fonctions de plusieurs variables - MPSI-1

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
MPSI 1–Lycée Thiers
Année 2008-2009
Table des matières
A L’espace vectoriel normé R2
A.1 Boules ouvertes, boules fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Parties bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Parties ouvertes, fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.1 Ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.2 Fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Point adhérent à une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.1 Point adhérent à une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.2 Caractérisation séquentielle d’un point adhérent . . . . . . . . . . .
A.4.3 Fermés et points adhérents, caractérisation séquentielle des fermés
A.5 Théorème de Bolzano Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
3
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4
4
5
5
B Fonctions de deux variables (réelles), limites, continuité
B.1 Fonctions de deux variables réelles à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Limite, continuité en un un point d’une fonction de deux variables réelles à valeurs réelles
B.2.1 Limite d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.2 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3 Continuité globale d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.1 Continuité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.2 Applications continues sur un fermé borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.3 Ouverts ou fermés définis par une application continue . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.4 Fonctions à valeurs dans R2 , composition et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.4.1 Fonctions à valeurs dans R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.4.2 Composition, limites, continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.4.3 Limite et applications partielles, limite ”en suivant un chemin continu” . . . . . . .
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6
7
8
8
9
9
9
10
10
11
C Dérivées partielles premières
C.1 Développement limité à l’ordre 1 . . . . . . . . . .
C.1.1 Développement limité à l’ordre 1 . . . . . .
C.1.2 DL1 (x0 ,y0 ) et dérivées partielles en (x0 ,y0 )
C.1.3 Dérivée suivant une direction quelconque
C.2 Fonctions de classe C 1 sur un ouvert . . . . . . . .
C.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2.2 Théorème fondamental . . . . . . . . . . .
C.2.3 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . .
C.2.4 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3 Extremum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.4 Étude locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.4.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.4.2 Différentielle en un point, la notation df . .
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13
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16
16
18
18
19
D Dérivées partielles d’ordre 2
D.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.2 Fonctions de classe C 2 sur un ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.3 Théorème de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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20
20
20
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Mathématiques
chapitre : fonctions de plusieurs variables
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E Exos en vrac
2
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A L’espace vectoriel normé R2
C’est le R-espace vectoriel R2 muni d’une norme qui nous intéresse ici (note 1 ) : de la norme euclidienne canonique que nous allons noter ici k.k2 ou k.k :
´
³ p
p
∀ (x,y) ∈ R2 , k(x,y)k2 = x2 + y 2 = ((x,y) | (x,y)) .
(note 2 ).
A.1
Boules ouvertes, boules fermées
• La présence d’une norme permet de définir les notions de R 2 analogues aux notions d’intervalles de R (qui
joue un rôle très important dans la rigueur de l’analyse), ce sont les notions de boules ouvertes, boules fermées :
Définition 1 Soient a ∈ R2 et r ≥ 0.
1.
On
appelle boule ouverte
de centre a et de rayon r la partie de R 2 : B (a,r)
©
ª
2
a
u ∈ R / ku − ak2 < r . (Note ).
=
a B (a,r) est l’ensemble des points du plan qui sont à une distance de a strictement inférieure à r. Lorsque r = 0 :
BN (a,r) = ∅.
Dessin :
2.
On
appelle boule fermée
de centre a et de rayon r la partie de R 2 : B (a,r)
©
ª
2
u ∈ R / ku − ak2 ≤ r . (Note a ).
=
a B (a,r) est l’ensemble des points du plan qui sont à une distance de a inférieure ou égale à r. Lorsque r = 0 :
N
B (a,r) = {a}.
Dessin :
3.
©
ª
On appelle sphère de centre a et de rayon r la partie de R2 : S (a,r) = u ∈ R2 / ku − ak2 = r .
(Note a ).
aS
(a,r) est l’ensemble des points du plan qui sont à une distance de a égale à r. Lorsque r = 0 : B (a,r) = {a}.
Dessin :
1. Pour être plus précis c’est la présence d’une distance dans R2 , conséquence de la présence d’une norme qui fait marcher le shmilblick :
R2 est un espace métrique.
2. Nous verrons en exos que cette norme n’en est qu’une parmi d’autres .
Mathématiques
A.2
chapitre : fonctions de plusieurs variables
Parties bornées
Définition 2 Une partie A de R2 est dite bornée lorsqu’il existe M ∈ R+ tel que
∀u ∈ A, kuk ≤ M .
Petit dessin illustratif :
A.3
Parties ouvertes, fermées
A.3.1
Ouverts
• Ce sont en gros des parties qui n’ont pas de bord...
Définition 3 Une partie O de R2 est dite ouverte (O est un ouvert de R2, ) lorsque
∀u ∈ O,∃ru > 0,B (u,ru ) ⊂ O.
Dessin
Exemples ]−1; 1[ × ]0; 1[, B2 (0,1), ]0; 1[ × R, R2 , ∅ (convention logique).
Dessins
Exemples 1
A.3.2
1. Une boule ouverte est un ouvert.
Fermés
• Ce sont en gros des parties qui contiennet leur bord...
Définition 4 Une partie F de R2 est dite fermée (F est un fermé de R2, ) lorsque son complémentaire {R2 F est un ouvert de R2 .
Dessin illustratif
page
3
Mathématiques
chapitre : fonctions de plusieurs variables
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4
Attention : être fermé n’est pas le contraire d’être ouvert (ne pas être ouvert).
Exemples [−1; 1] × [0; 1], B ∞ (0,1), [0; 1] × R, R2 , ∅ sont fermés. Mais [0; 1] × ]−1; 0[ n’est ni ouvert ni fermé (ce
n’est pas un ouvert et ce n’est pas un fermé pour autant)
Dessins
Exemples 2
1. Une boule fermée est un fermé.
A.4
Point adhérent à une partie
A.4.1
Point adhérent à une partie
• Analogue de point élément ou extrémité. Fondamental : pour tendre vers un point en restant dans le domaine
de définition, on le prendra adhérent à ce domaine.
Définition 5 Soient A une partie de R2 et a ∈ R2 . On dit que a est adhérent à A lorsque
Dessin
∀ε > 0,B (a,ε) ∩ A 6= ∅.
Rem1 Si a ∈ A, alors a est adhérent à A.
Rem2 Si A = ∅, aucun point n’est adhérent à A.
Rem2 On note souvent A l’adhérence de A .
A.4.2
Caractérisation séquentielle d’un point adhérent
• Un petit rappel: Avant de continuer, un petit mot nécessaire à propos des suites à valeurs dans R 2 . En identifiant R2 et C, on peut considérer que la notion de suite à valeurs dans R 2 a déjà été introduite. Les définitions
de suites bornées, suites convergentes, et de limites ont été données à l’aide du module c’est-à-dire de la norme
euclidienne canonique k.k2 . On ”rappelle” ainsi que si (un )n∈N une suite à valeurs dans R2 .
– (un ) est bornée lorsqu’il existe M ∈ R+ tel que pour tout n ∈ N, kun k ≤ M .
– Soit l ∈ R2 . (un ) converge vers l lorsque : ∀ε > 0,∃N ∈ N,∀n ≥ N, kun − lk ≤ ε
Proposition 1 Soient A ⊂ R2 , a ∈ R2 . a est adhérent à A ssi il existe une suite
d’éléments de A convergeant vers a (i.e. il existe (an ) ∈ AN tq an → a).
Mathématiques
A.4.3
chapitre : fonctions de plusieurs variables
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5
Fermés et points adhérents, caractérisation séquentielle des fermés
Proposition 2 Soit F ⊂ R2 . F est fermée ssi tout point adhérent à F est dans F ssi
toute suite d’élements de F convergeant (dans R2 ) converge en fait dans F .
A.5
Théorème de Bolzano Weierstrass
Théorème 1 De toute suite bornée de R2 on peut extraire une suite convergente.
B Fonctions de deux variables (réelles), limites, continuité
• On s’intéresse essentiellement aux fonctions à valeurs réelles ; on cause un peu des fonctions à valeurs dans
R2 , en particulier pour nous permettre de composer des fonctions.
B.1
Fonctions de deux variables réelles à valeurs réelles
• Ce sont des applications f : A → R où A est une partie non vide de R 2 .
Exemples 3
√
f : (R+ × R+ ) → R,x7→ xy. On peut représenter graphiquement une telle fonction dans l’espace muni d’un
repère (O,i,j,k) orthonormal par une nappe, une surface : z = f (x,y) , (x,y) ∈ A.
