Les l-blocs des groupes GL(n,q) et U(n,q2) et leurs

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
M ICHEL B ROUÉ
Les `-blocs des groupes GL(n, q) et U(n, q2 ) et
leurs structures locales
Séminaire N. Bourbaki, 1984-1985, exp. no 640, p. 159-188
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Séminaire BOURBAKI
37e
année, 1984/85,
Février 1985
n°640
LES l-BLOCS DES GROUPES
GL(n,q)
et
U(n,q2)
ET LEURS STRUCTURES LOCALES
par
Michel Broué
à Claude
Chevalley
Trente-cinq années se sont écoulées entre la démonstration par Richard
Brauer (1947) des "Conjectures de Nakayama" concernant la classification des caractères du groupe symétrique en £-blocs (~ un nombre premier), et le travail de Paul
pes
Srinivasan (1982) donnant la classification des caractères des grouet
en £-blocs pour l
q (note 1). Le passage du "corps à 1
et Bhama
Fong
GL(n,q)
U(n,q2)
Il requiert en effet
élément" au corps à q éléments n’était donc pas immédiat
et
introduites
méthodes
Lusztig pour l’étude
par Deligne
l’usage systématique des
...
"groupes finis de type de Lie".
Fong-Srinivasan, comme ceux de Brauer, utilisent de manière essentielle la combinatoire liée au groupe symétrique (diagrammes de Young, crochets, etc...). Nous présentons ici des travaux de Puig et de l’auteur, qui fournissent une nouvelle approche des résultats de Fong-Srinivasan (incluant le cas
2 qu’ils n’avaient pas traité), reléguant la combinatoire le plus loin possi~
ble - et donc se prêtant à une généralisation aux autres groupes de type de Lie.
Cette approche est fondée sur le point de vue "local" en théorie des blocs ([A-B],
[B-P]) et fournit donc, de plus, la structure locale complète des £-blocs des groupes GL(n,q) et U(n,q2) . Cette structure locale apparaît, une fois de plus, comme
des caractères des
Les résultats de
=
semblable à la structure locale ordinaire des
pe".
Cette
groupe
approche
symétrique,
a
que
été
inspirée par
présentons
nous
£-sous-groupes de groupes "du même ty-
une
étude
ici
en
antérieure, par Puig,
guise d’introduction.
PLAN
§1. Les £-blocs d’un groupe fini et leur structure locale
A. Les £-blocs’ d’un groupe fini
B. Structure locale
C.
sur un
§2. Les £-blocs du groupe
A.
bloc
Quelques compléments utiles
Diagrammes
de
B. Les résultats
symétrique
et leur structure locale
Young, crochets, caractères
principaux
159
du
cas
du
C.
Esquisse
de démonstration
§3. Les i-blocs de
GL(n,q)
et leur structure locale
et
A. Notations et conventions
B. Les théorèmes
§4. L’induction de
principaux
Deligne-Lusztig
et la
A. Les outils : l’induction de
B.
Description
des caractères des groupes de
propriétés
et
Bl. L’ensemble
méthode de démonstration
Deligne-Lusztig
type GL/q
S(G)
B2. Les caractères
B3. La
unipotents
décomposition de Jordan
C. Indications
D. Bilan et
sur
des caractères irréductibles
la démonstration des
perspectives
Les notations suivantes sont fixées
On
premier.
désigne
et par K
et de corps
résultats principaux
un
par
QQ
une
sous-corps de
fois pour toutes. Soit i
une
algébrique
degré fini sur
clôture
mQ
de
du corps des nombres
résiduel k . On suppose dans tout
ce
un
nombre
i-adiques
d’anneau des entiers A
qui
suit que K est "assez
gros"
pour tous les groupes finis considérés, i.e. que K contient les racines de l’unité
d’ordre l’exposant du groupe.
~1. LES £-BLOCS D’UN GROUPE FINI ET LEUR STRUCTURE LOCALE
A. Les £-blocs d’un groupe fini
Soit G
un
groupe fini.
semi-simple
et
de matrices
sur
se
L’algèbre de groupe KG est
décompose en un produit d’algèbres
K indexées par l’ensemble des classes
irréductibles de G
sur
K (cf
de G
sur
K :
d’isomorphismes de représentations
l’ensemble Irr(G,K) des caractères irréductibles
[Se]), i.e.
par
KG ~ 11
L’algèbre
JkG
son
MK(X) (xE Irr(G,K)) .
semi-simple dès que i divise l’ordre
de groupe kG n’est pas
radical de Jacobson. Sa
"semi-simplifiée"
se
décompose
de G. On note
en un
produit
k indexées par l’ensemble des classes d’isomor-
d’algèbres de matrices sur
phismes de représentations irréductibles
direct
de G
des caractères de Brauer irréductibles de G
kG/JkG ~ fi
L’algèbre
appelées les blocs
AG
B est
kG/JkG
un
bloc de
se
décompose
en un
AG ,3
la
k-algèbre
lée bloc de kG (ou bloc de G
sur
sur
A
Mk(cp)
produit
de AG (ou blocs de G
sur
sur
k , i.e. par l’ensemble IBr(G,A)
([Se]) :
(cpE IBr(G,A)) .
direct
d’algèbres indécomposables
A). Puisque l’anneau A est complet, si
est aussi
k). Dans toute la
indécomposable :
suite,
on
elle est appe-
appellera "bloc
de G"
soit
un
bloc de
AG, soit
bloc de kG .
un
bloc de AG. Si X
Soit B
un
est
caractère irréductible
un
de G sur K , on dit que XE B
si la projection de K AA B
sur
G
MK(X)
sur
A ,
est
non
même, si
nulle. De
dit que cpE B
on
tp est
caractère de Brauer irréductible de
un
projection de B/JB sur
partition de l’ensemble
si la
blocs de G définissent donc
une
est
non
nulle . Les
des caractères irréducti-
(resp. de l’ensemble des caractères de Brauer irréductibles de G
détails, on pourra se reporter à [Fe] .
le bloc qui contient le caOn appelle bloc principal de G et on note
ractère trivial de G sur K - et donc qui contient le caractère de Brauer trivial
de G sur A . Si G est un
le bloc principal est le seul bloc de G .
bles de G
sur
sur
K
A). Pour plus de
.
B. Structure locale
Soit X
un
sur un
l-sous-groupe
bloc
de G . On note
(kG)X l’ensemble des points
CG(X) le centralisateur
l’action de X par conjugaison, et on note
G . Le résultat suivant, essentiellement dû à Brauer
kG
sous
tion de la forme
présentée ici),
(1.1) Théorème - Définition. -
l’application
appartient
lé morphisme
g
ou non
à
CG (X).
un
démonstra-
kCG(X) qui
L’application
envoie g E G
BrX
est
un
sur
g
ou sur
induite par
0 selon que
morphisme d’algèbres,
appe-
de Brauer.
l-sous-groupe
On a
l’application
Br,. :
sur
(1.2) Définition ([A B]).- On appelle
X est
une
à la base de toute l’étude locale des blocs.
est
Soit
linéaire de kG
(cf [A-B] pour
fixes de
de X dans
une
£-paire
de G et E est
un
de Brauer de G toute
bloc de
paire (X,E) où
CG(X) .
notion naturelle d’inclusion entre
paires
de Brauer
([A-B]), qui
peut être définie de la manière suivante.
(1.3) Théorème ([B-P.1]).- Soient X et X’ deux l-sous-groupes de G tels que Xc:X’.
Soit E’
de
Soit i*
S~_
On dit alors que la
I* est
bloc de
Il existe un unique bloc E
possédant la propriété suivante :
un idempotent primitif de
kCG(X’) tel que i*~ E’.
un idempotent primitif de l’algèbre (kG) d’innaun
paire (X,E) est contenue dans la paire (X’,E’) et on no(X’ ,E’ ) .
De plus, on dit que (X,E) est normale dans (X’,E’) si X est normal dans X’
et si
(X’,E’). Si X et X’ sont deux l-sous-groupes de G tels que X est normal dans X’, on a (X,E)c (X’,E’) si et seulement si le bloc E est stable par conte
jugaison
comme
par X’ et si
clôture de la relation de
(cf [A-B] pour une définition de l’inclusion
normalité). Il est clair d’après (1.3) que
1. la relation d’inclusion est
2. Si
une
relation
d’ordre,
(X,E)c (X’,E’),
(X,E)
(X’,E’).
qu’en fait l’inclusion des paires généralise l’inclusion
alors
est sous-normal dans
Nous allons voir
des
l-sous-groupes.
Soit B
bloc de G . On dit
qu’une paire (X,E) est une B-paire si ({1},B)
(X,E).
guide
principal intérêt des définitions précéproviennent du résultat suivant, équivalent à la propriété connue sous le
"Troisième Théorème Principal de Brauer".
un
est contenue dans
dentes
nom
de
Le
(1.4) Théorème ([A-B]).l’ensemble des
et le
X N
L’application
l-sous-groupes
d’inclusion.
de G
(X,Bo(CG(X))) est
B (G)-paires
une
l’ensemble des
sur
bijection de
de G qui res
c-
te les relations
IPu.l], on appelle catégorie de Frobenius de G pour Q et on note
la catégorie dont les objets sont les £-sous-groupes de G , et telle que
les morphismes de X dans X’ sont les homomorphismes de X dans X’ induits par les
automorphismes intérieurs de G. Si B est un bloc de G , on appelle catégorie de
Brauer de G pour B et on note
la catégorie dont les objets sont les B-paiet
telle que les morphismes de (X,E) dans (X’,E’) sont les
res de Brauer de G ,
homomorphismes de X dans X’ induits par les automorphismes intérieurs de G qui envoient (X,E) sur une paire contenue dans (X’,E’).
