Le marché du risque financier :
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Lannion, Mai 2007 Le marché du risque financier : Le marché du risque financier : − Lannion, Mai 2007 − Mathématiques et Finance : 15 ans déjà Lannion le 3 Mai 2007 : Nicole El Karoui, Professeur de Mathématiques appliquées, Ecole Polytechnique email : [email protected] Lannion, Mai 2007 Finance de marché Finance de marché La révolution des années 1970 Qu’est ce qui caractérise la sphère financière début 70 ? • Dérégulation : Libéralisation du dollar, puis des taux d’intérêt sur le marché américain • Internationalisation des opérations financières • Révolution de l’informatique, et l’interconnexion des marchés • En France, 1986-87, création du MATIF et du MONEP Les marchés • Important élément de la vie quotidienne des gens (fonds de pension) • Accroissement important de la participation de petits investisseurs (e-business) • Attention médiatisée des grands crashs financiers − Lannion, Mai 2007 Industrie du risque financier Industrie du risque financier Réponse de la communauté financière Un marché d’un type nouveau avec comme objectif de négocier le risque lui-même par l’intermédiaire de produits dérivés. Chicago (1972-73), New York (1979), Londres(LIFE) (1982), Singapour (SIMEX) en 1982, Tokyo (TIFFE) en 1985, Paris (MATIF, MONEP) (EURONEXT) 1986 et 1987, et Francfort (DTB) en 1990. La dérégulation n’aurait pu être mise en ouvre sans founir aux agents économiques les moyens de gérer leurs risques • Plus que $15 trillions annuellement en nominal • Grand éventail de simples contracts (futures, options, swaps,..) • Beaucoup de produits plus exotiques (credit derivatives, catastrophe bonds, exotic options, etc.) • Différents sous-jacents : stocks, devises, taux d’intérêt, commodities Risque de marché transféré des agents économiques au secteur bancaire. − Lannion, Mai 2007 Pourquoi 15 ans Pourquoi 15 ans Un peu d’histoire • Dès 1987 à l’ENPC (Bouleau), 89 à l’X (Elie et NEK) et 90 sous forme de DEA, Paris VI (Geman,NEK), ou Paris VII, ou Dauphine entre autres, création de formation en Finance de marché en Mathématiques Appliquées , spécialement en probabilité appliquée. • Depuis le nombre de formations et les flux d’étudiants ne cessent d’augmenter, dans les Universités et les Ecoles d’ingenieurs. • Les salles de marché recrutent de plsu en plus d’ingénieurs • Grand succès des “quants’ français (A la une du Wall Street Journal, Mars 2006). − Lannion, Mai 2007 Pourquoi 15 ans Indices sur un an Les indices Européens et le NASDAQ en 2004 − Lannion, Mai 2007 Pourquoi des maths et lesquelles Produits dérivés : Pourquoi des maths et lesquelles − Lannion, Mai 2007 Produits dérivés Produits dérivés Les produits dérivés sont des contrats garantissant le cours de référence auquel une opération (d’achat ou de vente) pourra être faite dans le futur, à une date précisée dans le contrat. Exemples ⇒ Contrats à terme : le cours de l’opération à échéance est fixé à la date de négociation. C’est le principe de la promesse de vente. ⇒ Options d’achat ou option de vente. Le cours fixé dans le contrat est utilisé comme plafond ou comme plancher. L’opération ne sera réalisée au cours fixé que si le cours réel a dépassé le plafond (achat) ou le plancher (vente). Cette option a un prix que Bachelier a cherché à expliquer. − Lannion, Mai 2007 Produits dérivés − Lannion, Mai 2007 Un produit financier de XYZ Stimulo 4-Mars 2005 − Un produit financier de XYZ Stimulo 4-Mars 2005 Fonds à formule ⇒ Capital garanti, ⇒ Gestion d’actifs, ⇒ Durée 5 ans. Formule de performance ⇒ 50% de la perfomance d’un panier de 6 indices si inférieure à 50% ⇒ 25%+ 100% de la performance du panier supérieure à 50%, si supérieure à 50% ⇒ 0% si la performance est négative Le panier est : FTSE 89, SMI, FTSE100, NIKKEI225, SP500, Hang Seng. Lannion, Mai 2007 Prix et arbitrage Prix et arbitrage ⇒ Le prix à terme sur un actif négocié se calcule à partir des données de marché, comme la valeur d’aujourd’hui capitalisée