4
3
2
1
0
4
3
2
x
1
0
3
2
y
1
0
F IG . 1 – Une jolie nappe
Remarque 1
L’ensemble F (A,R) des fonctions définies sur A et à valeurs dans R est un R-espace vectoriel et un anneau
commutatif pour les lois usuelles f + g,λf et f g provenant de celles de R.
F (A,R) est muni d’une relation d’ordre partielle f ≤ g ssi pour tout (x,y) ∈ A, f (x,y) ≤ g (x,y).
Pour toute la partie II, on se donne une partie A non vide de R 2 et f : A → R.
Mathématiques
chapitre : fonctions de plusieurs variables
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6
Définition 6 (Applications partielles)
1. Soit y0 ∈ R tel que {(x,y0 ) ,x ∈ R} ∩ A 6= ∅. On dit que l’application f (.,y0 ) : x 7→ f (x,y0 )
définie sur Dy0 = {x ∈ R/ (x,y0 ) ∈ A}, partie non vide de R, et à valeurs dans R est une
application partielle associée à f .
2. Soit x0 ∈ R tel que {(x0 ,y) ,y ∈ R} ∩ A 6= ∅. On dit que l’application f (x0 ,.) : y 7→ f (x0 ,y)
définie sur Dx0 = {y ∈ R/ (x0 ,y) ∈ A}, partie non vide de R, et à valeurs dans R, est une
application partielle associée à f .
Rem On notera bien que la première condition énoncée assure que les domaine de def des applicatons partielles
sont non vides . On notera aussi que les applications partielles sont des fonctions d’une variable réelle (à valeurs
réelles).
Exemples 4
1. Un petit dessin illustratif.
2. Pour f : R+ × R∗+ → R
écrire f (.,1) et f (2,.).
r
x
2
(x,y)
7→ 2x − 3
+y+1
y
B.2
Limite, continuité en un un point d’une fonction de deux variables réelles à valeurs
réelles
B.2.1
Limite d’une fonction en un point
• Pour parler de limite en a ∈ R2 , il faut que a soit un point adhérent à A (note 3 ).
a est dans cette partie un point adhérent à A.
Définition 7 (Limites)
1. Soit l ∈ R. On dit que f a pour limite l en a lorsque :
∀ε > 0,∃α > 0,∀u ∈ A, (ku − ak ≤ α ⇒ |f (u) − l| ≤ ε) .
On dit alors que f a une limite finie en a.
2. On dit que f a pour limite +∞ en a lorsque :
∀M ∈ R,∃α > 0,∀u ∈ A, (ku − ak ≤ α ⇒ f (u) ≥ M ) .
On dit alors que f a une limite infinie en a.
3. On dit que f a pour limite −∞ en a lorsque :
∀M ∈ R,∃α > 0,∀u ∈ A, (ku − ak ≤ α ⇒ f (u) ≤ M ) .
On dit alors que f a une limite infinie en a.
Remarque 2 •
• On montre de la même façon que pour les fonctions d’une variable réelle que :
\ Si f admet une limite finie en a alors f est bornée au voisinage de a :
∃α > 0,∃M ∈ R,∀u ∈ A, (ku − ak ≤ α ⇒ |f (u)| ≤ M ) .
\ Si f admet pour limite l ∈ R en a et que a ∈ A alors l = f (a).
\ Si f admet une limite infinie en a, alors a ∈
/ A.
\ Si f a pour limite l1 ,l2 ∈ R∪ {−∞, + ∞} en a alors l1 = l2 . (Unicité de la limite).
3. Pour ne pas rendre la notion triviale il vaudrait mieux éviter -ce qui n’est pas le cas ici- que a soit ce que l’on appelle un point isolé (il
faut que ce soit un point d’accumulation de A).
Mathématiques
chapitre : fonctions de plusieurs variables
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7
1
0.5
0
–0.5
–1
4
2
0
x –2
–4
2
0
y
–2
–4
F IG . 2 – visualisation dune limite infinie
• Les notations employées sont les mêmes que pour les fonctions de deux variables que pour les fonctions d’une
variable réelle ; les démonstrations sont analogues (vous pouvez essayer d’en rédiger une dans le bain pour vous
amuser)..
On a :
\ les mêmes propriétés algébriques (somme, produit, inverse, quotient, valeur absolue et limites),
\ les mêmes propriétés relatives à l’ordre (g ≤ f ≤ h et lim a g = lima h = l alors lima f = l ; ou encore : si
l
lima f = l > 0 alors il existe α > 0 tel que pour tout u ∈ A ∩ B̄ (a,α) on a f (u) > ; ...),
2
\ la même caractérisation séquentielle de la limite : lim a f = l ∈ R∪ {−∞, + ∞} ssi pour tout suite (an ) à
valeurs dans A telle que an → a (note 4 ), la suite (f (an )) converge vers l ( Cf exemples 5 ).
• On montre aussi que si f : I × J → R (où I et J sont des intervalles de R) est une fonction telle que f (x,y) ne
dépende en fait que de x (respectivement de y), i.e. qu’il existe une fonction g : I → R (resp. h : J → R) -d’une
variable réelle- telle que pour tout (x,y) ∈ I × J, f (x,y) = g (x) (resp. f (x,y) = h (y)), alors : f admet une limite
(finie ou infinie) en a = (x0 ,y0 ) adhérent à I × J ssi g admet une limite en x0 (resp. h admet une limite en y0 ) ; et
on a alors lima f = limx0 g (resp. lima f = limy0 h) .
B.2.2
Continuité en un point
• Pour parler de continuité de f en un point a il faut que f soit définie en a.
a est ici un point de A.
Définition 8 f est continue en a lorsque f admet une limite finie en a.
Remarque 3 • C’est rigoureusement équivalent au fait que f (u) →u→a f (a).
• Cela s’epsilonise :
∀ε > 0,∃α > 0,∀u ∈ A, (ku − ak ≤ α ⇒ |f (u) − f (a)| ≤ ε) .
• Des résultats sur les limites, on déduit :
\ les propriétés algébriques (somme, multiplication par un scalaire, produit, inverse, quotient, valeur absolue et continuité en a),
\ la caractérisation séquentielle de la continuité en a : f est continue en a ssi pour tout suite (a n ) à valeurs
dans A telle que an → a, la suite (f (an )) converge vers f (a).
4. Il existe une telle suite puisque a est adhérent à A.
Mathématiques
chapitre : fonctions de plusieurs variables
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8
• De façon analogue aux fonctions d’une variable réelle, le lien entre limite et continuité en un point est fortissime :
\ lorsque a ∈ A, f est continue en a ssi f admet une limite finie en a ;
\ lorsque a ∈
/ A est adhérent à A, f admet une limite finie en a ssi f se prolonge à A ∪ {a} en une fonction
continue en a.
Dessin:
• On montre aussi que si f : I × J → R (où I et J sont des intervalles de R) est une fonction telle que f (x,y) ne
dépende en fait que de x (respectivement de y), i.e. qu’il existe une fonction g : I → R (resp. h : J → R) -d’une
variable réelle- telle que pour tout (x,y) ∈ I × J, f (x,y) = g (x) (resp. f (x,y) = h (y)), alors : f est continue en
a = (x0 ,y0 ) un point de I × J ssi g est continue en x0 (resp. h est continue en y0 ).
Exemples 5 Où l’on illustre les propos précédents...
1. Retour sur la caractérisation séquentielle. On considère une application f ∈ F(A; ), A désignant une
partie quelconque de 2 . a est un point de A et (un )n∈ une suite d’éléments de A qui converge vers a.
On suppose f continue en a.
(a) Prouver que la suite (f (un ))n∈ converge vers f (a).
(b) Prouver que la fonction définie sur 2 par f (x; y) = x2xy
+y 2 si (x; y) 6= (0; 0) et f (0; 0) = 0, n’est pas
continue en (0; 0).
(c) Prouver que la fonction définie sur ∗+ × par g(x,y) = xy n’a pas de limite en (0; 0).
2. Soit (a; h) ∈ ( 2 )2 et f ∈ F( 2 ; ). On définit la fonction fh sur par: ∀t ∈ , fh (t) = f (a + th).
2
En étudiant la fonction définie sur 2 par f (x; y) = x2xy
+y 4 si (x; y) 6= (0; 0) et f (0; 0) = 0, prouver qu’il se
peut que toutes les applications fh ainsi définies soient continues en 0 sans que f soit continue en a.
