M1 – ALG`EBRE 1 TD 1, ANN´EE 2016

M1 – ALG ` EBRE 1 TD 1, ANN ´ EE 2016
Exercice∗1. Soit Aun anneau commutatif.
(1) Montrer que (A[X],+,·)est un anneau commutatif.
(2) Montrer que l’application
A→A[X]
a7→ a=aX0
est un homomorphisme d’anneaux injectif.
Exercice 2. Montrer que Z[√2]est form´ e des nombres de la forme a+b√2 o` ua,b∈Z.
Exercice 3. Soient Aun anneau int` egre et f,g∈A[X]. Montrer que
deg(f+g)≤max{deg f,deg g},deg(f g) = deg f+deg g.
En d´ eduire que A[X]est aussi int` egre. Donner un contre-exemple ` a la seconde ´ egalit´ e avec Apas int` egre.
Exercice 4. Soit Aun anneau unitaire.
(1) Montrer que, pour tout a,bqui commutent dans A, on a la formule de Newton
(a+b)n=
n
∑
k=0n
kakbn−k.
(2) Dire si le r´ esultat est encore valable lorsque a,bne commutent pas.
Exercice 5. Soit Kun corps. Montrer que l’ensemble des unit´ es (les ´ el´ ements inversibles) de K[X]not´ e
U(K[X]) est un groupe ´ egal ` aK∗.
Exercice∗6. Soit Kun corps infini.
(1) Soient T⊂Kune partie infinie et f∈K[X]. Montrer que f=0 si fK(b) = 0 pour tout b∈T.
(2) Soient T1,...,Tndes parties infinies de Ket f∈K[X1,...,Xn]. Montrer que f=0 si f(b1,...,bn) =
0 pour tout (b1,...,bn)∈T1×···×Tn.
(3) Notons A(Kn,K)l’anneau des application de Kndans K. Montrer que l’application ϕ:
K[X1,. .. ,, Xn]→A(Kn,K)qui envoie f∈K[X1,...,Xn]sur son application polynomiale associ´ ee,
est un homomorphisme d’anneaux injectif.
Exercice∗∗ 7. Montrer que Z[X]et K[X,Y] = K[X][Y]ne sont pas principaux.
Exercice 8. Soit Kun corps.
(1) Montrer que µn(K)l’ensemble des racines n-i` eme de l’unit´ e de Kest un sous groupe multiplicatif
fini de K∗d’ordre ≤n.
(2) Montrer que µ(K)l’ensemble des racines de l’unit´ e de K∗est un sous groupe multiplicatif de K.
Exercice∗9. Soit Eun ensemble non vide et Al’ensemble des parties de E. Montrer que Aest un anneau
commutatif pour les op´ erations de diff´ erence sym´ etrique et d’intersection. Quels sont l’´ el´ ement neutre et
l’unit´ e de A? Est-ce que Aest int` egre ?
Exercice 10. Soient Kun corps et P,Q∈K[X]tels que pgcd(P,Q) = 1. Utiliser l’algorithme d’Euclide
´
etendu pour montrer qu’il existe U,V∈K[X]tels que U P +V Q =1, deg U<deg Qet deg V<deg P.
Exercice∗∗∗ 11. Trouver tous les automorphismes de l’anneau K[X], o` uKest un corps.

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M1 – ALG ` EBRE 1 TD 2, ANN ´ EE 2016
Exercice 1. Soit Aun anneau commutatif int` egre. Rappelons qu’un ´ el´ ement non nul pde Aest premier s’il
n’est pas une unit´ e et si, lorsque pdivise un produit d’´ el´ ements de A, il divise l’un des termes.
(1) Montrer qu’un ´ el´ ement pest premier si et seulement si A/(p)est int` egre.
(2) Montrer que tout ´ el´ ement premier de Aest irr´ eductible.
(3) Supposons que Aest factoriel. Montrer qu’un ´ el´ ement de Aest premier si, et seulement si, il est
irr´ eductible.
