Chp3 Géométrie plane 2015-2016

Chapitre 3 Géométrie plane
Objectifs :
• Connaître et représenter des figures géométriques. Utiliser leurs propriétés. (socle)
• Connaître et savoir utiliser le théorème de Thalès (seule la configuration vue en 4e est du socle).
• Connaître et savoir utiliser la réciproque du théorème de Thalès.
I. Rappels :
1) Pythagore
Théorème (direct) de Pythagore :
Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des
carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si ABC est rectangle en A alors BC² = AB² + AC².
Exemple :
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculer BC.
….............................................................................................................................................................
….............................................................................................................................................................
….............................................................................................................................................................
Réciproque du théorème de Pythagore :
Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des
longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle (et l'angle droit est l'angle opposé au
plus grand côté).
Si un triangle ABC vérifie BC² = AB² + AC² alors ce triangle est rectangle en A.
Exemple :
Soit ABC un triangle tel que : AB = 5cm ; AC = 12 cm et BC = 13 cm.
Démontrer que ce triangle est rectangle. Préciser en quel point.
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Contraposée du théorème de Pythagore :
Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés
des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle n'est pas rectangle.
Si un triangle ABC est tel que BC² ≠ AB² + AC² alors ce triangle n'est pas rectangle en A.
Exemple :
Le triangle ABC de côtés AB = 2 m ; AC = 3 m et BC = 4 m est-il rectangle ?
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2) Les droites remarquables du triangle
Compléter les quatre propriétés suivantes :
Propriétés :
1. Dans un triangle, les trois médianes sont concourantes en un point appelé ..................................
2. Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé ....................................
3. Dans un triangle, les trois bissectrices sont concourantes en un point qui est ….............................
…..................................................
4. Dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes en un point qui est ….............................
…...................................................
Pour chaque figure ci-dessous, indique la propriété qui correspond :
Concernant les autres propriétés à connaître :
voir p 267 et 268 du manuel (toutes les propriétés cerclées doivent être sues !)
II. Le théorème de Thalès
1) Le théorème direct et sa conséquence
Théorème :
(d) et (d') sont deux droites sécantes en A.
B et M sont deux points de (d), distincts de A ; C et N sont deux points de (d'), distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alors
AM
AB
=AN
AC
=MN
BC
.
Configurations de Thalès : figures clés
Lorsqu'on reconnaît l'une de ces trois figures, les droites (BC) et (CN) sécantes en A sont coupées
par deux parallèles (BC) et (MN), on peut utiliser le théorème de Thalès et ainsi écrire l'égalité des
trois rapports de longueurs.
Remarques :
• En présence d'une configuration de Thalès,
le tableau ci-contre est un …...............................................
• Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs manquantes dans une configuration de
Thalès.

Cas particulier :
En reprenant la configuration 1. et en plaçant M au milieu de [AB], on retrouve le théorème des
milieux : « Si M est ….............................................. et …......................
alors N est …........................................... et MN = …................... »
Exemple :
Dans la figure ci-contre, les droites (BC) et (AD) sont parallèles.
AD = 3,5 cm ; ED = 4 cm et EC = 5 cm.
Calculer la longueur BC.
…................................................................................................
…................................................................................................
…................................................................................................
…................................................................................................
Activité :
La figure ci-contre est en vraie grandeur.
Léo affirme : « Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
On le voit clairement sur le dessin. »
Clara : « Elles ne le sont pas ! Un simple calcul permet de le vérifier ! »
Qu'en pensez-vous ? Justifier la réponse.
….............................................................................................................................................................
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Conséquence :
Contraposée du théorème de Thalès :
(BM) et (CN) sont deux droites sécantes en A.
Si
AM
AB
≠AN
AC
alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.
Remarque :
La contraposée permet de démontrer que des droites ne sont pas parallèles.
2) La réciproque du théorème de Thalès
Réciproque du théorème de Thalès :
(d) et (d') sont deux droites sécantes en A.
B et M sont deux points de (d), distincts de A ; C et N sont deux points de (d'), distincts de A.
Si les points A, B, M et les points A, C, N sont dans le même ordre et si
AM
AB
=AN
AC
alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Remarque :
La réciproque permet de démontrer que des droites sont parallèles.

Cas particulier :
Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC].
Les points …............. et …............. sont ….........................................
et
AM
AB
=AN
AC
=....
....
donc d'après …...........................................................
les droites …................................ sont parallèles.
On retrouve alors le théorème de la droite des milieux suivant :
« Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au 3e
coté. »
Exemple :
Démontrer dans la figure ci-contre que
les droites (EF) et (BC) sont parallèles
…........................................................................................
…........................................................................................
…........................................................................................
…........................................................................................
…........................................................................................