SIXTH SESSION : "Forecasting Methods"

SIXTH SESSION :
"Forecasting Methods"
Objectif : - Dominer les techniques de prévisions de la demande basées sur les séries
chronologiques;
- Visualisation de différents modèles de demande et interprétation graphique
de leurs paramètres sur feuille Excel (en salle informatique);
- Comprendre le fonctionnement de différentes méthodes visant à évaluer les
paramètres de ces modèles;
Contenu : - Enoncé de l’exercice à réaliser en salle informatique(pages 2 à 7);
- Solution de l’exercice à réaliser en salle informatique (pages 8 à 14)
- Enoncés des exercices supplémentaires (pages 15 à 21);
- Solutions (pages 22 à 34);
Mise à part la question 2, Les exercices supplémentaires se réfèrent à des
matières qui ne sont pas au programme de l’années 2000-2001. Ne pas faire les
exercices supplémentaires 1, 3, 4 et 5.
Monitorat : - Séance autodidacte;
- Exercice à réaliser impérativement par deux en salle informatique;
- Plage horaire et locaux (voir annonce aux valves);
- Démarrage : Double-cliquez sur « p:\prod2100\prev.xls ».
En tapant un chiffre de 1 à 6 dans la case A2, vous réaliserez les différents
exercices sur ordinateur.
Site WEB : - Il est possible de se procurer le fichier prev.xls sur la page WEB
suivante :
http://www.prod.ucl.ac.be/enseignement/notes/prod2100.html
Sixth session : Forecasting Methods
1
COMPUTER LABORATORY
PROBLEM DESCRIPTION
This software introduces the main concepts of forecasting methods based on time series
analysis. The different exercises have always the same structure :
PART I : OBSERVATION & MODEL
You proceed here in 3 steps :
1) You can observe a set of points corresponding to the past demand.
2) You choose the best model corresponding to the past demand and maybe on the basis of
other informations (for example, it is natural to observe some seasonality for that market).
3) You estimate the different parameters for the chosen model (you have to estimate the
trends, the seasonal coefficients,…..).
PART II : EVALUATION OF THE MODEL
This second part allows to evaluate the quality of the model. Here, Tracking Signal (TSE)
and Mean Absolute Deviation(MAD) are used.
PART III : FORECASTING
The model you selected and assessed in parts I and II can be extrapolated in the future. From
these decisions, you can realize the forecasts for the future. The closer to the past demand
your model is, the more reliable your forecast is.
By building a confidence interval, you can assess the reliability of your forecast.
Sixth session : Forecasting Methods
2
Now, you can open the file ‘Prev.xls’. You obtain then the following presentation :
Past demand
for the chosen
exercise(1 to 6)
Demand calculated
with the model and
the parameters
Model parameters that
you have to specify
in function of the past demand
Number of
the exercise
Exercise= 1 Observe Model Parameters
Period
Nb Demand Forecast the
60
Winter 93 1
50
40 a0=
40
52
40
b=
0
Spring
2
46
40 A/M=
a
Summer
3
50
Autumn
53
40
T=
1
4
Winter 94 5
52
40
c0
0
51
40
c1
1
Spring
6
47
40
c2
1
Summer
7
40
53
40
c3
1
Autumn
8
Winter 95 9
45
40
c4
1
Spring
51
40
c5
1
10
30
52
40
c6
1
11
Summer
49
40
c7
1
Autumn
12
50
40
c8
1
Winter 96 13
51
40
c9
1
14
Spring
20
49
40 Test
0.00
15
Summer
51
40 OK
OK
Lower bound
Upper bound
16
Autumn
Winter 97 17
40 SE=
162
40
40
10
Spring
40 MAD= 10.1
40
40
18
40 TSE=
16
40
40
Summer
19
40
40
40
Autumn
20
0
40 C.I.
0 0.5
40
40
Winter 98 21
40 Indic1
0% 0.00 0
2
4
6
8
10 4012 14 4016 18
22
Spring
40 L.L.(17)
40
Somme partielle des
40 ci
40
23
Summer
40 Avg(17)
40
Past Data
0
Model
40 on Past
40Data
24
Autumn
40
1
40 limit 40
40 U.L.(17)
Winter 99 25
Lower limit
Upper
40 Indic2 32%
2
40
40
26
Spring
You enter here the probability
(between 0 and 99 (%))
used for building
a confidence interval
.
2 OK are necessary!!!
Otherwise your model is not
coherent
0
2
-4
3
2
1
-3
3
-5
1
2
-1
0
1
-1
1
2
20
22
Forecast
24
51
40
40
40
40
40
26 40
40
40
40
40
Chart with past data, model
on the past data and forecast.
It’s possible to build
a confidence interval
Remark : you can only change the elements in the green cells!!!
Exercise 1 : Enter ‘1’ in the cell ‘ number of the exercise’(first line and second column)
Sixth session : Forecasting Methods
3
In the red part, you can observe the past demand for the first product.
PART I : OBSERVATION & MODEL
Answer now the following questions and complete your Excel spreadsheet :
1. Which model can you use to represent this past demand (the chart can help you)? Give
the mathematical formulation of this model.
2. Estimate the different parameters of the model :
a0 = Y-value at the origin (F3 cell)
b = trend of your model(if there is no trend, b = 0)
(F4 cell)
3. Is your model seasonal? (If your model is not seasonal, set T = 1 and choose a
multiplicative model with c0 = 1 or an additive model with c0 = 0)
4. If your model is seasonal, you can choose between two types of models : multiplicative
or additive. If you choose a multiplicative model, enter m in the F5 cell and if you
choose an additive model, enter a in the same cell.
5. If your model is seasonal, how many periods (T) does he cover? Enter the number of
periods in the F6 cell.
6. If your model is seasonal, give an estimation of the seasonal coefficients for each period.
Enter the value for the first coefficient (c0) in the F7 cell. Do the same for the following
coefficients.
Always verify that you have an OK in the yellow part’s second column. If you have an
KO, it means that the average of your seasonal coefficients is not equal to 1 for a
multiplicative model or is not equal to 0 for an additive model. This average appears in
the F16 cell.
PART II : EVALUATION OF THE MODEL
Whenever you choose a model, you have to test its accuracy. Different methods exist to
determine the reliability of your model.
1. On the chart :
In turquoise you can observe the model on the past data. So, you can compare your
model with the actual data and verify the robustness of your model.
2. Mean Absolute Deviation(MAD) measures the accuracy of the model.
In the sixth column in turquoise (cell F20), you can see the calculated MAD
corresponding to your model. That gives an idea of the distance between your model
and the past data.
n
MAD =
ei
i=1
n
Sixth session : Forecasting Methods
4
3. Tracking Signal (TSE) allows to check whether your model is biaised or not. If your
model is biased, then you under (or over-) estimate the actual demand repeatedly.
n
TSE =
i=1
ei
M AD
-> cf. F21 cell
If there is no bias, the TSE should be small. We could decide the limits it should not exceed.
n
4. In the F19 cell, you can observe the sum of the errors (SE) =
i=1
ei
Theoretically, if there is no bias, this sum should remain close to 0.
Check now the quality of your model.
PART III : FORECASTING
1.
Forecastings can be done from the model you have built up in part 1 and validated in part
II. Observe these forecasts and retrieve these values from the mathematical formula
of your model.
2.
For your forecast, you can build a confidence interval in which the actual demand
should fall :
Prob (lower limit LC < demand < upper limit UC) = α%
=>
LC = forecast - z * σ = forecast - z * 1.25 * MAD
UC = forecast + z * σ = forecast + z * 1.25 * MAD
On your worksheet, you can determine this probability in the F23 cell.
N.B. : The standard deviation can be approximated by 1,25 * MAD.
For instance, set 95 in this cell and choose a wrong model (e.g. : for the exercise 1, you set
a0= 10, b0= 0, T = 1, c0 = 0 and your model is additive (a)). You can observe the
confidence interval in pink for the lower limit and in black for the upper limit on your
chart and on the grey part for the seventeenth period (LL17 and UL17). This interval is
very large.
Now enter the parameters of the best model for this exercise (cf. solutions). With a
probability of 95, you observe a smaller interval. This model is more accurate.
