Les corrigés des examens DPECF - DECF

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1ère Ecole en ligne des professions comptables
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DPECF - DECF
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DECF 2006
Corrigé de l'UV 5a
Mathématiques
1ère Ecole en ligne des professions comptables
SESSION 2006
MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES ET INFORMATIQUE
SUJET DE MATHÉMATIQUES APPLIQUEES
Durée : 2 heures – Coefficient : 0,5
Matériel autorisé :
Une calculatrice de poche à fonctionnement autonome, sans imprimante, et sans aucun moyen de
transmission, à l'exclusion de tout autre élément matériel ou documentaire (circulaire n° 99 novembre
1999 ; BOEN n° 42).
Aucun document.
Document remis au candidat :
Le sujet comporte 7 pages numérotées de 1/7 à 7/7.
Document à rendre avec la copie :
Annexe 3, page 7/7.
Il vous est demandé de vérifier que le sujet est complet dès sa mise à votre disposition
Barème indicatif :
Exercice 1 : 4 points
Exercice 2 : 10 points
Exercice 3 : 6 points
AVERTISSEMENT
Si le texte du sujet, de ses questions ou de ses annexes vous conduit à formuler une ou plusieurs
hypothèses, il vous est demandé de la (ou les) mentionner explicitement dans votre copie.
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EXERCICE 1 : ANALYSE DE DONNEES
Une analyse de données économiques françaises a été effectuée pour chacune des années 1987 à 2001,
concernant les sept variables ci-dessous, toutes exprimées en centièmes :
Taux
Taux
Taux
Taux
Taux
Taux
Taux
d'évolution du produit intérieur brut (en volume)
d'évolution de l'investissement industriel
d'évolution de la consommation des ménages
d'évolution des prix à la consommation
d'évolution du pouvoir d'achat du revenu des ménages
d'épargne des ménages
d'intérêts courus (à 3 mois)
notée
notée
notée
notée
notée
notée
notée
PIB
INV
CONS
PRIX
ACHAT
EPAR
TIC
Tous ces taux sont annuels et expriment la variation relative de la variable concernée par rapport à
l'année précédente.
Par exemple, en 1998, la variable PIB vaut 2,5 ce qui signifie une augmentation de 2,5 % par rapport à
1987 (Source : "Le Monde" : Bilan du monde 2002 – 28ème année, Edition 2003.)
Sur ces données, une ACP (Analyse en Composantes Principales) normée a été effectuée.
L'annexe 1 donne le nuage des 15 individus (les années 1987 à 2001) dans le plan principal, et le cercle
des corrélations entre les 7 variables.
Travail à faire :
1) La projection des quinze années dans le plan principale est-elle satisfaisante ? Justifier la réponse.
2) Interpréter la proximité des quatre variables INV, ACHAT, PIB, CONS dans le cercle des corrélations.
3) Interpréter les positions relatives de deux variables EPAR et PRIX, ainsi que celles des deux variables
TIC et INV.
4) A partir des données fournies en annexe 1 :
a) Que peut-on dire de l'année 1995 ? Justifier la réponse.
b) Peut-on dire que le pouvoir d'achat a augmenté en 1989 ? Justifier la réponse.
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EXERCICE 2 : PROBABILITES
Les calculs relatifs à la loi normale doivent être détaillés et effectués en utilisant la table fournie.
Des billes sont produites en grande série, dans le but de fabriquer des roulements à billes constitués
chacun de 15 billes. Les 15 billes d’un roulement doivent être toutes sans défaut.
Chaque bille produite peut avoir deux sortes de défaut :
