Informatique Théorique

Informatique Théorique
Claude Marché
Cours 1 IT
2 février 2006
Claude Marché (Cours 1 IT)
Informatique Théorique
2 février 2006
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Objectifs du cours
Informatique = science de l'information et du calcul
L'ordinateur peut aussi servir à raisonner Relations entre logique et calcul
Dans ce premier cours, on fait un historique des travaux qui concernent ces
relations
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Grèce antique
École Aristotélicienne (Aristote, ∼ -384 ∼ -322)
: collection de travaux d'Aristote sur la logique
Volonté de préciser les règles du raisonnement
Concepts d'axiomes, de théorèmes, de règle de déduction.
Syllogisme : Socrate est un homme, tous les hommes sont mortels,
donc Socrate est mortel Sophisme : Socrate est mortel, tous les chats sont mortels, donc
Socrate est un chat Organon
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Paradoxes
Épiménide le crétois (∼ -600)
Tous les crétois sont des menteurs Zénon d'Élée (∼ -490 ∼ -430)
paradoxe d'Achille et la tortue
paradoxe de la èche et la cible
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Euclide
Euclide (∼ -325 - 265) : Éléments de la géométrie
5 axiomes pour décrire la géométrie plane
Axiome 5 : par un point donné pass une et une seule droite parallèle à
une droite donnée
Aussi : travaux sur la théorie des nombres : division euclidienne, calcul
du pgcd, innitude de l'ensemble des nombres premiers.
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Diophante
Diophante (∼ 200/214 ∼ 284/298)
Travaux sur la théorie des nombres
Algorithmes de résolution d'équations
Équations diophantiennes : équations polynomiales, pour lesquelles on
cherche des solutions entières
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Les mathématiciens arabes
Perse, Mésopotamie
al-Khwarizmi (∼ 780 ∼ 850)
Son nom donna le mot algorithme
travaux en arithmétique, fonde l'algèbre
méthodes systématique de résolution d'équations
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Renaissance en Europe
Léonard de Vinci (1452 1519)
machines, mécanismes divers (peu furent réellement construits)
Blaise Pascal (1623-1662)
Pascaline : machine à additionner
Leibniz (1646-1716)
Rève de règler tous les problèmes par des machines
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Automates
Vaucanson (1709-1782)
Automates
Canard qui digère (1739)
Métier à tisser à cartes perforées (1745)
Jacquard (1752-1834)
Métier à tisser plus perfectionné
mis en production Claude Marché (Cours 1 IT)
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Machine de Babbage
Charles Babbage (1791-1871)
Pour corriger les erreurs fréquentes des tables à calculs, conçoit une
machine programmable
Ne peut pas la construire
Ada Lovelace (1815-1852)
Écrit un programme pour la machine de Babbage : calcul des nombres
de Bernouilli
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n 19e siècle
Souci d'établir des fondements aux mathématiques
Peano (1858-1932)
Théorie de l'arithmétique
Cantor, Frege
Théorie des ensembles (dite naïve)
Hilbert (1862-1943)
Formalisation de la géométrie
Calcul propositionnel
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Début 20e siècle
Hilbert, 1900 : 23 pb pour le 20e siecle
pb 2 : établir la cohérence de l'arithmétique de Peano
pb 10 : procédé de résolution systématique des équations
Diophantiennes
Russell (1872-1970)
1902 : paradoxe dans la théorie naïve des ensembles (idée : paradoxe
du menteur)
Principia Mathematica, 1910-1913, Whitehead et Russell
Pour éviter le paradoxe de Russell : système de types
1920 : programme de Hilbert
Formuler les mathématiques dans un système logique solide, et
complet.
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Gödel
Gödel (1906 1978)
1931, théorème d'incomplétude : il n'existe pas de système logique à la
fois correct et complet pour l'arithmétique
d'où l'impossibilité de réaliser le programme de Hilbert
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Formalismes de calcul
Church, 1930 : lambda-calcul
Gentzen, 1935 : calcul des séquents ( déduction naturelle )
Turing : machines de Turing
Remarque : rôle joué par Turing lors de la 2e guerre mondiale :
décryptage de la machine Enigma
1936 : Turing et Church exhibent indépendemment des problèmes
indécidables.
Von neumann : architecture de calculateurs électroniques, 1945
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