Exercice 2. Soit A=Z[i]l’anneau des entiers de Gauss, i. e. les nombres complexes de la forme z=a+ib
avec a,b∈Z. Posons ϕ(z) = a2+b2.
(1) Montrer que, pour tout z,z0dans A,z06=0 on a ϕ(zz0) = ϕ(z)ϕ(z0), puis que ϕ(z)≤ϕ(zz0).
(2) D´ eterminer le groupe U=U(A)des ´ el´ ements inversibles de A.
Rappelons qu’un stathme euclidien sur un anneau int` egre Best ψ:B∗=B\{0} → Ntelle que :
— pour tout x,ydans B∗,x|yimplique ψ(x)≤ψ(y);
— pour tout (x,y)∈B×B∗, il existe (q,r)∈B×Btel que x=qy +ravec r=0 ou ψ(r)<ψ(y).
(3) Se convaincre que, si B=Zalors ψ(x) = |x|d´ efinit un stathme euclidien, puis que ψ(p) = deg(p)
d´ efinit un stathme euclidien sur l’anneau de polynˆ omes K[X], lorsque Kest un corps.
(4) Soit w=u+iv ∈Q[i], donc avec u,v∈Q. Montrer qu’il existe n,m∈Ztels que :
|u−m| ≤ 1/2,|v−n| ≤ 1/2.
(5) D´ eduire de la question pr´ ec´ edente que ϕest un stathme euclidien sur A.
(6) Soit pun premier naturel. Montrer l’´ equivalence des conditions suivantes :
a) pn’est pas irr´ eductible dans A;
b) il existe z∈Atel que p=ϕ(z);
c) il existe a,b∈Ztels que p=a2+b2.
(7) Dire si 2, 3, 5 sont irr´ eductibles dans A. D´ eterminer le pgcd dans Ade 15 +12iet 3 −9i.
Exercice∗3. Soit Aun anneau int` egre. Montrer qu’il existe un corps K, unique ` a isomorphisme pr` es, tel
que As’identifie ` a un sous anneau de Ket tel que pour tout x∈Kil existe a∈A\{0}tel que ax ∈A.
Exercice 4. Soit n∈N≥2et x∈Ncompris entre 1 et n.
(1) Montrer que ¯x∈A=Z/nZengendre Acomme groupe additif si et seulement si ¯x∈Aest inversible
dans Aet que ceci arrive pr´ ecis´ ement lorsque pgcd(x,n) = 1.
D´ efinissions l’indicatrice d’Euler ϕ(n)comme le nombre de premiers ` andans [1,n].
(2) Soit U=U(A)le groupe des unit´ es de A. Montrer que si n≥2 on a ϕ(n) = |U|.
(3) Calculer ϕ(p)pour ppremier puis ϕ(pα)pour α∈N.
(4) Montrer le th´ eor` eme des restes chinois. En d´ eduire que, si n,m≥2 sont premiers entre eux alors
ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m).
(5) Pour un entier nd´ ecompos´ e en nombres premiers sous la forme pα1
1···pαr
ravec piet pjdistincts
pour i6=jet αi∈N>0, calculer ϕ(n).
Exercice 5. Soient Aun anneau int` egre et c:Z→Al’homomorphisme qui envoie msur m·1A.
(1) Montrer qu’il existe p∈N, premier ou nul, tel que ker(c) = (p).

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On appelle pla caract´ eristique de A. Supposons d´ esormais que Asoit un corps.
(2) Montrer que Acontient un sous corps isomorphe ` aQs’il est de caract´ eristique 0.
(3) Montrer que Acontient un sous corps isomorphe ` aFp=Z/pZs’il est de caract´ eristique p>0.
Exercice∗6. Soient pun nombre premier et Kun corps de caract´ eristique p. Montrer que l’application
(dite de Frobenius) :
ϕ:K→K
x7→ xp
est un endomorphisme. Montrer que ϕest injectif. Montrer que ϕest un isomorphisme si Kest fini. Trouver
un exemple o` uϕn’est pas surjectif.
