une correction

Université de Nice-Sophia Antipolis Licence Miage 3
Mathématiques 2013–2014
Contrôle continu 18 Avril
Durée : 1 heure 30
Toutes les réponses doivent être justifiées. Le correcteur attachera de l’importance à la qualité de rédac-
tion.
Une feuille A4 autorisée - Calculatrice, téléphone et ordinateur interdits
1 Probabilités discrètes (4 points)
1. Un automobiliste doit dévisser dans le brouillard les boulons d’une roue de sa voiture. Il utilise une
croix dont les quatre extrémités sont des clés de taille différentes indiscernables au toucher.
(a) Il procède au hasard, sans méthode. Calculer la probabilité de faire trois essais pour trouver la
bonne clé. Généraliser à nessais. On appelle Xla variable aléatoire égale au nombre d’essais.
Quelle sont son espérance et sa variance ?
La probabilité pour que le k-ième essai soit le bon est qk´1psoit ici 3k´1
4kpuisque p“1
4et
q“3
4. Il s’agit donc de la loi géométrique de paramètre p“1 4pour laquelle l’espérance est
1
p“4et la variance q p2“12.
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(b) Il procède au hasard, en éliminant les extrémités déjà testées. Soit Yla variable aléatoire égale
au nombre d’essais. Quelle est sa loi de probabilité ? Calculer son espérance.
Dans ce cas la variable aléatoire Ypeut prendre les valeurs 1,2,3ou 4, et on a PpY“1q “ 1
4,
PpY“2q “ 3
4
1
3“1 4PpY“3q “ 3 4
2
3
1
2“1 4PpY“4q “ 3 4
2
3
1
2“1
4
.
On aurait pu trouver le résultat en remarquant que la probabilité que le kième essai soit le bon
revient à choisir une position parmi 4. Il s’agit donc de la loi uniforme sur t1,2,3,4uet dans
ce cas, d’espérance est 1`2`3`4
4“5 2et de variance est 12`22`32`42 4´ p5 2q2“5 4.
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2 Tirages (8 points)
1. Une urne contient 8 boules rouges, 4 boules noires et 2 boules vertes. Un joueur effectue dans cette
urne des tirages d’une boule, avec remise de la boule tirée avant de tirer la suivante, jusqu’à ce qu’il
obtienne : Soit une boule rouge, auquel cas il a gagné et le jeu s’arrête. Soit une boule verte, auquel
cas il a perdu et le jeu s’arrête également. On désigne par n un entier naturel non nul. On note An
l’événement : "le joueur est déclaré vainqueur à l’ issues du n-ième tirage"
(a) Calculer PpAnq.
A chaque tirage, le joueur a 8chances sur 14 de tirer une boule rouge donc de gagner, 2chances
sur 14 de tirer une boule verte donc de perdre et 4chances sur 14 de tirer une boule noire et
donc de pour pouvoir continuer la partie. L’évènement Anconsiste donc en n´1tirages noirs
et un tirage rouge, et a donc une probabilité de PpAnq “ p 4
14 qn´18 14 .
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1

