Rapport de stage de M1

Rapport de stage de M1
Simon Forest
30 aoˆut 2014
R´esum´e
Ceci est le rapport du stage que j’ai effectu´e `a l’Institute of Quantum
Computing (IQC) `a l’universit´e de Waterloo, Ontario, Canada, entre Mars
et Aoˆut 2014 sous la direction de Michele Mosca dans le cadre du stage
obligatoire du M1 du MPRI. Durant ce stage, j’ai travaill´e avec David
Gosset et Vadym Kliuchnikov, puis plus tard avec David McKinnon sur
certaines propri´et´es des d´ecompositions des portes quantiques agissant sur
un seul qubit dans U2et SO3.
1 Introduction
L’ordinateur est un objet essentiellement physique. Ainsi, ses capacit´es de
calculs sont avant tout limit´ees par les lois physiques qui le r´egissent. Cependant,
dans l’informatique de tous les jours, on raisonne surtout sur des ordinateurs
classiques, donc bas´es essentiellement sur la physique classique, alors que l’on
sait depuis longtemps qu’il existe une th´eorie plus g´en´erale et qui offre plus de
possibilit´es : la physique quantique. D’o`u l’id´ee de r´efl´echir `a un mod`ele d’ordi-
nateur tirant profit des lois de la physique quantique : l’informatique quantique.
Dans ce nouveau mod`ele, les bits (qui ne peuvent prendre que les valeurs 0
ou 1) manipul´es par un ordinateur classique sont remplac´es par des qubits (qui
peuvent ˆetre une superposition quelconque des valeurs 0 et 1 et qui peuvent
ˆetre ´etriqu´es avec les autres qubits). Le nouvel espace que l’on consid`ere pour
d´ecrire les ´etats possibles n’est plus le produit {0,1}n, mais V ectC(|0i,|1i)⊗n
(que l’on notera H).
Aussi, de la mˆeme mani`ere que l’on peut appliquer des portes sur les bits, on
peut appliquer des portes quantiques sur les qubits. Cependant, contrairement
aux portes classiques, les portes que l’on applique doivent ˆetre r´eversibles et
doivent ˆetre des op´erateurs lin´eaires sur H. Plus pr´ecis´ement, ce doit ˆetre des
op´erations unitaires sur Hvu comme un espace hermitien.
Un corollaire est que l’on travaille toujours avec le mˆeme syst`eme de qubits,
mˆeme apr`es avoir appliqu´e une porte (contrairement aux circuits classiques :
une porte ET a deux entr´ees et une seule sortie, donc il n’y a pas vraiment
de porte ET). Ces portes quantiques, en plus d’op´erations classiques r´eversibles
(comme l’op´eration SWAP qui ´echange deux bits), sont capables de mettre les
qubits en superposition et aussi de les ´etriquer entre eux.
Par exemple, la porte Hqui agit sur un seul qubit :
1

H:|0i → |0i+|1i
√2(1)
|1i → |0i−|1i
√2(2)
introduit de la superposition `a partir de qubits dans l’´etat |0iou |1i. Elle
v´erifie aussi H2=I. Dans la base |0i,|1i, cette porte, vue comme op´erateur
lin´eaire sur H, a comme matrice 1
√21 1
1−1
Autre exemple, la porte CNOT (ou controlled-not) qui agit sur deux
qubits :
CNOT :|00i→|00i(3)
|01i→|01i(4)
|10i→|11i(5)
|11i→|10i(6)
Cette porte permet d’introduire de l’´etriquement, car elle change l’´etat du
deuxi`eme qubit suivant l’´etat du premier. Dans la base |00i,|01i,|10i,|11i,
cette porte a pour matrice 
1000
0100
0001
0010
Une autre op´eration qui est permise est la mesure, qui permet de repasser
dans le monde classique. En effet, il n’est pas tr`es int´eressant d’avoir des ´etats
superpos´es si on n’est pas capable d’obtenir le r´esultat d’un calcul `a la fin,
c’est-`a-dire le faire passer dans le monde classique.
Ainsi, mesurer consiste `a observer la valeur d’un qubit pr´ecis. Cette observa-
tion, selon les lois de la m´ecanique quantique, va faire effondrer l’´etat du qubit
dans l’´etat |0iou |1ide fa¸con al´eatoire selon des probabilit´es d´efinies par la su-
perposition du qubit. Si ce qubit ´etait ´etriqu´e avec d’autres qubits, cette mesure
va aussi affecter d’autres qubits.