Now instead of 95, set 50 in the F23 cell. You can observe a smaller interval. It’s logical
because the chosen probability (50%) that the actual demand should belong to this
interval is smaller.
Thus, the breadth of the confidence interval can be influenced by two factors :
• the MAD, depending on the quality of your model;
• the confidence degree you have chosen for building your interval.
Sixth session : Forecasting Methods
5
Here below on the spreadsheet, we define two indicators (indic1 and indic2) which aims at
characterizing the quality of the forecast :
-the first indicator measures the relative breadth of the confidence interval
z * 1.2 5 * M A D
fo re c a st 1 7
=
-> F24 cell (indic1)
A value of, for example, 10% means that the confidence interval means that the
confidence interval covers a range from 10% below the forecast up to 10% above.
Your goal when building the model is , of course, to minimize this breadth for a same
probability (thus a same z ).
-The second indicator can be defined as the coefficient of variation (
process :
=
1.2 5 * M A D
fo re c a st 1 7
σ
) of the
µ
-> F28 cell (indic2)
Again, the smaller the indicator is, the better.
For more details, look at your worksheet :
from C37 to C52 cells: find the past demand
from D37 to D52 cells : find the past data on basis on your model
from E37 to E52 cells: find the errors in absolute value e i
from F37 to F52 cells: find the errors ei
n
E54 cell : sum of the absolute errors(nmad)
i=1
F54 cell : sum of the errors(sumerr)
n
i = 1
e
ei
i
from H37 to H46 cells: find the lower limit of the confidence interval
(for your forecast)
from I37 to I46 cells : find the upper limit of the confidence interval
(for your forecast)
Exercises 2 to 6
• Enter the appropriate number in the cell A2 to get the corresponding data and solve
the questions 1 to 6 (Part I).
• Evaluate the quality of the model (Part II)
• Postpone the evaluation of the confidence intervals (Part III) .
ADDITIONAL QUESTIONS FOR EXERCISES 1 TO 6
Sixth session : Forecasting Methods
6
In order to understand better the impact of the different values that you choose for the
different parameters, we recommend you to test these different proposals after having
determined the best model and its parameters.
Number
of the
exercise
1
2
3
4
6
TEST
• How do the SE, the TSE, the MAD and the confidence interval change if
you modify the value of a0. And why? What do they measure intuitively?
• In this exercise, T = 1 and the model is multiplicative with c0 = 1. What
will happen if c0 = 0?
• In this exercise, T = 1 and the model is multiplicative with c0 = 1. What
would have happened if you had chosen an additive model? What should
be the value of c0?
• How do the SE, the TSE, the MAD and the confidence interval change if
you impose T = 2, an additive model with c0 = +10 and c1 = -10? Why?
• How do the SE, the TSE, the MAD and the confidence interval change if
you impose T = 2, an additive model with c0 = +5 and c1 = -5? Why?
• Which of both models is the least bad? And why?
• Try to find a not seasonal model with a trend (b = 1) that gives a TSE = 0.
• Now we impose T = 8 and set c4 = 10, c5 = 0, c6 = -10 and c7 = 0, is your
model still as good?
• The solution(p : 17) gives you the result for an additive model, find the
corresponding multiplicative model.
• How do the SE, the TSE, the MAD and the confidence interval change if
you choose c0 = 1, c1 = 0,5, c2 = 1, c3 = 1,5? And why?
• Set T = 3 and choose a multiplicative model. How are your forecasts
modified? How can you modify your seasonal coefficients in order to
obtain the least bad result?
• Attempt different values for b and observe the consequences for the SE,
the TSE, the MAD and the confidence interval.
• Set a0 = 55 (instead of 50), b= 5,5 (instead of 5). What are the
consequences of both mistakes separately at short and long term? Which of
both mistakes is the most serious at short and long term?
• After having found the good answer, what do you think about the
following proposal : the model is seasonal and additive, T = 16 and the
seasonal coefficients are calculated as the difference between (a0 + b*t)
and the actual past data. To which value should the SE, the TSE, the MAD
and the confidence interval be equal? Has this model a meaning?
• Can you find (like for the second exercise) a corresponding additive
model? Why?
Answers
Sixth session : Forecasting Methods
7
COMPUTER LABORATORY
Exercise 1
1. What is the model corresponding to the past demand?
Answer:
Constant
2. Is your model seasonal?
Answer
No
3. Is your model additive or multiplicative?
Answer
m or a
This question is meaningless if no
seasonality exists.
4. Which parameters do you choose for your model?
(complete F3 cell to F16 cell)?
a0=?
50
b=?
0
T=?
1
c0
0 if additive; 1 if multiplicative
This solution is approximative et the exact solution was a0 = 50.125, it permits to obtain a
TSE = 0.
On your screen, you can observe :
