TP M2 - Étienne Thibierge

TP M2
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Viscosimètre à chute de billes
Au cours de la séance, vous rédigerez un compte-rendu dans votre cahier de TP. Un bon compte-rendu doit faire
figurer l’objectif de l’expérience, un protocole expérimental accompagné d’un schéma, l’allure des courbes
obtenues et le résultat des mesures accompagné d’une discussion des incertitudes. Pour vous aider, plus de détails
sont parfois donnés au fil de l’énoncé. Bien que n’étant pas toujours rappelés, les éléments cités ci-dessus sont un
minimum qui doit apparaître à chaque expérience.
Un compte-rendu de TP n’est ni un brouillon, ni une copie : sa vocation première est d’être un outil pour vous aider
à réutiliser en autonomie les techniques étudiées. N’hésitez pas à me solliciter si vous vous interrogez sur l’intérêt
d’écrire certains détails dans le compte-rendu !
Un binôme présentera son travail au reste de la classe en fin de séance et quelques cahiers seront évalués.
Matériel sur votre paillasse :
. Éprouvette de 1 L remplie de glycérol ;
. Trois élastiques placés autour de l’éprouvette ;
. Billes d’acier calibrées ;
. Chronomètre ;
. Un aimant pour remonter les billes.
Matériel sur le bureau :
. Un pied à coulisse ;
. Une balance.
Documents :
. Fiche « Mesures et incertitudes » (cahier de TP) ;
. Notice simplifiée du logiciel Regressi (cahier de TP).
L L L Attention ! Rajouter une annexe sur la lecture sur un vernier.
Vérifier l’unité de viscosité, il vaudrait mieux tout réécrire avec η. EN plus, la valeur attendue est exprimée
comme η et pas en termes de ν.
1
Étude théorique
#”
g
L
Une méthode de mesure de la viscosité ν d’un fluide relativement visqueux consiste à lâcher
une bille dans une éprouvette contenant le fluide et à mesurer sa vitesse limite. On s’intéresse
dans ce TP à des billes en acier de rayon R mesurable qui tombent dans du glycérol. L’huile
exerce sur la bille une force de frottement fluide donnée par la loi de Stokes,
#”
f = −6π ρgl νgl R #”
v.
z
On définit un axe z vertical vers le bas, si bien que vz = || #”
v || = v.
Données : masse volumique de l’acier ρa = 7,83 · 103 kg · m−3 et du glycérol ρgl = 1,3 · 103 kg · m−3 .
1 - Montrer qu’en raison de la poussée d’Archimède tout se passe comme si le poids de la bille était modifié avec une
masse volumique apparente ρ = ρa − ρgl .
2 - Établir l’équation différentielle vérifiée par la vitesse v.
3 - Exprimer la vitesse limite atteinte par la bille et la durée caractéristique τ pour atteindre cette vitesse limite. En
déduire un ordre de grandeur (surestimé) de la distance de chute nécessaire pour atteindre cette vitesse limite.
4 - On place deux repères dans l’éprouvette dans le domaine où la vitesse limite est atteinte. Quelles mesures faut-il
réaliser pour aboutir à la valeur numérique de la viscosité ?
5 - Comment s’assurer expérimentalement que la vitesse limite est atteinte lorsque la bille passe au niveau du premier
repère ? Comment le vérifier par un calcul simple ?
2
Mise en œuvre expérimentale
Mettre en œuvre le protocole discuté dans la partie précédente pour mesurer la viscosité du glycérol. Utiliser
plusieurs mesures judicieusement choisies pour minimiser les incertitudes.
La viscosité du glycérol dépend beaucoup de la température et de son degré d’hydratation. Pour les conditions
expérimentales qui nous sont accessibles, elle est comprise entre 0,5 et 1,0 Pa · s.
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Étienne Thibierge, 28 février 2017, www.etienne-thibierge.fr
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Évaluation
En plus des savoirs-faire exigibles en autonomie figurant dans le programme, les points les plus importants du
TP sont indiqués d’une étoile (?).
Au vu du travail au cours de la séance et de la présentation, un savoir-faire semble (A) acquis ; (B) à consolider ;
(C) en cours d’acquisition ou (D) pas encore acquis.
Savoir-faire
(?) Compétences exigibles en autonomie (extrait du programme) :
Mettre en œuvre un protocole de mesure des frottements fluides.
Analyser et exploiter expérimentalement les caractéristiques d’un régime transitoire du premier ordre.
Comprendre et s’approprier une problématique scientifique :
Rechercher, extraire et organiser de l’information.
Énoncer une problématique d’approche expérimentale et définir les objectifs
correspondants.
(?)Justifier un protocole ou un dispositif expérimental, en particulier en estimant des ordres de grandeur pertinents.
Obtenir des résultats de mesure :
(?) Mettre en œuvre un protocole avec précision et rigueur.
Analyser des résultats de mesure :
Représenter graphiquement des résultats expérimentaux.
