وزارة التعليم العالي و البحث العلمي - Université Ferhat Abbas

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE
SCIENTIFIQUE.
UNIVERSITE FERHAT ABBAS-SETIF-1.
MEMOIRE
Présenté à la Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Pour l’obtention du diplôme de
MAGISTER
OPTION : Mathématiques Fondamentales
Par
Melle : SOUALAH Sabira Imène
THEME
PROBABILITES NON COMMUTATIVES
ET CALCUL DE MALLIAVIN.
Soutenu le : 20/10/2013
Devant le jury :
Président Pr. ZIADI Abdelkader Université de Sétif.
Encadreur Pr. BENCHERIF MADANI Abdelatif Université de Sétif.
Examinateur Pr. MANSOURI Abdelaziz Université de Sétif.

Remerciements
En premier lieu, J'exprime mes profonds remerciements à mon
encadreur, monsieur BENCHERIF-MADANI Abdelatif pour m’avoir
proposé ce sujet et pour toutes les heures qu'il a consacrées pour me
donner la saveur d’étudier les Mathématiques. J'aimerais également lui
dire à quel point j’ai apprécié sa grande disponibilité, sa patience, ses
multiples conseils et je n'aurais jamais pu réaliser ce travail sans son
soutien et je lui remercie pour son précieux encouragement tout au long
de ce travail.
Je tiens à remercier monsieur ZIADI Abdelkader pour avoir accepté
d’être le président du jury et monsieur MANSOURI Abdelaziz pour avoir
accepté d’examiner mon mémoire, pour l’avoir lue avec attention, et leurs
commentaires qui ont permis d’améliorer la précision et la présentation
de ce mémoire.
Je remercie mes enseignants du primaire, moyen, lycée et d’université.
Ma mère, sa présence et ses encouragements sont pour moi les piliers
fondateurs de ce que je suis et de ce que je fais…. Mon père.
Ma famille et mes amies, un grand merci du fond du cœur, grâce à leur
soutien moral, sans oublier mon frère KHALIL.
Mes remerciements les plus sincères à toutes personnes qui auront
contribué de près ou de loin à l’élaboration de ce mémoire.
I.S. SOUALAH

Je dédie ce modeste mémoire à ma mère.

Table des matières
Introduction 4
1 PROBABILITÉS CLASSIQUES 6
1.1 Processus Stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Critère de continuité de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Propriétés de l’espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Interprétation de l’espérance conditionnelle dans le cas des v.a. de
carréintégrable............................ 9
1.3 Filtration et processus adapté à une …ltration . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Semi-groupe.................................. 10
1.5 ProcessusdeMarkov ............................. 10
1.6 Relation entre les semi-groupes et le processus de Markov . . . . . . . . . 12
1.7 Martingale................................... 12
1.8 Étude du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8.1 Introduction.............................. 13
1.8.2 Mouvement brownien standard réel . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8.3 Quelques propriétés importantes du mouvement brownien . . . . . 15
1.8.4 Construction du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8.5 Le mouvement brownien comme un processus gaussien . . . . . . 19
1.8.6 Le mouvement brownien comme limite d’une marche aléatoire . . 21
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