3. Les fonctions suivantes admettent-elles une limite en (0; 0):
(a) f (x; y) =
(b) f (x; y) =
(c) f (x; y) =
(d) f (x; y) =
x2 −y 2
x2 +y 2
|x|+|y|
x2 +y 2
x3 +y 3
x2 +y 2
sin(x2 )+sin(y 2 )
√
x2 +y 2
B.3
Continuité globale d’une fonction
B.3.1
Continuité d’une fonction
Définition 9 f est dite continue (sur A) lorsque f est continue en tout point de a de A.
Remarque 4 • On note C (A,R) ou C 0 (A,R) l’ensemble des fonctions continues sur A.
• On retiendra qu’une fonction lipschitzienne est continue (la réciproque est fausse) ; cf exemples.
• Des résultats sur la continuité en un point, on déduit les propriétés algébriques :
\ C (A,R) est un sous-ev et un sous-anneau de F (A,R),
1
\ si g ∈ C (A,R) et g ne s’annule pas, alors ∈ C (A,R),
g
\ si f ∈ C (A,R) et g ∈ C (A,R), g ne s’annulant pas, alors
f
∈ C (A,R),
g
\ si f ∈ C (A,R) , alors |f | ∈ C (A,R).
• On montre aussi que si f : I × J → R (où I et J sont des intervalles de R) est une fonction telle que f (x,y)
ne dépende en fait que de x (respectivement que de y), i.e. qu’il existe une fonction g : I → R (resp. h : J → R)
-d’une variable réelle- telle que pour tout (x,y) ∈ I ×J, f (x,y) = g (x) (resp. f (x,y) = h (y)), alors : f est continue
sur I × J ssi g est continue sur I (resp. h est continue sur J).
Mathématiques
chapitre : fonctions de plusieurs variables
page
9
Ainsi, par exemple :
\ une fonction polynomiale de deux variables
→ R
est continue. Pourquoi?
7→ P (x,y)
P (x,y)
\ une fonction rationnelle de deux variables (x,y) 7→ F (x,y) =
est continue sur son ensemble de
Q
(x,y)
©
ª
définition ( (x,y) ∈ R2 /Q (x,y) 6= 0 ). Pourquoi?
\ Attention On ne peut pas toujours séparer les variables ”x et y” par des opérations algébriques simples.
Exemple : R∗+ × R → R,x 7→ xy .
R2
(x,y)
Exemples
1. Déterminer le domaines de continuité de la fonction g définie sur R 2 :
 6
¡
¢
1

si xy 6= 0
g (x,y) = x2 + y 2 sin
.
xy
 g (x,y) = 0 si xy = 0
½
f (x,y) = x4 si y > x2
2
.
2. Déterminer le domaine de continuité de la fonction f définie sur R :
f (x,y) = y 2 si y ≤ x2
B.3.2
Applications continues sur un fermé borné
• C’est l’analogue du théorème portant sur les fonctions d’une variable réelle continues sur un segment.
Proposition 3 Soit f : C → R. Si f est continue et C est une partie non vide
fermée et bornée de R2 , alors f est bornée et atteint ses bornes.
B.3.3
Ouverts ou fermés définis par une application continue
• Les résultats qui suivent sont très utiles dans la pratique pour montrer qu’une partie donnée de R 2 est ouverte
ou fermée.
Proposition 4 Soit f : R2 → R une fonction continue et λ ∈ R.
©
ª
1. (a) u ∈ R2 ,f (u) ≤ λ est un fermé de R2 .
©
ª
(b) u ∈ R2 ,f (u) ≥ λ est un fermé de R2 .
©
ª
2. (a) u ∈ R2 ,f (u) < λ est un ouvert de R2 .
©
ª
(b) u ∈ R2 ,f (u) > λ est un ouvert de R2 .
©
ª
3. (a) u ∈ R2 ,f (u) = λ est un fermé de R2 .
©
ª
(b) u ∈ R2 ,f (u) 6= λ est un ouvert de R2 .
Exemples 7
©
ª ©
ª
Que dire
des propriétés topologiques
de (x,y) ∈ R2 ,2x + 3y > 0 , (x,y) ∈ R2 ,xy 6= 0
©
ª
R2+ = (x,y) ∈ R2 ,x ≥ 0 et y ≥ 0 ?
2
Rem1 L’hypothèse f : R√
→ ©R est fondamentaleª: pour exemple
2
f : R+ → R,x 7−→ x : u ∈ R2 ,f (u) > −1 = R2+ n’est pas un ouvert de R2 (note 5 ).
Rem2 L’hypothèse f : R2 → R continue est fondamentale : pour exemple
©
ª
1
f : R2 → R,(x,y) 7−→ 2 si x 6= 0 et −1 si x = 0 vérifie u ∈ R2 ,f (u) ≥ 0 = R2 \(0y) n’est pas un fermé de
x
R2 .
B.4
Fonctions à valeurs dans R2 , composition et limites
• C’est aussi -surtout- pour les besoins de la composition de fonctions que l’on parle ici des fonctions à valeurs
dans R2 .
5. C’est en fait un ouvert de R2+ ensemble de départ...
Mathématiques
B.4.1
chapitre : fonctions de plusieurs variables
page
10
Fonctions à valeurs dans R2
• On construit les choses de la même façon que pour le passage des fonctions d’une variable réelle à valeurs
réelles aux fonctions d’une variable réelle à valeurs complexes.
On étend de façon ”naturelle” la définition epsilonesque de la limite :
Définition 10 Soient ϕ : A → R2 , a un point adhérent à A et l ∈ R2 . On dira que ϕ admet pour
limite l en a lorsque :
∀ε > 0,∃α > 0,∀u ∈ A, (ku − ak ≤ α ⇒ kϕ (u) − lk ≤ ε) .
• Viennent alors les définitions de continuité de ϕ en a ∈ A, et de continuité sur A.
Maintenant, on a la caractérisation fondamentale suivante :
, a un point adhérent à A et
Proposition 5 Soient ϕ : A → R2
u 7→ (ϕ1 (u) ,ϕ2 (u))
l = (l1 ,l2 ) ∈ R2 .
ϕ admet pour limite l en a ssi ϕ1 et ϕ2 admettent pour limite l1 et l2 .
Preuve. La même, adaptée, que celle faite pour la limite des fonctions d’une variable réelle à valeurs complexes.
• On a alors :
– ϕ est continue en a ∈ A ssi ϕ1 et ϕ2 sont continues en a.
– ϕ est continue ssi ϕ1 et ϕ2 sont continues.
• Et on se ramène donc à des problèmes concernant des fonctions de deux variables à valeurs réelles ϕ 1 et ϕ2 ,
qui sont appelées les applications composantes de ϕ.
On définit aussi la notion de fonction lipschitzienne : ϕ : A → R 2 est lipschitzienne lorsqu’il existe K ∈ R+ tel
que ...............
On montre alors (même preuve) qu’une fonction lipschitzienne est continue.
B.4.2
Composition, limites, continuité
• Soient f : D → E et g : D 0 → F où :
–
–
–
–
D est une partie non vide de R ou de R2 ;
E désigne R ou R2 ;
D0 est une partie non vide de E ; avec, de plus f (D) ⊂ D 0 ;
F désigne R ( ou 2 ) .
On peut alors définir la fonction g ◦ f : D
u
→ F
.
7→ g (f (u))
Proposition 6 Composition des limites :
1. Soit a un point adhérent à D, b un point adhérent à D 0 , l ∈ R. Si
f (u) →u→a b et g (v) →v→b l , alors g ◦ f (u) →u→a l.
2. (En particulier). Soit a un point de D. Si f est continue en a et g est
continue en f (a), alors g ◦ f est continue en a.
3. (Et donc). Si f est continue (sur D) et g est continue (sur D 0 ) alors g ◦ f
est continue (sur D).
exemple R+ × R →
(x,y)
7
→
R
est continue.
p
xy 2 + 1
Mathématiques
B.4.3
page
chapitre : fonctions de plusieurs variables
11
Limite et applications partielles, limite ”en suivant un chemin continu”
• Ces deux propositions, essentielles pour la pratique (cf plus bas et exos) ne sont que des cas particuliers de
composition (proposition précédente) :
Proposition 7 Soient I et J des intervalles non triviaux de R et f : I × J → R( ou
2
).
