Répétition 1 : Théorème de Thévenin et Norton 1

Répétition 1 : Théorème de Thévenin et Norton
1 Rappels et définitions
1.1 Dipôle et théorème de superposition
Un dipôle électrique est un élément à deux bornes, caractérisé par le courant i qui le traverse
et par la tension v apparaissant à ses bornes :
Le dipôle électrique est dit linéaire si la relation i-v est une relation linéaire c'est à dire,
si i = i1 pour une tension v1 et
i = i 2 pour une tension v 2 ,
alors i = ai1 + bi2 pour une tension v = av1 + bv2 .
Exemples de composants linéaires :
v
• La résistance : R, i =
R
•
L'inductance : L, v = L
•
La capacité : C, i = C
di
dt
dv
dt
Un dipôle peut être lui-même composé d'un ensemble de dipôles interconnectés.
ELEN0075 – Électronique analogique – Répétition 1/1
Imprimé le 9 février 2006
Exemple :
Si la relation i-v est linéaire, on parle alors d'un circuit linéaire.
Remarques : dans le circuit précédent, on a introduit les sources suivantes :
La source de tension continue, V = v .
La source de courant continu,
I =i.
Les circuits linéaires satisfont le théorème de superposition. La réponse du circuit à un
ensemble de sources indépendantes est donnée par la somme des réponses à chaque source
individuelle.
1.2 Application
Calculer la réponse du circuit ( v ) ci-dessous lorsqu'il n'est pas connecté à une résistance de
charge, c'est à dire lorsque i = 0 en sortie du circuit.
Suggestion :
La réponse se calcule en 3 étapes successives. Toutes les sources étant indépendantes, on
calculera individuellement les contributions de chacune des trois sources. Lorsque l'on
s'intéressera à l'une des sources, les sources de courant seront remplacées par un circuit ouvert
et les sources de tension par un court-circuit. Ensuite on sommera toutes les contributions.
R2
RR
On trouve alors pour i = 0 en sortie du circuit. : v =
(V1 + V2 ) + I1 1 2 .
R1 + R2
R1 + R2
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2 Théorème de Thévenin
On considère un circuit linéaire, composé d'éléments résistifs, de sources de tension
continues, et éventuellement de sources dépendantes linéaires, par exemples :
• Source de courant :
où i = gv1 , avec v1 qui est une tension apparaissant aux bornes d'un
autre élément du circuit.
Exemple d'une source commandée par une tension v1 :
•
Source de tension :
où v = Av1 , avec v1 qui est une tension apparaissant aux bornes d'un
autre élément du circuit.
Exemple d'une source commandée par une tension v1 :
Ces sources commandées apparaissent dans des modèles de certains éléments d'électronique
(diodes, transistors,…) que l'on abordera ultérieurement.
Si l'on considère l'un de ces circuits. Sa caractéristique i-v étant linéaire, on a de façon
générale la relation suivante : i = Av + B où A et B sont des constantes. On suppose A ≠ 0 et
A< 0.
La droite i-v est appelée "droite de charge du circuit".
Prenons un exemple de circuit simple :
Le système nous donne : v = VTH − RTH i ,
v
V
1
V
et donc i = −
+ TH ou encore A = −
et B = TH
RTH RTH
RTH
RTH
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Vu de l'extérieur, le circuit sous forme de boite noire ne peut être différencié du circuit
1
V
et B = TH .
représenté dans sa forme complète, si l'on choisi A = −
RTH
RTH
Le théorème de Thévenin établit que tout circuit linéaire peut-être remplacé par le circuit
simplifié qui reproduit sa droite de charge, c'est à dire :
1
V
Pour A = −
et B = TH ,
RTH
RTH
≡
Ce théorème est très utile pour simplifier un circuit complexe en sous-circuits de Thévenin.
Calcul des paramètres du modèle équivalent de Thévenin :
Soit le circuit suivant :
Trois méthodes :
• Identification directe :
VTH : tension apparaissant aux bornes du dipôle (de gauche) quand le circuit est ouvert
que l'on déduit par les lois de Kirchhoff.
RTH : c'est la résistance équivalente du dipôle lorsque les sources de tension sont
mises à zéros.
• Par le calcul du courant I CC :
On détermine RTH comme dans la première méthode, mais au lieu de chercher VTH, on
calcule le courant i = I CC qui traverse le dipôle si celui-ci est mis en court-circuit :
On a alors : I CC =
VTH
soit : VTH = I CC RTH .
RTH
•
Méthode Vtest-Itest.
On impose un courant Itest et on calcule la tension aux bornes du dipôle, avec toutes les
sources continues mises à zéro. Cela nous permet de déterminer RTH.
On peut ensuite regarder le circuit ouvert pour déterminer VTH (I test=0) ou déterminer
I CC en court-circuitant le circuit (Vtest =0)
RR
R2
On trouve : VTH =
V et RTH = 1 2 . Pour le calcul de RTH les sources de courant
R1 + R2
R1 + R2
continues seront remplacées par un circuit ouvert et les sources de tension continues par un
court-circuit. Les sources commandées seront discutées en détail ultérieurement.
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Remarques :
• Les trois méthodes sont équivalentes. Le choix de l'une par rapport à l'autre vient de la
pratique.
• Le théorème de Thévenin peut-être démontré (ici, nous n'avons fait que de montrer sa
validité avec quelques exemples). Il peut également être généralisé aux impédances
1
complexes ( Z = jω L ou Z =
).
jωC
3 Théorème de Norton
Comparons maintenant le circuit linéaire (le dipôle) au circuit équivalent suivant :
≡
Ce dernier à la droite de charge suivante, avec i = −
v
+ I N et v = RN I N − RN i .
RN
Le modèle équivalent de Norton n'est qu'une autre représentation du modèle équivalent de
v
V
Thévenin pour lequel on avait la droite de charge v = VTH − RTH i , i = −
+ TH
RTH RTH
Le passage de l'une à l'autre des représentations se fait donc en identifiant I N à I CC et RNI N à
V
VTH et donc on trouve : I N = TH et RN = RTH
RTH
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4 Diviseur potentiométrique
Calculer la différence de potentiel v dans le cas de l'absence de charge ainsi que lorsqu'elle est
présente. v sera exprimé comme une fraction de la tension V que l'on peut ajuster en fonction
de R1, R2 et RL. Penser à utiliser le théorème de Thévenin.
Si l'on veut concevoir un circuit qui délivre une tension de 2V à une résistance RL = 1 k Ω et
que l'on dispose d'une source de 10V, que peut-on choisir comme résistance R1 et R2 ?
5 Diviseur de courant
Très utile à garder en mémoire.
Solutions : I1 =
R2
I et I 2
R1 + R2
R1
R1 R2
I.
6 Exercice
Un modèle de transistor donne le circuit suivant :
Déterminer le circuit équivalent de Thévenin.
Données : β = 100 , V1 = 0,5V et V2 = 1,5V ; R1 = 10 k Ω et R2 = 1 k Ω
Suggestion : déterminer VTH en utilisant le principe de superposition en mettant
successivement V1 et V2 à zéro. La source commandée βi1 n'est mise à zéro que si i 1 est égal à
zéro dans les circuits obtenus.
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