défaut de diamètre, lorsque le diamètre est inférieur à 15,98 mm ou supérieur à 16,02 mm ;
défaut de surface, lorsque la surface de la bille présente des micro cavités.
Pour une bille, choisie au hasard, on note :
D l’événement : « la bille présente le défaut de diamètre » ;
S l’événement : « la bille présente le défaut de surface ».
1) Le diamètre d’une bille choisie au hasard, exprimé en millimètres, est une variable aléatoire X qui
suit une loi normale d’espérance mathématique 16 et d’écart type s.
Travail à faire :
a) Si s =0,01 quel est à 10-² près, le pourcentage de billes ayant le défaut de diamètre ?
b) Que doit valoir s, à 10-4 près, si on veut que 2,5% seulement des billes aient le défaut de
diamètre ?
c)
2) On suppose dans cette question que 2,5% des billes ont le défaut de diamètre [P(D)=0,025], que
1,6%, des billes ont le défaut de surface [P(S)=0,016], et que les événements D et S sont
indépendants.
Travail à faire :
On choisit une bille au hasard.
a) Calculer à 10-4 près, la probabilité de l’événement E : « La bille présente les deux défauts ».
b) Calculer à 10-4 près, la probabilité de l’événement F : « La bille présente au moins un des deux
défauts ».
3) On suppose que 4% des billes sont défectueuses. Les billes sont conditionnées en lot de n billes.
On désigne par Y le nombre de billes défectueuses parmi les n billes d’un lot, et on suppose que
la variable aléatoire Y suit la loi binomiale de paramètres n et 0,04.
Travail à faire :
a) Si n=100, on admet que le loi de Y peut être approchée par une loi de Poisson. En utilisant cette
approximation, calculer à 10-3 près, la probabilité qu’il soit possible de faire 6 roulements avec les
100 billes d’un lot.
b) Si n=1000, on admet que la loi Y peut être approchée par une loi normale.
En utilisant cette approximation, calculer à 10-2 près, la probabilité qu’il soit possible de faire au
moins 65 roulements avec les 1000 billes d’un lot.
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4) Un nouvel abrasif ultra fin et essayé dans la phase finale de fabrication des billes, dans le but de
diminuer le pourcentage de billes ayant un défaut de surface, l'ancien pourcentage (1,6 %) étant jugé
excessif.
Pour cela, on a testé le nouvel abrasif sur un échantillon aléatoire non exhaustif de 630 billes.
On y a trouvé 7 billes présentant le défaut de surface.
Travail à faire :
A l'aide d'un test d'hypothèse au niveau α ≈ 0,04, et des résultats de l'échantillon, décider si le nouvel
abrasif diminue ou non la proportion de billes ayant le défaut de surface.
On notera p la proportion de billes ayant le défaut de surface avec le nouvel abrasif (sur l'ensemble de
toutes les billes produites).
EXERCICE 3 : GRAPHES
Un projet a été décomposé en 8 tâches A, B, C, D, E, F, G, H dont les durées connues (sauf pour G) et les
contraintes d'antériorité sont précisées dans le tableau ci-dessous :
Tâches
A
B
C
D
E
F
G
H
Durées (en jours)
26
25
40
17
8
14
X
4
Tâches antérieures
-
-
-
A
A,B
B
E,F
C,F
Les graphes MPM et PERT sont donnés en annexe 3 (à rendre avec la copie)
Le candidat utilisera au choix l'un des deux graphes.
Travail à faire :
1) Indiquer, sur le graphe choisi, les dates de début au plus tôt des tâches D, E, F, G et H.
2) Déterminer la durée minimale d'exécution du projet et le chemin critique dans chacun des cas
suivants :
Hypothèse 1 :
Hypothèse 2 :
Hypothèse 3 :
X=4;
X=6;
X=9;
3) On estime que les trois hypothèses précédentes ont les probabilités respectives :