Suivant
De même que l’étude £-locale d’une groupe fini est
l’étude de Frl (G)
l’étude locale d’un bloc B de G est l’étude de
sa
théorème (1.4) ci-dessus peut
de la manière suivante :
se
réinterprêter
identifie
(1.5) L’application X~
Ainsi l’étude locale des blocs
£-locale. De
fait,
nombre de résultats
Sylow, qui peuvent
de
pal
apparaît
être
frQ(G)
et
Br~ (G)(G) .
généralisation
généralisent, tels les
de l’étude
théorèmes
reformulation du "Premier Théorème Princi-
de Brauer".
(1.6) Théorème ([A B], "Théorèmes de Sylow").- (1) Soit B
G
([Pu.1]),
Le
comme une
connus se
vus comme une
catégorie
de Brauer
opère
transitivement par
conjugaison
sur
l’ensemble des
un
bloc de G .
B-paires
Le groupe
de Brauer maxi-
males.
et
(2) (Caractérisation locale de la maximalité) Soit (X,E) une paire de Brauer
son stabilisateur dans G . Les assertions suivantes sont équivalensoit
tes :
NG(X,E)
(i) (X,E) est une paire maximale de G ,3
(ii) (X,E) est une paire maximale ’de
NG(X,E) .
(1.7) Définition.- Si (X,E)
est
une
B-paire
de Brauer maximale de
G ,
le groupe X
s’appelle un groupe de défaut de
conjugaison de l-sous-groupes
de
B . Les groupes de
défaut forment donc
une
classe
de G .
fusion de l-sous-groupes s’étend également
est significatif de l’intérêt de ce
plus général
point de vue que l’on puisse aussi généraliser au cas d’un bloc quelconque Ze théorème de Frobenius (1907) affirmant que, si tous les groupes d’automorphismes
sont des l-groupes, alors G est "presque" un l-groupe, i.e.
le groupe
est un l-groupe, où
OQ,(GJ désigne le plus grand R,’-sous-grouG/OQ,(G)
pe normal de G . Ce résultat se généralise ([B-P.2],[Pu.3)) de la manière suivante :
Si B est un bloc de G tel que tous les groupes d’automorphismes
NG(X,E)/CG(X) de
sur AX
B
une
de
matrices
algèbre
BrB(C) sont des l-groupes, alors l’algèbre est
où X est un groupe de défaut de B. Ainsi, du point de vue des représentations, B
se comporte "comme" l’algèbre de groupe d’un l-groupe.]
[Le théorème d’Alperin
au
sur
la
([A-B]). Il
de
cadre
présenter une description des catégories
cas où G est un groupe symétrique, un groupe linéaire ou un groupe
BrB(G)
unitaire, et de mettre en évidence le fait que ces catégories sont équivalentes à
des catégories de Frobenius
frt(H) pour des sous-groupes H de G "de même type" que
G (cf. ci-dessous §2.B et proposition (3.8)).
Le
présent exposé
a
pour but de
dans le
C.
Les
Quelques compléments utiles
la théorie des blocs
sur
paires autocentralisantes
(1.8) Définition.- On dit qu’une paire (X,E) est autocentralisante si elle
ximale
comme
paire
de Brauer du groupe
(1.9) Proposition.- Soit (X,E)
sont
ma-
XCG(X) .
paire
de Brauer de G . Les assertions suivantes
équivalentes :
(i)
(X,E) est autocentralisante ,
(ii)
provient
Il existe
Dans
Si
un
du caractère d’un
caractère irréductible X de
XCG(X)
appartenant à E ,
qui
A(XCG(X)/X)-module proj ectif.
conditions, le caractère x est uniquement déterminé,
canonique de la paire autocentralisante (X,E) .
ces
le caractère
X est
une
est
(X,E) est une B(G)-paire, elle
l-sous-groupe de Sylow de XCG(X)
et
s’appelle
est autocentralisante si et seulement si
qualificatif d "’autocentralisant"
paire (X,E) est autocentralisante si et seulement si, pour toute paire (X’,E’) la contenant, on a
La notion de paire autocentralisante permet d’énoncer un critère de maximalité particulièrement utile, qui généralise une remarque bien connue pour les
un
est dû à la
propriété caractéristique
.
Le
suivante : la
’
°
(1.10) La paire (X,E)
est maximale si et seulement si les deux conditions suivan-
tes sont satisfaites :
(1) (X,E) est autocentralisante,
( 2 ) £ . ne divise pas
Le "Second Théorème
Principal
Les blocs de G
de Brauer"
correspondent bijectivement
AG (et aussi à leurs
l’algèbre
tre ZAG de
.
images
idempotents primitifs du cenkG , les idempotents primitifs
aux
dans
de ZkG).
On
désigne
valeurs dans
K ,
par ZF(G) le
Gi’
la fonction définie par
Si b
correspond à
bloc B de G
un
sur
G à
qui
des ~,’-éléments de G .
élément de ZF(G) et si b est
un
des fonctions centrales
le sous-espace de ZF(G) formé des fonctions
1
s’annulent hors de l’ensemble
Si f est
K-espace vectoriel
et par
un
idempotent
de
ZAG ,
3
(b.f)(g) - f(bg) pour tout g E G
sur A (i.e. si
B
(AG)b ), et
on
note b.f
.
si X est un caracsi et seulement si b.x = X .
=
tère irréductible de G , il est clair que X E B
De plus, il n’est pas difficile de vérifier (moyennant les résultats de la théorie
.
[Se] , par exemple - cf [Br] ,
idempotent de ZAG laisse stable le
de Brauer contenus dans
multiplication
par
un
.,
(1.11) Définition.- Soit
la fonction définie
Br- x (b)
de commutation entre
Br
(1.12) Théorème.- Soit
tout fE ZF(G) ,
x un
dx’G
Soit B
un
bloc de
bloc de
G ,
on a
[Les méthodes
l’étude de
CG(x) ,
et soit X
[Br] ,
ou
et soit b
un
comme une
idempotent
propriété
de ZAG . Pour
paires,
ce
résultat peut s’énoncer ainsi :
correspondant à l’idempotent primitif e de ZACG(x)
un caractère irréductible de G appartenant à B . Si
({l},B)c:(x>,E) .
et certains des résultats
d’un groupe
l’algèbre
premiers
ci-dessus une application
semble des nombres
à
(cf
peut s’énoncer
[Fe] chap.IV) .
on a
un
0 ,
de Brauer"
.Q,-élément de G
En termes d’inclusion de
(1.13) Soit E
et
3
Principal
et
ZF(GIGi’) .
idempotent de ZAG , d’image b dans ZkG , on note
qui correspond à l’idempotent Br (b) de ZkCG(x) .
un
ZACG(x)
Le "Second Théorème
que la
l-élément de G . On note
x un
D’autre part, si b est
de
[Fe] , chap.IV)
sous-espace
dx,Gl(f) (y) = f(xy) pour tout f E ZF(G)
par
l’idempotent
ou
non
fini
précedents peuvent
sur un anneau
inversibles dans R ,
dx,G03C0 : ZF(G) ~
ZF (CG (xJ
être étendus à
semi-local R. Si
on
définit
~r
est l’en-
de manière
(x
un
analogue
03C0-élément de
.
G)
qui commute
(cf [Ro]).]
avec une
SYMÉTRIQUE
§2. LES £-BLOCS DU GROUPE
de
Diagrammes
A.
Dans
ce
de Brauer
opération
définie
Brx
les
sur
idempotents
ET LEUR STRUCTURE LOCALE
YOW1g, Crochets, Caractères
paragraphe,
rappelle brièvement quelques définitions
on
[Zh]) classiques sur les caractères du groupe symétrique,
présentation de Puig ([Pu.2]).
(cf [Ja]
appelle diagramme
est muni de l’ordre
partient
de
de l’entier
Soit D
IN (où IN IN
tout sous-ensemble fini D de IN
tel que, si
produit)
diagrammes
partitions
Young
(a,b)E D ,
tout
suivant la
élément (c,d) (a,b) ap-
à D .
encore
Les
de
résultats
et
en
ou
On
de ZRG
un
Young
de cardinal donné
n
correspondent bijectivement
aux
crochet de D
as-
n .
de
diagramme
Young
et soit
(a,b)E D
. On
appelle
socié à (a,b) l’ensemble
On
appelle
~ D . Si
-
(c,d) , (c+1,d+1)~ D} .
D(a,b) = {(c,d) ; (c,d)E D,
D(a,b) l’entier h tel que (a,b+h)E D ~et (a,b+h+1)
cardinal de D(a,b) , on dit que D(a,b) est un e-crochet de D .
hauteur du crochet
e
Soit
est le
D(a,b)
un
crochet de
de cardinal
D ,
D ’ = D -
D(a,b)
est
que D’est obtenu
désigne
par
Ainsi
à (4,2) est
en
un
et de hauteur h . Alors l’ensem-
encore un
enlevant
h(D,D’)
sur
e
diagramme
un
de
e-crochet
la hauteur de
Young. On dit
à D , et on
D(a,b).
l’exemple ci-contre,
le crochet associé
4-crochet de hauteur 1 . Le
diagramme
D
correspond à la partition (3,5,6,6) de 20 , et le diagramme D’ correspond à la partition (3,3,4,6) de 16 .
