4 Quelques révisions d`analyse classique

4. Quelques r´evisions d’analyse classique 5
`a deux joueurs de somme nulle ainsi qu’avec les probl`emes primal et dual de Fenchel
du Chapitre 2. Une forme g´en´erale du lemme de Farkas est donn´ee en pr´eparation
du chapitre suivant. Les constructions et les r´esultats sont ´etendus au probl`eme
d’optimisation quadratique et aux fonctions objectif Fr´echet diff´erentiables. ` A la fin
de ce chapitre, on donne un aper¸cu de l’optimisation via les sous-diff´erentielles qui
font appel `a l’analyse multivoque.
Le chapitre 5 traite de l’optimisation diff´erentiable par rapport `a un en-
semble de points admissibles sp´ecifi´e par un nombre fini de fonctions de contrainte
diff´erentiables. En utilisant la condition n´ecessaire duale d’optimalit´e, on retrouve
le Th´eor`eme des multiplicateurs de Lagrange pour les contraintes de type ´egalit´e, le
Th´eor`eme de Karush-Kuhn-Tucker pour celles de type in´egalit´e, et enfin le th´eor`eme
g´en´eral pour le cas mixte de contraintes de types ´egalit´e et in´egalit´e.
4 Quelques r´evisions d’analyse classique
Ce paragraphe r´eunit de fa¸con tr`es compacte quelques ´el´ements de base d’ana-
lyse classique dont on aura besoin dans les autres chapitres. Ils proviennent de
plusieurs sources (par exemple, entre autres, W. H. Fleming [1], W. Rudin [1],
ou L. Schwartz [1]). Le calcul diff´erentiel ne n´ecessite pas de pr´erequis car il sera
compl`etement trait´e au Chapitre 3. Les diff´erentes notions de convexit´e dont on aura
besoin seront introduites dans chaque chapitre, mais le lecteur peut aussi consulter
des ouvrages sp´ecifiquement consacr´es `a ce sujet comme, par exemple, F. A. Va-
lentine [1], R. T. Rockafellar [1], L. D. Berkovitz [1], S. R. Lay [1],
H. Tuy [1], S. Boyd et L. Vandenberghe [1].
4.1 Plus petite borne sup´erieure et plus grande borne inf´erieure
Soient Rl’ensemble des nombres r´eels et |x|la valeur absolue de x. Les nota-
tions suivantes seront utilis´ees pour les r´eels positifs et les r´eels strictement positifs
R+
d´ef
={x∈R:x≥0}et R+d´ef ={x∈R:x > 0}
et la notation R=R∪{±∞} pour l’ensemble ´etendu des r´eels.
D´efinition 4.1.
Soit Aune partie non vide de R.
a) On dit que b0∈Rest une plus petite borne sup´erieure de Asi
i) b0est une borne sup´erieure de A,
ii) pour toute borne sup´erieure Mde A, on a b0≤M.
La plus petite borne sup´erieure b0de Aest unique et sera not´ee sup A. Si
An’est pas born´e sup´erieurement, on pose sup A= +∞.
b) On dit que b0∈Rest une plus grande borne inf´erieure de Asi
i) b0est une borne inf´erieure de A,
ii) pour toute borne inf´erieure mde A, on a b0≥m.

