Modélisation de la dépendance entre les

RICHARD VERMETTE
Modélisation de la dépendance entre les garanties
applicables en assurance automobile
Mémoire présenté
à la Faculté des études supérieures de l’Université Laval
dans le cadre du programme de maîtrise en statistique
pour l’obtention du grade de Maître ès sciences (M.Sc.)
FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE
UNIVERSITÉ LAVAL
QUÉBEC
2011
c
⃝Richard Vermette, 2011

Résumé
Dans un portefeuille d’assurance automobile, différents types de réclamations peu-
vent survenir pour chaque police en vigueur. En cas de collision entre deux véhicules,
l’assuré peut déposer une réclamation pour dommages corporels et matériels à lui-
même et à autrui. Traditionnellement, ces types de risques ont été considérés comme
indépendants afin d’en faciliter la modélisation stochastique. Dans la pratique, on ob-
serve toutefois une dépendance entre les montants de ces réclamations dont il importe
de tenir compte pour mieux quantifier le risque global du portefeuille. Frees et Valdez
(2008) ont proposé un modèle permettant de considérer certaines dépendances entre les
fréquences et les sévérités des garanties impliquées dans les réclamations d’une même
police d’assurance. Dans ce mémoire, deux structures de modèles inspirées de celle de
Frees et Valdez (2008) sont proposées pour modéliser les sinistres d’un portefeuille d’as-
surance automobile de l’Ontario. L’ajustement des modèles est réalisé par la méthode
de vraisemblance maximale ainsi que par une approche bayésienne.

Avant-propos
Je tiens tout d’abord à remercier mon directeur de recherche, M. Thierry Duchesne,
professeur au Département de mathématiques et de statistique de l’Université Laval,
ainsi que mon co-directeur, M. Christian Genest, professeur au Département de ma-
thématiques et de statistique de l’Université McGill, pour leur disponibilité, mais aussi
pour toute l’aide et le soutien qui ont été nécessaires à la réalisation de ce projet. Je
tiens spécialement à remercier M. Duchesne pour la qualité de ses conseils dans ce projet
et dans la rédaction de ce mémoire, mais aussi pour avoir partagé tant d’enrichissantes
discussions au cours de la dernière année.
J’aimerais aussi remercier mes superviseurs de la compagnie d’assurance, M. Étienne
Plante-Dubé et M. Danaïl Davidov, qui m’ont permis d’apprendre énormément dans
le domaine de l’assurance et qui m’ont aussi très bien guidé lors de la réalisation de
ce projet. Je tiens d’ailleurs à remercier Danaïl pour toutes les heures où nous avons
échangé des courriels afin de discuter du projet. Un merci spécial à M. Mathieu Fran-
cœur qui a contribué au projet en apportant des informations et des suggestions qui
furent très utiles dans sa conception et sa réalisation.
Mes remerciements vont aussi au Fonds québécois de la recherche sur la nature et
les technologies (FQRNT), au fonds de subvention MITACS Accélération, ainsi qu’à
l’Université Laval pour les fonds octroyés à la réalisation de ce projet.
Finalement, je suis reconnaissant envers ma fiancée Lucie et toute ma famille pour
leur soutien et leur amour qui ont été une motivation supplémentaire à la réussite de
ce projet et de mes études.

Table des matières
Résumé ii
Avant-Propos iii
Table des matières vi
Liste des tableaux ix
Liste des figures xi
1 Introduction 1
1.1 Problématique................................ 2
1.2 Objectifsduprojet ............................. 3
2 Revue de la littérature 4
2.1 Structuredesdonnées ........................... 5
2.2 Modèle.................................... 7
2.2.1 Composante 1 : Fréquence des demandes d’indemnisation . . . . 7
2.2.2 Composante 2 : Type de réclamations effectuées lors des de-
mandes d’indemnisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.3 Composante 3 : Sévérité des montants pour chaque type de ré-
clamation .............................. 11
3 Analyses préliminaires 14
3.1 Provenance des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.1 Covariables préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.2 Variables dépendantes d’intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.3 Utilisation de la fréquence des demandes d’indemnisation . . . . 18
3.1.4 Autres détails sur le jeu de données . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.5 Logiciel utilisé pour le projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Analyses préliminaires de la dépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Modélisation de la dépendance entre les sévérités . . . . . . . . 20
3.2.2 Modélisation de la dépendance entre les fréquences . . . . . . . 23

v
3.2.3 Modélisation de la fréquence étant donné la sévérité . . . . . . . 24
3.2.4 Modélisation de la sévérité étant donné la fréquence . . . . . . . 25
3.3 Imputationdedonnées........................... 27
3.4 Résumé des analyses préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Structure des modèles 32
4.1 Structurehybride.............................. 33
4.1.1 Choix de la loi pour les modèles de sévérité . . . . . . . . . . . . 35
4.1.2 Loimultinomiale .......................... 40
4.1.3 Sélection des covariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.4 Utilisation du modèle hybride dans la pratique actuarielle . . . . 46
4.2 Structure hiérarchique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2.1 Régression logistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.2 Utilisation du modèle hiérarchique dans la pratique actuarielle . 53
5 Résultats des analyses 54
5.1 Structurehybride.............................. 54
5.1.1 Modèle de tarification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.2 Modèle d’indemnisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Structure hiérarchique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 Analyses bayésiennes 63
6.1 Modèle.................................... 64
6.2 Résultats de l’ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.3 Reproduction d’un portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7 Conclusion 73
Bibliographie 75
A Autres résultats des analyses préliminaires 78
A.1 Résultats de la régression logistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A.2 Résultats complémentaires de l’analyse de la variance . . . . . . . . . . 79
A.3 Résultats complémentaires sur la dépendance des montants de sévérité 80
A.4 Histogrammes des montants de sévérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
B Théorie : Imputation multiple 87
C Résultats de l’ajustement des modèles 89
C.1 Résultats du choix des modèles de sévérité . . . . . . . . . . . . . . . . 89
C.2 Résultats pour les modèles logistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
D Résultats des analyses 92