Il est bien
connu
diagrammes de Young classifient les caractères ir: à chaque diagramme D de cardinal n correspond
symétrique n , et cette correspondance peut être défi-
que les
réductibles des groupes symétriques
un caractère
du groupe
XD
nie par récurrence de la manière suivante ([Zh]) :
est le caractère trivial du groupe symétrique
(1)
X0
(2) soit
dinal e > 0
au
n >
et soit
0 , soit
x un
E
cycle
=
~1,2,...,n} ,
de
longueur
sous-groupe des éléments
tralisateur de
diagramnes
Young
un
trivial;
sous-ensemble de E de
support
trivialement
F . On
sur
car-
identifie ~n-e
F : ainsi le
cen-
Sn-e
.
on a
de
et de
qui opèrent
x
(2.1) Pour tout
l’ensemble des
de n
dans Sn est x>
y dans Sn-e ,
e
soit F
~D(xy) = 03A3(-1)H(D,Dt)~D,(y)
obtenus à
partir
où D’ parcourt
de D
en
enlevant
un
e-crochet.
L’assertion (2.1) est
B. Les
résultats principaux
Soit E
un
ensemble de cardinal
Pour tout sous-groupe X de
Soit
et C
un
diagramme
de
(2.2) Théorème
aucun
t divise
note
CG(X)) ,
Le théorème
(X,C) où
X est
paires
a
les
en
bC
(X,BCeX)) ,
(BC(X) désigne
immédiates suivantes.
conséquences
en
(Brauer, [Br.lJ)
bijection avec les diagrammes
de
Young
possédant
C
les
C n’a pas de A-crochet.
de Brauer
(X,C) E ~(G,Q) , le théorème (2.2) nous permet de
primitif de ZkCG(X) associé au bloc BC(X) . Si ({1},C)
abrégé
de G
(X,C)I-~
de Brauer de G
Si
tent
t-sous-groupe
un
bijection, notée
a une
suivantes :
Morphisme
de E .
des blocs
(2.3) Les blocs de G sont
propriétés
symétrique
.
telle que
précédent
Paramétrage
n =
,
l’ensemble des
sur
bloc de
2.
on
£-crochet .
(Puig-Marichal).- Il y
de l’ensemble
1.
et soit G le groupe
n
Murnagham-Nakayama".
tel que
Young
et
(2) C n’a
un
G ,
de "formule de
nom
l’ensemble des couples
(1)
donc
le
connue sous
(et plus loin
BC({1})
en
BC).
,
,..
.
‘
,..
noter
bC(X)
E
^‘
l’idempo-
bC({1})
^
_
,
..
~
est
,
3. Paires maximales et groupes de défaut
(2.4) Proposition.- Soit (X,C)~P(G,Q) On désigne par H le groupe symétrique de
est maximale si et seulement si les deux conditions suiE-EX . La paire
.
(X,BC(X))
vantes sont satisfaites :
(1)
(2) X est
1 CI,
un l-sous-groupe
de
Sylow
de H .
particulier, grâce à la proposition précédente,
de défaut d’un £-bloc d’un groupe symétrique est un ,Q,-sous-groupe
groupe symétrique.
On voit
en
3
catégorie de Brauer
un diagramme de Young
4. La
Soit C
G
correspondant.
Soit F
un
tel que
( ~ 1 } , C ) E ~ ( G, ~ )
sous-ensemble de E de cardinal
que tout groupe
de
et soit
1 CI,
Sylow d’un
Be
le bloc de
et soit H le groupe
symétrique
E-F , identifié
de
trivialement
sur
objet
sur un
catégorie
au
sous-groupe de G formé des éléments
X H
l’application
F . Alors
(G) , définit
de
de Frobenius de H
une
catégorie
et la
pour Q
(X,BC(X)) ,
équivalence
qui opèrent
objet de
catégories entre la
envoyant
de
un
de Brauer de G pour
B~ .
5. Caractères dans les blocs
suivant, qui est en fait (cf. C. ci-dessous) une conséquence de
la démonstration du théorème (2.2), est dû à Brauer ([Br.1]) (et indépendamment à
G. de B.Robinson), et avait été conjecturé par Nakayama. Son énoncé doit être considéré ici comme une continuation de l’énoncé du théorème (2.2), i.e. de la liste
des propriétés de la bijection
(X,BC(X)) .
Le résultat
(2.5) Théorème.- Soit C
le bloc de G
un
diagranme
correspondant .
Soit D
un
tère correspondant de G . Alors
XD E
de
D
un
certain
nombre
£-crochets
.
à
Young tel que ({1},C) E ~(G,Q) , et
diagramme de cardinal n , et soit XD
de
B~
si et seulement si C s’obtient
en
soit
le
BC
carac-
enlevant
Remarque.- L’énoncé précédent (précisé par l’assertion (2.3)) montre en particulier
que, quelle que soit la manière dont on ôte des £-crochets à un diagramme de Young
D , le diagramme (sans £-crochets) obtenu en fin d’opération est le même : il ne
dépend
que de D . Il
s’agit là
d’un résultat combinatoire
classique, qui
est ainsi
redémontré par la théorie des blocs. Ce résultat est en fait valide même si la longueur fixée pour les crochets "à enlever" n’est pas un nombre premier. Nous verrons
résultât général découle
paragraphe
ce
C.
de démonstration
suivant que
groupe linéaire.
au
Esquisse
C’est
de la théorie des blocs du
exercice élémentaire de théorie des groupes que de vérifier le ré-
un
sultat suivant.
(2.6) Lemme.- Soit X
où G(X) est
un
un
l-sous-groupe
sous-groupe de
Or si H est
de G = S(E) . Alors
G(X) ,
tel que
0~(G(X)) .
le groupe H n’a
groupe fini tel que
qu’un seul £-bloc : il est en effet possible de démontrer que, pour tout groupe
fini H , on a ZkH =
+ JZkH . D’où
un
(2.7) Les blocs de
Si D est
de
de
un
sont
diagramme
en
de
bijection
Young
naturelle
de cardinal
lui correspond. Ce caractère définit
que l’on note
qui
CG(X)
Le
principe
de la
démonstration de (2.2)
et
avec
,
un
les blocs de
on
bloc de
(2.5)
note
X
~(EX) ,
~(EX) .
le caractère
donc
est le suivant :
un
bloc
Une
paire quelconque
On cherche à
sifie alors
de G peut être notée
où IDI =
.
"agrandir"
paire, jusqu’à trouver une paire naximale. On clasles paires maximales, donc
(d’après (1.6)) les blocs de G . Puisque le
cette
a consisté à suivre des inclusions
de paires, il n’est pas difficile ensuite de prouver (2.2). En prenant
pour paire de départ la paire
,{1}))~’
on sait danc::
quelles paires maximales elle est contenue, c’est à dire dans quel
bloc se trouve le caractère
ce qui établit (2.5).
processus
({1},B(X D
x ,
Dans le processus
damental,
"explique"
et
d’agrandissement
en
quelque
des
sorte les
paires, le résultat suivant est fonconjectures de Nakayama (cf.(2.5)).
(2.8)
Proposition ([Pu.2]).- Soit X un
longueur
On pose X’ = Xx> , et
D (resp. D’) un diagramme de
Young de cardinal
de D
en
enlevant un lm-crochet,
de
G ,
on a
donc
IEXI1
(resp.
et soit
x un
cycle de
Soit
Si D’
se
déduit
on a
Pour démontrer cette
proposition, on se ramène d’abord au cas où X {1} .
L’assertion à démontrer devient alors une
conséquence immédiate de la formule de
Murnagham-Nakayama (2.1) et de la proposition suivante, qui s’apparente au Second
Théorème Principal de Brauer (1.12).
=
(2.9) Proposition (Puig).- Soit G
qu’il
tout
on
existe
un
£-élément y de H . Pour
qui
avec
tout
a(~,~)~(h) , où ~
pose ~(xh) = 03A3
bles de H . Soit
H
sous-groupe H
un
groupe
x un
£-élément de G tel
et tel
le bloc de G
contient ;). Enfin soit
B(~,x)
qui contient x (resp. le bloc de
B(~,H) le bloc de CG(x) défini par
=
on a
({1},B(X,G))
La
et soit
que x E
C (x) - x> x H ,
ur
caractère irréductible x de G et pour tout h E H,
parcourt l’ensemble des caractères irréducti-
B(X,G)
B(Ç,H) . Si a(X,~) ~ 0 ,
fini,
c
(x>,B(~,x)) .
proposition (2.8) mène donc à considérer
agrandies par ce procédé.
les
paires
de Brauer
qui
ne
peu-
vent pas être
(2.10) Définition.- Une paire de Brauer
est dite extrémale si le dia-
gramme D n’a pas de £-crochet.
La formule de
te des
Murnagham-Nakayama permet d’établir
paires extrémales.
(2.11) La paire
lisante (cf.(1.8).
De
en
est le
plus,
est
la
caractérisation suivan-
extrémale si et seulement si elle
dans ce cas, le caractère
caractère canonique (cf.(1.9)).
XD ® 1
du groupe
est autocentra-
C (X) = ~(E~) x G(X)
On voit de
une
la définition de
plus, d’après
paire extrémale,
alors
avec
que si
~(G,Q) ,
IDI =
nX .
