Le théorème de Brauer sur les caractères

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
J EAN -P IERRE S ERRE
Le théorème de Brauer sur les caractères
Séminaire N. Bourbaki, 1954-1956, exp. no 111, p. 107-113
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Séminaire BOURBAKI
(Février 1955)
THÉORÈME
LE
CARACTÈRES
DE BRADER SUR LES
par Jean-Pierre SERRE
démonstration du théorème de Brauer que nous allons exposer est une démonstration de P. ROQUETTE C 5 ~ ~ simplifiée par R. BRAUER et J. TATE [4] . La démonstration
originale de R. BRAUER [3] était sensiblement plus compliquée.
La
1.
Notations.
S oit
Z
un
une
par
De
groupe fini d’ordre n. On notera R l’anneau Z
racine primitive n-ième de l’unité ; on a donc
G
R
plus,
nable) ;
R/Z
donc
On notera
baae
une
est
X~ (G) ,
G,
xes sur
admet
constantes
Tr(U ) ,
On
désignera
les classes de
sur
ou
un
de
U
Tr(U
),
sont des
R
des
S i
H
phisme
03C8 ~
on
de
des fonctions à valeurs
comple-
sait que
G
Xp admet pour base
(c’est-à:dire les fonctions
représentation linéaire irréductible
G).
de
un
on
donc :
a
S(g) E
on a
8 E
XR
un
R
pour tout
il
effet,
caractère irréductible, 1.e. lorsque
en
comme
des f onctions
(Ug)n =
constantes
sur G ,
sur
les.
R .
s ous-groupe de
définira
l’ensemble des combinaisons linéaires à
cela résulte du fait que toutes les. valeurs propres
n-ièmes de l’unité (puisque
1 ). On peut donç
racines
P G ; X(G) ~
X(H) ,
conve-
ce cas
et à valeurs, dans
est
une
On
e est
lorsque
et dans
considérer les éléments
classes,
Xi.
élément de
suffit de le voir
e(g) =
est
g
XR , désignera
simplement
e est
(N
", ~
X(G) , ou simplement X, l’ensemble des combinaisons, linéaires,
c’est l’anneau des caractères de G ; de même,
dans ~ des
coefficients dans
Si
G’ ;
xl , ... ~ Xc
U
g ~
~z ~
par
à coefficients
XR(G),
où
X~. ~ l’algèbre
simplement
les caractères irréductibles
g ~
1 ~ ~ ,
sur
groupe libre.
un
ou
formée de
Z
sur
[j5] engendré
X(H) ,
G, l’ opérati on
d’où
G;
un
~ HR(H) .
E
107
de restriction
X(G) ,
définit
En
sens
par la formule
un
hananor-
inverse,
si
convenant
en
ir(h)
Si
(x,g,x 1)
que 03C8
Tr(Uh) ,
=
espace vectoriel
un
0tion
3C4HG(03C8)(g) = Tr(Vg) ,
h
- Q .
où
h --~
Uh
E ‘~
on
c omplexe
’~,
Si
K
Dans.
et
ce
nous
n’est pas
est
un
H .
est
’~ ~ ; Xmais(H) ---~y XR(G) .
désignerons
V
par
H,
et
VR
de
FI
dans
représentaX(G) .
de la
On notera que
l’applica-
on a :
on a
donnerons
nous nous
représentation linéaire
représentation induite
homomorphisme3
un
sous-groupe de
qui suit,
une
vérifie tout de suite que
où g ~ V
est la
Il s’ensuit bien que,
(h définit par la même formule
tion
si
0
=
des formules de
une
famille
Ha
les sous-groupes, de
transitivité :
de sous-groupes de
X
et
XR
G,
définis par
lea formules :
(3)
La formule
D’ailleura
montre que
V
VR = 6Z
V
est
un
idéal dans
R . Le théorème de Brauer
un idéal dans
X,
XR.
(cf. paragraphe 3) affirme que, si
un
H~ , on a V = X (tout carac-
tout aous-groupe "élémentaire" est contenu dans:
tère est combinaison linéaire à coefficients dans
caractères des
H.~ ~ .
que 1 é VR .
