CHAPITRE 0 : CHAPITRE 0 : Ce qu`il faut savoir

Mathématiques 1 Niv. 1 et 2 Première partie : Algèbre Théorie chapitre 0
Collège Sismondi (S.Z., base G.E.) 2011 - 2012 ch. 0, p.1
CHAPITRE 0 :
CHAPITRE 0 :
Ce qu'il faut savoir pour commencer
Ce qu'il faut savoir pour commencer
§ 0.1 Les nombres réels
Nous allons utiliser les entiers naturels, les entiers relatifs, les nombres rationnels et irrationnels.
Exemples :
0 , 1 , 2 et 1024 sont des des entiers naturels.
-4 ; 0 ; 2 ; -333 et 567 sont des entiers relatifs.
- 3
4 ; 0; 22 7 ;
1, 23
et -4,5 sont des nombres rationnels.
π = 3,1415… et 2 = 1,414… sont des nombres irrationnels.
Notation :
Ensemble des entiers naturels: N = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; … }
Ensemble des entiers relatifs: Z = { … ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}
Ensemble des nombres rationnels: Q = {
p
q
| p ∈ Z et q ∈ Z* }
Il n'y a pas de notation particulière pour l'ensemble des nombres irrationnels, mais on utilise quelquefois
la notation I.
Tous ces nombres (entiers naturels, entiers relatifs, rationnels et irrationnels) appartiennent à un même
ensemble, l'ensemble R des nombres réels.
Pour nous, un nombre réel sera simplement un nombre qui peut s'écrire en utilisant les chiffres 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 ,9 et, éventuellement, une virgule et un signe (+ ou -).
Exemples :
2,333… =
!
2,3
45,6
-0,03000… = -0,03
!
5
7
= 0,714285714285714… =
!
0,714285
-57,000… = -57 0,10110111011110111110…
En algèbre, on représente souvent les nombres réels par des lettres, les premières lettres de l'alphabet latin
(a, b, c, d, …) pour représenter des valeurs connues ou constantes et les dernières (…, x, y, z) pour les
inconnues ou les variables.

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§ 0.2 Propriétés des nombres réels
Les nombres réels jouissent des propriétés ci-dessous, cʼest-à-dire que quelles que soient les valeurs que
l'on donne aux lettres a, b et c, les relations suivantes sont toujours vraies:
a+b = b+a a·b = b·a commutativité
a+(b+c) = (a+b)+c a·(b·c) = (a·b)·c associativité
0+a = a 1·a = a élément neutre
a+(-a) = 0 a·
!
1
a
= 1 élément symétrique
a·(b+c) = a·b + a·c distributivité
Remarques :
On dit que "0" est l'élément neutre de l'addition
"1" est l'élément neutre de la multiplication
"-a" est l'opposé de "a"
"
!
1
a
" est l'inverse de "a" (on le note parfois a-1, càd
!
1
a
= a-1)
Règles de la multiplication par zéro
Le nombre zéro jouit de deux propriétés très particulières, à savoir :
1) lorsque l'on multiplie par zéro, on trouve toujours zéro:
a·0 = 0·a = 0
2) si le produit de deux nombres vaut zéro, alors un des deux nombres (au moins) est zéro:
si a·b = 0, alors a = 0 ou b = 0
Nous utiliserons très souvent ces deux propriétés que nous appellerons "règles de la multiplication par
zéro".
Par rapport à la relation "est plus petit ou égal à" que l'on note "≤", les nombres réels vérifient les
propriétés suivantes, quels que soient les valeurs de a, b et c:
a ≤ a
a ≤ b ou b ≤ a (ou les deux)
si a ≤ b et b ≤ a, alors a = b
si a ≤ b et b ≤ c, alors a ≤ c