Solution with a confidence interval of 95%
Exercise= 1 Observe Model Parameters
Period
Nb Demand Forecastthe
60
50
50 a0=
50
Winter 93 1
52
50
b=
0
2
Spring
46
50 A/M=
a
3
Summer
50
53
50
T=
1
4
Autumn
52
50
c0
0
Winter 94 5
51
50
c1
1
6
Spring
47
50
c2
1
7
Summer
40
53
50
c3
1
8
Autumn
45
50
c4
1
Winter 95 9
51
50
c5
1
10
Spring
30
52
50
c6
1
11
Summer
49
50
c7
1
12
Autumn
50
50
c8
1
Winter 96 13
51
50
c9
1
14
Spring
20
49
50 Test
0.00
15
Summer
51
50 OK
OK
Lower bound
Upper bound
16
Autumn
50 SE=
2
45.40634 54.59366
Winter 97 17
10
50 MAD=
1.9
45.40634 54.59366
18
Spring
50 TSE= 1.067
45.40634 54.59366
19
Summer
50
45.40634 54.59366
20
Autumn
50 C.I.
95 0.03
45.40634 54.59366
Winter 98 21
0
50 Indic1
9% 1.96 0
22
Spring
2
4
6
845.40634
10 1254.59366
14 16 18
50 L.L.(17) 45.41
Somme partielle
45.40634
des ci54.59366
23
Summer
50 Avg(17)
50
0 45.40634
24
Autumn
Past Data
Model 54.59366
on Past Data
50 U.L.(17) 54.59
1 45.40634 54.59366
Winter 99 25
Lower limit
Upper limit
50 Indic2
5%
2 45.40634 54.59366
26
Spring
3
Sixth session : Forecasting Methods
0
2
-4
3
2
1
-3
3
-5
1
2
-1
0
1
-1
1
2
20
22
Forecast
24
51
50
50
50
50
50
26 50
50
50
50
50
8
A wrong solution with a confidence interval of 95%
Exe rcise = 1 Observed Model & Parameters of
Pe riod
N b Demand Forecast the model
110
50
10 a0=
10
0
Winter 93
1
100
2
52
10
b=
0
2
Spring 93
90
-4
46
10 A/M=
a
Summer 93 3
80
53
10
T=
1
3
Autumn 93 4
70
52
10
c0
0
2
5
Winter 94
60
51
10
c1
1
1
Spring 94
6
50
-3
47
10
c2
1
Summer 94 7
40
53
10
c3
1
3
Autumn 94 8
45
10
c4
1
-5
Winter 95
9
30
51
10
c5
1
1
Spring 95
10
20
52
10
c6
1
2
Summer 95 11
10
49
10
c7
1
-1
Autumn 95 12
0
50
10
c8
1
0
Winter 96
13
-10 0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24
51
10
c9
1
1
Spring 96
14
-20
49
10 Test
0.00
-1
Summer 96 15
-30
51
10 OK
OK
Lower bound
Upper bound
1
Autumn 96 16
-40
10 SE=
642
-88.3043 108.3043
2
Winter 97
17
-50
10 MAD= 40.1
-88.3043 108.3043
Spring 97
18
-60
10 TSE=
16
-88.3043 108.3043
Summer 97 19
10
-88.3043 108.3043
Autumn 97 20
-70
10 C.I.
95 0.03
-88.3043 108.3043
21
Winter 98
-80
10 Indic1 983% 1.96
-88.3043 108.3043
22
Spring 98
-90
Somme partielle
-88.3043
des ci108.3043
10 L.L.(17) -88.3
Summer 98 23
10
0 -88.3043
10 Avg(17)
Autumn 98 24
Past Data
Model 108.3043
on Past Data
Forecast
10 U.L.(17) 108.3
1 -88.3043 108.3043
25
Winter 99
Lower limit
Upper limit
10 Indic2 502%
2 -88.3043 108.3043
Spring 99
26
3
26
51
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
Good solution for a confidence interval of 50%
Exe rcise = 1 Observed Model & Parameters of
Pe riod
N b Demand Forecast the model
60
50
50 a0=
50
1
Winter 93
52
50
b=
0
2
Spring 93
46
50 A/M=
a
Summer 93 3
50
53
50
T=
1
Autumn 93 4
52
50
c0
0
Winter 94
5
51
50
c1
1
Spring 94
6
47
50
c2
1
Summer 94 7
40
53
50
c3
1
Autumn 94 8
45
50
c4
1
Winter 95
9
51
50
c5
1
Spring 95
10
30
52
50
c6
1
Summer 95 11
49
50
c7
1
Autumn 95 12
50
50
c8
1
13
Winter 96
51
50
c9
1
Spring 96
14
20
49
50 Test
0.00
Summer 96 15
51
50 OK
OK
Lower bound
Upper bound
Autumn 96 16
50 SE=
2
48.41916 51.58084
Winter 97
17
10
50 MAD=
1.9
48.41916 51.58084
Spring 97
18
50 TSE= 1.067
48.41916 51.58084
Summer 97 19
50
48.41916 51.58084
Autumn 97 20
50 C.I.
50 0.25
48.41916 51.58084
Winter 98
21
0
50 Indic1
3% 0.67 0
Spring 98
22
2
4
6
848.41916
10 1251.58084
14 16 18
50 L.L.(17) 48.42
Somme partielle
48.41916
des ci51.58084
Summer 98 23
50 Avg(17)
50
0 48.41916
Autumn 98 24
Past Data
Model 51.58084
on Past Data
50 U.L.(17) 51.58
1 48.41916 51.58084
25
Winter 99
Lower limit
Upper limit
50 Indic2
5%
2 48.41916 51.58084
26
Spring 99
3
Sixth session : Forecasting Methods
0
2
-4
3
2
1
-3
3
-5
1
2
-1
0
1
-1
1
2
20
22
Forecast
24
51
50
50
50
50
50
26 50
50
50
50
50
9
Exercise 2
1. What is the model corresponding to the past demand
Answer:
Constant
2. Is your model seasonal?
Answer
yes
3. Is your model additive or multiplicative?
Answer
a
in this case (no trend), we could also
design a multiplicative model (see at
the end of this page).
4. Which parameters do you choose for your model?
(complete F3 cell to F16 cell)?
a0=?
50
b=?
0
T=?
4
c0
10
c1
0
c2
-10
c3
0
Exe rcise = 2 Observed Model & Parameters of
Pe riod
N b Demand Forecast the model
70
60
60 a0=
50
1
Winter 93
52
50
b=
0
2
Spring 93
36
40 A/M=
a
Summer 93 3
60
53
50
T=
4
Autumn 93 4
62
60
c0
10
Winter 94
5
51
50
c1
0
Spring 94
6
50
37
40
c2
-10
Summer 94 7
53
50
c3
0
Autumn 94 8
55
60
c4
1
Winter 95
9
40
51
50
c5
1
Spring 95
10
42
40
c6
1
Summer 95 11
49
50
c7
1
Autumn 95 12
30
60
60
c8
1
13
Winter 96
51
50
c9
1
Spring 96
14
39
40 Test
0.00
Summer 96 15
20
51
50 OK
OK
Lower bound
Upper bound
Autumn 96 16
60 SE=
2
55.40634 64.59366
Winter 97
17
50 MAD=
1.9
45.40634 54.59366
Spring 97
18
10
40 TSE= 1.067
35.40634 44.59366
Summer 97 19
50
45.40634 54.59366
Autumn 97 20
60 C.I.
95 0.03
55.40634 64.59366
Winter 98
21
0
50 Indic1
8% 1.96 0
Spring 98
22
2
4
6
845.40634
10 1254.59366
14 16 18
40 L.L.(17) 55.41
Somme partielle
35.40634
des ci44.59366
Summer 98 23
50 Avg(17)
60
10 45.40634
Autumn 98 24
Past Data
Model 54.59366
on Past Data
60 U.L.(17) 64.59
10 55.40634 64.59366
25
Winter 99
Lower limit
Upper limit
50 Indic2
4%
0 45.40634 54.59366
26
Spring 99
0
0
2
-4
3
2
1
-3
3
-5
1
2
-1
0
1
-1
1
2
20
22
Forecast
24
51
60
50
40
50
60
26 50
40
50
60
50
Remark : If you choose a multiplicative model : c0=1.2, c1=1, c2=0.8, c3=1
If your model is constant, the addiditive seasonality and the multiplicative seasonality are equivalent.
Exercise 3
Sixth session : Forecasting Methods
10
1. What is the model corresponding to the past demand
Answer:
Constant
2. Is your model seasonal?
Answer
yes
3. Is your model additive or multiplicative?
Answer
m
4. Which parameters do you choose for your model?
(complete F3 cell to F16 cell)?
a0=?
b=?
T=?
c0
c1
c2
c3
50
0
4
1
1.5
1
0.5
R : Answer for an additive model : c0=0, c1=25, c2=0, c3= -25
If your model is constant, the addiditive seasonality and the multiplicative seasonality are equivalent.
Exe rcise = 3 Observed Model & Parameters of
Pe riod
N b Demand Forecast the model
80
50
50 a0=
50
1
Winter 93
77
75
b=
0
2
Spring 93
70
46
50 A/M=
m
Summer 93 3
28
25
T=
4
Autumn 93 4
52
50
c0
1
Winter 94
5
60
76
75
c1
1.5
Spring 94
6
47
50
c2
1
Summer 94 7
28
25
c3
0.5
Autumn 94 8
50
45
50
c4
1
Winter 95
9
76
75
c5
1
Spring 95
10
40
52
50
c6
1
Summer 95 11
24
25
c7
1
Autumn 95 12
50
50
c8
1
13
Winter 96
30
76
75
c9
1
Spring 96
14
49
50
Test
1.00
Summer 96 15
20
26
25 OK
OK
Lower bound
Upper bound
Autumn 96 16
50 SE=
2
45.40634 54.59366
Winter 97
17
75 MAD=
1.9
70.40634 79.59366
Spring 97
18
10
50 TSE= 1.067
45.40634 54.59366
Summer 97 19
25
20.40634 29.59366
Autumn 97 20
50 C.I.
95 0.03
45.40634 54.59366
Winter 98
21
0
75 Indic1
9% 1.96 0
Spring 98
22
2
4
6
870.40634
10 1279.59366
14 16 18
50 L.L.(17) 45.41
Somme partielle
45.40634
des ci54.59366
Summer 98 23
25 Avg(17)
50
1 20.40634
Autumn 98 24
Past Data
Model 29.59366
on Past Data
50 U.L.(17) 54.59
2.5 45.40634 54.59366
25
Winter 99
Lower limit
Upper limit
75 Indic2
5%
3.5 70.40634 79.59366
26
Spring 99
4
0
2
-4
3
2
1
-3
3
-5
1
2
-1
0
1
-1
1
2
20
22
Forecast
24
26
50
75
50
25
50
26 75
50
25
50
75
Exercise 4 :
Sixth session : Forecasting Methods
11
1. What is the model corresponding to the past demand
Answer:
model with trend
2. Is your model seasonal?
Answer
No
3. Is your model additive or multiplicative?
Answer
m or a
4. Which parameters do you choose for your model?
(complete F3 cell to F16 cell)?
a0=?
50
b=?
5
T=?