2. Résultats
Soit
Vu
ce
qui précède,
Z
de caractères induita par des
il suffira de prouver que
V~ XR ,
=
préliminaires.
premier fixé. Un élément a 6 G est dit p-régulier si son
ordre est premier à p , et p-singulier si son ordre est une puissance de
p . Si
x
est un élément quelconque de G, la considération du sous-groupe cyclique (x)
engendré par x montre que x peut s’écrire de façon unique sous la forme :
x
=
p
a.y
L’élément
un
où
nombre
a
est
p-régulier,
y
est
p-singulier,
et
a.
et
y
commutent.
appelé le facteur p-régulier de x . Deux éléments x et x’
sont dits p-conjugués si leurs facteurs p-réguliers sont
conjugués au sens ordicette
relation d’équivalence partage G en
naire ;
p-classes, qui sont évidemment
a
est
des réunions de classes.
e
IEMME 1. - S oit
un
e est constant
Alors.
élément de
mod p
XR tel que 6(g)6Z
toute
sur
pour t out
p-classe.
Il suffit évidemment de prouver que, si a est le facteur p-régulier de x,
on a
9(x) ; 9 (a) mod p . La restriction de 8 au sous-groupe cyclique (x) peut
8
s’ écrire
(x),
bles de
avec
x. ,
donc
~j(x)pr = ~j(a)pr , et
mod p
(car
p~ ),
LEMME 2. - S oient
par
les
un
étant des caractères.
xi
entier
8 (x)
tire
on en
=
convenable,
r
mod
et
pR , d’où
e(a)
é lément p-régulier de G ,
un
a
$ , A’ le c ommutant de A
AI. Il exiate alors
de
Pour
multiplicatifa.
d’où
engendré
E R ,
x.
un
dans
G,
P
on a
irréductixP
la même congruence
mod p .
A
un
aP ,
=
C.Q.F.D.
1e sous-groupe
cyclique
p-sous-groupe de
Sylow
proprié-
élément
vérifiant 1es
’
tés suivantes :
a)
pour tout
b)
Q(g) = 0 si
c)
~ (a~) ~ (A’ :
(D’après
p-classe
le lemme
g
g E G .
n’appartient
P) fi 0 mod
1,
on a
eux, le sous-groupe de
duit direct A x P .
on
donc à
P) .
et
engendré
sur
La fonction
Je dis que
désignant par M(g) le
égala a.y , avec y E P .
Comme
A
e
M(g)
F
par
A
a.
si
g
appartient
à la
commutent et ont des ordres
A
et
P
peut
premiers
bien être identifié
entre
au
pro-
(a) qui vaut (A : 1) en a et 0
(caractères d’un groupe cyclique : ) qu’elle
=
composée
=
effet :
en
d’autre
(A’ : P) mod p.
vérifie trivialement
XR (A ) ,
a en
G
la fonction définie
appartient à
On
de
p.
donc
Notons d’abord que, puisque
ailleurs3
p-classe
a ).
de
S oit ~
pas à la
’~A" P (~)
nombre des éléments
est
toujours divisible par (P : 1)
ne peut avoir
M (g ) ~ 0 que si
part, on
d’
où
la propriété b) ; enfin, si
a ,
avec
y E P que si y = 1 , et M(g)
A
x
P .--~ A
-~
Z
appartient
vérifie les propriétés
g
soit
tels que
x
,
a), b), c).
la
propriété. a) est vérifiée ;3
p-conjugué à.. l’élément
est
g = a , on ne peut avoir
est donc égal à (A’ : 1)
a.y ,
,
d’où
c).
3. Le s théorèmes d’ Artin et de Brauer.
3. - Supposons que les sous-groupes
tion
constante
G,
sur
divisibles par
de
classe r
G,
un
avec
p
premier
et dont les valeurs sont des entiers
à
à
élément
VR ,
n, on voit qu’il existe, pour toute
nul en dehors de r , et dont la
par combinaison
fonction vérifiant les conditions du lemme.
valeur sur r est
te
(G ; ~ ~ , appartient
n =
le lemme 2
Appliquant
chaque classe ~
sur
G . Alors toute fonc-
recouvrent
Ha
quelle
THÉORÈME
1
un
entier divisant
(ARTIN [1]). -
n .