Dans
est
ce
cas,
on
pose
B(XD,X) .
paire extrémale n’est pas nécessairement maximale. De fait, si X’ est un
qui contient X , on a C~(X’) = ~(EX) xG(X’) avec G(X’)
£-sous-groupe de
est une paire extrémale,
c G(X) , et il est immédiat de vérifier que si
Une
(1)
on a
(CI -
et
,
(2)
La caractérisation de la
maximalité donnée
en
(1.9) permet d’ailleurs d’établir le
résultat-clef suivant.
La paire extrémale
(2.12) Proposition.- Soit (X,C) E P(G,Q) avec |C| = |EX| .
est maximale si et seulement si X est un l-sous-groupe de Sylow de
(X,BC(X))
proposition précédente le paramétrage des blocs de
blocs correspondent aux classes de conjugaison de
On déduit aisément de la
G énoncé
(2.3), puisque les
appliquant alors ce paramétrage aux blocs de ~(EX) , pour
paires
£-sous-groupe X de G , on en déduit le paramétrage des paires décrit en (2.2).
considérations classiques sur la fusion des £-sous-groupes permettent alors de
en
maximales. En
tout
Des
ter-
miner la démonstration de (2.2) (et donc de (2.5)).
§3. LES £-BLOCS DE
ET
GL(n,q)
U(n,q2)
ET LEUR STRUCTURE LOCALE
A. Notations et conventions
Préliminaire
Soit p
un
nombre
premier,
turel. Le groupe unitaire
MtM
soit q
U(n,q_2) ,
une
puissance
de p et soit
ensemble des éléments M de
définie par l’élévation à la
conjugaison
ment de la matrice), est noté ici Glen,-q) .
=
I (la
est
n un
GL(n,q2)
puissance
q de
entier
na-
telles que
chaque élé-
De nombreuses raisons
justifient cette notation : des polynômes donnant l’orses tores maximaux, jusqu’aux conjectures d’Ennola sur les
fonctions de Green et les valeurs des caractères (récemment démontrées grâce aux
travaux de Hotta, Springer, Kawanaka (cf. [Mi])), la substitution de -q à q permet
de passer de l’énoncé concernant GL(n,q) à celui concernant U(n,q2) . Nous allons
dre du groupe
ou ceux
de
voir d’ailleurs que, si i est différent de p , il
là où intervient,
de
GL(n,q) , l’ordre ~p
venir,
pour
U (n, q pour
2 ) , l’ordre 03C6-q(l)
,
de -q
e
=
" module ~ ,
~ (~)
modulo
l
±1 . Les caractères du groupe
o
on
doit faire inter-
le montre la
descripprincipaux énoncés plus loin).
GL(n,Eq) sont paramétrés par les
tion succincte suivante (qui résulte des théorèmes
Soit
est de même pour les i-blocs :
en
,
comme
’
conjugaison
classes de
et
où À est
sous
caractère
un
paires (s, À) , où
G des
unipotent
de
s
est
un
élément de S(G)
(cf. §4) : c’est la
CG(s)
"décomposi-
évidence par les travaux de
([L-S]). Fong et Srinivasan ont montré
mise
tion de Jordan" des caractères de
GL(n,eq) ,
Lusztig-Srinivasan
([F-S]) que les £-blocs de GL(n,eq) admettent aussi une "décomposition de Jordan".
Appelons bloc unipotent de G tout bloc qui contient un caractère unipotent. Les
caractères unipotents sont classifiés par les diagrammes de Young de cardinal n .
Les blocs unipotents sont classifiés par les diagrammes de Young C possédant les
Green
([Gr]) Lusztig
et
3
divise
(1)
suivantes :
propriétés
en
n-IC1 ,,
(2) C n’a pas
où
(Q) - min{m ;
,
Les données
présenter
Pour
GL(n,eq) ,
p’-sous-groupes
les R,-blocs de
des centralisateurs de certains
on
en
fait décrire les £-blocs
GL(n,eq) .
des produits
Il est par
conséquent
directs de groupes
telle est la structure des centralisateurs des p’-sous-groupes.
commode de chercher d’emblée à décrire les blocs
puisque
faire,
GL(n.,e.q.) ,
doit
de
nous considérons de tels groupes comme groupes de points rationnels de groupes algébriques connexes réductifs définis sur une clôture algébrique du corps à p-éléments, afin de pouvoir utiliser les méthodes de Deligne et
Lusztig ([D-L]). Nous avons besoin de notations et conventions précises, que voici.
Pour
ce
Groupes de type GL/q
Soit q une puissance de p . Un "groupe de type GL/q" signifie ici les données suivantes : un ensemble fini I , deux familles d’entiers naturels
(ai)iEI ’
une
famille de
signes
tels que F. soit de cardinal
1
(ti) iEI (ti
q si e. -
t1),
=
une
famille de corps
+1 et de cardinal q
2ai
si
t. = -1 ;
on
pose alors
V. _ ~ ni , q. _ q i .’Le groupe G
On note
dans
Groupes
a
9
®
Vi ,
,
de
type GL/q
Soit X
présentation
un
type GL/q ,
un
ensemble
isomorphe à
sur
i.e.
un
une
naturelle
représentation
T-TGL(ni,elqi)
.
iEI
~
et centralisateurs de
p’-sous-groupe
de X
de
telles que
et il est
donc
p’-sous-groupes
de G . En utilisant la
semi-simplicité
de la
re-
®Vi , il est immédiat de vérifier que X définit un groupe
ensemble de données analogues à celles décrites ci-dessus :
fini, noté I(X) ,
et des
familles
(nj) , (aj) , (~j) , (Fj)
(jEI(X)),
[En effet, supposons pour simplifier III - 1 . Si G
GL(n,F) , I(X)
=
est
~ .Si
l’ensemble des composants isotypiques de l’opération de X sur V
=
un
est
où
a
des
l’ensemble
est
I(X)
isotypique de
composant
{a,a*}
U(n,F) ,
=
G
l’opération
de X
sur
V
:pD ,
=
(noter que l’on peut avoir
ZFX dans
mage de
l’ia*). Dans tous les cas, si jE I(X) ,
associé
d’un
des endomorphismes
composant isotypique
F..est
=
a
l’algèbre
"composant isotypique contragrédient"
où a* est le
et
a j.]
De
on
plus (avec
le sous-espace de
note
mension
sur
formé des points fixes par X
V.
chaque
facteur de
Les groupes de
de définir
G , permet
de
désigne
par
une
clôture
algébrique
de
GL(n,F)
Fq
Ainsi les sous-groupes de
et
un
de
F
note
sa
I ,
di-
déterminant, appliqué
à q
(m9-.)
note F(-q)
les matrices (F(q)(M)) .
et
en
éléments
F(q) l’endomorphis-
On note
=
M =
transformant les matrices M
le sous-corps
GL(n,q)
GL(n,q)
le
GL/q ,
morphisme
groupe de type
un
transformant les matrices
GL(n,F)
l’endomorphisme
On
on
~det : G -~ Z (G) .
type GL/q comme groupes de points rationnels
Soit F
me
et
IF..
Notons enfin que si G est
dans
pour tout i dans
précédemment),
les notations introduites
de F ,
en
et
.
on
pose
GL(n,Fq) , GL(n,-q)
fixes
GL(n,F)
respectivement par F(q)
=
on
=
.
F(-q)
et
sont
GL(n,-q) .
Un groupe de
type GL/q
isomorphe, en tant que groupe, au groupe des
points rationnels d’un groupe algébrique connexe réductif défini sur F. En effet,
soit l un ensemble fini , et soit G
muni d’un endomorphisme F posséiEI
ai
dant la propriété suivante : F induit une permutation de Î , et si F
est la plus
est
-
petite puissance
de F
F opère
sur ce
facteur
est alors
isomorphe
qui stabilise
le facteur
comme
.
produit
au
1
iEI
sentants des orbites de
Eléments semi-simples
Soit G =
Soit g
un
définit
et ensemble
L.~ ,
le corps
induite par F
GL(n, 7F) (resp. U(n, F) ) , où
semi-simple de G
iEI(g))
n.~ , a.~ (pour
~
=
où I
et soit L
par : L
GL(n,F)
et -1 si G
engendré
par Z(Li)
groupe d’ordre I. ( Eq)
I de
sur
=
e.
t1 tel que
points rationnels
Le groupe des
1
il existe
désigne
un
système
G
=
G
repré-
de
l’ensemble l .
S(G)
élément
vaut +1 si G
signe
l’opération
GL(n. 1 ,î) ,
=
=
U(n,F) .
dans
F
=
est
CG(g) .
T-’T
L.
corps à q
un
On note
et
On pose g
L.~ ~
=
(resp.q2) éléments.
I(g) = I(g>)
~
°
Z(Li)
est
on
où
(gi) (iEI( ) )’
le groupe
et
Si
égal
F. l
e
dé-
au sous-
F....
Supposons choisis
isomorphisme
isomorphisme
un
un
chaque famille
A
cié
caractère
un
o
algébrique
clôture
une
de
Les
rentes familles o) sont tous
=
semi-simple
Cb(g)
K ,
o
asso-
défini de la manière suivante :
générateur particulier
plongement correspondant
est
caractères 03B603C3(g)
de
de
défini par
ainsi définis
Z(L.)
T.
défini
dans
l’égalité
les diffé-
(pour
conjugués
et des
g de G
= ~03C3(g) .
et ~
.
plongements
Si G
est
un
iEI
i ,
existe
qu’il
S(G) l’ensemble des couples (L,~) tels
On désigne par
L
(Q/~)p, .