Exercice 7. Montrer que tout homomorphisme injectif A→Bentre anneaux int` egres induit un homomor-
phisme (injectif) entre les corps de fractions associ´ es.
Exercice∗8. Soit Aun anneau int` egre.
(1) Montrer que, si A[X]est principal, Aest principal.
Le lemme de Krull affirme que dans un anneau (unitaire) commutatif A, pour tout id´ eal I(Ail existe un
maximal M(Acontenant I. On peut le montrer facilement en s’appuyant sur le lemme de Zorn appliqu´ e` a
l’ensemble des id´ eaux propres de Acontenant I.
(2) Utiliser le lemme de Krull pour montrer que, si A[X]est principal et An’est pas un corps, alors il
existe un corps Ktel que K[X]soit un corps.
(3) En d´ eduire que A[X]est principal si et seulement si Aest un corps.
Exercice∗∗ 9. Montrer qu’un anneau principal est factoriel.
Exercice 10. D´ emontrer que tout automorphisme ϕdu corps Rest l’identit´ e. Pour le faire :
(1) montrer que ϕse restreint ` a l’identit´ e sur Q;
(2) montrer que, si a>0, alors ϕ(a)>0 ;
(3) en d´ eduire que ϕest strictement croissante ;
(4) montrer que, pour tout a∈R, on a {x∈Q|x<a}={x∈Q|x<ϕ(a)}. Conclure.

M1 – ALG ` EBRE 1 TD 3, ANN ´ EE 2016
Exercice 1. Soient Aun anneau factoriel et Kle corps des fractions de A. Soit
f=a0+a1X+···+anXn,an6=0
un polynˆ ome ` a co´ efficients dans A. Soit α=b
d∈Kune racine de f, o`
ub,d∈Asont premiers entre eux.
Montrer que bdivise a0et ddivise an.
Exercice 2. Dire quels sont les irr´ eductibles de C[X]puis de R[X].
Exercice∗3. Soit A=Z[i√5].
1. Montrer que Aest int` egre.
2. Montrer que 9 admet deux factorisations non equivalentes en irr´ eductibles.
3. Montrer que 3 et 2 +i√5 n’ont pas de ppcm et que 9 et 6 +3i√5 n’ont pas de pgcd.
Que peut-on dire de la factorialit´ e de A?
Exercice∗4. Soit Aun anneau commutatif. On dit que S⊂Aest une partie multiplicative de Asi S6=/0 et
si pour tous x,y∈S, on a xy ∈S.
1. On d´ efinit une relation sur A×Spar (a,s)∼(a0,s0)⇔ ∃ t∈Stel que as0t=a0st. Montrer que ∼est
une relation d’´ equivalence. On note la classe d’´ equivalence de (a,s)par a
set l’ensemble des classes
d’´ equivalences par AS(ou S−1A). Montrer que ASest un anneau (d´ efinir la somme et le produit). On
l’appelle l’anneau des fractions de A, ou la localisation de Aen S.
2. Supposons Sl’ensemble des ´ el´ ements non nuls de A. Si Aest int` egre, montrer que ASest un corps, au
fait le corps des fractions de A.
3. Supposons que Iest un id´ eal de A. Montrer que IS={a
s|a∈I,s∈S}est un id´
eal de AS.
4. Montrer que ϕS:A→ASd´ efinie par ϕS(a) = as
s(pour tout s∈S) est un morphisme d’anneaux. Montrer
que ϕS(s)∈U(AS),∀s∈S.
5. Montrer que tout id´ eal de ASest de la forme ISavec Iun id´ eal de A.
6. Soit Aun anneau Noeth´ erien. Montrer que ASest Noeth´ erien.
Exercice 5. On travaille sur Q[X].
1. Montrer que les polynˆ omes 2X5−15 et 2X10 −21 sont irr´ eductibles.
2. Soient a∈Z\{0,1,−1}sans facteur carr´ e et n≥1. Montrer que Xn−aest irreductible.
3. Soit pun nombre premier. Montrer que le polynˆ ome 1 +X+X2+···+Xp−1est irreductible.
Exercice 6. Soient Lun corps et tun ´ el´ ement d’un corps contenant L. On suppose que test transcendant
sur Let on note Kle corps de fractions de L[t]. Soit n≥1. Montrer que le polynˆ ome Xn−test irreductible
dans K[X].