D’où,
T out caractère de
linéaire,
e s t combinaison
G
linéaire à coeffi-
cients rationnels de caractères induits par les caractères des sous-groupes
cycli-
ques de G.
Appliquons
le lemme 3 à la famille
voit que la fonction constante égale à
ce qui démontre (en le
d’où
Si
est
p
s’il est
un
nombre
isomorphe
au
alors,
sont des entiers congrus à 1 mod
En
6
?p
En
appliquant
nul
V~ ~
posant
tout
a- =
en
2,
L 0-
on
,
n.XR
de
G
p-élémentaire
est
H
et d’un
p-groupe.
est contenu dans
fonction
6
~
p~ .
(’ ,
voit que, pour toute p-classe
r , et à valeurs entières
et ~
obtient
un
élément de
VR
il existe
0 mod p
sur
f .
dont les valeurs sont par-
y désignant la
=
fonction
d’Euler,
on aura
8=1
bien
p~ .
C.Q.F.D.
THÉORÈME
2. - Les
hypothèses étant
(no, p) ~ 1 .
Il suffit de montrer que
4 affirme
Comme
un
dont les valeurs
~n
on
de
dehors
une
on
0 mod p . Si l’on pose alors :
Q
mod
le lemme
qu’un groupe
cyclique
d’un groupe
r ~ 0 , il existe
pour tout entier
d’où
G ;
le théorème d’Artin.
précisant)
p-élémentaire
de
cycliques
appartient.à
n
dirons
premier, nous
produit direct
IEMME 4. - Si tout sous-groupe
des sous-groupes
H
l’existence,
et
n 0 ~I - ~ ) prend
e
vR , d’ aprè s
précédente posons
égale à n appartient
celles du lemme
La fonction constante
n 6Vp . Or,
soit e
l’élément de
VR
à
dont le lemme
écrivons :
des valeurs divisibles par
le lemme
3 ; d’autre part,
n .p = n ,
on a
V .
on a
puis que
THÉORÈME
que, pour tout nombre
s oit c ontenu dans l’ un des
(BRAUER [3 ]). - Supposons
3
p-élémentaire de G
G est combinaison linéaire,
sous-groupe
caractère de
effet, en-appliquant
V
voit que
Z
~
le théorème 2
n’est contenu dans
V
montre bien que
qui
H ~ . Alors
dans Z ,
aux
Si
4.
effet, d’après
PH
a
aucun
1 ~ V , ce
pZ , d’où
X (G) ~
Z~,
théorème de Brauer.
qu’un caractère X d’un
correspondante
homomorphisme
un
appartient
groupe
Vu le théorème
de
H
3,
caractère de
du
théorème 6 du paragraphe 5 ,
en
f onc ti ons
1 d’un de
cette forme que le
particulier,
L
de
THEOREME 5. -
AR,T IN ~
dans le c orps
C.Q.F.D.
degré
1 si la
représenta..
G
est combinaison
degré
linéaire
G
K = Q(m1)
)(
à coefficients dans
1 .
ses
sous-groupes ;
or
ceci est
il suffit de
est induit par
un cas
particulier
C.Q.F.D.
théorème de Brauer
est
utilisé dans les applica-
c’est de là que l’on déduit le caractère méromorphe des
1 ~ e t WEIL ( [7] , paragraphe VI). On en tire également
Soit m le
sentation linéaire de
est de
l’opération d’induction,
irréductible d’un groupe p-élémentaire
un
degré
H
transitivité de
et la
prouver que tout caractère
tions ;
à ~ (G) ,
degré 1 ; il faut et il suffit pour cela que
dans le groupe des racines de l’unité.
4. - Tout caractère de
sous
bien
est de
H
de caractères induits par des caractères de
C’est
il faut et
on a :
le second membre
de
THÉORÈME
on
du
Nous dirons
soit
qui précède,
ce
p,
X .
