Correction BREVET BLANC Epreuve de MATHEMATIQUES

Correction BREVET BLANC Epreuve de MATHEMATIQUES
Mercredi 8 Avril 2009 Durée : 2 heures
1ère partie : Activités numériques (12 points)
Exercice 1 :(6 points) On fera apparaître les calculs d’une façon détaillée.
On donne l’expression E=(x-5)² - (x-5)(4x-3)
1°) Pour calculer la valeur exacte de E lorsque x=  , Marc a choisi de développer E.
a)
b) Calculer la valeur exacte de E lorsque x = 
2
2
3 3 13 10
3( 3) 13 3 10
3 3 13 3 10
9 10 13 3
1 13 3
si x E x x
E
E
E
E
2°) a) Léa a trouvé mentalement une solution de l’équation E=0. A votre avis laquelle ?
2
( 5) ( 5)(4 3)E x x x    
donc si
5x
2
( 5) 0 ( 5) 0x et x   
5 est donc une solution de l’équation E=0.
b) Pour trouver l’autre solution, Léa choisit de factoriser E. Montrer que E = (x-5) (-3x-2)
c) Donner alors la seconde solution de l’équation E=0
Pour trouver la seconde solution, il faut résoudre l’équation
( 5)( 3 2) 0xx   
( 5)( 3 2) 0
5 0 3 2 0
5 3 2
2
53
'
.
2
3
.Siun produit est nul alorsl undeses facteursest nu
xx
x ou x
x ou
l
Et réciproquement
x
x ou x
Les solutions de cette équation sont donc 5 (que l’on retrouve) et
2
3
.
2
22
22
22
22
2
( 5) ( 5)(4 3)
( 2 5 5 ) ( 4 ( 3) 5 4 5 ( 3))
10 25 (4 3 20 15)
10 25 4 3 20 15
4 10 23
3 13
1
1
5
0
25
E x x x
E x x x x x x
E x x x x x
E x x x x x
E x x x x
E x x
1,5
1
0,5
2
( 5) ( 5)(4 3)
( 5) ( 5) ( 5)(4 3)
( 5)( 5 (4 3))
( 5)(
( 5)( 3 2)
5 4 3)
E x x x
E x x x x
E x x x
E x x x
E x x
1
1

3°) Lorsque x = 
 , choisir la forme de E qui vous paraît la plus adaptée pour calculer la valeur exacte
de E sous forme de fraction irréductible
Utilisons la forme factorisée:
Exercice 2 (4 points)
1
2
Quelle est l'expression qui est égale à 10 si on
choisit la valeur x = 4 ?
x(x+1)
(x + 1)(x -2)
(x + 1)²
2 x ² - 54
3
x² - 16 est égal à :
(x-4)²
(x-4)(x+4)
(x-8)²
(x+4)²
4
Quelle est la valeur exacte de  ?
13,416
8  
5
Le prix d’un article augmente de 30%
puis baisse de 20%. Au final, c’est une …
Baisse de
10%
Augmentation
de 4 %
Augmentation
de 10%
Augmentation
de 6 %
1)
3 3 2 2 3 6 2 3 6 2 7 7 ( 6) 7 6 1
4 2 4 2 6 6
10 (10 ) 10 10 10 10 10 10 10 10 10
10 10 10 10 10
2)
4 (4 1)(4 2) 5 2 10si x alors     
.
3)
2 2 2
16 4 ( 4)( 4)x x x x     
.
4)
5) Si on augmente un prix de 30% alors on le multiplie ce prix par 1,3.
si ensuite il subit une baisse de 20%, alors on multiplie le nouveau prix par 0,8.
Donc, le prix initial est multiplié par 1,3*0,8= 1, 04.
Et 1,04 = 1+0,04.
Le prix initial a été augmenté de 1,04, il a donc subit une augmentation de 4%.
Exercice 3 ( 2 points)
On a
22
2
22
2
2009 2007 (2009 2007)(2009 2007)
2009 2007 2 4016 803
( )( )
2
on reconna a b a b a bit
2 2 2
( 5)( 3 2)
3 3 3
2 15
( )( 2 2)
33
13
( ) ( 4)
3
13 ( 4
3
3
)
52
si x alors E
E
E
E
E
80 20 16 5 4 5
16 5 4 5
4 5 2 5
65
1
1
2
1
0 ,5
0,5
1