(b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne ?
La probabilité que le joueur gagne est donc la somme de PpAnqpour ně1soit
řně1p4
14 qn´18 14 “8 14 řně0p4 14 qn“8 14
1
1´4
14
“0.8.
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(c) Quelle est la probabilité que le joueur perde ?
Soit Bnl’événement le joueur perd au nème tirage. On a PpBnq“p4
14 qn´12 14 et probabilité
que le joueur perde est donc la somme de PpBnqpour ně1soit
2
14
1
1´4
14
“0.2.
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(d) Quelle est la probabilité que ce jeu ne s’arrête jamais ?
Le jeu ne s’arrête jamais lorsque l’on tire indéfiniment une boule noire, c’est à dire la limite
p4
14 qnquand ntend vers l’infini et donc la probabilité que le jeu ne s’arrête jamais a une
probabilité nulle.
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(e) On note Xla variable aléatoire égal au nombre minimal de tirages nécessaires à l’arrêt du jeu
(Attention, relisez bien l’énoncé ) . Reconnaître la loi de Xet donner son espérance.
Le jeu s’arrête après ktirages avec une probabilité p4
14 qk´110 14 , et donc Xsuit une loi géomé-
trique de paramètre p“10
14 , et donc d’espérance 1 p“1.4.
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Le joueur paye un euro le droit d’effectuer un tirage, il gagne aeuros en cas de victoire, et paye
33 euros en cas de défaite. On note Yla variable aléatoire qui vaut a en cas de victoire et ´33
en cas de défaite. On appelle Gle gain (positif ou négatif) du joueur à la fin du jeu.
i. Exprimer Gen fonction de Xet de Y.
Si X“n, cela signifie que le joueur a donné neuros pour participer. Son gain est à la fin
de la partie est donc a´nou ´33 ´neuros. On a donc G“Y´X
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ii. Calculer EpGqet en déduire la valeur de apour laquelle ce jeu est équitable.
Yest une loi de Bernouilli à valeurs dans ta, ´33uavec probabilité PpY“aq “ 0.8et
PpY“ ´33q “ 0.2. Son espérance et donc EpYq “ 0.8a´6.6. Or, on a vu que EpXq “
1.4. On en déduit que EpGq “ EpY´Xq “ EpYq´EpXq “ 0.8a´6.6´1.4“0.8a´8.
Si l’on veut que la banque ne fasse pas banqueroute, il vaut mieux prévoir que aă10.
Pour que le jeu soit équitable, c’est à dire d’espérance nulle, il faut que a“10.
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3 Loi Exponentielle (3 points)
Soit λą0fixé. On dit que Xsuit une loi exponentielle de paramètre λsi Xadmet pour densité
fpxq “ λe´λx1xě0. On note alors X„Epλq. La durée de vie Ten années dune télévision suit une loi de
densité fptq “ 1
8e´1
8t1tě0.
1. Quelle est la durée de vie moyenne dune telle télévision ? Et l’écart-type de cette durée de vie ?
L’espérance d’une loi exponentielle de paramètre λest 1
λet sa variance est 1 λ2, son écart type 1 λ. Ici
la durée de vie moyenne d’une télévision sera donc 8ans et son écart-type également 8.
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2

2. Calculer la probabilité que votre télévision ait une durée de vie supérieure à 8 ans.
La probabilité que la durée de vie d’une télévision soit supérieure à 8ans est
ż8
8
1
8e´1
8tdt “ r´e´1 8ts8
8“e´1„0.37
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4 Loi continue (6 points)
Un phénomène est décrit par une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité est
fpxq “ x
ksi 0ďxă10,
“20 ´x
ksi 10 ďxă20.
1. Déterminer la valeur de la constante kpour que fsoit une densité de probabilité.
– Première méthode
La fonction fest une densité lorsque ş`8
´8 fptqdt “1soit ici
ş10
0
t
kdt `ş20
10
20´t
kdt “1.
On doit donc avoir
rt2
2ks10
0` r20t´t2{2
ks20
10 “1, soit k“100
– Deuxième méthode On peut voir que la courbe représentative non nulle de f est constitué de deux
segments de droites, l’un qui va de p0,0qàp10, k{10q, l’autre qui va de p10, k{10qàp20,0q. L’aire
sous la courbe est donc l’aire du rectangle de largeur 10 et de hauteur k{10 qui vaut 1lorsque
k“100.
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2. Tracer cette densité de probabilité.
3. Donner l’expression de sa fonction de répartition F.
On a évidemment Fpxq “ 0lorsque xď0.
Lorsque 0ďxď10 Fpxq “ şx
0t{100dt “x2
200 Remarquons que Fp10q “ .5
Lorsque 10 ďxď20 Fpxq “ .5`şx
10
20´t
100 dt “x 5´x2 200 ´1
Et Fpxq “ 1lorsque xě20.
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4. Déterminer la probabilité que Xprenne une valeur dans l’intervalle r5,15s.
On a évidemment Pp5ďXď15q “ Fp15q ´ Fp5q “ 7
8´1 8“0.75
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5. Calculer Fp10q. Que représente cette probabilité ?
On a Fp10q “ .5ce qui signifie qu’il y a autant de chance que la variable aléatoire soit inférieure à
10 que supérieure à 10, autrement dit, 10 est la valeur médiane.
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