~’ au-dessus de F est
caractère 03B603C3(g)
Le
"
le
z.
par le
ment
i ’ : 1p ~ -~
plongements a. :
Soit
F ,,
Q/~L ,
i:
de Z(L) à valeurs dans
l:a(g)
F de
l’ , ~ _ (6i)
groupe de type
un
élé-
tels que
GL/q quelconque,
l’ensem-
(L,~) où L =!n Li et ~ _ ~:~i (iEI) sont
Si s = (L,~)E S(G) , on note L = CG(s) , I(s) = I(Z(L)) ,
tels que
et on appelle ordre de s l’ordre du caractère 03B6 . (Pour des compléments sur l’ensemble S(G), on peut se reporter au §4.B1 ci-dessous et à la note 2).
ble S(G) est par définition l’ensemble des
°
B. Les théorèmes
principaux
désigne dorénavant par P
On
l’ensemble des
diagrammes
X
’~(G,Q) l’ensemble des triples (X,s,C) , où
est un L-sous-groupe de G ,
s
est un
de
Young.
(3.1) Soit
application de I(s)
tout j E I(s) , on a (1)
.
pour
3
£ ’ -élément de S(G)
C est
une
(Broué-Puig).- Il y
de l’ensemble P(G,£) sur
dans D vérifiant les
et 03C6
(X s,C)
l’ensemble des
Le théorème
> divise
,
application surjective, notée
a une
(X’,s’,C’)G
suivantes :
~jqj(l)
(3.2) Théorème
que
propriétés
£-flaires
de Brauer de
G , telle
si et seulement si
précédent implique
immédiatement les trois
suivan-
propositions
tes.
1.
(3.3) On
Paramétrage des paires
a
de Brauer
(X,s,C)G = (X’,s’,C’) G
si et seulement si les deux
triples
sont
conju-
gués
par
un
élément de
paramétrage
2.
CG(X) .
(3.4) Les £-blocs de G sont
ples (s,C) où
s
est
un
£’-élément
en
bijection
une
Morphisme
3.
les G-classes de
avec
conjugaison
de
cou-
de S(G)
application de I(s)
tout j E I ( s ) , on a (1)
C est
pour
(Fong-Srinivasan, [F-S])
des blocs
dans D
possédant
et 03C6~jqj
(l)
les
suivantes :
propriétés
divise
n_-!C_! ,
,
de Brauer
l-sous-groupe de G . On désigne par b(s,C) l’idempotent primitif
correspondant (d’après ce qui précède) au bloc de G défini par (s,C) , et si
l’idempotent primitif de ZkCG(X)
(X,s’,C’)E ~(G,~) , on désigne par
Soit X
un
de ZkG
défini par la
(3.5) On
paire
de Brauer
(X,s’,C’)G .
b(s’ C,)(X)
a
présentants
des
CG(X)-classes
conjugaison
de
où (s’,C’) parcourt
un
système
couples G-conjugués à (s,C)
de
de
re-
et tel-
les que
Les deux résultats suivants
peuvent aussi être considérés
comme
des consé-
quences du théorème (2.2).
4. Paires maximales
et groupes
de défaut
le
paire de Brauer de G . Pour j E I(s) , on note
dans
qui est stable par X (cf. A. ci-dessus pour
supplémentaire de l’espace
V.
les notations). On note
l’image réciproque dans CG(s) du sous-groupe
Soit
(3.6)
(X,s,C)G
Proposition.-
[V.,X]
une
La
paire
de Brauer
est maximale si et seulement si
(X,s,C)G
les deux conditions suivantes sont satisfaites :
né
,
particulier
que
(1) pour tout j E I(s) , on a tC.t ==
(2) X est un l-sous-groupe de Sylow de
Cette
proposition
montre
en
(3.7) tout groupe de défaut d’un £-bloc d’un groupe de type GL/q est
groupe de
un
£-sous-
qu’il
définit
Sylow d’un sous-groupe de même type.
5. La
Soit
catégorie de Brauer
(s,C) un couple comme
en
(3.4) et soit B le bloc de G
On choisit
une
sion de
sur
CG(s)
V?
décomposition en
IF. soit égale à
du sous-groupe
naturellement
de
équivalence
Fr (H)
de
par
H l’image réciproque
GL(V.,:F.) .
dans
Ainsi le groupe H est
à
~
jeKs)
(3.8) Proposition.- L’application
une
de sorte que la dimen-
V. =
et on désigne
,
03C0 GL(V1j,IFj)
isomorphe
rie de Frobenius
directe
somme
des
sur
~
X ~
~ ~
(X,s,C)
objets
de la
envoyant
catégorie
les
objets
de la
catégo-
définit
de Brauer
catégories.
6. Caractères dans les blocs
données définies
Avec les
G
sur
K sont
où
couples (t,D)
j E I(t) ,
Si (t,D)
un
D est
une
lDjl -tel
nj (cf.§4.B.3
est
couple,
9
ci-dessus,
avec
les caractères irréductibles de
les classes de
conjugaison
sous
G des
élément de S(G)
t est
un
A.
en
naturelle
correspondance
en
application
de I(t) dans D telle que, pour tout
ci-dessous).
on
désigne
par
xGt D
le caractère irréductible de G
correspondant.
suivant, qui est une conséquence de la démonstration du théorème
principal (3.2) (cf.~4.C. ci-dessous), et dont l’énoncé donné ici doit être considéré comme une continuation de l’énoncé de (3.2), est le résultat principal de
[F-S] (sous l’hypothèse supplémentaire £ % 2). (La notion de £’-composante d’un
élément de S (G) , est définie au §4.’B1).
Le résultat
(3.9) Théorème (Fong-Srinivasan [F-S]).- Soit B le £-bloc de G défini par (s,C) .
Le caractère
appartient à B si et seulement si :
à s ,
(2) Supposons que s est une ~’-composante de t et ainsi que I(s) est un quotient de I(t). Pour tout i E I(s) , il existe j E I(t) d’image i et tel que Ci s’obtienne en enlevant à D. un certain nombre de q)
(£)-crochets.
(1) les
~’-composantes de
t sont
G-conjuguées
]
On
peut
noter que
Ejqj
pour £
=
2 , l’ensemble des résultats
plifie notablement. En effet, pour
conséquent le seul diagramme "sans
sons au
tous
q et
e on a
alors
précédents
(p (2) =
se
1 ,
simet par
(2)-crochet" est le diagramme 0 . Nous laislecteur le soin de ré-écrire tous les énoncés précédents en tenant compte
de cette remarque.
§4. L’INDUCTION DE DELIGNE-LUSZTIG ET LA
A. Les outils : l’induction de
Nous commençons par
MÉTHODE
DE
DÉMONSTRATION
Deligne-Lusztig
rappeler brièvement
les
principe
de la construction de
Deligne-Lusztig ([D-L], [Lu.1], [Sr]).
Soit G un groupe algébrique connexe réductif sur une clôture lF de F , muni d’un endomorphisme de Frobenius F lui donnant une structure rationnelle sur le
Soit U le radical unipotent
sous-corps à q éléments lfde :tF . On pose G
d’un sous-groupe parabolique de G (non nécessairement rationnel) dont le complément
de Levi L est rationnel (L sera appelé "sous-groupe de Levi rationnel de G"). On
=
pose L
=
LF .On
opération
considère la variété
évidente du groupe fini
pour
(g,l)
E Gx L
Les groupes
vE
et
G x L :
03BD(Û) ,
Hic(03BD(U),l)
de la
=
pose
.
de
.
opération
sont ainsi munis d’une
(g,l). v gvl-1
cohomologie l-adique à support compact
on
de Gx L . On pose
est un entier
Puisque la trace d’un élément d’ordre fini agissant sur
(cf.[D-L]), il existe un élément du groupe de Grothendieck des K(GxL)-modules dont
est isomorphe à son dual. On
et qui
le caractère est la trace sur
Ainsi
le désigne (de même, par abus de notation, que son caractère) par
Dans les
cas
que
nous
produit direct de groupes
est indépendant du choix de U et ne déque non encore complètement démontré)
considérons (où G est
A(bien
(U)
un
simples de type A), il s’avère que
pend que de L . Il est vraisemblable
à
qu’il en est de même dans le cas général. La notation
abusive.
donc
n’est
nous utiliserons,
que légèrement
L’induction de Deligne-Lusztig est l’homomorphisme
l1G
dieck
~(L)
des KL-modules dans le groupe de Grothendieck
A~
où l’on considère de manière évidente le "module"
De
est
dual
la
place
de
que
RL
du groupe de Grothen-
RK(G)
défini par la for-
comme un
(KG,KL)-"bimodule".
même, la restriction de Deligne-Lusztig
définie par la formule
(AGL)* = "HomK(AGL,K)"
*RGL(M) = (AGL)* ~KG M
de
est
pour tout KG-module
considéré de manière évidente
M , où
le
comme un
(KL,KG)-
l’une de l’autre pour les
produits
"bimodule".
Les
applications
scalaires usuels
sur
RL *R~
~(G)
et
et
sont
~(L) .
suivantes (notations évidentes) :
adjointes
En termes de
caractères,
on a
les formules
La
proposition suivante
Elle établit
en
est l’un des éléments clé
du travail
effet le "bon comportement" relatif de
l’opération de
présenté
Deligne-
ici.
Lusztig et de l’application de décomposition généralisée
définie en (1.11).