de l’intérêt. Si ce n’était pas le cas, on peut réaliser un arbitrage, c’est à dire un profit à coup sûr, possibilité exclue dans un marché liquide.... ⇒ Dans le cas des options, l’exercice est plus compliqué et le prix dépend d’un modèle de sous-jacent. Le point de vue naı̈f est de calculer une estimation du prix, basée sur des observations historiques,+- le point de vue des experts − Lannion, Mai 2007 Profil de risque d’une option d’achat Profil de risque d’une option d’achat 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 Fig. 1 – Profil de prix et valeur intrinsèque en fonction du strike. − Lannion, Mai 2007 Le point de vue moderne Le point de vue moderne Black/Scholes/Merton (1973)Prix Nobel 1997. Faire du temps son allié par une gestion dynamique des actifs pour réduire les risques. Options : un problème de cible aléatoire : on cherche à approcher “au mieux” le flux terminal par ⇒ les gains d’un portefeuille dont la prime de l’option (à déterminer) est l’investissement initial. • En achetant et en vendant au jour le jour des quantités “bien choisies” de sous-jacent, on peut “suivre” les évolutions du marché et réduire considérablement le “risque final”. Le suivi de marché devient la réalité objective cohérente. Les mathématiques qui s’imposent : l’optimisation dans l’incertain et la théorie des processus stochastiques. − Lannion, Mai 2007 Le point de vue moderne Mais comment calculer ? Il y a nécessité d’introduire un modèle raisonnable. Le problème essentiel n’est plus d’estimer les pertes potentielles mais de les réduire par une gestion dynamique. “Le suivi de marché devient la réalité objective cohérente”. − Lannion, Mai 2007 − spot FTSE 7000 6000 5000 spot 4000 3000 2000 1000 0 Feb82 Nov84 Aug87 May90 Jan93 Oct95 Jul98 Apr01 L’indice action anglais(FTSE) entre Fev 1982 et Jan 2004 Jan04 Lannion, Mai 2007 Simulation brownienne Simulation brownienne Trajectoires de brownien simulées avec différents coefficients de diffusion 2 Echelle c = 1 Echelle c = 1.1 Echelle c = 0.9 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 − Lannion, Mai 2007 Théorie des processus stochastiques Théorie des processus stochastiques Depuis Bachelier, la théorie mathématique du mouvement brownien et des processus stochastiques se développe de manière spectaculaire. Einstein (1905) et Wiener(1913), Paul Lévy (1930), K.Itô(1950) Le calcul stochastique De quoi s’agit-il ? ⇒ de modéliser les fluctuations, comme un bruit, à accroissements ind., stationnaires, et donc gaussien centré. Il s’agit du mouvement brownien W. L’actif lui-même est modélisé via son rendement dXt = µt dt + σdWt Xt ⇒ de définir un calcul intégral et différentiel portant sur des fonctions très peu régulières : Alors qu’on peut toujours donner un sens à Pn−1 i=0 δti Xti+1 − Xti = Vtn , il est plus délicat de donner un sens à Rt Vt = 0 δu dXu , et encore plus de représenter f (Vt ) à l’aide d’intégrales. − Lannion, Mai 2007 Théorie des processus stochastiques ⇒ Le calcul différentiel d’Itô rend cela possible df (t, Xt ) = ft0 (t, Xt )dt + fx0 (t, Xt )dXt + 1 00 fxx (t, Xt )σ 2 X2t dt 2 Calcul stochastique et finance Ces objets vont être les outils théoriques dont va avoir besoin la finance des années 70. Si Xt représente le cours d’un titre à la date t, RT Pn−1 i=0 δti Xti+1 − Xti = Vtn ou plus généralement 0 δt dXt s’interpéte comme les gains d’une stratégie de portefeuille qui contient des quantités δt de titre risqué. − Lannion, Mai 2007 Evaluation et couverture et BSDE Evaluation et couverture et BSDE Considérons un portefeuille qui investit la prime en cash et en action. La valeur actuelle d’un portefeuille est Vt = δt Xt + πt0 , dVt = δt dXt L’ objectif est de réduire la tracking erreur à maturité VT − h(Xt ). Nous avons à trouver des fonctions C(t, x) et δ(t, x) telles que Vt = C(t, Xt ) et δt = δ(t, Xt ) vérifient dVt = δt dXt VT = h(XT ) L’EDP du marché Comment calculer les fonctions ? Par la formule d’Itô, 1 2 2 dC(t, Xt ) = Cx (t, Xt )dXt + σ St Cxx (t, Xt ) + Ct (t, Xt ) dt 2 d’où par identification 1 2 2 σ x Cxx (t, x) + Ct (t, x) = 0, 2 C(T, x) = h(x), δ(t, x) = Cx (t, x) − Lannion, Mai 2007 Premières conséquences Premières conséquences ⇒ la quantification de la stratégie optimale repose sur l’utilisation d’un modèle dynamique du cours, • mais ni le prix, ni la couverture ne dépendent de la tendance du titre ( on retrouve le point de vue de Bachelier qui énonce ce point comme une règle indispensable à l’existence d’une transaction). • Prix et couverture sont indépendants de tout jugement sur l’évolution future : une option d’achat dans un marché haussier, ou dans un marché baissier a quasiment la même valeur. ⇒ Il ne s’agit plus d’une gestion basée sur les avis des experts, mais sur la cotation de marché, sur les informations disponibles qui sont du domaine public, ou − Lannion, Mai 2007 Premières conséquences presque... ⇒ La raison essentielle en est la fréquence des transactions. Pour se couvrir correctement, il faut agir très fréquemment. La gestion des risques passe donc par la réalisation d’un très grand nombre de transactions, qui rendent très difficile l’idée d’une taxe sur les transactions, car il faudrait distinguer les transactions de couverture et les autres... ⇒ Les marchés dérivés sont donc des producteurs de liquidité, avec risque de peser sur la dynamique du cours du sous-jacent. − Lannion, Mai 2007 La formule de Black-Scholes La formule de Black-Scholes La fameuse formule de Black et Scholes pour les prix des options d’achat BS(t, x, K, T, σ) = xN(d1 ) − Ke−r(T−t)N(d0 ) √ 1 x 1 d0 = √ 2 Ln[ Ke−r(T −t) ] − 2 σ T − t 2πσ (T −t) √ 1 x 1 Ln[ Ke−r(T −t) ] + 2 σ T − t d1 = √ 2 2πσ (T −t) • N() est la fonction de répartition de la loi normale • x la valeur à la date 0 de l’actif – K est le prix d’exercice • r est le taux d’intérêt du marché de maturité (T − t). • σ est la volatilité de l’actif sous-jacent. ⇒ Le portefeuille de couverture est constitué de ∆t = N(d1 ) titres risqués. Seul, le paramètre σ ne peut être trouvé directement sur le marché. Aussi, la principale question est comment calibrer ce paramètre ? − Lannion, Mai 2007 Volatilité historique, et implicite Volatilité historique, et implicite • Volatilité historique ⇒ Le choix est basé sur une prévision du comportement futur du sous-jacent par inférence statistique à partir du comportement passé . ⇒ Cette voie est plus souvent utilisée pour l’analyse du risque de marché que pour évaluer des produits dérivés. ⇒ Cette procédure est appellée calibrage historique de la volatilité . • Volatilité implicite Depuis Black and Scholes, le vrai problème pour le marché des options liquide est • non pas d’utiliser le modèle pour évaluer des titres très liquides, • mais d’utiliser le modèle pour calculer la valeur de la couverture ∆t . Pour faire ceci, il est nécessaire de connaitre le niveau de volatilité associé à l’option de paramètre (T, K) . − Lannion, Mai 2007 Volatilité historique, et implicite Cette volatilité implicite est donnée en inversant la relation entre volatilité et prix de marché, i.e., étant donné le prix de marché C(K, T ), Σ est le paramètre tel que C(K, T ) = BS(t, x, K, T, Σimplied ) • Effet de Smile C’est une observation bien connue que la volatilité implicite, calibrée sur des prix d’options cotés varie avec le strike et la maturité de l’option. Cette dépendance n’est pas très importante pour couvrir une option particulière. Mais en général l’objectif du modèle est • d’évaluer et couvrir des options exotiques • dans un cadre cohérent avec les prix des instruments les plus liquides . La dépendance par rapport au strike est connue comme l’effet smile. La famille Σ(K, T ) est la surface implicite de volatilité. − Lannion, Mai 2007 Volatilité historique, et implicite Pourquoi le smile ? ⇒ offre et la demande ⇒ la volatilité n’ets pas stationnaire en temps ⇒ la volatilité est stochastique D’où la nécessité d’un modèle cohérent pour toutes ces volatilités. − Lannion, Mai 2007 Le Smile Le Smile DAX Implied Volatility 0.4 Implied