Par exemple, consid´erons l’´etat sur deux qubits |00i, auquel on applique la
porte Hsur le premier qubit, puis la porte CNOT sur le tout. On obtient l’´etat
|00i+|11i
√2. Mesurer le premier qubit donne la valeur |0iou |1iavec probabilit´e
1
2. Cependant, si le premier qubit s’effondre sur |0i, le deuxi`eme qubit fera de
mˆeme.
L’informatique quantique fait donc intervenir des nouveaux ´el´ements qui
permettent, d’une certaine fa¸con, de parall´eliser le calcul en mettant en super-
position les diff´erentes alternatives possibles, ainsi que de faire interf´erer des
qubits ´eloign´es par l’interm´ediaire des interf´erences.
L’apport de ces ´el´ements (qui restent assez abstraits) par rapport `a l’in-
formatique classique n’a toujours pas ´et´e compl`etement appr´eci´e. Et mˆeme il
est toujours difficile de concevoir de nouveaux algorithmes qui en tirent profit,
mˆeme s’il existe de glorieux succ`es comme l’algorithme de factorisation de Shor.
Cependant les difficult´es de l’informatique quantique ne se limitent pas l`a.
En effet, la conception d’algorithmes qui tirent profit de ph´enom`enes contraires
`a l’intuition n’est qu’un seul des probl`emes de l’informatique quantique.
2

En effet, il existe d´ej`a un probl`eme de mise en pratique. Pour obtenir des
propri´et´es de calcul quantique, on manipule des entit´es physiques ayant des
propri´et´es quantiques (par exemple un ensemble de photons, d’ions, de spins
etc . . . ), ce qui n´ecessite assez souvent des technologies de pointe. Ce sera les
qubits physiques. Cependant, cette ´etape est d´ej`a difficile, et on peine `a d´epasser
les dizaines de photons (donc les dizaines de qubit physique).
De plus, ce syst`eme restant instable, il est n´ecessaire de mettre en place un
syst`eme pour corriger les interf´erences (ou erreurs) qui se produisent dans le
syst`eme. On installe une couche de codes correcteurs d’erreur quantique sur la
couche de qubits physiques pour obtenir des qubits logiques, r´esistant aux er-
reurs. Cependant, le nombre de qubits logiques n’est plus qu’un ratio du nombre
de qubits physiques.
`
A ce moment, une fois que l’on a un syst`eme assez stable sur lequel ex´ecuter
notre algorithme, il faut encore le compiler ! En effet, il n’est pas possible d’appli-
quer n’importe quelle porte (matrice unitaire) sur le syst`eme. Seul un nombre
limit´e d’op´erations est possible. Cependant, ces op´erations ´el´ementaires per-
mettent d’approximer n’importe quelle matrice unitaire mais on ne sait toujours
pas comment trouver une s´equence pour approximer une matrice rapidement.
De plus, parmi notre nombre limit´e d’op´erations, certaines coˆutent cher alors
que d’autres non pour la couche de correction d’erreurs. Dans le mod`ele clas-
sique, on sait appliquer facilement des portes associ´ees `a un sous-groupe de U2n
appel´e le groupe de Clifford (que l’on notera Cdans la suite). Cependant, ce
groupe ´etant fini, on ne peut pas approximer n’importe quelle matrice. Mais
en rajoutant la porte Tau groupe de Clifford (ensemble T+Clifford), on ob-
tient un groupe dense dans l’ensemble des matrices unitaires. Cependant, cette
porte Tcoˆute cher, et il est n´ecessaire afin d’avoir un calcul quantique viable
de minimiser l’utilisation de cette porte.
Dans le groupe dans lequel j’ai travaill´e, on cherche `a mieux comprendre
comment compiler des portes, notamment en essayant de d´eterminer le nombre
minimum de portes T`a utiliser, ainsi que des algorithmes pour trouver des
s´equences de d´ecomposition.
L’ensemble de mon travail s’est fait sur l’analyse du cas avec un seul qubit.
Ainsi, toutes les analyses se passent dans U2(puis dans SO3). La g´en´eralisation
du r´esultat `a plusieurs qubits ´etant assez compliqu´ee, le fait d’avoir des r´esultats
pour un seul qubit est d´ej`a une bonne chose.