1
c0
0 for a, 1 for m
Exe rcise = 4 Observed Model & Parameters of
N b Demand Forecast the model
Pe riod
180
50
50 a0=
50
1
Winter 93
170
57
55
b=
5
2
Spring 93
160
56
60 A/M=
m
Summer 93 3
150
68
65
T=
1
Autumn 93 4
140
72
70
c0
1
Winter 94
5
76
75
c1
1
130
Spring 94
6
77
80
c2
1
Summer 94 7
120
88
85
c3
1
Autumn 94 8
110
85
90
c4
1
Winter 95
9
100
96
95
c5
1
Spring 95
10
90
102
100
c6
1
Summer 95 11
80
104
105
c7
1
Autumn 95 12
110
110
c8
1
13
Winter 96
70
116
115
c9
1
Spring 96
14
60
119
120 Test
1.00
Summer 96 15
50
126
125 OK
OK
Lower bound
Upper bound
Autumn 96 16
40
130 SE=
2
125.4063 134.5937
Winter 97
17
30
135 MAD=
1.9
130.4063 139.5937
Spring 97
18
20
140 TSE= 1.067
135.4063 144.5937
Summer 97 19
10
145
140.4063 149.5937
Autumn 97 20
150 C.I.
95 0.030
145.4063 154.5937
Winter 98
21
155 Indic1
4% 1.96 0
159.5937
Spring 98
22
2
4
6
8150.4063
10 12
14 16 18
160 L.L.(17) 125.4
Somme partielle
155.4063
des ci164.5937
Summer 98 23
165 Avg(17)
130
1 160.4063
Autumn 98 24
Past Data
Model 169.5937
on Past Data
170 U.L.(17) 134.6
2 165.4063 174.5937
25
Winter 99
Lower limit
Upper limit
175 Indic2
2%
3 170.4063 179.5937
26
Spring 99
4
0
2
-4
3
2
1
-3
3
-5
1
2
-1
0
1
-1
1
2
20
22
Forecast
24
126
130
135
140
145
150
26155
160
165
170
175
Exercise 5 :
Sixth session : Forecasting Methods
12
1. What is the model corresponding to the past demand
Answer:
model with trend
2. Is your model seasonal?
Answer
yes
3. Is your model additive or multiplicative?
Answer
a
The seasonal variation do not amplify
with the trend.
4. Which parameters do you choose for your model?
(complete F3 cell to F16 cell)?
a0=?
50
b=?
5
T=?
4
c0
10
c1
0
c2
-10
c3
0
Exe rcise = 5 Observed Model & Parameters of
Pe riod
N b Demand Forecast the model
190
60
60 a0=
50
1
Winter 93
180
57
55
b=
5
2
Spring 93
170
46
50 A/M=
a
Summer 93 3
160
68
65
T=
4
Autumn 93 4
150
82
80
c0
10
Winter 94
5
140
76
75
c1
0
Spring 94
6
130
67
70
c2
-10
Summer 94 7
120
88
85
c3
0
Autumn 94 8
95
100
c4
1
Winter 95
9
110
96
95
c5
1
Spring 95
10
100
92
90
c6
1
Summer 95 11
90
104
105
c7
1
Autumn 95 12
80
120
120
c8
1
13
Winter 96
70
116
115
c9
1
Spring 96
14
60
109
110 Test
0.00
Summer 96 15
50
126
125 OK
OK
Lower bound
Upper bound
Autumn 96 16
40
140 SE=
2
135.4063 144.5937
Winter 97
17
30
135 MAD=
1.9
130.4063 139.5937
Spring 97
18
20
130 TSE= 1.067
125.4063 134.5937
Summer 97 19
10
145
140.4063 149.5937
Autumn 97 20
160 C.I.
95 0.030
155.4063 164.5937
Winter 98
21
155 Indic1
3% 1.96 0
159.5937
Spring 98
22
2
4
6
8150.4063
10 12
14 16 18
150 L.L.(17) 135.4
Somme partielle
145.4063
des ci154.5937
Summer 98 23
165 Avg(17)
140
10 160.4063
Autumn 98 24
Past Data
Model 169.5937
on Past Data
180 U.L.(17) 144.6
10 175.4063 184.5937
25
Winter 99
Lower limit
Upper limit
175 Indic2
2%
0 170.4063 179.5937
26
Spring 99
0
0
2
-4
3
2
1
-3
3
-5
1
2
-1
0
1
-1
1
2
20
22
Forecast
24
126
140
135
130
145
160
26155
150
165
180
175
Exercise 6 :
Sixth session : Forecasting Methods
13
1. What is the model corresponding to the past demand
Answer:
model with trend
2. Is your model seasonal?
Answer
yes
3. Is your model additive or multiplicative?
Answer
m
4. Which parameters do you choose for your model?
(complete F3 cell to F16 cell)?
a0=?
b=?
T=?
c0
c1
c2
c3
50
5
4
1
1,5
1
0.5
Exe rcise = 6 Observed Model & Parameters of
Pe riod
N b Demand Forecast the model
270
260
50
50 a0=
50
1
Winter 93
250
84.5
82.5
b=
5
2
Spring 93
240
56
60 A/M=
m
Summer 93 3
230
35.5
32.5
T=
4
Autumn 93 4
220
210
72
70
c0
1
Winter 94
5
200
113.5 112.5
c1
1.5
Spring 94
6
190
77
80
c2
1
Summer 94 7
180
45.5
42.5
c3
0.5
170
Autumn 94 8
160
85
90
c4
1
Winter 95
9
150
143.5 142.5
c5
1
Spring 95
10
140
102
100
c6
1
Summer 95 11
130
120
51.5
52.5
c7
1
Autumn 95 12
110
110
110
c8
1
13
Winter 96
100
173.5 172.5
c9
1
Spring 96
14
90
119
120 Test
1.00
80
Summer 96 15
70
63.5
62.5 OK
OK
Lower bound
Upper bound
Autumn 96 16
60
130 SE=
2
125.4063 134.5937
Winter 97
17
50
202.5 MAD=
1.9
197.9063 207.0937
40
Spring 97
18
30
140 TSE= 1.067
135.4063 144.5937
Summer 97 19
20
72.5
67.90634
77.09366
Autumn 97 20
10
150 C.I.
95 0.030
145.4063 154.5937
Winter 98
21
232.5 Indic1
4% 1.96 0
237.0937
Spring 98
22
2
4
6
8227.9063
10 12
14 16 18
160 L.L.(17) 125.4
Somme partielle
155.4063
des ci164.5937
Summer 98 23
82.5 Avg(17)
130
1 77.90634
Autumn 98 24
Past Data
Model 87.09366
on Past Data
170 U.L.(17) 134.6
2.5 165.4063 174.5937
25
Winter 99
Lower limit
Upper limit
262.5 Indic2
2%
3.5 257.9063 267.0937
26
Spring 99
4
0
2
-4
3
2
1
-3
3
-5
1
2
-1
0
1
-1
1
2
20
22
Forecast
24
63.5
130
202.5
140
72.5
150
232.5
26
160
82.5
170
262.5
EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
Sixth session : Forecasting Methods
14
QUESTION 1 (Exercice récapitulatif long)
Dans cette partie de l’exercice, toutes les étapes vous seront données pour résoudre un cas
concret de prévisions de demande. Certains calculs et visualisations de demande seront à
réaliser sur Excel.
PLUVISHOP, un distributeur de parapluies vous demande de prévoir selon différentes
méthodes la demande de parapluies. A cet effet, il vous communique des données
statistiques relatives aux dernières saisons.
Tableau des demandes Dt
Trimestre
Printemps
Eté
Automne
Hiver
n
1
2
3
4
An 85 n An 86 n An 87
40
5
50
9
60
20
6
30
10
20
90
80
7
130 11
70
8
100 12
80
n An 88
13 60
14 30
15 150
16 120
n An 89
17 100
18
60
19 180
20 150
1. INTRODUCTION
1.1. Introduisez ces demandes sur une feuille de calcul Excel.
1.2. Construisez le graphe correspondant sur Excel.
1.3. Observez le graphe. Quelles sont les caractéristiques de cette demande ? Y a-t-il une
tendance ? Y a-t-il des saisons ? Si oui, combien de saisons observez-vous ?
1.4. Quel est selon vous le modèle de prévisions de la demande le plus approprié ?
1.5. Quelles méthodes de calcul peut-on utiliser pour ce modèle de prévisions de la
demande? Expliquez quelles contraintes sont liées à ces méthodes de calcul, peuvent-elles
toutes être utilisées indistinctement sur n'
importe quelle donnée ?