p4 = P(X=4) = 0,3 ;
p6 = P(X=6) = 0,6 ;
p9 = P(X=9) = 0,1 ;
Calculer l'espérance mathématique de la durée minimale d'exécution du projet.
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ANNEXE 1
Contributions des variables aux
Axes (en %)
Variable
AXE 1
AXE 2
PIB
21
-6
INV
22
-2
CONS
19
-7
PRIX
8
29
EPAR
-13
- 16
ACHAT
16
-4
TIC
2
36
Nuage des
individus :
QUALITE DE REPRESENTATION
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
0,61
0,90
0,98
0,87
0,91
0,69
0,98
0,62
0,09
0,58
0,83
0,91
0,95
0,93
0,64
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ANNEXE 2
EXTRAITS DE LA TABLE DE LA FONCTION DE REPARTITION
DE LA LOI NORMALE CENTREE REDUITE N (0, 1)
Π (t) = p(T ≤ t) =
t
∫- ∞ f(x)dx
t
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,8413
0,8643
0,8849
0,9032
0,9192
0,9332
0,9452
0,9554
0,9641
0,9713
0,8438
0,8665
0,8869
0,9049
0,9207
0,9345
0,9463
0,9564
0,9649
0,9719
0,8461
0,8686
0,8888
0,9066
0,9222
0,9357
0,9474
0,9573
0,9656
0,9726
0,8485
0,8708
0,8907
0,9082
0,9236
0,9370
0,9484
0,9582
0,9664
0,9732
0,8508
0,8729
0,8925
0,9099
0,9251
0,9382
0,9495
0,9591
0,9671
0,9738
0,8531
0,8749
0,8944
0,9115
0,9265
0,9394
0,9505
0,9599
0,9678
0,9744
0,8554
0,8770
0,8962
0,9131
0,9279
0,9406
0,9515
0,9608
0,9686
0,9750
0,8577
0,8790
0,8980
0,9157
0,9292
0,9418
0,9525
0,9616
0,9693
0,9756
0,8599
0,8810
0,8997
0,9162
0,9306
0,9429
0,9535
0,9625
0,9699
0,9761
0,8621
0,8830
0,9015
0,9177
0,9319
0,9441
0,9545
0,9633
0,9706
0,9767
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,9772
0,9821
0,9861
0,9893
0,9918
0,9938
0,9953
0,9965
0,9974
0,9981
0,9778
0,9826
0,9864
0,9896
0,9920
0,9940
0,9955
0,9966
0,9975
0,9982
0,9783
0,9830
0,9868
0,9898
0,9922
0,9941
0,9956
0,9967
0,9976
0,9982
0,9788
0,9834
0,9871
0,9901
0,9925
0,9943
0,9957
0,9968
0,9977
0,9983
0,9793
0,9838
0,9875
0,9904
0,9927
0,9945
0,9959
0,9969
0,9977
0,9984
0,9798
0,9842
0,9878
0,9906
0,9929
0,9946
0,9960
0,9970
0,9978
0,9984
0,9803
0,9846
0,9881
0,9909
0,9931
0,9948
0,9961
0,9971
0,9979
0,9985
0,9808
0,9850
0,9884
0,9911
0,9932
0,9949
0,9962
0,9972
0,9979
0,9985
0,9812
0,9854
0,9887
0,9913
0,9934
0,9951
0,9963
0,9973
0,9980
0,9986
0,9817
0,9857
0,9890
0,9916
0,9936
0,9952
0,9964
0,9974
0,9981
0,9986
Nota : Π (- t) = 1 - Π (t)
EXTRAITS DE LA TABLE DE LA LOI DE POISSON CUMULEE DE PARAMETRE
F(k) = P(X ≤ k)
λ=
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1
λ=
2
λ=
3
λ=
4
λ=
5
λ=
6
λ=
7
0,3679
0,7358
0,9197
0,9810
0,9963
0,9994
0,1353
0,4060
0,6767
0,8571
0,9473
0,9834
0,0498
0,1991
0,4232
0,6472
0,8153
0,9161
0,0183
0,0916
0,2381
0,4335
0,6288
0,7851
0,0067
0,0404
0,1247
0,2650
0,4405
0,6160
0,0025
0,0174
0,0620
0,1512
0,2851
0,4457
0,0009
0,0073
0,0296
0,0818
0,1730
0,3007
0,9999
1
0,9955
0,9989
0,9998
1
0,9665
0,9881
0,9962
0,9989
0,9997
0,8893
0,9489
0,9786
0,9919
0,9972
0,7622
0,8666
0,9319
0,9682
0,9863
0,6063
0,7440
0,8472
0,9161
0,9574
0,4497
0,5987
0,7291
0,8305
0,9015
0,9999
1
0,9991
0,9997
0,9999
1
0,9945
0,9980
0,9993
0,9998
0,9999
1
0,9799
0,9912
0,9964
0,9986
0,9995
0,9998
0,9999
1
0,9467
0,9730
0,9872
0,9943
0,9976
0,9990
0,9996
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1
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λ
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ANNEXE 3 (A RENDRE AVEC LA COPIE)
Graphe MPM de l'exercice 3 :
Graphe PERT de l'exercice 3 :
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PROPOSITION DE CORRECTION