Cette proposition généralise des résultats successifs
de Curtis ([Cu.1]), Fong et
Srinivasan ([F-S]), Lusztig, Digne et Michel ([Mi]). Pour
l’énoncer, nous introduisons les notations
supplémentaires suivantes.
dx’G
.
Soit
-rr un
ensemble de nombres
premiers
°
contenant pas p
ne
{l} , ou 1r p’). Soit x un 03C0-élément de G . L’assertion suivante
classique de la théorie des groupes réductifs.
(par exemple,
1T
=
=
(4.1) Le groupe
On note
une
remarque
est un
le groupe des
CG(x)
donc l’ensemble
points rationnels
des 03C0’-éléments de
(4.2) Définition.- On
définie par
désigne
d~’G :
par
={~} ,
,
Soient -rr et x
rationnel L de G contenant x , on
Proposition.-
comme
on
sous-groupe de Levi
ce
groupe contient
CG(x) .
l’application
pour tout fE ZPCG) et
retrouve la
définition (1.11).
ci-dessus. Pour tout sous-groupe de Levi
est le groupe
(rationnel)
CG(x)O ;
a
--
vans le cas où G
de
ZF(G) -~
f(xy)
Il est clair que pour 1r
(4.3)
est
de
.
présenté aU §3 ,
G .
CG(x)
est
toujours
un
Plan de la
démonstration de (4.3).- Nous suivons ici pour l’essentiel une méthode
empruntée Digne et Michel ([Mi], [D-M]).
1. Grâce à Deligne-Lusztig ([D-L]), on établit d’abord
que si (g,l)E G X L a pour
Tr-composantes et 03C0’-composantes respectives (x,y) et (g’,l’), on a
à
sous-variété des points fixes par
2. On vérifie que l’application :
telle que
On
en
prise
gv
est
l’opération
de
(x,y) .
bijective.
déduit la formule
sur l’ensemble
des
g E G tels que X5
=
y . Il est facile d’en déduire (4.3).
Description
B.
propriétés
et
des caractères des groupes de
notations, données
On utilise dorénavant les
type GL/q
et conventions introduites
dans le §3.A.
Bl. L’ensemble S(G)
L’ensemble S(G)
été défini
a
voit que
finition,
(4.4) l’ensemble des orbites de S(G)
note 2). D’après
§3.A (cf. aussi
au
dé-
cette
on
bijection
avec
sous
l’ensemble des classes de
l’action
(par conjugaison) de G est en
conjugaison d’éléments semi-simples de G
.
03C0-composantes d’un élément de S(G)
Supposons III = 1 , donc G GL(n,F) ou U(n,F) . Supposons choisis
plongement de lF dans une clôture algébrique F , et des isanorphismes
=
i:
(K) ~ Q/Z et
Si s E S(G) ,
tels que
Fx ~ (1/Z)p,
1’ ::
.
note alors
on
s =
pour
des) l’ensemble des éléments
un
choix convenable de
o
l
semi-simples
(cf. §3.A). Si
premiers, les éléments de S(G) associés
d(s) sont appelés les Tr-composahtes de s .
ensemble de nombres
éléments de
un
aux
est
1r
de G
un
03C0-composantes des
L’ensemble des n-composantes de s ne dépend pas des choix initiaux
Ainsi, si s’est une n-composante de s , on a
et i’ .
.
(frC.l) l’ordre de s’est la 03C0-partie de l’ordre de s ,
(TTC. 2) Z(CG(s’)) c
Z(CG(s)) et I(s’) est un ensemble quotient de I(s) .
Une définition
"intrinsèque"
isomorphe à
"sous-groupe de Levi"
s
(L,~) de SeS)
on
I(Z(L)) ,
un
à valeurs dans K définit
(1) pour
(2) si L
il n’existe
Si
de S(G)
aucun
s
un
tout i E
=
élément
où g
CG(g)
entier
m
=
tel
on
(g.)
que 03B6(gi) =
désigne
en
défini
groupe de type
L est
un
~(i,j )
et si
=
à valeurs dans K obtenu
puisque
=
composant ~
de G . Un
s
avec
le
GL/q ,
a. 1
est tel que
03B6(gj)(~q)m
par
de Z(L)
,
i~j
et
a. =
a. ,
.
le caractère linéaire de L=
morphisme
det : L
-~
Z(L)
CG(s)
(bien
cf. §3. A).
peut caractériser les éléments de
les caractères linéaires e de L tels Que
On
sont
caractère ~
si et seulement si
ainsi obtenus ;
ce
(1) 8(g) pour tout élément g de L de composante semi-simple
g ,
(2) pour tout tore maximal T de L , le groupe d’inertie de la restriction
8(gs)
6~T
de 8 à T est contenu dans L (en d’autres
termes,
on a
VL(T)) .
S(G) et
p’-sous-groupes
Soit
s
de G
et soit X
=
CG(X,s) =
et
on
définit
un
p’-sous-groupe
un
de
élément
CG(s) . On pose
de
S(CG(X))
de la manière suivante :
puisque CG(s) est un groupe de type GL/q , on peut suppoGL(n,F)
(resp. U(n,F) ). Dans ce cas, Z(CG(X,s) est un groupe de
CG(s) =
dont
facteur
est GL(1,F’) ou
type GL/q
chaque
pour une certaine extension
F’ de F. Pour tout élément z d’un tel facteur, on pose alors
ser
que
~X(z) _
surjectivité
La
de la
norme
d’établir que
appartient à
Si X est
à
abélien ,
compliquée
à décrire
Supposons
FX -module
CG(s) =
simple
s
de
n’est pas
l’action de X . Alors si
S(CG(X) .
sX est simplement la restriction
La relation entre s et
CG(s) .
Sx est plus
le caractère linéaire
du caractère linéaire
CG(X,s)
vant.
.
dans les extensions finies des corps finis permet alors
GL(n,F) ,
abélien ;
notons V
~’X désigne l’image
contenu dans
V ,
mentionnons
=
,
simplement l’exemple
isotypique
et supposons V
de ZFX dans
et si S est
End-(V)
Inapplication de S(G) dans S(C(X) ) qui à s associe sX
surjective. Dans la suite, on omettra souvent l’indice "X" dans sX .
B2. Les caractères
présentation
à
pour
un
on a
Enfin
La
sui-
des caractères
est
unipotents
unipotents donnée
ici est essentiellement due
Lusztig (cf. aussi [L-S] et [Sr]). L’idée de prendre pour "tore de référence" le
diagonal" et non, comme il est d’usage, le tore quasi-déployé, est empruntée
Digne et Michel ([Mi]) et à Fong et Srinivasan ([F-S]).
"tore
à
(4.5) Définition.- Soit G
diagonal
de G et
Si.
Ti
on
note
est le tore
ficient d’un élément de
To
G
T
=
des
points
lI
un
le
To
produit
rationnels de
~
To
comme au
groupe
des tores
diagonal de GL(ni,7F)
1
T. à la puissance
dont les
=
~
et
=
,
est alors
§3.A. On
diagonaux
Fal
y
opère
Posons
appelle
de chacun des
GL(n.,JF) .
élevant chaque coef-
en
q.
tore
Le groupe
=
formé d’éléments du groupe
composants dans chacun des facteurs
sont
diagonaux ,
3
iEI
a pour ordre
T
La G-classe de
orie
générale
conjugaison
de
To
servant de
de
conjugaison
il résulte de la thé-
[D-L]
ou
de tores maximaux rationnels de G sont
en
des groupes réductifs rationnels
[Sr]) que les G-classes
référence,
sur
les corps finis (cf.
dorénavant
1f
bijection avec les classes de conjugaison du groupe
o
iEI ni
désignéé par W (cf. par exemple [Mi] ).
Ainsi si III = 1 et G
GL(n,eq) , les G-classes de conjugaison de tores maximaux
rationnels sont en bijection avec les partitions de n , de sorte qu’un tore correspondant à la partition ((a)a,(b)S, ...) de n (n aa+8b+...) a pour groupe
de points rationnels un groupe d’ordre
appelle
,
=
=
de W . Dans le
correspondant à l’élément de Coxeter
(cf. ci-dessus), les tores de Coxeter correspondent
tore de Coxeter tout tore
où 1 Il = 1
gueur n , leurs
les seuls tores
Pour
où T est
points
cycliques
w E W ,
on
cycles
et
sont
ce
de G .
le caractère (virtuel) de G défini par
note R
conjugaison correspondant à w .
bijection avec les applications D
Rw = RGT(1)
élément de la classe de
un
Les caractères
W sont
de
en
telles que pour tout i
l’ensemble D des
Si D est
aux
1 (Eq)n-11l
rationnels sont des groupes d’ordres
cas
de lon-
diagrammes de Young
application, on désigne
telle
une
par
E I ,1
dans
I
Di 1 = ni .
le caractère de W
XD
de
lui
qui
corres-
pond (cf.§2.A).
(4.6) Les caractères unipotents de G sont les caractères irréductibles de G
égaux,
signes près,
aux
K
fonctions
aux
dans D décrites ci-dessus.
I
de
applications
sur
Pour la théorie des
blocs,
l’induction et la restriction de
un
(voir ci-dessous) par
des caractères unipotents. Les
rôle essentiel est
Deligne-Lusztig
joué
résultats qui suivent ((4.8) et (4.9)) sont adaptés de résultats dûs à Fong et
Srinivasan ([F-S]). La proposition (4.9) permet de faire le lien entre les opérations de
Deligne-Lusztig
et la combinatoire des
diagrammes
de
Young.