volatility 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 1.2 1.1 1 0.1 0.9 0.8 0.9 0.8 1 1.1 0.7 1.2 1.3 0.6 1.4 1.5 0.5 1.6 Time to maturity Moneyness Surface de volatilités implicites sur l’indice allemand − Lannion, Mai 2007 Le Smile 6000 40 4000 20 Spot Close 60 2000 Jan93 Jun94 Oct95 Mar97 Jul98 Dec99 Apr01 Sep02 L’indice FTSE et la volatilité à la monnaie 0 Jan04 Volatilité implicite mid 1M, en % Spot Close et volatilité implicite mid 1M FTSE 8000 − Lannion, Mai 2007 La diffusion implicite de Bruno Dupire La diffusion implicite de Bruno Dupire Le modèle devrait ⇒ s’ajuster à la surface de volatilité implicite ⇒ refléter l”’alea” sur la volatilité ⇒ être markovien ( pour la couverture)de produits “path-dependant”) Condition nécessaire Appelons C(T,K) la famille des prix de call de différents strikes et maturités quand la date courante et le niveau du sous-jacent sont fixés. Ces prix satisfontl’EDP forward, (en strike et maturités) 1 2 CT (K, T ) = σ (T, K)K 2 CKK (T, K) + r KCK (T, K), 2 C(t0 , K) = (x − k)+ En particulier (CT (K, T ) − r KCK (T, K)) σ (T, K) = 2 K 2 CKK (T, K) 2 − Lannion, Mai 2007 Un problème inverse mal posé Un problème inverse mal posé La solution d’Osher,(H.Beresticky, J.Busca) • Les vraies entrées du problèmes sont t un nombre fini de prix d’options • Les praticiens essayent d’introduire l’information manquante par un “fit “ de la surface de volatilité de Black et Scholes. : étant donné un assez grand nombre de points de volatilités (Σ(Ki , Tj ) = Σi,j ) reconstruire par interpolation à l’aide de splines cubiques, une surface de volatilité, pour tout strike et toute maturité. • La volatilité locale va être très dépendante de la procédure de lissage • Il y a autant de solution que de procédés de lissage • Il est difficile de vérifier que les contraintes “d’arbitrage” sont satisfaites. − Lannion, Mai 2007 Calibration(suite) Calibration(suite) Un problème de controle déterministe sur la fonction de volatilité (Osher, H.Beresticky, J.Busca) L’une des condtions d’une bonne calibration est de construire des fonctions de volatilité régulières. Osher (1996) résoud le problème inverse en posant un problème d’EDP controlée. L’espace des fonctions de volatilités Elles sont choisies régulières, plus précisément, dérivables et à dérivées de carré intégrable. L’ensemble est H. − Lannion, Mai 2007 Calibration(suite) Le problème de contrôle Le problème est de minimiser G sur l’espace H, où X marche 2 G(σ) = [V (x0 , t0 , hi,j , σ) − Ci,j ] i,j marche est la distance quadratique entre les prix de marché Ci,j et les prix du modèle V (x0 , t0 , h, σ) solution de l’EDP backward, 1 2 2 2 σ (t, x)x Vxx (t, x) + r xVx (t, x) − rV (t, x) + Vt (t, x) = 0, V (T, x) = h(x) Régularisation • comme l’ensemble des observations est discret ; • la solution ne dépend pas nécessairement réguliérement des donnéees. Les techniques de régularisation permettent de rendre plus réguières la surface de volatilité par rapport aux entrées. Elles consistent à introduire la norme 2 de la dérivée pénalisée se basent − Lannion, Mai 2007 Calibration(suite) sur une fonctionnelle de la forme F (σ) = ||| 5 σ|||22 + λG(σ), λ>0 Osher utilise une procédure de descente de gradient pour minimiser F (σ). On ne sait pas résoudre complétement le problème d’EDP, mais les méthodes numériques marches assez bien pour des λ en fait assez grands. L’unicité de la solution n’est pas évidente... − Lannion, MaiLa 2007 calibration comme problème d’optimisation : la solution d’Avellaneda La calibration comme problème d’optimisation : la solution d’Avellaneda Avellaneda propose de considérer que la dynamique est controllée par la volatilité, et de minimiser la fonctionnelle Z T η(σt2 )dt E 0 où η est une fonction strictement convexe qui s’annule quand la volatilité est proche d’une distribution à priori, avec les constraintes Ci,j = E[e−rTi hij (STσi )] En introduisant des multiplicateurs de Lagrange, le problème est équivalent à • maximiser une fonction objectif augmentée, • sur