Exercice 7. Montrer que le polynˆ ome X5−5X4−6X−1 est irreductible dans Q[X].
Exercice 8. Soit Kun corps.
1. Montrer que f∈K[X]avec 2 ≤deg(f)≤3 est irr´ eductible si et seulement si fn’a pas de z´ ero dans K.
2. D´ ecomposer les polynˆ omes suivants en facteurs irreductibles dans F3[X].
X2+X+1,X3+X+2,X4+X3+X+1.
Exercice∗∗ 9. Soient Aun anneau commutatif.

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1. Soit I⊂Aun id´ eal propre. Montrer que I[X]est un id´ eal de A[X]. Montrer que A[X]/I[X]'(A/I)[X].
Montrer que, si Iest premier, alors I[X]est premier.
2. Soit pun nombre premier. Montrer que Z[X]/(p)'Fp[X].
3. Montrer que les id´ eaux premiers non nuls de Z[X]sont :
(a) (p), o` up∈Nest un nombre premier ;
(b) (f), o` uf∈Z[X]est un polynˆ ome primitif et irreductible dans Q[X];
(c) (p,f), o` up∈Nest un nombre premier, f∈Z[X]et la r´ eduction de fmodulo pest un polynˆ ome
irreductible de Fp[X].
Exercice 10. Soient A=Z[i√3]et Kson corps de fractions. Montrer que X2−X+1 est primitif et irre-
ductible dans A[X]sans pour autant ˆ etre irr´ eductible dans K[X]. Est-ce que ceci contredit un th´ eor` eme du
cours ?
Exercice∗11. On travaille sur Q.
1. Soit P∈Q[X]irr´ eductible. Montrer que Pn’a que des racines simples sur C.
2. Soit P∈Q[X]un polynˆ ome ayant une racine α∈Cde multiplicit´ e>deg(P)
2. Montrer que α∈Q.
3. Soit P∈Q[X], deg(P) = 2n+1 avec n≥2, tel que Padmette une racine d’ordre n. Montrer que Padmet
une racine dans Q.
Exercice 12. Soient a1,...,an,nentiers distincts.
1. Prouver que P(X) = ∏n
i=1(X−ai)−1 est irr´
eductible dans Z[X].
2. Prouver que P(X) = ∏n
i=1(X−ai)2+1 est irr´
eductible dans Z[X].
Exercice 13. Soient Kun corps, Pl’ensemble des polynˆ omes unitaires et irr´ eductibles de K[X]. Soit
f∈K(X). Montrer que fs’´ ecrit de fac¸on unique sous la forme
f=g+∑
P∈P
fP
Pj(P),avec :
—g∈K[X],fP∈K[X]pour tout P∈Pet j(P) = 0 pour presque tout P∈P,
—fP=0 si j(P) = 0 et fPet Psont premiers entre eux si j(P)>0,
— deg fP<degPj(P)si j(P)>0.
Exercice 14. D´ ecomposer en ´ el´ ements simples les fractions rationnelles suivantes.
(a) 3
X3+1sur Cpuis sur R.
(b) X3
X3−1sur R.
(c) X2+X+1
(X−1)2(X+1)2sur R.
(d) X7+1
(X2+1)(X2+X+1)sur R.
(e) 3X5+2X4+X2+3X+2
X4+1sur R.
Exercice 15. Soient aet bdeux r´ eels distincts et n,mdeux entiers strictement positifs. Posons F=
1
(X−a)n(X−b)m. D´
ecomposer Fen ´ el´ ements simples sur R.
Exercice∗∗∗ 16. Montrer qu’un id´ eal premier de C[X,Y]est soit (0), soit (f)avec fpolynˆ ome irr´ eductible,
soit un maximal de la forme (X−a,Y−b).