(4.7) On dit qu’un sous-groupe de Levi rationnel de G est de type diagonal s’il
contient
Si L est
le groupe
G-conjugué
tore
un
WL
un
au
s’identifie de
(4.8) Lemme.- Soit L
et
XD,
façon
un
une
naturelle à
posons
selon (4.6). On
D’ ,
respectifs
et soient
f
WL
=
WL (To) :
de la formule (4.6) .
sous-groupe de Levi rationnel de G de type
convenables D et
Pour énoncer la
To ,
sous-groupe de W .
un
conséquence immédiate
des caractères irréductibles
applications
respondent
diagonal.
sous-groupe de Levi rationnel contenant
Le lemme suivant est
XD
tore
et
de W et
fD,
WL
diagonal,
correspondant à
les fonctions
qui
leur
soient
des
cor-
a
proposition suivante,
nous avons
besoin de définir l’analo-
gue, pour le
de
cas
GL(n,eq) ,
On suppose donc
(4.9) Soit
G de
G
entier *
e un
des
On
n .
m avec
où
(p (m) =
de cardinal
de
3
et
diagramme
un
est
x
Si
n-e .
(au
égal
la fonction
fD,
x
est
un
G1
On
(4.9)
En
D
désigne
Proposition.-
particulier
en
par
enlevant
ce
ye
Young
e-cycle
a
de
1 8
la fonction
G , D’ définit
a
est
un
de
élé-
G x G.
on a
un
diagramme de Young
caractère unipotent
un
G
groupe e x n-e
a
un
sous-groupe de
de l’ensemble des
caractéristique
précédentes
e-cycles
dans
on a
3
scalaire n’est différent de 0 que si D’
**
e-crochet, auquel cas il vaut
produit
se
déduit de
en
utilisant la
(-1)
un
élément
s un
(4.10) Théorème
grâce
(4.8) , puis
lemme
au
,
de
et soit À
S(G)
Il existe
(Lusztig).- (1)
de Jordan des caractères irréductibles
décomposition
= ±1
es
un
caractère
unipotent
tel que ~sfG(s,
03BB)
’soit
de
un
caractè-
irréductible de G .
(2)
classes de
L’application (s ,À)
conjugaison
sous
caractère unipotent de
Les deux
G des
CG(s))
propriétés
définit
H
Soit
7T un
(4.11)
ZF(G)
Proposition.- (1)
soit p
un
caractère
une
s
de l’ensemble des
l’ensemble des caractères irréductibles de G .
au
sont
essentielles pour la
§3.
premiers
ne
contenant pas p . On
désigne
par
(cf.(4.2)).
-
Soit t E S(G) , soit
unipotent
bijection
est un élément de S(G) et À
suivantes des fonctions
ensemble de nombres
l’application
(où
couples (s ,03BB)
sur
démonstration des résultats énoncés
et
où
x
Murnagham-Nakayama (2.1).
Soit
un
semi-simple
où 1 est le caractère trivial de
fD,
Avec les notations
B3. La
re
% .
associée à D’.
La démonstration est immédiate
formule de
G ,
=
Go .
Identifions de la manière habituelle le
~n .
~e ’
de
de cardinal n , soit D’
signe près)
sur
E
et W
=
de G tout élément
e-cycle
un
x
de
donc
(~-1)n _ e(X-a)(X-asq)...(X-a(Eq) e-1 ),
.Si
e
G1 =
Soit D
F(eq) ,
=
appelle e-cycle
polynôme caractéristique
ment d’ordre
F
symétrique.
G
GL(n,eq)
du groupe
cycles
GL(n,F) ,
=
de
CG(t) .
On
s
a
E-S(G)
une
1r ’-composante de t ,
l’ensemble des
où À parcourt
caractères unipotents de
CG(s) .
d~(fC ~ ) , où (s,a) parcourt
(2) La famille des
de
couples
tels
caractère unipotent de
CG(s) ,
est
tants des G-classes de
et À
un
Indications
sur
est
un
conjugaison
la démonstration.- La
(4.3) et (4.10). Il
en
première
système
s
de
de
représentants
tels que x E
un
de
représen-
03C0’-élément de
base de
une
assertion
ZF( G 1 Gn,) .
Un
argument
(4.12) Proposition.- Soit x un 03C0-élément de G , soit
et soit À un caractère unipotent de C~(s) . On a
un
est
s
que
système
se
démontre
utilisant
en
résulte que la famille décrite dans la deuxième assertion
système générateur
de
un
,
CC(sg) ,
,
des classes de
et
où u
s un
conjugaison
parcourt
comptage permet de conclure.
de
03C0’-élément de
sous
CG(x)
S(G)
des G-conjugués
l’ensemble des caractères
unipotents
de
CG (x,sg) .
Comme
précédemment,
C. Indications
sur
la démonstration est facile à l’aide de (4.3) et (4.10).
la démonstration des
résultats principaux
La méthode est la même que celle
présentée au §2 pour la cas du groupe symétrique : elle consiste à "agrandir" une paire arbitraire jusqu’à obtenir une paire
maximale, puis à classifier les paires maximales donc les blocs (d’après (1.6)).
Une paire arbitraire est a priori de la forme
élément
et
de
C (X)
La
un caractère unipotent
de
CG(X,t) ,
et
où
C (X)
désigne
le bloc de
première étape
effet, grâce à (4.11)
on
C (X)
consiste à
contenant le caractère
se ramener au cas
irréductible
où t est
.
En
un
peut démontrer
CG(X)
(4.13). Proposition.- Soient X , t et u comme ci-dessus, définissant
Soit s une £’-composante de
est un caractère unipotent du groupe
tE S(C(X)).
(X,.B(f(t~~))) .
La deuxième
étape
consiste â
(où l’on peut supposer que
s
est
un
agrandir
une
l’-élément
paire
arbitraire
de S(G) )
par
un
C(X)
(X,B(f(S~~)))
procédé analogue
à celui
employé
suivant,
sultat
(4.12)
et
On utilise pour cela le ré-
symétrique (cf.(2.8)).
pour le groupe
dont la démonstration est immédiate à
et du Second
partir
des
propositions (4.11)
Théorème Principal de Brauer (sous la forme énoncée en (1.13)).
un l-sous-groupe de G , soit s un Q’-élément de S(G) tel
caractère unipotent de
Soit x un l-élément de
X’ = Xx> . Si 1.1 est un caractère unipotent de C(X’,s) tel que
(4.14) Proposition.- Soit X
Xc CG(s)
C~(X,s) . On
que
et soit À
pose
CG(X,s) .
un
proposition précédente mène
agrandies par ce procédé.
La
pas être
(4.15) Définition.s
est
un
£’-élément
(X,B(j- ..))
Soit
de
donc à considérer les
S(G) .
paires qui
ne
peuvent
paire (notations comme ci-dessus), où
cette paire est extrémale si, pour tout
une
On dit que
caractérisation suivante des paires extrémales est fondamentale (comparer
le cas du groupe symétrique (2.11)). L’assertion (ii) fait le lien avec la
La
avec
théorie locale des blocs. L’assertion (iii) fait le lien
diagrammes
(4.16)
de
Young,
comme nous
Proposition.-
Soit
le verrons
(X,B(fG(s,03BB)))
Les assertions suivantes sont
paire, où
équivalentes :
une
s
est
La paire
est
extrémale,
(ii)
La paire
est
autocentralisante,
de Sylow T.
plus,
dans
ce
Grâce à
(ii) =~ (iii)
tout tore maximal T de
n’est pas contenu dans
f(s,À)
cas,
Z(X) ,
est le
(4.12), l’équivalence
est
immédiate
gne-Lusztig. L’implication
tents d’un groupe de
en
la combinatoire des
plus loin.
(i)
(iii) (Enguehard) Pour
De
avec
on a
un
£’-élément de
CG(X,s) dont
CG(X,s) (1),a>
S(G) .
le
=
0 .
caractère canonique de la paire (cf.(1.9)).
de (i) et (ii) est facile.
L’implication
utilisant la transitivité de la restriction de Deli-
inverse résulte du fait que tous les caractères
type GL/q (en l’occurrence, le groupe
CG(X,s))
unipo-
sont des fonc-
tions uniformes (cf.[Sr]).
particulière, des paires extrémales n’est pas difficile
partir de la proposition précédente. Pour décrire cette
La structure, trés
à mettre
en
évidence à
structure, supposons que III - 1 , i.e. que
G
=
GL(n,eq) .
On note V
l’espace
vec-
représentation
toriel de la
e
=
+1
-1). Soit X
ou
Soit V
et soit
G
un
donnée de G
£-sous-groupe
o G1 (Go ~ GL(nx, ~q)
Si À est
un
cette
ou
,
CG
3
on
désigne
(s) ,
À1
o
selon que
2
de V pour l’action de
On pose
décomposition.
unipotent de CG(X,s)
caractère unipotent de
(Ào
F
de Levi
le sous-groupe
caractère
sition associée
=
~’-élément de S(G) tel que
s un
G1
,
type diagonal correspondant à
de G et soit
décomposition canonique
la
=
(IF
le corps IF
sur
À
=
sa
caractère
unipotent
par
de
(so,s1) .
=
s
X ,
décompode
CG 1 (X,s)) .
°
C (X)
précédentes,
(4.17) Proposition.- Avec les notations
extrémale.
°
supposons la
paire
G
(1) Le caractère
(resp.