6 Chapitre 1. Introduction
La plus grande borne inf´erieure b0de Aest unique et sera not´ee inf A. Si
An’est pas born´e inf´erieurement, on pose inf A=−∞.
Remarque 4.1. (i) Lorsque A6=∅, on a donc toujours −∞ ≤ inf A≤
sup A≤+∞. Par d´efinition, sup A∈Rsi et seulement si Aest born´e
sup´erieurement et inf A∈Rsi et seulement si Aest born´e inf´erieurement.
(ii) Lorsque A=∅, on ´ecrira sup A=−∞ et inf A= +∞.` A premi`ere vue,
il peut paraˆıtre choquant d’avoir sup A < inf A, mais, d’un point de vue
math´ematique, il s’agit du bon choix puisque sup A < inf Asi et seulement
si A=∅ou, de fa¸con ´equivalente, sup A≥inf Asi et seulement si A6=
∅.
On utilisera souvent les conditions ´equivalentes suivantes.
Th´eor`eme 4.1. Soit ∅6=A⊂R.
a) b0est la plus petite borne sup´erieure de Asi et seulement si
i) b0est une borne sup´erieure de A,
ii’) pour tout Mtel que b0> M , il existe x0∈Atel que b0≥x0> M .
b) b0est la plus grande borne inf´erieure de Asi et seulement si
i) b0est une borne inf´erieure de A,
ii’) pour tout mtel que b0< m, il existe x0∈Atel que b0≤x0< m.
c) sup A= +∞si et seulement si, pour tout M∈R, il existe x0∈Atel que
x0> M.
d) inf A=−∞ si et seulement si, pour tout m∈R, il existe x0∈Atel que
x0< m.
4.2 Espace euclidien
La plupart des r´esultats de ce livre demeurent vrais dans des espaces vectoriels
de fonctions ou dans des groupes de transformations de dimension infinie. Dans ce
livre on se limitera aux espaces vectoriels de dimension finie qui seront identifi´es
au produit cart´esien Rn. Par exemple, ces espaces incluent l’espace des polynˆomes
d’ordre inf´erieur ou ´egal `a n−1, n≥1, un entier. Dans ce paragraphe on rappelle
quelques d´efinitions, notions et th´eor`emes de l’analyse classique.
4.2.1 Produit cart´esien, boules, et continuit´e
Pour un entier n≥1, soit
Rn=R×...×R
|{z }
nfois
(4.1)

4. Quelques r´evisions d’analyse classique 7
le produit cart´esien de dimension navec les notations suivantes
un ´el´ement x= (x1,...,xn)∈Rnou sous forme matricielle ~x =
x1
.
.
.
xn
la norme kxkRnd´ef
="n
X
i=1
x2
i#1/2
et le produit scalaire x·ynxiyi.(4.2)
On ´ecrira simplement kxkpour la norme lorsque le contexte le permettra et la
fl`eche sur le vecteur ~x sera souvent omise. Pour n= 1, kxkR1co¨ıncide avec la valeur
absolue |x|.Rnmuni de la multiplication par un scalaire et de l’addition
∀α∈R, x ∈Rn, α x = (αx1,...,αxn)
∀x, y ∈Rn, x +y= (x1+y1,...,xn+yn)
est un espace vectoriel sur Rde dimension n.
D´efinition 4.2.
La base canonique orthonormale de Rnest l’ensemble {en
i∈Rn: 1 ≤i≤n}d´efini
par
(en
i)j
d´ef
=δij , δij
d´ef
=(1,si i=j
0,si i6=j,
c’est-`a-dire,
en
1= (1,0,0,...,0,0), en 2= (0,1,0,...,0,0), . . . , en n= (0,0,0,...,0,1).
En particulier, en
i·en j=δij .
Lorsque le contexte le permet, on ´ecrira simplement {ei}sans l’indice n.
On appelle espace euclidien un espace vectoriel Eque l’on peut identifier `a Rn
via une bijection lin´eaire pour un entier n≥1. Par exemple, on peut identifier `a Rn
l’espace Pn−1[0,1] des polynˆomes d’ordre inf´erieur ou ´egal `a n−1 dans l’intervalle
[0,1] :
p7→ (p(0), p′(0),...,p(n−1)(0)) : Pn−1[0,1] →Rn
(p0, p1,...,pn−1)7→ p(x)d´ef =
n−1
X
i=0
pi
xi
i!:Rn→Pn−1[0,1].
4.2.2 Ensembles ouverts et int´erieur
Les notions d’ensemble ouvert et d’ensemble ferm´e dans Rnpeuvent ˆetre
d´efinis `a l’aide de boules.