1. Soient x0 un élément ou une extrémité de I, y0 un élément ou une extrémité de J
((x0 ,y0 ) est alors adhérent à I × J). Si f admet une limite l ∈ R au point (x 0 ,y0 ) alors
les applications partielles f (.,y0 ) ( on suppose alors y0 ∈ J ) et f (x0 ,.) ( on suppose
alors x0 ∈ I ) admettent toutes deux pour limite l en x0 et y0 respectivement (note a ).
2. (En particulier). Soit (x0 ,y0 ) ∈ I × J. Si f est continue au point (x0 ,y0 ) alors les applications partielles f (.,y0 ) et f (x0 ,.) sont continues en x0 et y0 respectivement.
a Si
f (x,y)
−→
(x,y)→(x0 ,y0 )
l alors lim f (x,y0 ) = lim f (x0 ,y) = l.
x→x0
y→y0
Remarque 5
\ (Et donc). Si f est continue sur I × J, alors pour tout y0 ∈ J l’application partielle f (.,y0 ) est continue sur I et
pour tout x0 ∈ I l’application partielle f (x0 ,.) est continue sur J.
\ Attention Cette proposition nous donne une condition nécessaire d’existence de limite (ou de continuité) en
(x0 ,y0 ) qui n’est pas suffisante : la continuité des applications partielles f (.,y 0 ) en x0 et f (x0 ,.) en y0 ne permet
pas de conclure à la continuité de f en (x0 ,y0 ). Voir exemple.
\ Contraposée : pour montrer
µ que f : A →¶R n’admet pas
µ la limite l ∈ R
¶ (ou n’est pas continue) en (x 0 ,y0 ) il
suffit de montrer que non f (x0 ,y) −→ l
y→y0
ou que non f (x,y0 ) −→ l ; en particulier si limy→y0 f (x0 ,y) et
x→x0
limx→x0 f (x,y0 ) existent (finies ou infinies) et sont différentes, alors f n’a pas de limite (ni finie ni infinie) en
(x0 ,y0 ).
Proposition 8 Soit f : A ⊂
2
2
→ R( ou
γ : I (⊂ R)
t
) et une courbe paramétrée continue
→ R2
7→ γ (t) = (x (t) ,y (t))
. Soit (x0 ,y0 ) adhérent à A et t0 élément ou extrémité de I. On suppose de plus que
(x (t) ,y (t)) ∈ A au voisinage de t0 ∈ I et que γ (t) = (x (t) ,y (t)) →t→t0 (x0 ,y0 ).
1. Soit l ∈ R. Si f tend vers l en (x0 ,y0 ), alors f (γ (t)) h= g (x (t) ,y (t))i →t→t0 l.
2. (En particulier) On suppose de plus (x0 ,y0 ) ∈ A.
Si f est continue en (x0 ,y0 ), alors f (γ (t)) h= g (x (t) ,y (t))i →t→t0 f (x0 ,y0 ).
Remarque 6
\ Attention Cette proposition nous donne une condition nécessaire d’existence de limite (ou de continuité) en
(x0 ,y0 ) qui n’est pas suffisante : l’existence d’une limite suivant un chemin (note 6 ) continu arrivant en (x0 ,y0 )
dans A ne permet pas de conclure à l’existence d’une limite pour f en (x 0 ,y0 ). Voir exemples.
\ Notons que g ◦ γ est une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles : on est en milieu connu.
\ Contraposée : pour montrer que f : A → R n’admet pas la limite l ∈ R (ou n’est pas continue) en (x 0 ,y0 ) il suffit
d’exhiber une courbe γ telle que γ (t) →t→t0 (x0 ,y0 ) et non f (γ (t)) →t→t0 l.
Exemples 8
1. Soit f : R2 \ {(0,0)}
(x,y)
2. Prouver que l’application:
f:
2
→ R
. f admet-elle une limite en (0,0)?
xy
7→
x2 + y 2
\{(x; 0)|x ∈
−}
(x; y)
6. Et même suivant tout chemin a priori.
→
→
Ã
∗
+ ×]
p
− π; π[
y
p
x2 + y 2 ; 2 arctan(
)
x + x2 + y 2
!
Mathématiques
chapitre : fonctions de plusieurs variables
page
12
définit une bijection, qu’elle est continue et que sa fonction réciproque, dont on déterminera l’expression,
est aussi une fonction continue.
C Dérivées partielles premières
U désigne pour toute la suite une partie ouverte de R2
u0 = (x0 ,y0 ) un point donné de U
f désigne une fonction de U dans R .
C.1
Développement limité à l’ordre 1
C.1.1
Développement limité à l’ordre 1
Définition 11 On dit que f admet un développement limité à l’ordre 1 en u 0 lorsqu’existent
a0 ,b1 ,b2 ∈ R et une application ε définie sur U tels que :
½
∀ (x,y) ∈ U,f (x,y) = a0 + b1 (x − x0 ) + b2 (y − y0 ) + k(x − x0 ,y − y0 )k ε (x,y)
ε (x,y) →(x,y)→(x0 ,y0 ) 0.
On note alors f (x,y)
=
(x,y)→(x0 ,y0 )
a0 + b1 (x − x0 ) + b2 (y − y0 ) + o (x − x0 ,y − y0 )
©
ª¡
¢
• On peut se ramener en (0,0) : si on note V = (h1 ,h2 ) ∈ R2 , (x0 + h1 ,y0 + h2 ) ∈ U ⊂ R2 :
½
∀ (h1 ,h2 ) ∈ V,f (x0 + h1 ,y0 + h2 ) = a0 + b1 h1 + b2 h2 + k(h1 ,h2 )k ε (h1 ,h2 )
ε (h1 ,h2 ) →(h1 ,h2 )→(0,0) 0.
i.e. f (x0 + h1 ,y0 + h2 )
=
(h1 ,h2 )→(0,0)
a0 + b1 h1 + b2 h2 + o (h1 ,h2 ).
Proposition 9 Si f admet un DL1 (x0 ,y0 ) alors f est continue en (x0 ,y0 ) ; de
plus, avec les notations de la définition, a0 = f (x0 ,y0 ).
C.1.2
DL1 (x0 ,y0 ) et dérivées partielles en (x0 ,y0 )
Définition 12 Dérivées partielles
1. On dit que f admet une dérivée partielle première suivant la première composante au
∂f
point (x0 ,y0 ) (ou par abus que
(x0 ,y0 ) existe) lorsque l’application partielle f (.,y0 ) est
∂x
∂f
0
(x0 ,y0 ) (ou D1 f (x0 ,y0 )) le réel f (.,y0 ) (x0 ), et on l’appelle
dérivable en x0 ; on note alors
∂x
dérivée partielle première suivant la première composante en (x0 ,y0 ).
2. On dit que f admet une dérivée partielle première suivant la deuxième composante au
∂f
point (x0 ,y0 ) (ou par abus que
(x0 ,y0 ) existe) lorsque l’application partielle f (x0 ,.) est
∂y
∂f
0
dérivable en y0 ; on note alors
(x0 ,y0 ) (ou D2 f (x0 ,y0 )) le réel f (x0 ,.) (y0 ), et on l’appelle
∂y
dérivée partielle première suivant la deuxième composante en (x 0 ,y0 ).
Remarque 7
\ Comme U est un ouvert et (x0 ,y0 ) ∈ U alors f (.,y0 ) et f (x0 ,.) sont définie au voisinage de x0 et y0 de la forme
]x0 − α,x0 + α[ et ]y0 − α,y0 + α[ respectivement .
\ Ainsi f admet une dérivée partielle suivant la première composante au point (x 0 ,y0 ) lorsque
f (x,y0 ) − f (x0 ,y0 )
f (x0 + t,y0 ) − f (x0 ,y0 )
( resp
) admet une limite finie quand x tend vers x0 ( resp t tend
x − x0
t
∂f
vers 0 ) et cette limite est
(x0 ,y0 ) . De même pour la dérivée partielle suivant la deuxième composante.
∂x
Mathématiques
chapitre : fonctions de plusieurs variables
page
13
Proposition 10 Si f admet un DL1 (x0 ,y0 ), alors f admet des dérivées partielles en (x0 ,y0 ).
∂f
∂f
(x0 ,y0 ) et b2 =
(x0 ,y0 ).