2 G´en´eralisation `a Tπ
8de la caract´erisation dans
U(2)
Tout d’abord, on m’a demand´e de g´en´eraliser un r´esultat caract´erise les
repr´esentations matricielles des portes g´en´er´ees avec les portes Het Tmontr´e
dans ( [2]).
Ce r´esultat stipule que l’ensemble des portes g´en´er´ees par ces portes ´el´ementaires
est l’ensemble des matrices de U(2) ayant leurs coefficients dans l’anneau B=
Z[1
√2, eiπ 4] (on notera cet ensemble D), une inclusion ´etant ´evidente. On sait
d´ej`a que cet ensemble est un groupe. En effet, H2=Iet T8=Iet G=hH, T i
forme un sous-groupe du groupe des matrices unitaires.
La g´en´eralisation consistait `a remplacer la porte Tpar la porte Tπ
8=
3

1 0
0eiπ
8. La m´ethode dans l’article consiste tout d’abord `a ´etablir une
valeur sur laquelle faire une r´ecurrence. On remarque en effet que si x∈ B,
on a |x|2∈ R =Z[1
√2].On peut ensuite d´efinir le sde dans Rcomme ´etant
sde(x) = min{k∈Z|(√2)kx∈Z[√2]}.
De plus, dans le but d’avoir une ´ecriture normale, on voit que tout ´el´ement
x∈ B peut s’´ecrire y
√2navec y∈ A =Z[eiπ 4]. Les ´el´ements y∈ A peuvent aussi
se d´ecomposer sous la forme y=a0+a1eiπ
4+a2ei2π 4+a3ei3π 4. Le raisonnement
pour montrer l’autre inclusion (D ⊂ G : que n’importe quelle matrice ayant
ses coefficients dans l’anneau Bpeut s’´ecrire comme un produit de Het de T)
est alors le suivant : on d´efinit le sde d’une matrice comme ´etant le maximum
du sde de la norme carr´ee de ses coefficients. La suite, grosso modo, consiste `a
que l’on peut d´ecomposer les matrices par r´ecurrence sur le sde. Pour cela, on
montre facilement que :
— pour une matrice de sde non nul, le sde de la matrice est le sde de
n’importe quel coefficient.
— il suffit de montrer que l’on peut construire tous les vecteurs colonnes
pour montrer que l’on est capable de d´ecomposer toutes les matrices
unitaires
— aussi, si la propri´et´e est vraie, alors pour diminuer le sde, il suffit d’appli-
quer une porte de la forme HT kavec k∈ {0,··· ,7}. Donc, si un cas est
fix´e, on peut montrer en un nombre fini d’´etapes si l’on est capable de
r´eduire le sde. C’est-`a-dire, si l’on cherche `a montrer que l’on peut r´eduire
le sde de u
v, il suffit de montrer qu’il existe un kcompris entre 0 et
7 tel que le sde de HT ku
v=Hu
veik π
4=
u+veik π
4
√2
u−veik π
4
√2
— pour montrer que l’on peut toujours diminuer le sde de l’ensemble des vec-
teurs colonnes unitaires, au lieu de consid´erer l’ensemble des vecteurs co-
lonnes u
vavec u=a0+a1eiπ
4+a2ei2π 4+a3ei3π 4
√2net v=b0+b1eiπ
4+b2ei2π 4+b3ei3π 4
√2n,
avec a0,··· , a3, b0,··· , b3∈Z, il suffit de se placer modulo 8 pour re-
tomber sur un nombre fini de cas `a tester `a la main
— de plus, on trouve des conditions modulaires, issues du fait que le vecteur
que l’on consid`ere est unitaire, qui permettent de filtrer les cas impos-
sibles
Ainsi, on arrive `a montrer la propri´et´e en testant l’ensemble des possibilit´es
pour les coefficients modulo 8.
Mon travail ici a consist´e `a g´en´eraliser ce r´esultat de caract´erisation en rem-
pla¸cant Tpar Tπ
8,G, par G0=H, Tπ 8et Dpar D0l’ensemble des matrices de
U2`a coefficients dans Z[eiπ
8,1
√2].