À
(i.e. provenant d’un module
est
projectif,
cf
[Se] )
un
caractère de défaut nul
du groupe
(s)
C
(resp.
G).
o
o
(2) Le groupe
C~, (X,s)
est
un
tore de Coxeter de
C~. (s) .
En
particulier,
~1=1.
le caractère
être
peut noter
adaptées au cas
des autres
avec
la combinatoire
particulière
On
naturelle à
ce
Le lien
point
"général"
des assertions
précédentes, prêtes
pour
types de groupes classiques. Cependant, la relation
des
diagrammes
de
Young
trouve une
explication
de la démonstration.
l’amputation des diagrammes par des (p(~)-crochets est clair
d’après
propositions (4.9) et (4.14) : on agrandit les paires en utilisant des
l-éléments qui sont des
(l)-cycles". La troisième assertion de la proposition
(4.16) permet en outre d’expliquer directement pourquoi les paires extrémales sont
associées à des diagrammes de Young "sans (p
Supposons en effet que
(~,)-crochet".
G
À
et
soit
un
caractère
de
tel
G
a>
0 pour
GL(n,eq) ,
unipotent
que
avec
les
G(1)
Si t divise
=
tout tore maximal T de G tel que
IEq-11
sons
(i.e. si
donc que
§4.B3),
Si À
la formule
té suivante :t
sible
1), il
(4.6)
si w est
3
alors
montre
un
est
IZ(G) 1 =
1 .
Suppode cardinal n (cf.
diagramme
if
W possède la propriéque le caractère XD de Sn
=
,
où D est
n
=
un
=
élément
XD(w) -
Z(G) (cf.(4.16)(üi)).
immédiat de vérifier qu’alors
=
de S n
dont l’un des
0 . On retrouve la
une
cycles
a une
longueur divi-
caractérisation
connue
des
caractères associés à
La dernière
paire
diagramme
un
étape
tations
l’agrandissement des paires consiste à passer d’une
paire de Brauer maximale. La caractérisation de la
et
la
(1.10)
proposition (4.17)(3) montrent que, avec les no-
en
A
blocs
ce
comme
Sylow
point
de H .
de la
énoncée
en
en
(4.17) :
(X,B(fCG(X)(s,03BB)))
(4.18) la paire extrémale
,Q,-sous-groupe
(cf.[Ja]).
sans 03C6~q(l)-crochet
une
précédentes utilisées
de
Young
de
de Brauer extrémale à
maximalité donnée
de
est maximale si et seulement si X est
un
..
démonstration, on peut déjà fournir une classification des
(3.4), de même que la description des paires maximales et
des groupes de défaut énoncée
complète
des énoncés du
~3,
en (3.6). Cependant, pour obtenir une démonstration
il est nécessaire de vérifier une inclusion supplémen-
taire.
Reprenons
H
C~
=
De
(s)
même,
Pour
CG(X)
caractère
un
démontrer
que l’on peut
Puisque X’ c G1 ,
ce
unipotent
lemme,
se ramener au cas
(donc de
CG(X’)).
Le
on
UX
on a
Le caractère
CGo (s)x CG1 (X’,s) .
CG(X’,s) =
définit
de
les notations introduites pour (4.17). Soit X’
contenant X .
de
£-sous-groupe
un
conséquent
et par
a
unipotent
À o 81
=
de
désigné par 03BB =
encore
de
03BBo~1 .
voit, d’après (4.17) et nos conventions ci-dessus,
où le groupe
se réduit
est
CG(X,s)
problème
en
fait
un
tore de Coxeter
difficulté
sans
au cas
suivant.
(4.20) On suppose que
sur G (cf. §3.A) : a est
s
=
(T,t)
L’élément
(resp.
et
un
s
(i) = 1 . Soit G
un automorphisme
=
GL(n,(eq) )
£ ’-élément de S(G) fixe par a et tel que T est
définit un élément de S(Go), encore noté s .
RGe(s))est,
au
signe près,
définit donc (cf.§l)
(resp.
l’idempotent
~-groupe Q>
un
bs(G) .
Enfin
dans le
produit
on
un
de ZkG
Le caractère
(resp.
est fixe par a , et il
désigne
par
Br03C3
le
semi-direct de G par
~> .
On
essentiel pour démontrer l’assertion
de
de
Ga) ,
noté
bs(G)
(resp.
ZkG03C3)
est donc de même de
en
morphisme
=
tore de Coxeter de G .
caractère irréductible de G
idempotent primitif
Le caractère
L’ingrédient
un
F(Eq) opérant
Ge - GL(n,eq) . Soit
et soit a
d’ordre £ de G , et
de Brauer associé
au
a
précédente
est le
résultat
général
suivant.
(Digne).- Soit G un groupe réductif connexe sur F muni d’un enSoit T un tore maximal
qui lui donne une structure rationnelle sur
(4.21) Proposition
domorphisme
F
rationnel de’ G
Une fois établi
i-sous-groupes permettent
D. Bilan et
Soit G
un
des considérations
(4.9),
sur
la fusion des
principal.
perspectives
GL/q ,
groupe de type
soit
(s,C)
un
couple définissant
un
bloc
le bloc "unipotent"
désigne par
C G (s) ,
couple (1,C) . La description de la répartition des caractères
de G (cf.(3.4)). On pose L =
de L défini par le
classiques
de terminer la démonstration du théorème
et
on
dans les blocs (3.9) montre que
(4.22)
au
bloc
définit
f -
L’application
centrales associées
au
bloc
B(s,C) .
B~
Michler et Olsson ([M-0]) ont mis
entre le bloc
,
le bloc
une
isométrie de l’ensemble des fonctions
l’ensemble des fonctions centrales associées
sur
évidence des relations plus profondes
et le bloc principal de H (cf.§3.B pour la défi-
B~
en
nition de H) que nous n’avons pas la place de commenter ici.
En vue d’une généralisation aux autres type de groupes de type de Lie des
résultats qui viennent d’être exposés, nous nous contenterons des trois remarques
suivantes.
1. La classification des blocs
unipotents (et de leur structure locale) des
plus simple que la classification de toutes
convaincre, le lecteur peut poser s (G,1) dans la
En particulier, la dernière étape de l’agran-
type GL/q
paires de Brauer. Pour s’en
plupart des énoncés des §3 et 4
dissement des paires (lemme (4.19)) est alors triviale.
2. Telle qu’elle vient d’être présentée, cette classification fait jouer un
rôle essentiel à l’induction-restriction de Deligne-Lusztig (cf. notamment les propositions (4.13),(4.14) et (4.15)), au détriment de la combinatoire des diagrammes
de Young. Il semble raisonnable d’essayer d’employer des méthodes analogues pour
classifier les blocs unipotents et leurs structures locales pour les autres types
groupes de
est notablement
les
=
...
de groupes de
type de Lie -
tout
au
moins pour presque tout i .
3. La classification des autres blocs (à
structure locale) serait alors
une
conséquence
défaut,
pour le moment, de leur
du résultat
suivant,
d’ores et
déjà
démontré
(4.23)
(comparer
Proposition.-
endomorphisme
F
(4.22)).
avec
Soit G
qui lui
un
donne
groupe de Levi rationnel de
induise
groupe
une
G ,
algébrique réductif
et soit B
un
bloc de L
F muni d’un
L un sous-
connexe sur
structure rationnelle sur F . Soit
Supposons que
=
RG
isométrie de l’ensemble des fonctions centrales sur L associées au bloc
B dans l’ensemble des fonctions centrales sur G . Alors il existe un bloc BG
de G
dont l’ensemble des fonctions centrales associées est l’image
de celui de B
une
par RGL
Une autre
généralisation
possible consiste à étudier les n-blocs des groupes
finis de type de Lie pour une ensemble -n- de nombres premiers ne contenant
pas p ,
tel que, par exemple, l’ensemble des nombres premiers
qui divisent l’ordre du groupe des
points rationnels
direction par
d’un tore maximal rationnel. On est
résultat
encouragé
dans cette
(4.3). On peut aussi essayer de définir des
"
où
un diviseur irréductible du
P(q)-blocs ",
polynôme en q donnant l’ordre du groupe. Certains résultats obtenus récemment dans cette direction
par Boyce
un
comme
P(q) est
sont
encourageants.
note1
.- La classification des
corps de
p-blocs
caractéristique
des groupes finis de
type de Lie
sur un
p est triviale et n’est pas abordée dans cet
exposé.
note 2
.-
L’ensemble
S(G) remplace
Il est à noter
présenté
dans
en
effet que
[F-S]
et
G
une
semi-simples
uniquement défini :
orbite
ne
définit pas
sous
de G .
Z(L) O=!
conformément à la
Langlands-Deligne (cf.[D-L]),
et lui-même
lui-même, mais
l’isomorphisme
n’est pas
théorie de la dualité de
dualité entre
ici l’ensemble des éléments
une
l’action de
unique
le choix d’une
dualité entre
NG(L)/L .
L
ont
apportées
hard pour
sa
à
questions, et
participation active
mes
à remercier tout
à la
particulièrement
préparation de cet exposé.
Michel Engue-
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groups, L.N.in Math.
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Représentations linéaires des groupes finis "algébriques", Séminaire
Bourbaki 487, 1975-76, L.N. in Math. 567, Springer-Verlag.
Michel Broué
Ecole
Mathématiques et d*Informatique
Normale Supérieure
1
Maurice Arnoux
Service de
rue
92120
188
Montrouge