EXERCICE 1 : ANALYSE DE DONNEES
1) La projection des quinze années dans le plan principale est-elle satisfaisante ? Justifier
la réponse.
Oui, cette projection est satisfaisante dans le plan principal (Axe 1, Axe 2) car les axes 1 et 2 contiennent
au total 50,6%+32,8%, soit 83,4% de l’inertie.
2) Interpréter la proximité des quatre variables INV, ACHAT, PIB, CONS dans le cercle des
corrélations.
Ces quatre variables sont proches et sont fortement corrélées positivement. Les taux d’évolution du
produit intérieur brut en volume, de l’investissement industriel, de la consommation des ménages et du
pouvoir d’achat du revenu des ménages sont très liés. Quand l’un augmente, l’autre suit la même
évolution.
3) Interpréter les positions relatives de deux variables EPAR et PRIX, ainsi que celles des
deux variables TIC et INV.
Les deux variables EPAR et PRIX sont dans des directions quasi opposées par rapport au centre du repère
et correspondent à des variables fortement corrélées négativement. Les taux d’épargne des ménages et
le taux d’évolution des prix à la consommation sont fortement opposés. Quand l’un augmente, l’autre suit
une évolution inverse.
Les deux variables TIC et INV sont dans des directions quasi orthogonales par rapport au centre du
repère et correspondent à des variables très faiblement corrélées. Les taux d’intérêt courts et d’évolution
de l’investissement industriel sont peu liés.
4) A partir des données fournies en annexe 1 :
a) Que peut-on dire de l'année 1995 ? Justifier la réponse.
L’année 1995 est proche du centre du repère. Plus une coordonnée est voisine de 0, moins l'axe
correspondant a de sens. La variable ou l'individu contribue de moins en moins au plan mis en évidence
par les axes. Par conséquent, l’année 1995 est peu significative.
b) Peut-on dire que le pouvoir d'achat a augmenté en 1989 ? Justifier la réponse.
Oui, le pouvoir d'achat a augmenté en 1989 car cette année est proche de la zone couverte par la
variable ACHAT. Le taux d’évolution du pouvoir d’achat du revenu des ménages a augmenté.
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EXERCICE 2 : PROBABILITES
Les calculs relatifs à la loi normale doivent être détaillés et effectués en utilisant la table fournie.
Des billes sont produites en grande série, dans le but de fabriquer des roulements à billes constitués
chacun de 15 billes. Les 15 billes d’un roulement doivent être toutes sans défaut.
Chaque bille produite peut avoir deux sortes de défaut :
défaut de diamètre, lorsque le diamètre est inférieur à 15,98 mm ou supérieur à 16,02 mm ;
-
défaut de surface, lorsque la surface de la bille présente des micro cavités.
Pour une bille, choisie au hasard, on note :
D l’événement : « la bille présente le défaut de diamètre » ;
S l’événement : « la bille présente le défaut de surface ».
1) Le diamètre d’une bille choisie au hasard, exprimé en millimètres, est une variable
aléatoire X qui suit une loi normale d’espérance mathématique 16 et d’écart type s.
a)
s =0,01 quel est à 10-² près, le pourcentage de billes ayant le défaut de diamètre ?
Soit X la variable aléatoire représentant le diamètre d’une bille exprimé en millimètres. X suit une Loi
Normale de moyenne m=16 et d’écart type σ =0,01.
T =
X − m
σ
→ N ( 0,1) ⇔ T =
X − 16
0, 01
→ N ( 0, 1)
Nous cherchons le pourcentage de billes ayant le défaut de diamètre, c'est-à-dire 15.98 > D > 16.02
 15, 98 − 16 > X − 16 > 16, 02 − 16 