8 Chapitre 1. Introduction
Boules centr´ees en xde rayon r > 0 :
boule ouverte Br(x) = {y∈Rn:ky−xk< r}
boule ferm´ee Br(x) = {y∈Rn:ky−xk ≤ r}.
Boule unit´e centr´ee en 0 :
ouverte B={y∈Rn:kyk<1},ferm´ee B={y∈Rn:kyk ≤ 1}.
Boule ouverte trou´ee centr´ee en x:
B′
r(x) = {y∈Rn: 0 <ky−xk< r}.
D´efinition 4.3.
Soit Uune partie de Rn.
(i) a∈Rnest un point int´erieur de Us’il existe r > 0 tel que Br(a)⊂U.
(ii) L’int´erieur de Uest l’ensemble de tous les points int´erieurs de U. On le
notera int U. Par d´efinition int U⊂U.
(iii) V(x) est un voisinage de xs’il existe r > 0 tel que Br(x)⊂V(x).
(iv) Aest un ensemble ouvert de Rnpour tout x∈A, il existe un voisinage
V(x) de xtel que V(x)⊂A.
(v) La famille Tde tous les ouverts dans Rnest la topologie de Rng´en´er´ee
par la norme.
La topologie Tde Rnco¨ıncide avec la famille des intersections finies et des r´eunions
arbitraires des boules ouvertes dans Rn.
4.2.3 Suite de Cauchy, suite convegente
D´efinition 4.4. (i) Une suite {xn}dans Rnest convergente s’il existe un point
x∈Rntel que
∀ε > 0,∃N, ∀n > N, kxn−xkRn< ε.
Le point xest unique et appel´e le point limite de {xn}.
(ii) {xn}dans Rnest une suite de Cauchy si
∀ε > 0,∃N, ∀n, m > N, kxn−xmkRn< ε.
Un espace m´etrique Eest dit complet si toute suite de Cauchy. converge vers un
point de E.Rnest un espace complet.

4. Quelques r´evisions d’analyse classique 9
4.2.4 Ensemble ferm´e et adh´erence
Les notions de point d’adh´erence et d’ensemble ferm´e peuvent ˆetre amen´ees
de plusieurs fa¸cons. On utilise ici les notions de point d’accumulation et de point
isol´e.
D´efinition 4.5.
Soit Uune partie de Rn.
(i) a∈Uest un point isol´e de Us’il existe r > 0 tel que B′
r(a)∩U=∅.
(ii) a∈Rnest un point d’accumulation de Usi, pour tout r > 0, B′
r(a)∩U6=
∅.
D´efinition 4.6. (i) a∈Rnest un point d’adh´erence de Usi pour tout r > 0
on a Br(a)∩U6=∅.
(ii) L’adh´erence (ou fermeture) de Uest l’ensemble de tous les points d’adh´erence
de U. On la notera U.
(iii) Fest un ensemble ferm´e s’il contient tous ses points d’accumulation.
Remarque 4.2. (i) De fa¸con ´equivalente, xest un point d’adh´erence ou de
la fermeture d’une partie Ude Rnsi, pour tout voisinage V(x) de x,
V(x)∩U6=∅.
(ii) L’adh´erence de Uest ´egale `a l’union de ses points isol´es et de ses points
d’accumulation. On a donc U⊂U.
(iii) Les seules parties de Rnqui soient `a la fois ouvertes et ferm´ees sont l’en-
semble vide ∅et l’espace Rn.
4.2.5 Recouvrement ouvert et ensemble compact
D´efinition 4.7. (i) Une famille de parties ouvertes {Gα}de Rnest un recou-
vrement ouvert de E⊂Rnsi E⊂ ∪αGα.
(ii) Une partie non vide Ede Rnest dite compacte si tout recouvrement ouvert
{Gα}de Eposs`ede un sous recouvrement fini {Gαi: 1 ≤i≤k}.
Th´eor`eme 4.2 (Heine–Borel).Soit Eune partie non vide de Rn. Alors Eest
compacte si et seulement si Eest ferm´ee et born´ee. 16 17
Dans un espace vectoriel norm´e V, une partie compacte Ede Vest ferm´ee
et born´ee, mais la r´eciproque n’est g´en´eralement pas vraie sauf dans des espaces
norm´es de dimension finie.
On a les ´equivalences suivantes dans les espaces m´etriques.
Th´eor`eme 4.3 (Bolzano–Weierstrass).Soit un espace m´etrique (X, d)et un sous-
ensemble Ede X. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes. 18 19
16. Heinrich Eduard Heine (1821–1881).
17. F´elix Edouard Justin ´ Emile Borel (1871–1956).
18. Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (1781–1848).
19. Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815–1897) fut le chef de file d’une brillante