Remarquons tout de suite, pour faciliter la compr´ehension de la m´ethode
utilis´ee, que pour prouver une propri´et´e du type D ⊂ G, l’essentiel du travail
consiste `a montrer que l’on peut diminuer le sde d’une matrice U∈ D en
appliquant une s´equence de portes dans G. Une fois que l’on a cette propri´et´e,
on peut facilement faire la r´ecurrence. C’est ce raisonnement qui va apparaˆıtre
plusieurs fois dans la suite (mˆeme quand on sera pass´e dans SO3).
Cette fois, on a B=Z[eiπ
8,1 √2], A=Z[eiπ 8] et pour x∈ B, on a |x|2∈
4

Z[1
√2,p2 + √2,p2−√2], et pour x∈ A, on a |x|2∈Z[√2,p2 + √2,p2−√2].
La difficult´e a ´et´e ici de montrer que le sde en base √2 pouvait toujours dimi-
nuer si l’on appliquait le bon HT k. Seulement, l’analyse du sde dans le nouvel
anneau Bavec la nouvelle porte Test plus difficile qu’avec la porte Tinitiale.
En effet, dans la premi`ere situation, on dispose de propri´et´es pratiques et de
caract´erisations assez faciles pour le sde. Par exemple, on avait la propri´et´e que
sde(xy) = sde(x)+sde(y), ce qui n’est plus vrai maintenant : sde(p2 + √2) = 0
et sde(p2−√2) = 0, pourtant sde(p2 + √2p2−√2) = sde(√2) = 1. Aussi,
il ´etait plus facile de caract´eriser les ´el´ements de sde 0 : si xs’´ecrit a+b√2
avec a, b ∈Z, alors xest de sde 0 si et seulement si aest impair. Donc regarder
un coefficient individuellement peut suffire `a obtenir une information sur le sde.
Alors que dans la nouvelle situation, les coefficients peuvent interf´erer entre eux.
Par exemple, si xs’´ecrit ap2 + √2 + bp2−√2, connaˆıtre la parit´e de aou de
bne suffit pas `a conclure. En effet : sde(p2 + √2 + 2kp2−√2) = 0, mais
sde(p2 + √2 + (2k+ 1)p2−√2) = 1.
Cependant, vu que l’on peut encore g´en´eraliser l’analyse modulaire, on arrive
`a se ramener `a d´eterminer le sde d’un nombre fini de cas (par exemple : quel
est le sde de xen sachant que x≡a+b√2 + cp2 + √2 + dp2−√2 (mod 8)
avec a, b, c, d ∈Zfix´es), ce que l’on r´esout `a main.
Puis, on utilise la mˆeme m´ethode : on g´en`ere tous les classes modulaires,
puis on ne garde que celles qui sont possibles (en utilisant le fait que le vecteur
colonne que l’on analyse est norm´e).
Cependant, j’ai r´eussi `a montrer qu’il n’´etait n´ecessaire de faire une analyse
modulo 4 seulement.
3 Caract´erisation dans SO3pour Tπ
4
On remarque que la phase dans les portes quantiques n’a pas d’importance.
En effet, ajouter une phase `a un vecteur repr´esentant plusieurs qubits ne change
pas les probabilit´es de mesure (ce qui est au final notre seul interaction avec le
monde quantique). Cependant, dans U2, deux portes Uet Vavec V=eiθUsont
consid´er´ees comme diff´erentes, alors qu’on les consid`ere comme ´equivalente du
point de vue de l’informatique quantique.
Se placer dans U(2) n’est donc pas totalement satisfaisant. Cependant, il
existe un morphisme de U2dans SO3que l’on notera φtel que φ(U) = φ(V).
Il s’av`ere aussi que l’analyse dans SO3admet une analyse de sde qui peut ˆetre
consid´er´ee comme plus simple.
Comment obtient-on ce morphisme de U2dans SO3?
Tout d’abord, on fixe une matrice U∈U2et on s’int´eresse `a l’application
γ:V→UV U†comme endomorphisme de M2(C).
On remarque alors que si Vest hermitienne (c’est-`a-dire V=V†), UV U †est
`a son tour hermitienne. Ainsi, si l’on choisit une base de l’espace des op´erateurs
hermitiens, on peut regarder comment les images de cette base se d´ecomposent
sur celle-ci. La base que l’on prend est la base de Pauli, constitu´e de l’identit´e
I=1 0
0 1 , de l’op´erateur X=0 1 1 0 , de l’op´erateur Y=0−i i0
et de l’op´erateur Z=1 0
0−1. Une base ´etant fix´ee, on peut ´ecrire la
5