2ème partie : Activités géométriques (12 points)
Exercice 1 : (7points)
1- Faire un dessin en vraie grandeur.
2- Montrer que le triangle EFG est rectangle en G.
On sait que :
EFG est un triangle inscrit dans le cercle de diamètre [EF]
Propriété :
Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés
Alors ce triangle est rectangle. Et ce côté est l’hypoténuse.
Conclusion :
EFG est un triangle rectangle en G.
3- Démontrer que EG = 8.
On sait que :
EFG est un triangle rectangle en G.
Donc d’après le théorème de Pythagore, on a
2 2 2
EF EG GF
C'est-à-dire
2 2 2
2
2
2
0
10 6
100 36
100 36
64
8
E
EG ca
G
EG
EG
EG
r EG 
Conclusion : EG=8cm.
H
E
F
(d)
G
I
K
J
1,5
1 ,5
1

4-Calculer IJ.
On sait que :
 Les droites (GI) et (EJ) sont sécantes en F
 Les droites (IJ) et (EG) sont parallèles
Donc, d’après le théorème de Thales, on a
FJ FI IJ
FE FG EG
D’où
1,5
10 6 8
FJ IJ
On utilise la propriété du « produit en croix » :
6 1,5 8
6 12
12 2
6
IJ
IJ
IJ
Conclusion : IJ=2cm.
5-H est le point du segment [FG] tel que :
FH = 5,4 et K le point du segment [EF] tel que : FK = 9.
Les droites (EG) et (HK) sont-elles parallèles ?
On a
5,4 6 0,9 0,9
66
FH
FG
Et
90,9
10
FK
FE 
On sait que :
FH FK
FG FE
 Les points F, H et G sont alignés dans le même ordre que F, K et E.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thales, les droites (HK) et (EG) sont parallèles.
1,5
1,5

Exercice 2 : (5 points)
Les points C, H et B sont alignés. BH = 4cm,
3 3 cm HA 2 12 cm et AC 75 cmHC   
1°) Montrer que le triangle AHC est rectangle.
On a
22
2
2
22
(3 3) 9 3 27
75 75
(2 12) 4 12 48
HC
AC
HA
Donc
22
75HC HA
On sait que :
HAC est un triangle tel que
2 2 2
HC HA AC
Donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le
triangle HAC est rectangle en H.
2°) Calculer la mesure de l’angle
HBA
.
On sait que :
Dans le triangle HAB rectangle en H,
4 2 12HB et HA
Ce sont les côtés adjacents et opposés de l’angle
HBA
, on utilise donc la tangente de cet angle :
2 12 2 4 3 2 2 3
tan 3
4 4 4
HA
HBA HB
Donc
60HBA
.
3°) Calculer l’aire A du triangle ABC, valeur exacte puis valeur approchée arrondie au cm².
2
( ) cot [ ]
2
() int ,
2
(4 3 3) 2 12
2
4 2 12 3 3 2 12
2
4 12 3 3 12
4 12 3 3 12
4 4 3 3 36
4 4 3 3 6
4
8 3 18
18
32
23
BC AH
A car AH estla hauteur relative au é BC
BH HC AH
A car les po s B H etC sont alig
A
A
nés
A
A
A
A
m
A
A
A
c
4°) Calculer le périmètre P du triangle AHC
On écrira P sous la forme
3a
.
2 12 3 3 75
2 4 3 3 3 25 3
2 2 3 3
1
3 5 3
(4 3
23
12
5) 3
3
P AH HC CA
P
P
P
P
Pc
P
m
1
1,5
1
1,5