0, 01
0, 01
 0, 01

=> P 
= P ( −2 > T > 2 ) = P (T < −2) + P (T > 2) = 1 − P (T < 2) + 1 − P (T < 2)
= 2 − 0, 9772 + 0, 9772 = 0, 0456
Ainsi, le pourcentage de billes ayant le défaut de diamètre est de l’ordre de 4,56%.
b) Que doit valoir s, à 10-4 près, si on veut que 2,5% seulement des billes aient le défaut
de diamètre ?
Pour obtenir 2,5% seulement des billes avec le défaut de diamètre, il faut => T =
 15, 98 − 16
σ

=> P 


⇒ P T >
⇔
X − 16
σ
16, 02 − 16 
16, 02 − 16
σ
>
σ


>
=1 −
= 2, 24 ⇒ σ =
16, 02 − 16 


σ
0, 025
2
X − 16
σ
→ N ( 0,1)
= 1 − 0, 025
= 0, 9875 ⇔ P (T < 2, 24) = 0, 9875
16.02 − 16
2, 24
= 0, 0089
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2) On suppose dans cette question que 2,5% des billes ont le défaut de diamètre
[P(D)=0,025], que 1,6%, des billes ont le défaut de surface [P(S)=0,016], et que les
événements D et S sont indépendants.
a) Calculer à 10-4 près, la probabilité de l’événement E : « La bille présente les deux
défauts ».
Si A et B sont deux événements indépendants alors :
Î La probabilité d'avoir les deux défauts correspond à la probabilité de leur
intersection.
P ( A ∩ B ) = P ( A) * P (B )
P ( E ) = P (D) * P (S ) = 0, 025 * 0, 016 = 0, 0004
b) Calculer à 10-4 près, la probabilité de l’événement F : « La bille présente au moins un
des deux défauts ».
Si A et B sont deux événements indépendants alors :
Î La probabilité d'avoir au moins un défaut correspond à la probabilité de leur union.
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P (B) − P ( A ∩ B)
P ( F ) = P (D) + P (S ) − P (E ) = 0, 025 + 0, 016 − 0, 0004 = 0, 0406
3) On suppose que 4% des billes sont défectueuses. Les billes sont conditionnées en lot
de n billes. On désigne par Y le nombre de billes défectueuses parmi les n billes d’un
lot, et on suppose que la variable aléatoire Y suit la loi binomiale de paramètres n et
0,04.
a) Si n = 100, on admet que le loi de Y peut être approchée par une loi de Poisson. En
utilisant cette approximation, calculer à 10-3 près, la probabilité qu’il soit possible de
faire 6 roulements avec les 100 billes d’un lot.
La probabilité de faire 6 roulements avec les 100 billes d’un lot correspond à obtenir 90 billes non
défectueuses, d’avoir au plus 10 billes défectueuses. La variable aléatoire Y suit la loi binomiale de
paramètres n et p et qu’elle est approximable par une loi de Poisson de paramètre λ = np .
Y : Β (100; 0, 04) est approximable par Y : P(4)
La probabilité d’avoir 10 billes défectueuses au plus
Î P(Y ≤ 10) = P(Y = 0) + P(Y = 1) +.... + P(Y = 10)
L’extrait de la table de la loi de Poisson cumulée nous donne pour k=10 et
Î P(Y ≤ 10) = 0,997
λ=4
b) Si n = 1 000, on admet que la loi Y peut être approchée par une loi normale.
En utilisant cette approximation, calculer à 10-2 près, la probabilité qu’il soit possible de faire au
moins 65 roulements avec les 1 000 billes d’un lot.
Pour n=1 000, la loi Y est approximée par une loi normale.
Î N (np;
npq) avec n = 1 000, p = 0,04, q = 1 – p = 0,96
Î N (40; 6,19677)
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La probabilité de faire 65 roulements avec les 1 000 billes d’un lot correspond à obtenir 975 billes non
défectueuses, d’avoir au plus 25 billes défectueuses.
 25-40 

