Nombres entiers et rationnels. PGCD

3ème 2008-2009
Nombres entiers et rationnels. PGCD
Nombres entiers et rationnels. PGCD
I.
I. Ensembles de nombres Ensembles de nombres
1/ Les nombres entiers
Définition
Les nombres entiers naturels sont les nombres positifs qui peuvent s'écrire sans virgule (ou autres symboles
comme la barre de fraction, le radical...).
Exemples
8
;
45
9
;
9
;
7,000
Définition
Les nombres entiers relatifs sont les nombres positifs et négatifs qui peuvent s'écrire sans virgule (et autres
symboles comme la barre de fraction, le radical...).
Exemples
−3³
;
8
−2
;
− 121
;
−121
−11
2/ Les nombres décimaux
Définition
Les nombres décimaux sont les nombres qui peuvent s'écrire avec une virgule et une partie décimale finie.
Exemples
7
5
;
8,10548
;
10−4
Remarque
Attention, tous les nombres ne sont pas des décimaux. Il suffit de calculer
10
3
. En effet, en posant la division
(décimale) de 10 par 3, on remarque que la division ne s'arrête pas :
10
3=3,33333333 ...
. On ne peut donc pas
donner une écriture à virgule de ce nombre avec une partie décimale finie. D'où...
3/ Les nombres rationnels
Définition
a
et
b
sont deux nombres entiers relatifs avec
b≠0
.
Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme
a
b
.
Exemples
1
3
;
4
;
−5,45

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Remarque
Certains nombres ne peuvent pas s'écrire sous la forme
a
b
.
π
et
2
sont de tels nombres. Il sont dits
irrationnels.
II.
II. Diviseurs Diviseurs
Rappel
Lorsqu'on pose la division euclidienne de deux
nombres, on a :
D=d qr
et
rd
.
1/ Diviseurs d'un nombre entier
Définition
d
et
n
sont deux entiers naturels.
On dit qu'un nombre
d
divise un nombre
n
si le reste de la division euclidienne de
n
par
d
a un reste nul.
Exemple
Est-ce que
3
divise
111
?
Lorsqu'on pose la division euclidienne de
111
par
3
, on obtient un quotient égal à
37
et un reste nul. Donc
3
divise
111
.
S'exprimer
On dit aussi que
3
est un diviseur de
111
ou encore que
111
est divisible par
3
.
Rappels : critères de divisibilité
•Un nombre est divisible par
2
s'il est pair : son chiffres des unités est
0
,
2
,
4
,
6
,
8
.
•Un nombre est divisible par
3
si la somme de ses chiffres est dans la table de
3
.
•Un nombre est divisible par
4
si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est dans la table de
4
.
•Un nombre est divisible par
5
si son chiffre des unités est
0
ou
5
.
•Un nombre est divisible par
6
s'il est divisible par
2
et
3
.
•Un nombre est divisible par
9
si la somme de ses chiffres est dans la table de
9
.
2/ Diviseurs communs
Définition
Un nombre
d
est un diviseur commun à
n1
et
n2
si
d
divise à la fois
n1
et
n2
.
Exemples
7 est un diviseur commun de 49 et 91.
1 4 8 12
− 1 2
2 8 1 2
2 4
4
Reste (r)
Quotient (q)
Dividende (D) Diviseur (d)

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Application
Simplification de fractions :
49
91 =7×7 13×7=7 13
Définition
Une fraction est dite irréductible si on ne peut plus la simplifier.
3/ Nombres premiers entre eux
Définition
Deux nombres sont premiers entre eux s'ils n'ont qu'un seul diviseur commun (c'est à dire
1
!).
Exemple
57
et
32
sont premiers entre eux.
Interprétation
La fraction
57
32
est irréductible.
III.
III. PGCD PGCD
1/ Définition/Notation
Définition
Le PGCD de deux nombres entiers naturels est le plus grand des diviseurs communs.
Exemple/Méthode
Quel est le PGCD de
24
et
36
?
Les diviseurs de
24
sont
1,2, 3, 4,6, 8, 12et 24
. Les diviseurs de 36 sont
1,2, 3, 4,6, 9, 12,18 et 36
. Le plus des
diviseurs communs est
12
: c'est le PGCD.
Notation
PGCD 24,36=12
2/ Méthode par soustraction (avec calculatrice)
a. Activité
Comparer le PGCD de deux nombres ainsi que celui du plus petit et de la différence. On pourra prendre
36
et
48
et utiliser la méthode des diviseurs. On en déduit alors la méthode par soustractions....

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b. Méthode sur un exemple
Quel est le PGCD de
1035
et
322
?
On a donc
PGCD 1035,322=PGCD23,23=23
.
3/ Méthode d'Euclide (avec calculatrice)
a. Activité
Comparer le PGCD de deux nombres avec celui de leur diviseur et de leur reste (prendre 36 et 48)
b. Méthode sur un exemple
Avec les mêmes nombres :
On a donc
PGCD 1035,322=PGCD46,23=23
.
23
est aussi le dernier reste non nul.
4/ Méthode par décomposition (cas simples)
On a
210=2×3×5×7
et
84=2×2×3×7
. On trouve le PGCD en prenant les nombres en commun dans les
décompositions :
PGCD 210,84=2×3×7=42
.
5/ Utilisation d'un tableur (ordinateur)
6/ Exemples types brevet
Correction du 87 et n°90 page 21
IV.
IV. Le calcul fractionnaire (révisions) Le calcul fractionnaire (révisions)
1035 322
322 713
322 391
322 69
69 253
69 184
69 115
69 46
46 23
23 23
Chaque nouvelle
ligne s'obtient en
prenant le plus
petit des deux
nombres et la
différence des
deux nombres
Dividende diviseur reste quotient
1035 322 69 3
322 69 46 4
69 46 23 1
46 23 0 2