Ainsi, différentes méthodes de calcul peuvent être utilisées pour réaliser des prévisions de
demande. Chacune a ses avantages et inconvénients qui seront discutées par la suite. Trois
méthodes seront vues plus particulièrement dans la suite de l'
exercice : la régression linéaire,
la méthode de Holt et la méthode de Winters. Les deux premières méthodes permettent de
réaliser des prévisions de demande pour les modèles linéaires SANS variations saisonnières.
Pour pouvoir l’utiliser dans ce cas-ci, il faudra donc travailler sur des données
désaisonnalisées. Celles-ci pourront être trouvées grâce aux « facteurs de saisonnalité ».
Chaque saison aura son facteur de saisonnalité propre. Ces facteurs de saisonnalité peuvent
être calculés par la méthode des moyennes centrées (CMA).
2. DESAISONNALISATION DES DEMANDES
Etapes à suivre pour calculer les facteurs de saisonnalité :
Sixth session : Forecasting Methods
15
• a) Calcul des moyennes mobiles centrées CMA(T)t. Celles-ci permettent de trouver
une moyenne non biaisée par la tendance et sans effet saisonnier.
a.1) Quelle est la longueur du cycle (T) ?
a.2) Calculez les moyennes mobiles manquantes dans le tableau ci-dessous :
CMA automne 85 (4); CMA printemps 86 (4); CMA été 87 (4); CMA automne 88 (4).
Trim.
P
E
A
H
An 85
/
/
An 86
An 87
72.5
73.75
78.75
78.75
56.25
62.5
63.75
An 88
72.5
85
103.75
An 89
111.25
118.75
/
/
a.3) Pourquoi ne peut-on pas calculer la moyenne mobile centrée du printemps 85 ?
• b) Calcul des facteurs de saisonnalité : Dt/CMAt et ce pour les mêmes périodes
manquantes.
Trim
P
E
A
H
An 85
/
/
1.24
An 86
0.41
1.65
1.27
An 87
0.83
1.44
1.25
An 88
0.35
1.58
1.16
An 89
0.89
0.50
/
/
• c.1) Calcul des coefficients de saisonnalité ct : On les trouve en faisant la moyenne
des facteurs de saisonnalité d’une même saison.
Trim
P
E
A
H
An 85
/
/
1.49
1.24
An 86
0.78
0.41
1.65
1.27
An 87
0.83
0.31
1.44
1.25
An 88
0.83
0.35
1.58
1.16
An 89
0.89
0.50
/
/
ct
c.2) Si un coefficient de saisonnalité est supérieur à 1, comment sera la demande de cette
saison par rapport à sa valeur désaisonnalisée ?
c.3) La somme des coefficients de saisonnalité devrait être égale à 4, pourquoi ? Est-ce le
cas ? Si non, pondérez vos coefficients de saisonnalité afin que leur somme soit égale à 4.
Sixth session : Forecasting Methods
16
Trim
An 85
An 86
An 87
An 88
An 89
ct
/
/
1.49
1.24
0.78
0.41
1.65
1.27
0.83
0.31
1.44
1.25
0.83
0.35
1.58
1.16
0.89
0.5
0.8325
0.3925
1.54
1.23
P
E
A
H
/
Norm
ct
c1
c2
c3
c4
• d) Désaisonnalisation de la demande : Dt/Norm ct
d.1) Calculez les demandes désaisonnalisées manquantes dans le tableau suivant.
Trim
P
E
A
H
An 85
47.99
50.89
51.88
56.84
An 86
59.99
76.34
84.31
81.20
An 87
71.99
50.89
An 88
76.34
97.28
64.96
An 89
119.97
116.73
121.80
d.2) Représentez la demande désaisonnalisée sur un graphe Excel.
d.3) Cette courbe de demandes désaisonnalisées se rapproche-t-elle plus d'
un modèle avec
tendance linéaire ?
3. REGRESSION LINEAIRE et METHODE DE HOLT
Dans cette partie de l'
exercice, on va vous demander de réaliser des prévisions de demande
pour le printemps 90, l'
été 90, l'
automne 90 et l'
hiver 90. Ces prévisions devront toujours être
réalisées sur des demandes désaisonnalisées, ces deux méthodes ne pouvant être appliqués
qu'
à des modèles LINEAIRES sans variations saisonnières.
3.1. Réalisez une régression linéaire avec les 20 données dont vous disposez et construisez
le graphe sur Excel.
Rappel des formules :
Y = a + bt
1
a=
n
n
t =1
D −b
t
n +1
2
6
b=
n( n + 1)(2n + 1)
n
t =1
t Dt −
3
a
2n + 1
Le “a” obtenu est l’ordonnée de la droite à l’origine. Calculer a20, l’ordonnée de la droite en
t=20.
Ces valeurs peuvent également être trouvées soit par Excel, soit avec une calculatrice
statistique. En outre, vous pourriez les estimer graphiquement.
3.2.a. En vous basant sur ces paramètres a20 et b20, quelles sont vos prévisions à la fin de
l'
hiver 89, pour le printemps 90, l’été 90, l’automne 90 et l’hiver 90 par régression
linéaire? Ajoutez ces données sur votre graphe Excel.
Sixth session : Forecasting Methods
17
Rappel sur le calcul des prévisions
Ft,t+r = at + r * bt
avec Ft,t+r est la prévision de demande au temps t+r faite au temps t.
r = l'
horizon sur lequel une prévision est réalisée.
Ici, n'oublions pas que les prévisions doivent se faire sur des données désaisonnalisées. Les
formules de prévisions seront donc modifiées comme suit :
DFt,t+r = at + r * bt (Deseasonnalise Forecast)
Ft,t+r = DFt,t+r * ct
avec DFt,t+r la prévision de demande désaisonnalisée
Ft,t+r la prévision de demande saisonnalisée. Pour la trouver, nous avons tout
simplement multiplié la demande désaisonnalisée par son facteur de saisonnalité
correspondant.
3.2.b. Recalculez la prévision à la fin Hiv89 pour P90 en vous basant sur a0.
3.3. A présent, calculez ces mêmes prévisions mais selon la méthode de Holt. Attention,
basez-vous sur les paramètres a16 et b16 Ceci afin d'
affiner au fur et à mesure vos deux
paramètres et de réaliser des prévisions plus précises (les paramètres seront plus précis).
C’est-à-dire :
• Faire une régression linéaire de la période 0 à 16 afin d’estimer a16 et b16
• Appliquer Holt de la période 17 à la période 20
• Faire les prévisions
Rappel des formules de la méthode de Holt :
at = αDt + (1-α)(at-1+bt-1)= αDt + (1-α)DFt-1, t
bt = β(at-at-1) + (1-β)bt-1
DFt,t+r = at + r * bt
(! dans ce cas-ci, on ne travaille qu’avec les demandes désaisonnalisées)
Prenez les valeurs suivantes pour les coefficients de lissage : α = 0.3 et ß=0.04
Ainsi, les étapes à suivre seront les suivantes :
1) calcul des paramètres a16 et b16 ;
2) calcul de DF16,17
• ajustement des paramètres et calcul de a17 et b17
• calcul de DF17,18
Sixth session : Forecasting Methods
18
• ajustement des paramètres et calcul de a18 et b18
• calcul de DF18,19
• ajustement des paramètres et calcul de a19 et b19
• calcul de DF19,20
• ajustement des paramètres et calcul de a20 et b20
3) calcul des prévisions de demandes saisonnalisées déjà calculées selon la méthode de
régression linéaire, à savoir : F20,21; F20,22; F20,23 et F20,24.
3.4. Comparez graphiquement (EXCEL) vos prévisions trouvées par Régression linéaire et
selon la méthode de Holt. Que constatez-vous ?
3.5. Comparez les deux méthodes de prévisions utilisées : régression linéaire et méthode de
Holt
3.6. Quel impact a le paramètre α sur les prévisions de demande réalisées par la méthode de
Holt. Comment réagiraient vos prévisions si l’on prenait un α plus grand ? Et le
paramètre β ?
3.7.a) On observe au printemps 90, une demande de 120. Cela aura-t-il un impact sur vos
facteurs de saisonnalité ? Si oui, lequel ? Justifiez.
b) Quel est l'
impact de cette observation sur les prévisions des quatre prochaines saisons
(utilisez la méthode de Holt) ?
c) Intuitivement, vos prévisions pour ces saisons vont-elles être revue à la hausse ou à la
baisse?