 6,19677 
P (Y ≤ 25) = Π 
= Π ( - 2,42 ) = 1 - Π ( 2,42 ) = 1 - 0,9922 = 0,0078 = 0,01
4) Un nouvel abrasif ultra fin et essayé dans la phase finale de fabrication des billes, dans le
but de diminuer le pourcentage de billes ayant un défaut de surface, l'ancien pourcentage
(1,6 %) étant jugé excessif. Pour cela, on a testé le nouvel abrasif sur un échantillon aléatoire
non exhaustif de 630 billes. On y a trouvé 7 billes présentant le défaut de surface.
A l'aide d'un test d'hypothèse au niveau α ≈ 0,04, et des résultats de l'échantillon, décider si le
nouvel abrasif diminue ou non la proportion de billes ayant le défaut de surface.
On notera p la proportion de billes ayant le défaut de surface avec le nouvel abrasif (sur l'ensemble de
toutes les billes produites).
Détermination de la région d’acceptation H0
Le test a été effectué sur un échantillon aléatoire non exhaustif de 630 billes. Cet échantillon est de taille
assez grand. Le test est unilatéral.
La variable aléatoire F630
F630

Î N  0,016;


suit la loi N  p;
p (1 - p)

0,016 (1 - 0,016) 

630

n



car 630 est assez grand.
Déterminons la frontière C telle que la proportion observée sur un échantillon de taille 630 n’ait que 4
chances sur 100 de lui être inférieure.
C vérifie : P(F630 > C) = 0,04 soit P(F630 < C) = 0,96
ou encore


Π





C - 0,016

0,016 (1 - 0,016) 


630
= 0,96
D’après la table de la fonction de répartition de N (0 ;1), nous avons :
C - 0,016
= 1,75 => C = 0,0247 soit 2,47%.
0,016 (1 - 0,016)
630
Cela correspond sur un échantillon de 630 billes à 15,56 billes défectueuses.
La proportion F observée sur l’échantillon est :
7
630
= 0, 011 et inférieure à la limite acceptable.
Le nouvel abrasif diminue la proportion ayant le défaut de surface.
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EXERCICE 3 : GRAPHES
Un projet a été décomposé en 8 tâches A, B, C, D, E, F, G, H dont les durées connues (sauf pour G) et les
contraintes d'antériorité sont précisées dans le tableau ci-dessous :
Tâches
A
B
C
D
E
F
G
H
Durées (en jours)
26
25
40
17
8
14
X
4
Tâches antérieures
-
-
-
A
A,B
B
E,F
C,F
Les graphes MPM et PERT sont donnés en annexe 3 (à rendre avec la copie)
Le candidat utilisera au choix l'un des deux graphes.
Travail à faire :
1) Indiquer, sur le graphe choisi, les dates de début au plus tôt des tâches D, E, F, G et H.
Graphe PERT de l'exercice 3 :
26
26
0
39
25
44
39
40
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2) Déterminer la durée minimale d'exécution du projet et le chemin critique dans chacun
des cas suivants :
Durée minimale d’exécution
Hypothèse 1 :
Hypothèse 2 :
Hypothèse 3 :
X=4
X=6
X=9
Chemin critique
44
45
48
CH
BFG
BFG
Le chemin le plus long entre une tâche de niveau 0 et la « FIN » est appelé chemin critique ; tous les
sommets de ce chemin sont les tâches critiques.
Pour toute tâche critique : date de début au plus tard = date de début au plus tôt.
26 27
Hyp1 : X = 4
26 32
0
0
39 40
25 26
44 44
39 40
40 40
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26 28
Hyp1 : X = 6
26 31
0
0
39 39
25 25
45 45
39 39
40 41
26 31
Hyp1 : X = 9
26 31
0
0
39 39
25 25
48 48
39 39
40 44
3) On estime que les trois hypothèses précédentes ont les probabilités respectives :
p4 = P(X=4) = 0,3 ;
p6 = P(X=6) = 0,6 ;
p9 = P(X=9) = 0,1 ;
L'espérance mathématique de la durée minimale d'exécution du projet est égale à :
i=n
E(X) =
∑
i= 1
X I P(X I ) = 44 * p4 + 45 * p6 + 48 * p9 = 44 * 0,3 * 45 * 0,6 + 48 * 0,1 = 45
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