De plus, avec les notations de la définition b1 =
∂x
∂y
On a ainsi, s’il existe, l’expression du DL1 (x0 ,y0 ) de f :
f (x0 + h1 ,y0 + h2 )
=
(h1 ,h2 )→(0,0)
f (x0 ,y0 ) +
∂f
∂f
(x0 ,y0 ) h1 +
(x0 ,y0 ) h2 + o (h1 ,h2 )
∂x
∂y
Remarque 8
∂f
∂f
(x0 ,y0 ) et
(x0 ,y0 ) ne serait-elle pas suffisante (comme c’est le cas
∂x
∂y
pour une variable) pour l’existence d’un DL1 ? Et bien NON (contrairement au cas pour une variable mais on
y était préparé avec la continuité) :
xy
(0,0) 7→ 0
\ Contrexemple (x,y) 7→ 2
x + y2
\ Jubilation : la condition d’existence de
C.1.3
Dérivée suivant une direction quelconque
Définition 13 Soit h un vecteur de R2 . On dit que f admet une dérivée en u0 suivant h lorsque
l’application ϕh : t 7→ f (u0 + th) (définie sur un voisinage de 0de la forme ] − α; α[ ) est dérivable
en 0. Si c’est le cas, le réel ϕ0h (0) est noté Dh f (u0 ) et est appelé dérivée de f en u0 suivant le
vecteur h.
Remarque 9
\ On revient sur " définie sur un voisinage de 0" .
1
\ Ainsi f admet une dérivée suivant le vecteur non nul h ssi (f (u0 + th) − f (u0 )) a une limite finie en 0 et alors
t
1
Dh f (u0 ) = limt→0 (f (u0 + th) − f (u0 )).
t
\ Notons tout de suite que les dérivées partielles sont les dérivées suivant i et j respectivement (note 7 ) ; et si elles
∂f
∂f
existent :
(u0 ) = D(1,0) f (u0 ) et
(u0 ) = D(0,1) f (u0 ).
∂x
∂y
Exemples 9
1. Etude des dérivées partielles de f définie sur
2. On considère la fonction définie sur
f (x; y) =
2
∗
+
×
∗
+
x
par f (x,y) = arctan( ).
y
par:
x4 y 4
si (x; y) 6= (0; 0) et f (0; 0) = 0
+ y 4 )3
(x2
(a) Prouver que f admet des dérivées en (0; 0) dans toutes les directions.
(b) Etudier la continuité de f en (0; 0).
3. Existence et expression de Dh f (u0 ) lorsque f possède un DL1 (u0 ).
7. On parlera de dérivée suivant (Ox) et (Oy) : une dérivée suivant un axe -droite orientée- est la dérivée dans la direction du vecteur
normalisé dirigeant et oriantant l’axe.
Mathématiques
C.2
C.2.1
chapitre : fonctions de plusieurs variables
page
14
Fonctions de classe C 1 sur un ouvert
Définitions
Définition 14 Fonctions dérivées partielles
1. On dit que f admet une (fonction) dérivée partielle suivant la première composante (ou
∂f
existe sur U ) lorsque f admet une
suivant x ou par rapport à x ) (ou par abus que
∂x
∂f
dérivée partielle suivant la première composante en tout point de U ; on note alors
(ou
∂x
D1 f ) la fonction U
→ R
et on l’appelle (fonction) dérivée partielle suivant
∂f
(x,y) 7→
(x,y)
∂x
la première composante.
2. On dit que f admet une (fonction) dérivée partielle suivant la deuxième composante (ou
∂f
existe sur U ) lorsque f admet une désuivant y ou par rapport à y) (ou par abus que
∂y
∂f
(ou
rivée partielle suivant la deuxième composante en tout point de U ; on note alors
∂y
D2 f ) la fonction U
→ R
et on l’appelle (fonction) dérivée partielle suivant
∂f
(x,y) 7→
(x,y)
∂y
la deuxième composante.
Remarque 10 Ainsi :
\ f admet une dérivée partielle suivant la première composante lorsque les applications partielles f (.,y)
∂f
(x,y) s’obtient en dérivant par rapport à x à y fixé l’expression
sont toutes dérivables ; l’expression de
∂x
0
f (x,y) (c’est bien cela f (.,y) (x)).
\ f admet une dérivée partielle suivant la deuxième composante lorsque les applications partielles f (x,.)
∂f
sont toutes dérivables ; l’expression de
(x,y) s’obtient en dérivant par rapport à y à x fixé l’expression
∂x
0
f (x,y) (c’est bien cela f (x,.) (y)).
Exemples 10
p
Déterminez, sur leur domaine d’existence (à préciser), les dérivées partielles des fonctions : (x,y) 7→ x2 + y 2 ,
x−y
.
(x,y) 7→
x+y
Définition 15 .
• On dit que f est de classe C 1 (sur U ) lorsque, f admet des (fonctions) dérivées partielles suivant
les deux composantes et que ces dérivées partielles sont continues (sur U ).
• On note C 1 (U,R) ou C 1 (U ) s’il n’y apas ambigüité l’ensemble des fonctions de classe C 1 sur U .
Exemples 11
xy
R2 → R
et (x,y) 7→ 2
définie sur sur R2 \ {0,0} sont de classe C 1 . D’une façon générale
x
+ y2
(x,y) 7→ x2 − xy + 1
c’est le cas des fonctions polynomiales et rationnelles sur tout ouvert inclus dans leur domaine de def puisque
ces fonctions possèdent dse fonctions dérivées partielles suivant les deux composantes et que celles-ci de même
type sont encore continues.
f:
C.2.2
Théorème fondamental
• Voici notre condition suffisante pour avoir un DL1 :
Théorème 2 Si f est de classe C 1 sur U , alors f admet en tout point (x0 ,y0 ) de
U un développement limité à l’ordre 1.
Mathématiques
chapitre : fonctions de plusieurs variables
page
15
Preuve. Admise, démonstration non exigible.
Remarque 11
\ On sait de plus que ce DL1 (x0 ,y0 ) est donné par
f (x0 + h1 ,y0 + h2 ) = f (x0 ,y0 ) +
∂f
∂f
(x0 ,y0 ) h1 +
(x0 ,y0 ) h2 + o (h1 ,h2 )
∂x
∂y
\ Il y a ainsi un fossé entre notre CN et notre CS pour que f admette un DL 1 en u0 :
– On a des CN (qui ne sont pas CS on le sait) : la continuité en u0 et existence des der part en u0 ;
– On a une CS (pas CN certainement, cf exemple en dessous ) : f de classe C 1 sur un ouvert contenant u0 .
\ Exemple Exemple
DL1 pas C 1 :
¶
µ de f admettant
1
, f (0,0) = 0
f (x,y) = xy sin
x2 + y 2
2
2
\ Exemple
f (x,y)
¯
¯ = x κQ (x) + y κQ (y) admet un DL1 en (0,0) puisque f (x,y) = o (x,y)
¯ f (x,y) ¯
2
2
p
x +y
¯
¯
car ¯ p
−→
0
≤ x2 + y 2
¯≤ p
2
2
¯ x2 + y 2 ¯
(x,y)→(0,0)
x +y
mais f n’est pas C 1 au voisinage de (0,0), car les dp ne sont pas même pas définies autre part qu’en (0,0) !
• En conséquence du théorème précédent, en particulier :
Proposition 11 Une fonction de classe C 1 sur U est continue sur U .
• La réciproque est fausse, bien entendu : voir (x,y) 7→ |x| qui est bien continue mais n’admet pas de DL 1 en
(0,0) (car la dp par rapport à x n’existe pas en (0,0) -par exemple-) donc n’est pas de classe C 1 .
C.2.3
Premières propriétés
Propriétés algébriques
1. C 1 (U ) est un sous-ev et un sous-anneau de C 0 (U ).
f
2. Si f,g ∈ C 1 (U ) et g ne s’annule par sur U alors ∈ C 1 (U ).
g
3. Si f ∈ C 1 (U ; ) et Φ ∈ C 1 (I; ) avec f (U ) ⊂ I alors Φ ◦ f ∈
C 1 (U ; ).
Preuve. Dans le bain, c’est immédiat. Dans chaque cas on justifie l’existence des dp, on les écrit, et on explique
leur continuité.
Exemples 12
1. On définit la fonction f par:
f (x; y) =
sin xy
si (x; y) 6= (0; 0) et f (0; 0) = 0
|x| + |y|
(a) Prouver que f est continue.
(b) f est-elle de classe C 1 ?