tous les processus de volatilités. − Lannion, MaiLa 2007 calibration comme problème d’optimisation : la solution d’Avellaneda L’ EDP non-linéaire associée est 2 X 1 rt −rt x Vxx ) + rxVx − rV = − λij (hij (x) − erTi Cij )δ(t − Ti ) Vt + e Φ(e 2 2 i,j où Φ est la transformée de Legendre de η. Etant donnés les multiplicateurs, l’optimum, qui est associé au plus mauvais scenario de volatilité, est r 2 x ∗2 σ (x, t) = Φ0 (e−rt Vxx ) 2 Il reste à minimiser la fonctionnelle convexe obtenue par rapport aux λ. • Quand le problème est de majorer un produit dérivé avec une couverture statique lorsque les scénarios correspondent à des volatilités aléatoires et bornées, R.Frey (1998) a montré que le problème se ramène à un problème d’arrêt optimal. − Lannion, Mai 2007 Problèmes actuels : le cas multidimensionnel Problèmes actuels : le cas multidimensionnel ⇒ Comment définir un modèle dynamique multi-dimensionnel, calibré sur la dynamique des marginales. ⇒ Quel modèle pour la corrélation ? Comment avoir de l’intuition sur son comportement ⇒ Accélération des méthodes numériques : pour calibrer, il faut faire souvent tourner le système une quarantaine de fois ⇒ Utilisation des processus avec sauts, Lévy ou autres pour calibrer certains effets de smile. ⇒ Modélisation des dérivés de crédit ( très haute dimension) avec des processus de sauts ⇒ Les méthodes de Monte Carlo En particulier, Monte Carlo pour l’optimisation − Lannion, Mai 2007 Du risque de marché au risque de modèle Du risque de marché au risque de modèle Le vendeur d’option équilibre sa gestion par une stratégie dynamique intertemporelle, qui tire partie de l’information donnée par la cotation du sous-jacent durant la vie du contrat. Le calcul des poids de la stratégie repose sur le modèle retenu. Choix de modèle : Mathématiquement, c’est un problème inverse d’EDP. Ces dix dernièeres années, la reflexion sur ce sujet a beaucoup évolué, à la fois sur le plan réglementaire que sur le plan académique. Quantifier le risque de modèle est un enjeu du risk-management d’une salle de marché. − Lannion, Mai 2007 Impact sur le monde réel Impact sur le monde réel Une rationalité différente de l’assurance • Pour l’investisseur, l’option est une assurance contre un risque de hausse,(option d’achat) ou de baisse ( option de vente), elle n’est pas gérée par la banque comme le ferait une compagnie d’assurance, en repartissant le risque sur plusieurs contreparties, et sur plusieurs en espérant s’y retrouver en moyenne. • Le vendeur d’option équilibre sa gestion sur chaque contrat par une stratégie dynamique intertemporelle, qui tire partie de l’information donnée par la cotation du sous-jacent, durant la vie du contrat. Gestion des risques • Un message fort est transmis : on peut gérer en s’adaptant au marché côté les risques quotidiens. C’est effectif dans un certain nombre de situations. La connaissance public des marchés de sous-jacent suffit en − Lannion, Mai 2007 Impact sur le monde réel théorie à couvrir les risques. • La tentation est grande de transférer un grand nombre de risques vers les marchés financiers, qui semblent mieux outillés pour les gérer. C’est le cas récemment du risque de crédit. Le savoir faire des experts est mis en balance avec les marchés dérivés qui traitent le risque de crédit presque comme celui d’autres sous-jacents. Il y a une perte complète de la notion d’horizon moyen ou long terme. • Tous les risques sont ils couvrables ? Les risques extrêmes échappent à cette analyse. Conclusion Cette présentation un peu naive des marchés dérivés avait pour objectif de mettre en évidence la révolution que ces marchés ont introduit dans la gestion des risques. La réalité est évidemment plus complexe mais a été aussi très étudiée. Le message général est essentiellement le même. Acquérir de l’information sur le fonctionnement des marchés, peser sur les décisions à moyen et long terme sont des objectifs réalistes. Merci de votre attention ! ! − Lannion, Mai 2007 Impact sur le monde réel −