4. METHODE DE WINTERS
4.1. Calculez les prévisions F20,21 et F20,22 en supposant que (mêmes données que celles prises
initiallement pour réaliser les prévisions selon la méthode de Holt):
c1 = cprintemps = 0,8335
c2 = cété = 0,3930
c3= cautomne = 1,5420
c0 = chiver = 1,2315
a20 = 128,41
b20 = 4,34
Rappel des formules de Winters
at = α (Dt / ct-T) + (1-α)(at-1 + bt-1)
bt = β (at-at-1) + (1-β)bt-1
Sixth session : Forecasting Methods
19
ct = γ (Dt / at) + (1 - γ)ct-T
Ft,t+r = (at + rbt)ct+r-T
avec T = nombre de périodes
r = l’horizon sur lequel une prévision est réalisée
4.2. a) On observe au printemps 90, une demande de 120. Cela aura-t-il un impact sur vos
facteurs de saisonnalité ? Si oui, lequel ? Calculez et réactualisez les paramètres du
modèle par la méthode de Winters. Prenez les valeurs suivantes pour les coefficients
de lissage : α = 0,3; β = 0,04 et γ = 0,1.
b) Quel est l'
impact de cette observation sur les prévisions des deux prochaines saisons
F21,22 et F21,23.
4.3. Comparez rapidement les valeurs obtenues selon la méthode de Winters et de Holt.
Quels sont les avantages, inconvénients de chaque méthode ?
5. MAD, Mean Absolute Deviation
5.1. Construisez un intervalle de confiance de 98% autour de la prévision désaisonnalisée
calculée par la régression linéaire pour le printemps 90 (période 21) établie en hiver 89
(période 20). Pour cela, calculez le MAD 20 selon la formule:
1
MAD =
n
n
t =1
| et |
if et is N(0, σ); then, σ ≅ 1.25 MAD
Les erreurs absolues correspondent à la différence entre la demande réelle (non saisonnalisée
dans ce cas-ci) et la prévision établie pour la même époque. Ici, on vous demande de calculer
ce MAD par le biais de la régression linéaire. Ainsi, calculez pour chaque période (de 1 à 20)
les prévisions de demande selon la régression linéaire. Ensuite calculez la différence absolue
entre prévision et demande. Ceci vous permettra enfin de calculer le MAD.
5.2. Suite à la demande observée de 120 au printemps 90, mettez le MAD à jour (de
préférence, par lissage exponentiel simple). Considérez un α = 0.1.
5.3. Ma prévision est-elle biaisée?
Sixth session : Forecasting Methods
20
QUESTION 2
Imaginez que les ventes du produit A soient très régulières: tous les lundis, 100 unités sont
vendues; les mardis et les autres jours de la semaine (mercredi, jeudi et vendredi), la vente
est double (200). Quel modèle utiliseriez-vous, quels en sont les paramètres et quelles valeurs
devraient-ils avoir?
QUESTION 3
Si, pour modéliser une demande acyclique, vous deviez choisir entre une régression linéaire
simple et la méthode de Holt (lissage exponentiel double), quel(s) considérations(s) prendriez
vous en compte et comment ?
QUESTION 4
a) Imaginez que les ventes du produit A suivent un modèle saisonnier de période T avec une
faible tendance. Vous utilisez la méthode des moyennes centrées pour désaisonnaliser la
demande et ensuite estimer la tendance. Vous avez hélas pris une période 2T au lieu de T.
Est-ce gênant pour vos prévisions?
b) Et si vous aviez pris une période T+1?
QUESTION 5
Vous utilisez la méthode de Holt (lissage exponentiel double) pour modéliser l'
évolution non
saisonnière des ventes du produit B au cours du temps. Vous utilisez pour cela les équations
suivantes:
at = aDt + (1-a)(at-1 + bt-1)
bt = ß(at - at-1) + (1-ß)bt-1
Vous essayez différentes valeurs pour les paramètres de lissage α et β. A chaque fois, vous
comparez vos prévisions avec les demandes observées et vous trouvez que les erreurs de
prévisions sont minimum avec α et β proches de 1. Qu'
en concluez-vous ?
Sixth session : Forecasting Methods
21
EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
Question 1
1. INTRODUCTION
1.1.
Périodes t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Demandes Dt
40
20
80
70
50
30
130
100
60
20
90
80
60
30
150
120
100
60
180
150
1.2.
Dt
180
160
140
120
100
Dt
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
7
Sixth session : Forecasting Methods
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
1.3. Oui, il y a une tendance et aussi des saisons. Celles-ci sont au nombre de quatre :
printemps, été, automne et hiver. On remarque que la demande est chaque fois la plus forte
en automne et la moins importante en été.
1.4. Le modèle de demande approprié est le modèle saisonnier avec tendance linéaire :
Dt = (a + b*t)*c tmod T + et.
1.5. Plusieurs méthodes de calcul sont possibles dont, entre autres :
1. La méthode de Winters, couramment utilisée, tient compte à la fois de la tendance et
des saisons. Cette méthode détermine tous les paramètres du modèle (a, b, et les ct)
par update successifs. Elle sera développée dans la dernière partie de l’exercice.
2. La méthode des moyennes centrées. Cette méthode vise uniquement à déterminer les
coefficients de saisonnalité ct. Pour déterminer les autres paramètres a et b, deux
méthodes sont possibles :
2.a. La méthode de Holt qui détermine a et b par update successifs.
2.b. La régression linéaire, qui calcule la droite (a+b*t) par minimisation des erreurs.
Ces différentes méthodes seront comparées ultérieurement dans l'
exercice. Le plus important
à noter pour l'
instant est que la méthode de Winters peut s'
utiliser sur des données
saisonnalisées, les deux autres méthodes devront être calculées à partir de données
désaisonnalisées (s'
il y a des saisons, évidemment).
2. DESAISONNALISATION DE LA DEMANDE
• a) Calcul des moyennes mobiles centrées CMAt :
a.1) T = 4
a.2) CMA automne 85 (4) = (½ * 40 + 20 + 80 + 70 + ½ * 50) / 4 = 53,75
CMA printemps 86 (4) = (½ * 80 + 70 +50 + 30 + ½ * 130) / 4 = 63,75
CMA été 87 (4) = (½ * 100 + 60 + 20 + 90 + ½ * 80) / 4 = 65
CMA automne 88 (4) = (½ * 60 + 30 + 150 + 120 + ½ * 100) / 4 = 95
a.3) On ne peut calculer cette moyenne mobile car il nous manque les données des deux saisons précédentes.
• b) Calcul des facteurs de saisonnalité : Dt/CMAt :
Automne 85 : 80 / 53,75 = 1,49
Printemps 86 : 50 / 63,75 = 0,78
Eté 86 : 20 / 65 = 0,31
Printemps 88 = 60 / 72.5 = 0,83
• c.1) Calcul des coefficients de saisonnalité ct :
cprintemps = (0,78 + 0,83 + 0,83 + 0,89) / 4 = 0,8325
cété = 0,3925
cautomne = 1,54
chiver = 1,2315
c.2.) Si le coefficient de saisonnalité est supérieur à 1, la demande sera supérieure à la
valeur désaisonnalisée de cette même période.
Sixth session : Forecasting Methods
23
c.3) Non, la somme des coefficients de saisonnalité n’est pas égale à 4. Elle devrait être
égale à 4 car on a 4 coefficients de saisonnalité (un par saison) et que ceux-ci devraient en
moyenne être égaux à 1 pour se trouver sur la droite de demandes désaisonnalisées.
Σ (coefficients de saisonnalité) = 3,995.
On les pondère afin que leur somme soit égale à 4.