2. On définit la fonction f par:
f (x; y) =
f est-elle de classe C 1 ?
xy(x2 − y 2 )
si (x; y) 6= (0; 0) et f (0; 0) = 0
x2 + y 2
Mathématiques
C.2.4
page
chapitre : fonctions de plusieurs variables
16
Composition
• On s’intéresse à la composition de f ∈ C 1 (U ) avec γ : I
t
de classe C 1 sur I.
→ R2
7→ (α (t) ,β (t))
Proposition 12 Soient f : U → R, α,β : I → R où I est un intervalle d’intérieur non vide de R et telles que : ∀t ∈ I, (α (t) ,β (t)) ∈ U .
Si f est de classe C 1 sur U et α et β sont de classe C 1 sur I, alors l’application
g: I→R
est de classe C 1 sur I et
t 7→ f (α (t) ,β (t))
g 0 (t) =
∂f
∂f
(α (t) ,β (t)) α0 (t) +
(α (t) ,β (t)) β 0 (t) .
∂x
∂y
Preuve. On montre que g admet un DL1 (t0 ) en tout t0 ; cela prouve la dérivabilité et offre la formule ci-dessus .
On constate alors que g est C 1 car g 0 est continue par compo.
Exemples 13
1. Résultat considéré comme du cours : dérivées partielles d’une fonction de la forme (x,y) ½
f (Φ1 (x,y); Φ2 (x,y)).
2. Soit f une application de classe C 1 sur 2 et à valeurs dans . Calculer les dérivées (éventuellement
partielles) des fonctions suivantes:
(a) g(x; y) = f (y; x)
(b) g(x) = f (x; x)
(c) g(x; y) = f (f (x; x); f (y; y))
3. On note Uc = 2 \{(x; 0)|x ∈ − } et Up = {(r; θ) ∈ 2 tel que r > 0; −π < θ < π}
(a) Prouver que les fonctions
f1 : U c
(x; y)
→
→
Up
Ã
p
r = x2 + y 2 ; θ = 2 arctan(
et
f2 : U p
(r; θ)
→
→
y
p
)
x + x2 + y 2
!
Uc
(x = r cos θ; y = r sin θ)
sont deux fonctions de classe C 1 réciproques l’une de l’autre .
(b) Résoudre alors les équations aux dérivées partielles:
C.3
∂f
– (E1 ) ∀(x; y) ∈ Uc : x ∂f
∂y (x; y) − y ∂x (x; y) = 0
p
∂f
– (E2 ) ∀(x; y) ∈ Uc : x ∂f
x2 + y 2
∂x (x; y) + y ∂y (x; y) =
Extremum local
• Les définitions sont sans surprise :
Définition 16 Soit g : A → R, A ⊆ R2 , a ∈ A.
1. g admet un maximum local en a lorsque : ∃r > 0,∀u ∈ A, (ku − ak < r ⇒ g (u) ≤ g (a)).
2. g admet un minimum local en a lorsque : ∃r > 0,∀u ∈ A, (ku − ak < r ⇒ g (u) ≥ g (a)).
3. g admet un extremum local en a lorsque g admet un minimum ou un maximum local en a.
• Ajoutons que l’on a un extremum local strict en a lorsque les inégalités plus haut sont strictes pour u ∈ A\ {a}.
• Bôs dessins pour petits exemples : Quelques courbes Maple feront l’affaire ( cf C.3 ) .
• Nous allons maintenant établir une condition nécessaire d’existence d’un extremum local ; on sera très attentif
aux hypothèses et on notera d’ors et déjà que ces conditions ne sont pas suffisantes.
Mathématiques
chapitre : fonctions de plusieurs variables
page
17
3
2.5
2
–4
–4
–2
–2
y0
0x
2
2
4
4
F IG . 3 – visualisation de quelques extrema
Proposition 13 Soit f : U → R, u0 ∈ U , U est un ouvert de R2 . On suppose
que les dérivées partielles premières existent en u 0 .
∂f
∂f
(u0 ) =
(u0 ) = 0.
Si f admet en u0 un extremum relatif, alors
∂x
∂y
Remarque 12
\ Cela nous rappelle l’analogue pour les fonctions d’une variable : le point doit être intérieur à l’intervalle (pas
sur les bords).
\ On notera bien que :
– On l’a dit et on le constate sur l’exemple f : (x,y) → 2 + x2 − y 2 , (point selle -note 8 -), la condition n’est pas
suffisante :
10
0
–10
–4
–4
–2
–2
0x
y0
2
2
4
4
F IG . 4 – f : (x,y) → 2 + x2 − y 2
f est de classe C 1 , dérivées partielles nulles en (0,0) mais pas extremum local : x > 0 ⇒ f (x,0) > 2,y >
0 ⇒ f (0,y) < 2.
– L’hypothèse U ouvert est fondamentale ; plus précisément, u 0 doit appartenir à un ouvert (une boule ouverte par exemple) sur lequel f est définie (d’ailleurs la notion même de dérivée partielle a été définie
2
pour u0 ∈ U ouvert sur lequel f est définie) : f : [0; 1] → R admet un maximum relatif en (1,1) mais
(x,y) 7→ x2
8. De cheval.
Mathématiques
chapitre : fonctions de plusieurs variables
∂f
(1,1) 6= 0.
∂x
– Enfin, l’existence des deux dérivées partielles est fondamentale : f :
local en (0,0) et pourtant les dérivées partielles n’existent pas.
page
18
R2 → R
admet un minimum
(x,y) 7→ |x|
\ À propos des extrema globaux : soit g : A → R, A ⊂ R2 , a ∈ A.
– f admet un maximum global en a lorsque : ∀u ∈ A,f (u) ≤ f (a).
– f admet un minimum global en a lorsque : ∀u ∈ A,f (u) ≥ f (a).
– Par exemple f : R2 → R
admet un minimum global en (0,0) atteint en (0,1) (ou en (0,2)).
(x,y) 7→ |x|
Un extremum global est local (mais la réciproque n’est bien sûr pas vraie).
Si l’on se ramène à un ouvert et que les dérivées partielles existent, les extrema globaux et locaux sur
l’ouvert sont à chercher parmi les points annulant simultanément les dérivées partielles. Il faudra ensuite
vérifier si ce sont bien ou pas des extréma globaux ou locaux... cf exos
Exemples 14
1. Déterminer les extrema des fonctions suivantes:
(a) f est définie sur 2 par f (x; y) = x3 + y 3 − 6(x2 − y 2 ).
(b) g est définie sur D = {(x; y) |x2 + y 2 ≤ 1 par g(x; y) = x2 + xy + y 2 .
(c) h est définie sur [−1; 1]2 par h(x; y) = x2 + y 2 + sin(x2 + y 2 ).
C.4
Étude locale
• Lorsque la fonction est de classe C 1 , le lien entre dérivées suivant une direction et dérivées partielles est fort,
car les dérivées partielles suffisent à déterminer les dérivées suivant n’importe quelle direction. C’est le
théorème qui suit .
Théorème 3 Si f est de classe C 1 sur U , alors :
– f admet en tout point u0 une dérivée suivant tout vecteur h ∈ R2 ;
– pour tout (u0 ,h = (h1 ,h2 )) ∈ U × R2 , Dh f (u0 ) est donnée par :
Dh f (u0 ) = h1
∂f
∂f
(u0 ) + h2
(u0 ) .
∂x
∂y
Remarque 13
\ Si on fixe h et on fait varier u0 . Si f est de classe C 1 sur U , alors pour tout vecteur h ∈ R2 la fonction Dh f :
∂f
∂f
∂f
∂f
+ h2
et que par hypothèse
et
sont contiU → R
est continue sur U puisque Dh f = h1
∂x
∂y
∂x
∂y
u 7→ Dh f (u)
nues.
\ Si on fixe u0 et on fait varier h. On peut alors écrire le développement limité lorsque f est de classe C 1 sur U :
³
³→
−´
→
−´
h .
f u0 + h →
=
f
(u
)
+
D
f
(u
)
+
o
0
h
0
− →
−
h→0
C.4.1
Gradient
À partir de maintenant et pour la fin du IV f est de classe C 1 sur U . (note 9 )
−−→
Définition 17 On appelle gradient de f et on note gradf l’application
−−→
gradf :
U → R2 µ
(x,y) 7→
∂f
∂f
(x,y) ,
(x,y)
∂x
∂y
¶
9. On a besoin de cette hypothèse lorsque l’on fait le lien avec Dh f , les DL1 , la différentielle sinon l’existence des dp suffit à définir le
gradiant.