Analyser les résultats de manière critique, maîtriser les unités et les ordres de
grandeur.
(?) Identifier les sources d’erreur et estimer quantitativement les incertitudes.
Présenter des contenus scientifiques dans un discours adapté :
Présenter les différentes étapes du travail : problématique, dispositif et protocole de mesure, exploitation des résultats, conclusion.
S’appuyer sur des supports graphiques pertinents (schémas et courbes).
Rédiger ou mener la présentation orale avec précision et rigueur en utilisant un
vocabulaire scientifique adéquat.
Parler sans attendre d’approbation et imposer le rythme de la présentation.
Faire preuve d’écoute et de réactivité :
Travailler seul ou en équipe, confronter son point de vue en faisant preuve
d’écoute.
Solliciter une aide de manière pertinente.
Compétence
Éval.
Réaliser
Réaliser
S’approprier
S’approprier, analyser
Analyser
Réaliser
Réaliser
Valider
Analyser, réaliser
Communiquer
Communiquer
Réaliser, communiquer
Être autonome et faire
preuve d’initiative
Être autonome et faire
preuve d’initiative
Être autonome et faire
preuve d’initiative
Être autonome et faire
preuve d’initiative
S’impliquer, prendre des décisions, anticiper.
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Solution de l’exercice
#”
1 - La bille étant de rayon R, son poids vaut P = 43 πR3 ρa #”
g , et comme elle est complètement immergée la poussée
#”
g . Ainsi, la force résultante de la poussée d’Archimède et du
d’Archimède s’exerçant sur la bille est Π = − 43 πR3 ρh #”
poids s’écrit
#” #” #” 4
F = P + Π = πR3 (ρa − ρgl ) #”
g
3
ce qui donne un poids apparent de la forme indiquée par l’énoncé.
2 - La bille est étudiée dans le référentiel du laboratoire R, supposé galiléen. On la modélise par un point matériel
de masse m, et de quantité de mouvement #”
p /R . Elle est soumise à son poids et à la poussée d’Archimède, de
#”
#”
résultante F , et à la force de Stokes f . D’après la loi de la quantité de mouvement,
d #”
p /R
#” #” 4
= F + f = πR3 (ρa − ρgl ) #”
g − 6π ρgl ν R #”
v /R
dt
3
Pour aboutir à l’équation différentielle vérifiée par v = || #”
v ||, il reste à projeter la loi de la quantité de mouvement
sur un axe vertical z. Pour avoir #”
v = +v #”
e z , il faut orienter l’axe vers le bas. Comme par ailleurs pour un point
matériel #”
p = m #”
v , on en déduit
4
4 3 dv
πR ρa
= πR3 (ρa − ρgl )g − 6π ρgl ν R v
3
dt
3
3 - Par définition, lorsque la vitesse limite vlim est atteinte, la vitesse de bille demeure constante, donc
0=
4 3
πR (ρa − ρgl )g − 6π ρgl ν R vlim
3
d’où
vlim =
2 R2 (ρa − ρgl ) g
9ρgl ν
Le temps caractéristique pour l’atteindre s’obtient en écrivant l’équation différentielle sous forme canonique,
dv
9ρgl ν
ρa − ρgl
+
v=
g
dt
2R2 ρa
ρa
On identifie alors
τ=
2R2 ρa
9ρgl ν
La distance pour que cette vitesse limite soit atteinte est de l’ordre de δ = vlim τ , tout en étant inférieure : ce serait
la distance parcourue pendant τ à la vitesse vlim , mais la bille démarre plus lentement, et parcourt donc forcément
moins de distance pendant la durée τ . Ainsi,
δ=
4 R4 ρa (ρa − ρgl ) g
81ρgl2 ν 2
En toute rigueur, pour atteindre vraiment la vitesse limite il faudrait un temps de chute de 5τ ou 7τ ,
mais nous verrons dans la suite de l’exercice que ce n’est pas crucial et que cet ordre de grandeur assez
approximatif nous permet de conclure.
4 - Supposons la vitesse limite atteinte. Pour la mesurer, il suffit de mesurer le temps de chute ∆t entre deux repères
distants de L, ce qui donne
L
vlim =
.
∆t
Ainsi,
2 R2 (ρa − ρgl ) g
ν=
= 1,07 kg · m−1 · s−1
9 vlim ρgl
5 - Pour confirmer que la vitesse mesurée est bien la vitesse limite, il faut que la profondeur h du premier repère soit
supérieure à la distance δ définie précédemment. Pour s’en assurer expérimentalement, on peut par exemple diviser
en deux ou trois l’intervalle de longueur L et s’assurer que la bille met le même temps à parcourir chaque tronçon :
c’est le signe qu’elle n’accélère plus. Un calcul simple pour le vérifier peut être d’estimer numériquement δ à partir
de la valeur mesurée de viscosité.
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Étienne Thibierge, 28 février 2017, www.etienne-thibierge.fr