Trim
P
E
A
H
ct
0.8325
0.3925
1.54
1.23
Norm ct
0,8325 * 4 / 3,995 = 0,8335
0,3925 * 4 / 3,995 = 0,3930
1,54 * 4 / 3,995 = 1,5420
1,23 * 4 / 3,995 = 1,2315
c1
c2
c3
c0
• d.1) Désaisonnalisation de la demande : Dt/Norm ct
Trim
P
E
A
H
An 85
47.99
50.89
51.88
56.84
An 86
59.99
76.34
84.31
81.20
An 87
71.99
50.89
58,37
64.96
An 88
71,99
76.34
97.28
97,44
An 89
119.97
152,67
116.73
121.80
d.2) Représentation graphique de la demande désaisonnalisée :
180
160
140
120
100
Dt
D désaisonnalisée
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
Sixth session : Forecasting Methods
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
24
d.3) On constate que la courbe de demandes désaisonnalisées se rapproche bien plus d'
un
modèle à tendance linéaire et que des prévisions de demande pourront être réalisées avec
les méthodes de calcul propres aux modèles linéaires (régression linéaire, méthode de
Holt). La méthode de Winters pourra être appliquée sur un modèle avec tendance et
variations saisonnières comme nous le verrons dans la suite de l'
exercice.
Sixth session : Forecasting Methods
25
3. REGRESSION LINEAIRE et METHODE DE HOLT
a0 = 38,34 ≅ 40
b0 = 4,01
3.1.
La régression linéaire essaie de placer la droite (a+b*t) au mieux sur la courbe des
demandes désaisonnalisées :”b” est la pente de la droite et “a” est la valeur à l’origine
(a=a0)
a20 = a0 + 20 * b0 = 118,63
b20 = b0 = 4,01
!!!!!! Ces calculs ont été réalisés sur des valeurs DESAISONNALISEES !!!!!!
Remarque : Graphiquement et approximativement, on aurait pu trouver a20 ≅ 120 et trouver
une pente similaire à celle trouvée par régression linéaire en faisant le calcul
suivant : (120 - 40) / 20 = 80 / 20 = 4.
Valeurs nécessaires pour la représentation graphique à calculer sur Excel :
Les valeurs que vous allez obtenir peuvent être légèrement différentes suite aux arrondis.
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Dt
40
20
80
70
50
30
130
100
60
20
90
80
60
30
150
120
100
60
180
150
DDt
47,99
50,89
51,88
56,84
59,99
76,34
84,31
81,2
71,99
50,89
58,37
64,96
71,99
76,34
97,28
97,44
119,97
152,67
116,73
121,8
t*DDt
47,99
101,78
155,64
227,36
299,95
458,04
590,17
649,6
647,91
508,9
642,07
779,52
935,87
1068,76
1459,2
1559,04
2039,49
2748,06
2217,87
2436
R.L.
42,36
46,37
50,39
54,40
58,41
62,43
66,44
70,46
74,47
78,49
82,50
86,52
90,53
94,54
98,56
102,57
106,59
110,60
114,62
118,63
Sum Dt 1609,87
Sum tDt 19573,22
b
4,014414
a
38,34216
Sixth session : Forecasting Methods
26
180
160
140
120
100
D désaisonnalisée
R.L.
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
3.2.a.
• Fin H89, P90 ?
Prévision (Forecast) désaisonn. calculée en H89 pour P90 = DF20,21
DF20,21 = a20 + r * b20 = a20 + 1 * b20 = 118,63 + 1 * 4 = 122,63
Cette valeur est désaisonnalisée et ne correspond donc pas à la prévision de demande
réelle. Pour trouver la prévision « réelle », il suffit de multiplier la prévision de
demande désaisonnalisée par le coefficient de la saison correspondante.
F20,21 = D20,21 * cprintemps = 122,63 * 0,8335 = 102,21
• Fin H89, E90 ?
DF20,22 = a20 + r * b20 = a20 + 2 * b20 = 118,63 + 2 * 4 = 126,63
F20,22 = DF20,22 * cété= 126,63 * 0,3930 = 49,77
• Fin H89, A90 ?
DF20,23 = a20 + r * b20 = a20 + 3 * b20 = 118,63 + 3 * 4 = 130,63
F20,23 = DF20,23 * cautomne= 130,63 * 1,5420 = 201,43
• Fin H89, H90 ?
DF20,24 = a20 + r * b20 = a20 + 4 * b20 = 118,63 + 4 * 4 = 134,63
F20,24 = DF20,24 * chiver= 134,63 * 1,2315 = 165,8
Sixth session : Forecasting Methods
27
3.2.b.
DF20,21 = a0 + 21 * b0 = 122,63
Ceci est identique à ce que l’on a calculé à partir de a20 et b20. En fait nous
prolongeons la droite obtenue par régression linéaire. Que l’on prolonge la droite à
partir de a0 ou de a20, ça ne change rien.
3.3. Méthode de Holt
1. calcul des paramètres a16 et b16 (estimation initial par régression linéaire)
a16 = 102,57
b16 = 4
2. calcul de DF16,17
DF16,17 = 102,57 + 1 * 4 = 106,57
F16,17 = 106.57 * 0.8335 = 88.8
• ajustement des paramètres et calcul de a17 et b17
a17 = 0,3 * 120 + 0,7 * 106,57 = 36 + 74,6 = 110,6
b17 = 0,04 * (110,6 - 102,57) + (1 - 0,04) * 4 = 0,32 + 3,84 = 4.16
• calcul de DF17,18
DF17,18 = 110,6 + 4,16 = 114,76
F17,18 = 114,76 * 0,393 = 45,1
• ajustement des paramètres et calcul de a18 et b18
a18 = 0,3 * 153 + 0,7 * 114,76 = 126,23
b18 = 0,04 * (126,23 - 110,6) + 0.96 * 4,16 = 4,62
• calcul de DF18,19
DF18,19 = 130,85
F18,19 = 130,83 * 1,542 = 201,77
• ajustement des paramètres et calcul de a19 et b19
a19 = 0,3 * 117 + 0,7 * 130,85 = 126,7
b19 = 0,04 * (126,7 - 126,23) + 0,96 * 4,62 = 4,454
• calcul de DF19,20
DF19,20 = 131,154
F19,20 = 131,154 * 1,2315 = 161,51
• ajustement des paramètres et calcul de a20 et b20
a20 = 0,3 * 122 + 0,7 * 131,154 = 128,41
b20 = 0,04 * (128,41 - 126,7) + 0,96 * 4,454 = 4,34
1. calcul de DF20,21
DF20,21 = 132,75
F20,21 = 132,75 * 0,8335 = 110,65
DF20,22 = 128,41 + 2 * 4,34 = 137,09
F20,22 = 137.09 * 0,393 = 53,88
DF20,23 = 128,41 + 3 * 4,34 = 141,43
F20,23 = 141,43 * 1,5420 = 218,09
DF20,24 = 128,41 + 4 * 4,34 = 145.77
F20,24 = 145.77 * 1,2315 = 179,52
Sixth session : Forecasting Methods
28
3.4.
160
140
120
100
D désaisonnalisée
R.L.
80
Holt
60
40
20
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
9
10
8
7
6
5
4
3
2
1
0
périodes
3.5. Nous constatons que par rapport à la régression linéaire, Holt donne au temps 20 une
droite plus haute (a20=128) et une pente plus forte. Ceci vient du fait que Holt donne plus
d’impact aux observations récentes et que les observations aux temps 17 et 18 sont bien
supérieures aux prévisions.
3.6. Si α augmente, les prévisions prendront plus en compte les demandes du présent et
moins en compte les demandes du passé. Ainsi, les prévisions de demande s'
ajusteront
plus vite aux changements de demande. On utilisera donc un α plus important pour des
demandes variant fortement au cours du temps. Le paramètre β aura la même influence
sur la pente de droite permettant de calculer les prévisions de demande.
3.7. a) Oui, cette nouvelle donnée aura un impact sur un de mes coefficient de saisonnalité.
En effet, comme on a une nouvelle donnée, on va pouvoir calculer une moyenne mobile
centrée supplémentaire CMAautomne 89 (4).
