifi´es χde F∗tels que π⊗χ'π(resp. σ⊗χ'σ) est contenu dans le groupe cyclique d’ordre nform´e
des χtels que χn= 1; il est caract´eris´e par son ordre f(π) (resp. f(σ)).
Si π, σ sont en correspondance de Langlands π↔σ, alors
f(σ) = f(π)
car la correspondance de Langlands est une bijection compatible avec la torsion par un caract`ere (la propri´et´e
(c)).
2.3 Crit`ere num´erique
Soient π∈Scusp(G) et σ∈Irr(W)(n) enti`eres. On va donner un crit`ere num´erique permettant de
reconnaitre si la r´eduction modulo `de πest supercuspidale (resp. σest irr´eductible). Ce crit`ere d´epend de
f(π), m(π) (resp. f(σ), m(σ)), o`u m(π) (resp. m(σ)) est le nombre d’´el´ements de l’ensemble fini
-B(π) des π0∈Scusp(G) telles que π0≡πet de mˆeme caract`ere central sur l’uniformisante pF
- resp. B(σ) des σ0∈Irr(W)(n), telles que σ0≡σde mˆeme d´eterminant sur le Frobenius arithm´etique
Fr (ou son inverse).
Le (3) du th´eor`eme principal implique que
m(π) = m(σ)
si π, σ sont en correspondance de Langlands π↔σ. Notons v`(m) la valuation `-adique d’un entier non nul
m.
Proposition On a
1) m(π)≤`ao`u a=v`(n/f(π)) + v`(qf(π)−1) avec ´egalit´e si et seulement si πest `-supercuspidale.
2) m(σ)≤`bo`u b=v`(n/f(σ)) + v`(qf(σ)−1) avec ´egalit´e si et seulement si σest `-irr´eductible.
La d´emonstration est donn´ee en (2.7) pour π. Un ´enonc´e un peu plus faible pour σest d´emontr´e en
(2.7). Il suffit pour montrer que dans le th´eor`eme principal, (3) implique (2). Il est clair que (2), (3), et la
proposition pour πimpliquent la proposition pour tout σ.
2.4 Types de Bushnell-Kutzko Soient π, π0∈Scusp(G), enti`eres, telles que π≡π0. Alors, par
[Vig3, III.4.26], il existe une donn´ee de Bushnell-Kutzko (E, J, Jp,Λ, κ, ρ) d´efinissant π, et une donn´ee de
Bushnell-Kutzko (E, J, Jp,Λ0, κ, ρ0) d´efinissant π0, telles que
π= indG,E∗JΛ, π0= indG,E∗JΛ0,
(induites `a support compact). Par d´efinition,
E/F est une extension de corps commutatifs, contenue dans F, d’indice de ramification e, de degr´e
r´esiduel f, de degr´e ef divisant n=efd. On note e=eπ, f =fπ, d =dπ.
4

Jest un sous-groupe de G, ouvert, compact, normalis´e par E∗⊂G, de radical pro-p-nilpotent Jp, et
(2.4.1) J/Jp'GL(d, Fqf).
κest une Q`-repr´esentation de J, dont la restriction `a Jpest irr´eductible.
ρ≡ρ0sont deux Q`-repr´esentations irr´eductibles cuspidales de GL(d, Fqf), de mˆeme r´eduction modulo
`, identifi´ees `a des repr´esentations irr´eductibles de Jtriviales sur Jp.
Λ≡Λ0sont des Q`-repr´esentations enti`eres de E∗J(des types ´etendus), de restrictions `a Jirr´eductibles
(des types) :
Λ|J=κ⊗ρ, Λ0|J=κ⊗ρ0.
Le groupe F∗agit sur Λ par le caract`ere central ω=ωπde π. On sait que :
πest `-supercuspidale, si et seulement si ρest `-supercuspidale, si et seulement si r`πa une enveloppe
projective de longueur finie dans Modr`ω(G) [Vig3, III.5.16].
r`πest irr´eductible et cuspidale; toute F`-repr´esentation irr´eductible cuspidale de Gs’obtient par le
proc´ed´e pr´ec´edent [Vig3, III.5.10].
eπ, fπ, dπne d´ependent que de la r´eduction de πmodulo `[Vig3, III.4.29]. On a [Vig3, III.5.11]
(2.4.2) f(π) = fπdπ=n/eπ.
Cette ´egalit´e montre avec (2.4.1) que les trois propri´et´es (a), (b), (c) suivantes sont ´equivalentes :
(a) f(π) = 1,
(b) l’extension E/F est totalement ramifi´ee de degr´e n,
(c) J/Jp'F∗
q.
Lorsqu’elles sont v´erifi´ees, ρest un Q`-caract`ere de F∗
q; un caract`ere est `-supercuspidal par d´efinition.
On a donc :
Lemme Si f(π) = 1, alors πest `-supercuspidale.
2.5 Dimensions La repr´esentation π∈Scusp(G) est le produit d’un caract`ere non ramifi´e et d’une
repr´esentation sur laquelle pFagit trivialement. Supposons que pFagit trivialement sur π. Un sous-groupe
d’indice fini Hde 1 + PFagit trivialement sur πdonc aussi sur le type ´etendu Λ. On note
Z=pZ
FH.
Ainsi Λ s’identifie `a une repr´esentation d’un groupe fini E∗J/Z. Le lemme suivant sera utile en (3.2) et
(3.5).
2.5.1 Lemme Les valuations `-adiques de e(qn/e −1) et de |E∗J/Z|dim Λ−1sont ´egales.
Preuve [Vig3 III.4.28] Comme (p, `) = 1 on peut n´egliger pdans les calculs. Si a, b sont deux nombres
supernaturels non nuls, on ´ecrira
a∼b
si le quotient a/b appartient `a pZ∪{±∞}. Le choix du sous-groupe Hn’intervient pas car |(1+PF)/H| ∼ 1. On
a dim Λ = dim κdim ρ; la dimension de κest une puissance de pdonc dim Λ ∼dim ρ; la dimension d’une Q`-
repr´esentation irr´eductible supercuspidale de GL(n, Fq) est la partie premi`ere `a pdans |GL(n, Fq)|(qn−1)−1.
Avec (2.4.1)
dim Λ ∼ |GL(d, Fqf)|(qfd −1)−1=|GL(d, Fqf)|(qn/e −1)−1,
|F∗J/Z| ∼ |GL(d, Fqf)|.
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