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Remarque :
a ≤ b signifie que "a est plus petit ou égal à b" (ou bien que "b est plus grand ou égal à a") dans le
sens suivant: si l'on place les nombres a et b sur un axe représentant l'ensemble des nombres réels,
alors b sera à droite de a.
a b R
La flèche qui figure sur l'axe montre la direction dans laquelle les nombres augmentent.
D'un point de vue arithmétique, a ≤ b si le nombre (b – a) est positif.
Exemples :
4 ≤ 7, car 7 – 4 = 3
-7 ≤ -4 , car -4 – (-7) = -4 + 7 = 3
§ 0.3 Nombres positifs et nombres négatifs.
Les nombres positifs sont des nombres plus grands ou égaux à zéro et les nombres négatifs sont plus petits
ou égaux à zéro.
Les nombres réels vérifient la règle des signes pour la multiplication:
(positif)·(positif) = positif
(négatif)·(positif) = négatif
(positif)·(négatif) = négatif
(négatif)·(négatif) = positif
De cette règle découle une propriété caractéristique des nombres réels:
un nombre réel au carré ne peut pas être négatif cʼest-à-dire
a2!!!0
En effet, ou bien ce nombre est positif et alors son carré est positif,
ou bien ce nombre est négatif et alors son carré est positif,
ou bien ce nombre est zéro et alors son carré est zéro.
On sait que les nombres négatifs s'écrivent avec un signe "-", alors que le signe "+" est facultatif devant
l'écriture d'un nombre positif.
Le fait d'écrire le signe "–" devant le nombre "a" ne signifie pas que le nombre
"-a" est négatif, mais simplement qu'il est de signe opposé à celui de "a" :
si a = 3, alors -a = -3 si a = -5, alors -a = -(-5) = 5

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Il existe un lien entre "opposé" et "soustraction"; non seulement les deux notions utilisent le signe "-", mais,
par définition, "soustraire, c'est additionner l'opposé":
a – b = a + (-b).
Remarque :
On utilise souvent la relation: a – b = -(b – a)
Exemples :
3 – 2x = -(2x – 3)
(y – x)(x – y) = -(x – y)(x – y) = -(x – y)2
§ 0.4 Opérations sur les fractions
On sait que deux fractions sont égales si et seulement si le produit du numérateur de la première fraction par
le dénominateur de la deuxième est égal au produit du dénominateur de la première fraction par le
numérateur de la deuxième (produit en croix):
a
b
=
c
d
si et seulement si a·d = b·c
Exemple :
4
6
=
6
9
car 4·9 = 6·6
Amplifier une fraction, c'est multiplier son numérateur et son dénominateur par le même nombre.
Simplifier une fraction, c'est diviser son numérateur et son dénominateur par le même nombre.
Amplifier ou simplifier une fraction ne change pas sa valeur, en effet:
a!c
b!c
=
a
b
car (a·c)·b = a·(b·c)
Exemple :
36
24
=
3!12
2!12
=
3
2
Dans cet exemple, il s'agit d'une simplification si l'on lit l'égalité de gauche à droite et d'une amplification si
on la lit de droite à gauche.
Amplification et simplification sont des actions contraires l'une de l'autre.
Une fraction est appelée irréductible lorsqu'il nest plus possible de la simplifier, sinon on l'appelle
réductible.
Exemple :
36
24
est réductible, car on peut la simplifier par 12, mais la fraction obtenue
3
2
est irréductible.

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Pour multiplier une fraction par un nombre entier, on multiplie le numérateur de la fraction par ce
nombre :
Exemples :
2 ·
5
7
=
10
7
n ·
a
b
=
a!n
b
Pour diviser une fraction par un nombre entier, on multiplie le dénominateur de la fraction par ce
nombre :
Exemples :
5
7
: 2 =
5
14
a
b
: n =
a
b!n
On sait que l'addition et la multiplication des fractions sont définies comme suit:
a
b
+
c
d
=
a!d+b!c
b!d
a
b
·
c
d
=
a!c
b!d
Diviser par une fraction, c'est multiplier par la fraction inverse:
a
b
c
d
=
a
b
:
c
d
=
a
b
·
d
c
Remarque :
L'égalité suivante montre qu'il y a plusieurs façons de "voir" une fraction
a ·
b
c
=
a!b
c
=
a
c
· b = a · b ·
1
c
Souvent un bon choix d'écriture facilite la compréhension !!
§ 0.5 Puissances entières
Définition :
si a est un nombre réel et n un nombre naturel, alors
an = a·a·a·…·a (produit de n facteurs a)
a est la base et n la puissance ou l'exposant.
an se lit "a puissance n" ou "a exposant n".
Cette définition de la puissance d'un nombre ressemble à une abréviation: il est en effet plus court d'écrire
"a5 " que "a·a·a·a·a".