DAEU-B EXAMEN SECONDE SESSION 2012

DAEU-B
EXAMEN SECONDE SESSION
2012-2013
Le sujet est composé de trois exercices indépendants, le candidat doit traiter tous les exercices.
Les calculatrices graphiques sont autorisées, les portables doivent être éteints.
Exercice 1 : 5 points
Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 0,01 près.
L’asthme est une maladie inflammatoire chronique des voies respiratoires en constante augmentation.
En France, les statistiques font apparaître que, parmi les adultes, environ 4% des hommes et 5% des femmes
sont asthmatiques. Dans la population française, on considère l’ensemble des couples homme-femme.
1) On note H l’événement : « l’homme est asthmatique », et F l’événement : « la femme est
asthmatique ». On admet que les événements H et F sont indépendants. C’est-à-dire que
(
)
( )
( )
A) Recopier et compléter l’arbre de probabilité.
F
H
̅
̅
F
̅
B) On note les événements : A : « Aucun des deux adultes du couple n’est asthmatique » ; B : «un
seul des deux adultes du couple est asthmatique » ; C : « les deux adultes du couple sont
asthmatiques ». Calculer les probabilités des événements A, B et C.
2) Les études actuelles sur cette maladie montrent que :
Si aucun des deux parents n’est asthmatique, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est 0,1 ;
Si un seul des parents est asthmatique, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est 0,3 ;
Si les des deux parents sont asthmatiques, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est 0,5 ;
On note E l’événement « le premier enfant du couple est asthmatique ».
A) Faire un arbre pondéré.
B) Calculer la probabilité qu’aucun des deux parents ne soit asthmatique et que leur enfant soit
asthmatique.
C) Montrer que p( E ) = 0,118.
D) On choisit un enfant asthmatique, calculer la probabilité qu’un seul de ses parents soit
asthmatique.
Exercice 2 : 5 points
Deux méthodes pour calculer la limite d’une suite.
La suite (un) est définie sur
par u0 = 0 et
.
Partie A : 1e méthode.
1) Etudier le signe de
sur [0 ; 1].
2) Démontrer par récurrence que :
.
3) Démontrer que la suite (un) est croissante sur (
4) En déduire que la suite (un) est convergente, on notera l sa limite.
).
5) On admet que cette limite l vérifie f( l ) = l où f est la fonction définie sur [0 ; 1] par ( )
Déterminer la valeur de l.
Partie B : 2e méthode.
Soit (vn) la suite définie sur
par
1) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la
raison.
2) Exprimer vn en fonction de n.
3) On supposera que
exprimer un en fonction de n.
4) Calculer la limite de la suite (un).
Exercice 3 : 10 points
Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire.
Soit g la fonction définie sur ]
] par ( )
.
1) Déterminer la valeur exacte de g(2).
2) Calculer la limite de g en 1
3)
A) En remarquant que ( )
, calculer la limite de g en
B) En déduire l’existence d’une asymptote à la courbe représentative de g, dont on précisera
l’équation.
4) A) On note g’ la fonction dérivée de la fonction g. Montrer que
( )
.
].
B) Etudier le signe de g’(x) sur ]
C) En déduire le tableau de variation de g.
].
D) En déduire le signe de g(x) sur ]
Partie B : Etude d’une fonction.
Soit f la fonction définie sur ]
] par ( )
représentative de f dans un repère orthonormé (
(
). On appelle ( C ) la courbe
⃗ ⃗) d’unité graphique 1 cm.
.
1) A) Calculer la limite de f en
B) Calculer la limite de f en1. En déduire l’existence d’une asymptote
précisera l’équation.
2) A) On note f’ la fonction dérivée de la fonction f. Calculer f’(x).
B) Montrer que f’(x) =
( )
à la courbe ( C ) dont on
.
]. Dresser le tableau de variation de f.
C) En déduire le sens de variation de f sur ]
3) A) Calculer f(2).
B) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d’abscisse 2 (on donnera les
coefficients exacts puis leur valeur approchée à 0,01 près).
Partie C : calculer une primitive
] par ( ) (
1) On note H et h les fonctions définies sur ]
( )
(
) Montrer que H est une primitive de h sur ]
2) On rappelle que
. Donner une primitive de f sur ]
) (
].
].
)
(
) et