Mathématiques
page
chapitre : fonctions de plusieurs variables
19
On vérifie aisément que l’on a, pour tout f,g ∈ C 1 (U ), λ ∈ R :
−−→
−−→
−−→
grad (f + g) = gradf + gradg
−−→
−−→
grad (λf ) = λgradf
−−→
−−→
−−→
grad (f g) = f gradg + g gradf
On peut écrire en utilisant la structure euclidienne canonique de
h1
∂f
∂f
(x0 ,y0 ) + h2
(x0 ,y0 ) =
∂x
∂y
µ
2
.
−−→
gradf (x0 ,y0 ) |
µ
h1
h2
¶¶
³−−→
´
Dh f (u0 ) = gradf (x0 ,y0 ) | h
Remarque 14
∂f
∂f
(x0 ,y0 ) + h2
(x0 ,y0 ) est une forme linéaire
∂x
∂y
C’est la fl tangente à f en (x0 ,y0 )) et il existe un unique vecteur v de R2 tel que cette fl soit (v | .) !!! c’est
−−→
gradf (x0 ,y0 ).
\ Le développement limité de f en (x0 ,y0 ) s’écrit alors
\ (h1 ,h2 ) 7→ h1
³
³−−→
³→
→
−´
→
−´
−´
f u0 + h
= f (u0 ) + gradf (u0 ) | h + o h .
h→0
C.4.2
Différentielle en un point, la notation df
• L’application R2 → R
est une application linéaire : c’est
³−−→
→
−
→
−´
∂f
∂f
h = (h1 ,h2 ) 7→ gradf (u0 ) | h = h1
(u0 ) + h2
(u0 )
∂x
∂y
2
une forme linéaire sur R .
• Comme f est C 1 f admet un DL1 en u0 et donc au voisinage de (x0 ,y0 ), f (x0 + h1 ,y0 + h2 ) − f (x0 ,y0 ) et cette
forme linéaire sont proches (différence est un o (h)). D’où le nom :
Définition 18 Pour tout u0 ∈ U , la forme linéaire
R2 → R
³−−→
→
−´
→
−
∂f
∂f
(u0 ) + h2
(u0 )
h = (h1 ,h2 ) 7→ gradf (u0 ) | h = h1
∂x
∂y
est appelée application linéaire tangente à f en u0 ou différentielle de f en u0 et est notée du0 f
ou df (u0 ).
Remarque 15
• Pour tout u0 ∈ U : f (u0 + h) = f (u0 ) + du0 f (h) + o (h).
h→0
• Le point sur la notation df et les notations éventuellement rencontrées en physique (Note 10 ).
Exemples 15
1. Déterminer la dérivée première suivant (1,2) de
f : R2 → R , (x,y) 7→ x2 − xy + 1 au point (1,1).
2. Calculer la dérivée de la fonction (x,y) 7→ 2x2 − 3y 2 au point (1,0) dans la direction formant avec l’axe (Ox)
un angle de 120◦ .
10. En fait la notion de fonction différentiable sur U ie possèdant en tout point de U une application différentielle vérifiant la ralation de
remarque 15-1) est la vraie notion de calcul différentiel -sans considérer des fonctions de classe C 1 uniquement- rempla¸ant dans 2 la notion
de fonction dérivable . Les résultats qui précèdent permettent d’affirmer que comme pour les fonctions numériques, une fonction de classe
C 1 est différentiable. Comme pour les fonctions numériques si f : U → ( avec U ouvert ) possède un max en un point alors la différentielle
est nulle en ce point et si de plus U n’est pas ouvert ( ie possède des bords ) on va voir à la main ce qu’il se passe. OUF notre théorie est
bonne !!!
Mathématiques
chapitre : fonctions de plusieurs variables
page
20
D Dérivées partielles d’ordre 2
D.1 Définitions
Définition 19 Dérivées partielles successives
1. Une dérivée partielle seconde (ou d’ordre 2) de f est, lorsqu’elle existe, une dérivée partielle première (par rapport à l’une des composantes) d’une des dérivées
preµ partielles
¶
∂2f
∂ ∂f
,
notée
mières (par rapport à l’une des composantes) de f . Il y en a quatre :
∂x ∂x
∂x2
µ ¶
µ
¶
µ
¶
∂ ∂f
∂ 2 f ∂ ∂f
∂ 2 f ∂ ∂f
∂2f
,
,
.
notée
notée
notée
∂y ∂x
∂y∂x ∂x ∂y
∂x∂y ∂y ∂y
∂y 2
Remarque 16 • Par souci de légèreté nous n’avons pas noté ici les notions locales qui sont sous-entendues dans
les énoncés. Voici un cas particulier qui vaudra pour tous. Soit u 0 ∈ U . f admet la dérivée partielle seconde
∂2f
∂f
au point u0 signifie que
admet une dérivée partielle première suivant la deuxième composante au
∂y∂x
∂x
∂f
∂f
(x0 ,.) est dérivable en y0 ) ; en particulier, il est nécessaire que
existe au voisinage de u0 (sur
point u0 (i.e.
∂x
∂x
une boule ouverte de centre u0 ) pour que cela ait un sens.
D.2 Fonctions de classe C 2 sur un ouvert
Définition 20 Fonctions de classe C 2
1. On dit que f est de classe C 2 sur U lorsque toutes les dérivées partielles à l’ordre 2 de f sont
définies et continues sur U .
∂f
∂f
et
sont des fonctions de
2. On remarquera que ceci revient à dire que les fonctions
∂x
∂y
1
classe C sur U .
Remarque 17
Notation On note C 2 (U,R) ou C 2 (U ) l’ensemble des fonctions de classe C 2 sur U .
\ On montre sans problème que C 2 (U ) est un sous-aanneau et un sous-ev de C (U ) et que si f,g ∈ C 2 (U ) et g ne
f
s’annule pas alors ∈ C 2 (U ).
g
\ On montre aussi que la composition de fonctions (pour lesquelles la composition est possible) de classe C 2 est
de classe C 2 .
D.3 Théorème de Schwarz
Un exemple Soit f : R2 → R
(x,y) 7→ xy
x2 − y 2
prolongée par 0 en (0,0) .
x2 + y 2
∂f
x4 − y 4 + 4x2 y 2 ∂f
x4 − y 4 − 4x2 y 2
et
(on utilise f (x,y) =
(x,y) = y
f
(x,y)
=
x
2
2
∂x
∂y
(x2 + y 2 )
(x2 + y 2 )
∂f
∂f
−f (y,x) pour aller plus vite).
f (0,0) = 0 et
f (0,0) = 0 : f est de classe C 1 sur R2 .
∂x
∂y
µ ¶
µ ¶
∂ ∂f
x6 + 9x4 y 2 − 9y 4 x2 − y 6
∂ ∂f
(x,y) =
(x,y) =
.
– Pour (x,y) 6= (0,0) :
3
∂y ∂x
∂x ∂y
(x2 + y 2 )
µ ¶
µ ¶
∂ ∂f
∂ ∂f
Mais
(0,0) = −1,
(0,0) = 1.
∂y ∂x
∂x ∂y
– Pour (x,y) 6= (0,0) :
• Cet exemple a été exhibé par Peano (note 11 ) pour prouver que la permutation des dérivées partielles n’est
pas toujours licite, à une époque où l’on posait les jalons d’une construction rigoureuse des choses (fin 19ème)
11. Date à trouver.
Mathématiques
page
chapitre : fonctions de plusieurs variables
21
mathématiques.
Théorème 4 Soit f : U → R, u0 ∈ U . Si f est de classe C 2 sur U alors
∂2f
∂2f
(u0 ) =
(u0 ) .
∂y∂x
∂x∂y
Preuve. Admise, hors programme. Théorème daté de 1873 du à H. A. Schwarz.
Exemples 16
1. Déterminer toutes les fonctions de classe C 1 (ou C 2 selon la question ) sur
suivantes:
(a) ∂f
∂x = 0
(b) ∀(x; y) ∈
2
:
2
:
(d) ∀(x; y) ∈
2
:
(c) ∀(x; y) ∈
∂f
∂x (x; y) = h(x) , h étant une fonction continue sur
∂f
∂x (x; y) = h(y) h étant une fonction continue sur
∂2f
∂x∂y (x; y) = 0
2
2
2
et vérifiant les équations
.
.
dans
et qui au couple (x; t) associe le couple (u = x + at; v = x + bt).
2. On considère l’application f de
(a) Trouver une CNS sur a et b pour que f soit une bijection. Prouver que f et f −1 sont de classe C 2 .