CMAautomne 89 (4) = (½ * 100 + 60 + 180 + 150 + ½ * 120) / 4 = 125
On peut également calculer un facteur de saisonnalité supplémentaire, celui de l’automne
89. Celui-ci sera de 180 / 125 = 1,44
A présent, le calcul du coefficient de saisonnalité se fera sur 5 valeurs :
cautomne = (1,49 + 1,65 + 1,44 + 1,58 + 1,44) / 5 = 1,52
Sixth session : Forecasting Methods
29
L’ensemble des coefficients de saisonnalité vont devoir être normalisés :
cautomne
chiver
cprintemps
cété
Somme
Avant
1,52
1,2315
0,8335
0,393
3,978
Après normalisation
1,5284
1,2383
0,8381
0,3951
4
b) Cette donnée supplémentaire va aussi pouvoir être intégrée dans les paramètres a et b du
modèle de Holt. Cette méthode va mettre les coefficients a et b à jour, c’est à dire tenir
compte de la nouvelle donnée.
a21 = 0,3 * (120/0,8381) + 0,7 * 132,75 = 135,88
b21 = 0,04 * (135,88 - 128,41) + 0,96 * 4,34 = 4,47
DF21,22 = 140,35
F21,22 = 140,35 * 0,3951 = 55,45
DF21,23 = 135,88 + 2 * 4,47 = 144,82
F21,23 = 144,82 * 1,5284 = 221,34
DF21,24 = 135,88 + 3 * 4,47 = 149,29
F21,24 = 149,29 * 1,2383 = 184,87
DF21,25 = 135,88 + 4 * 4,47 = 153,76
F21,25 = 153,76 * 0,8381 = 128,87
c) Comme l’observation (D21=120) est plus grande que la prévision (F20,21=110), toutes les
prévisions vont être revues à la hausse. Ceci va se traduire par un (b21>b20) et
(a21>a20+b20)
4. METHODE DE WINTERS
4.1. F20,21 = (128,41 + 4,34) * 0,8335 = 110,65
F20,22 = (128,41 + 2 * 4,34) * 0,3930 = 53,88
4.2. a) a 21 = 0,3 (120 / 0,8335) + (1-0,3) (128,41 + 4,34) = 136,116
b 21 = 0,04 (136,116 - 128,41) + (1 - 0,04) 4,34 = 4,475
cprintemps= 0,1 (120 /136,116) + (1 - 0,1) 0,8335 = 0,8383
Sixth session : Forecasting Methods
30
L’ensemble des coefficients de saisonnalité vont devoir être normalisés :
cprintemps
cété
cautomne
chiver
Somme
Avant
0,8383
0,3930
1,5420
1,2315
4,0048
Après normalisation
0,8373
0,3925
1,5402
1,23
4
4.2.b) F21,22 = (136,116 + 4,475) * 0,3925 = 55,182
F21,23 = (136,116 + 2 * 4,475) * 1,5402 = 223,431
4.3.)
cprintemps
a 21
b 21
F21,22
F21,23
0,8383
135,88
4,47
55,45
221,34
Holt
Winters
0,8373
136,116
4,475
55,182
223,431
On constate que les valeurs trouvées sont assez semblables. Néanmoins, on remarque que la
méthode de Winters est plus facile d’utilisation, la mise à jour se faisant en une seule fois
(contrairement à la Méthode de Holt où il faut recalculer des moyennes mobiles, etc.). De
plus, la méthode de Winters présente l’avantage de pouvoir pondérer les coefficients de
saisonnalité et d’ainsi donner un certain poids aux valeurs du passé et du présent.
Enfin, notez que pour un γ nul, les formules des méthodes de Winters et de Holt ne diffèrent
que par le fait qu’on utilise des valeurs DESAISONNALISEES (ou sans saisons) dans la
méthode de Holt, tandis qu’on utilise des valeurs saisonnalisées dans la méthode de Winters.
Sixth session : Forecasting Methods
31
5. MAD
Calculs à réaliser sur Excel
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Dt
40
20
80
70
50
30
130
100
60
20
90
80
60
30
150
120
100
60
180
150
DDt
47,99
50,89
51,88
56,84
59,99
76,34
84,31
81,2
71,99
50,89
58,37
64,96
71,99
76,34
97,28
97,44
119,97
152,67
116,73
121,8
R.L.
42,36
46,37
50,39
54,40
58,41
62,43
66,44
70,46
74,47
78,49
82,50
86,52
90,53
94,54
98,56
102,57
106,59
110,60
114,62
118,63
Et
5,63
4,52
1,49
2,44
1,58
13,91
17,87
10,74
-2,48
-27,60
-24,13
-21,56
-18,54
-18,20
-1,28
-5,13
13,38
42,07
2,11
3,17
Et absolues
5,63
4,52
1,49
2,44
1,58
13,91
17,87
10,74
2,48
27,60
24,13
21,56
18,54
18,20
1,28
5,13
13,38
42,07
2,11
3,17
=>
MAD20 = 11,89
σ = 1,25 * 11,89 = 14,86
=>
cfr. Dans la table normale réduite, à quel z correspond une probabilité de 1 %.
=>Z = 2,3
I.C. = [122,63 +/- 2,3 * 14,86] = [88,452; 156,808]
Intervalle très large car l’écart-type est grand. En effet des écarts importants
s’observent par rapport à la droite de régression linéaire.
=>
5.2. MAD21 = 0,1 * F20,21 - D21 + 0,9 * 11,89 = 0,1 * 122,63 - 120 / 0,8381 + 10,107 =
12,16
5.3. Pour voir si la prévision est biaisée, on va utiliser le tracking signal : TSE20.
TSE = Σ et / MAD. Cette valeur, proche de zéro, nous donne la preuve de prévisions non
biaisées. Le TSE aura une valeur éloignée de zéro quand les prévisions seront biaisées,
c’est à dire en retard sur la tendance par exemple. Notez que le calcul des paramètres a et
b par régression linéaire conduit toujours à TSE=0. Ce ne sera pas le cas avec d’autres
méthodes.
Sixth session : Forecasting Methods
32
QUESTION 2
Paramètre
valeur
explication
Modèle saisonnier : ( at + t * bt ) ct où ( at + t * bt ) est
la droite qui approxime la demande désaisonnalisée et ct
sont les facteurs de saisonnalité. Tout le passé se résume
en ces paramètres.
La demande désaisonnalisée tend vers une droite
horizontale. La tendance est donc nulle.
bt
0
at
180
C'est la valeur par laquelle passe la droite correspondant
à la demande désaisonnalisé (la moyenne)e.
clundi
5/9
180 * 5/9 = 100. Le facteur 5/9 est celui qui ramène
l’observation 100 sur la droitea+b*t=180.
cmardi
10/9
180 * 10/9 = 200. Le facteur 10/9 est celui qui ramène
l’observation 200 sur la droite y=180. Idem pour
mercredi, jeudi et vendredi.
QUESTION 3
Les deux méthodes conviennent pour modéliser une demande acyclique avec tendance. Elles
se différencient par:
- la quantité de calcul à effectuer : tout recalculer lorsqu'
une nouvelle valeur est disponible
pour R.L. et une simple mise à jour pour Holt. Si on dispose de peu de moyens de calculs
et si on doit recalculer souvent, ce facteur joue en faveur de Holt.
- le poids donné aux différentes données: poids implicitement identique pour la RL mais
poids décroissant (dans le passé) pour Holt (lissage). Ces poids différents peuvent
permettre de s'
adapter à une modification de la courbe de demande.
Si les données récentes ont plus d'
importance que les valeurs passées, Holt est adéquat. Si
toutes les valeurs ont la même importance: R.L.
QUESTION 4
a) Utilisant une période 2T, j’aurai deux fois plus de saisons et donc deux fois plus de
coefficients de saisonalité. Ceci a pour conséquence une perte de précision au niveau de
mes estimations puisque les coefficients saisonniers seront calculés à partie de deux fois
moins de données.
Mais à part cette légère perte de précision, la tendance devrait être estimée correctement et
les prévisions devraient être acceptables.
b) Dans ce cas, tout s’écroulerait. Prenons par exemple T=5, les 5 jours de la semaine. Nous
allons donc, par erreur, considérer 6 jours (T+1) et donc calculer 6 coefficients de
saisonnalité. Le premier sera calculé sur base des observations du lundi dans la première
semaine, du mardi dans la deuxième semaine,… Il ne correspondra plus à rien du tout.
QUESTION 5
Sixth session : Forecasting Methods
33
Remplaçons α et β par 1. Nous obtenons at=Dt et bt=at-at-1=Dt-Dt-1
La prévision est donc : Ft, t+1=Dt+(Dt-Dt-1) et ne se base que sur les deux dernières valeurs.
En conséquence, la demande est complètement aléatoire et l’analyse des séries
chronologiques est inadéquat: il n’y a aucune histoire à mémoriser!
Sixth session : Forecasting Methods
34