(b) On suppose la condition précédente remplie: z désignant une fonction de classe C 2 sur 2 , prouver
que l’on peut définir une application Z de classe C 2 par la relation Z(u; v) = z(x; t). Déterminer
ensuite les expressions de
∂z ∂z ∂ 2 z ∂ 2 z
,
,
,
∂x ∂t ∂x2 ∂t2
en fonction des dérivées partielles de Z par rapport aux variables u et v.
(c) En choisissant subtilement a et b, résoudre alors les équations aux dérivées partielles:
∂z
− 3 ∂z
– ∂x
∂t = 0
–
∂2z
∂t2
2
∂ z
= c2 ∂x
2 c désignant un nombre réel non nul.
E Exos en vrac
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Montrer qu’une réunion quelconque , une intersection finie d’ouverts est un ouvert .
Que peut-on dire d’une intersection infinie d’ouverts, d’une boule fermée?
Montrer qu’une réunion finie , une intersection quelconque de fermés est un fermé .
Que peut-on dire d’une union quelconque?
corécrite Parties à la fois ouvertes et fermées dans 2 ?
On considère 2 muni du produit scalaire canonique et de sa norme associée N 2 . On définit par ailleurs
les applications N∞ et N1 sur 2 respectivement par:
∀(x; y) ∈
2
: N∞ (x; y) = max(|x|; |y|)et N1 (x; y) = |x| + |y|.
(a) Prouver que N∞ et N1 sont des normes sur 2 .
(b) Pour (x; y) ∈ 2 , Prouver les relations:
√
i. N∞ (x; y) ≤ N2 (x; y) ≤ 2N∞ (x; y).
ii. N∞ (x; y) ≤ N1 (x; y) ≤ 2N∞ (x; y).
√
iii. N2 (x; y) ≤ N1 (x; y) ≤ 2N2 (x; y).
7. Soit f une application continue du cercle unité de 2 dans . Montrer qu’il existe deux points du cercle
diamètralement opposés et ayant la même image par f .
Indication: s désignant la symétrie de centre 0, on pourra considérer la fonction g définie par g(x; y) =
f (x; y) − f ◦ s(x; y) .
Mathématiques
page
chapitre : fonctions de plusieurs variables
8. On note Uc = 2 \{(x; 0)|x ∈ − } et Up = {(r; θ) ∈
(a) Prouver que les fonctions
f1 : U c
(x; y)
→
→
2
tel que r > 0; −π < θ < π}
Up
Ã
p
r = x2 + y 2 ; θ = 2 arctan(
et
f2 : U p
(r; θ)
22
y
p
)
x + x2 + y 2
!
→ Uc
→ (x = r cos θ; y = r sin θ)
sont deux fonctions de classe C 1 .
(b) Soit f ∈ C 2 (Uc ; ). Pour (r; θ) ∈ Up on pose F (r; θ) = f (r cos θ; r sin θ) . Prouver que F ∈ C 2 (Up ; ) et
donner l’expression des dérivées partielles de F par rapport aux variables r et θ.
9. Vrai ou Faux? 1) L’intersection de deux ouverts de R2 est un ouvert de R2 : V F . 2) La réunion de deux
ouverts de R2 est un ouvert de R2 : V F . 3) L’intersection de deux fermés de R2 est un fermé de R2 :
V F . 4) La réunion de deux fermés de R2 est un fermé de R2 : V F . 5) La réunion d’ouverts de R2
est un ouvert de R2 : V F . 6) Une intersection d’ouverts de R2 est un ouvert de R2 : V F . 7) Une
intersection finie d’ouverts de R2 est un ouvert de R2 : V F . 8) La réunion de fermés de R2 est un
fermé de R2 : V F . 9) L’intersection de fermés de R2 est un fermé de R2 : V F . 10) Une sphère de
R2 est un fermé : V F
10. Quelques limites. Étudier l’existence et la valeur de la limite éventuelle en (0,0) des fonctions suivantes :
x2 (y + 1) + y 2
xy 5
xy 6
y
.
2)
(x,y)
→
7
.
3)
(x,y)
→
7
.
4)
(x,y)
→
7
. 5) (x,y) 7→
1) (x,y) 7→ 2
x + y2
x2 + y 2
x6 + y 8
x6 + 2y 8
¡ 4¢
¡ 4¢ π p
x4 + y 4 + sin y
sin x +
x5 y 3
1+x+y
xy
4
p
. 6) (x,y) 7→ 2
. 7) (x,y) 7→
. 9) (x,y) 7→
. 8) (x,y) 7→
4
4
x6 + y 4
x − y2
chx
+ shy
x +y
sin x − sin y
shxchx
. 10) (x,y) 7→
.
|x| + |y|
shx − shy
cos3 x
11. Donner l’ensemble de définition de la fonction f : (x,y) 7→
. f admet-elle une limite en
cos2 x + y 2 sin2 x
¡π ¢
2 ,0 ? Si oui, quelle est cette limite?
12. Déterminer
le domaines de continuité de la fonction h définie sur R 2 :

h (x,y) = 2y si x ≥ y 2


2x
h (x,y) =
si ( |x| ≤ y 2 et y 6= 0) .

y

h (x,y) = −2y si x ≤ −y 2
13. Est-il possible de prolonger par continuité sur 2 la fonction définie sur 2 privé de la droite d’équation
y = x par:
sin x − sin y
∀ x 6= y : f (x; y) =
x−y
x
∂z
(x,y) = 2
.
∂y
x + y2
Soit a un nombre réel positif. Décomposer a en somme de trois réels positifs de manière que le produit de
ces trois nombres soit maximal.
Déterminer les extrema locaux et globaux des applications suivantes définies sur R 2 :
¡
¢
2
2
2
1) (x,y) 7→ x2 + (x + y − 1) + y 2 . 2) (x,y) 7→ x2 + y 2 e−(x +y ) .
Déterminer la plus grande et la plus petite valeur de x 3 + y 3 − 3xy dans le domaine 0 ≤ x ≤ 2, − 1 ≤ y ≤ 2.
y2
soit c ∈ R∗+ . Montrer que la dérivée de la fonction (x,y) 7→
en tout point de l’ellipse 2x2 + y 2 = c2 dans
x
la direction normale à l’ellipse en ce point est égale à 0.
14. Déterminer les fonctions z définies sur R2 \ {(0,0)} vérifiant
15.
16.
17.
18.
Mathématiques
chapitre : fonctions de plusieurs variables
page
23
19. Trouver toutes les applications f : R2 → R telles que : ∀ (x,y,z,t) ∈ R4 ,f (x,y) + f (z,t) = f (x,z) +
f (y,t) .
20. Déterminer les parties de R2 à la fois ouvertes et fermées.
21. Calculer la dérivée de la fonction (x,y) 7→ x3 − 2x2 y + xy 2 + 1 au point (1,2) dans la direction joignant ce
point au point (4,6).
³y´
où U est un ouvert non
22. Montrez que toute fonction z : U → R de la forme (x,y) 7→ z (x,y) = xy + xϕ
x o
ny
, (x,y) ∈ U dans R vérifie sur U
vide de R2 inclus dans R∗ × R et ϕ est une fonction dérivable de V =
x
∂z
∂z
+y
= xy + z.
l’équation aux dérivées partielles x
∂x
∂y
∂z
x2 + y 2
23. Déterminer les fonctions z définies sur R∗ × R vérifiant
=
et z (1,y) = sin y.
∂x
x
24. Déterminer les extrema locaux et globaux de la fonction R 2 → R
.
(x,y) 7→ x4 − 2x2 y 2 + 2y 2
25. cor Une fonction f : R2 → R
est supposée homogène de degré n ∈ N c’est-à-dire que pour tout
(x,y) 7→ f (x,y)
nombre réel k et tout (x,y) ∈ R2 on a :
f (kx,ky) = k n f (x,y)
On suppose de plus que f est de classe C 1 .
(a) Justifiez que pour tout (x,y,k) ∈ R3 on a : x
∂f
∂f
(kx,ky) + y
(kx,ky) = nk n−1 f (x,y).
∂x
∂y
∂f
∂f
(x,y) + y
(x,y) = nf (x,y) pour tout (x,y) ∈ R2 (théorème d’Euler).
∂x
∂y
(c) Vérifiez ce résultat sur une fonction polynôme non nulle à deux variables homogène de degré 2 de
votre choix.
(b) Montrez alors que x