=
(f) E X (Hel) ,
Application
tion
caractères
de
différents nombres premiers
COROLLAIRE. - Pour qu’une f onction ~ sur G a tienne à
il suffit que ses restrictions aux H~ appartiennent aux
En
tout
de s caractères des
induits par
En
à coefficients
p, tout
premier
p. p.
c. m.
des ordres des
est semblable à
.des racines
une
éléments de
G. Toute
représentation linéaire à
m-ièmes de l’unité.
:
repré-
coefficients
Soient
les caractères des
K. Il
à
représentations irréductibles
faut montrer que tout
nous
caractère 03C8
de
linéaire à c oeff icients entiers
avec
ciée à
Vj , j ~ 1 ;
Mais. la recherche d’un tel
c oeff icients dans
VI --~ ~ Vj
,
ce
D’autre part,
d’après
précède
son
K;
qui
G-homomorphisme
le théorème
il exis terait donc
est
absurde,
un
un
homomorphisme
4,
il
en
est de
quotients
Si
un
invariant abélien
H
trivial :
non
même de tout caractère de
ni
sont
successifs
groupe
H
de G,
le centre de
~e~ .
Soit
n on
G’ ,
soient
Z
un
P
(MP)
cycliques
(c’est
L
03A8i ;
des
ce
qui
(MF).
proprié.té
le cas,
(MP) ,
possède
d’ ordre
une
premier. Un
plus généralement,
il existe
contenu dans le centre de
et soit
et
C.Q.F.D.
propriété
abé lien G vérif ie
non
G,
Z
positifs.
p-élémentaire vérifie évidemment (MP)
tous les groupes nilpotenta).
est /
à
on
groupe
riant dans
problème linéaire homogène
et démontre notre assertion.
montre que les. coefficients
C
combinaison.
caractère est combinaison linéaire à coefficients dans
telle que les
Soit
rapport
les
est
Nous dirona qu’un groupe fini G vérifie la
suite de sous-groupes invariants emboîtés. :
et
par
Or supposons, seulement que l’on
5. Représentations linéaires d’un groupe vérifiant la
de
une
voit tout de suite que toute représentation induite par une
de degré 1 est semblable à une représentation: à coefficients dans
représentation
K ;3 donc
est
G
ni sont alors. nécessairement
si par exemple
n~ 0 , la représentation irréductible V.
interviendrait (sur le corps Ç ) dans une somme de représentations
il existerait donc un G-homomorphisme non trivial :
nl
effet,
~ 0 . En
positifs des
ni 4i Z ; je dia que
G
de
un
sous-groupe
G’ .
G/C .
Il est clair que L vérifie (MP)
sous-groupe cyclique d’ ordre premier de L, inva-
L ; l’image réciproque
de
ce
=
sous-groupe dans G
est le aous-graupe
cherché.
THEOREME
6. - Toute
représentation linéaire irréductible d’un groupe
est induite par une représentation de degré 1
(MP)
fiant lapropriété
groupe de G.
G
véri-
d’un
sous-
la
Nous raisonnerons par récurrence sur l’ordre de G. On peut supposer que
trivial.
représentation considérée est fidèle. Si G est abélien, le théorème est
abélien invariant de G, non contenu dans le censoit H un
4’
Sinon,
sous-groupe
tre de
Décomposons
G.
par
Ej~
étant le sous-espace propre
de
H .
H
Du fait que
de
permute transitivement, puisque
deux E~ qui sont / 0 , car sinon
dans le centre de
Soit
l’un des
Eo
E
correspondant
est invariant dans
les
nu
H
l’espace
E
est
caractère irréductible l
permute les E~ ~ 0 , et
irréductible. De plua, il y a au moins
opérerait
H
au
représentation :
G’
le groupe
G,
de la
E
à
rapport
par
homothé,ties,,
G .
E03BB ~
et soit
0,
le sous-groupe de G
K
Eo ; toua les E ~ ~ 0 s’écrivent alors sous la forme g.EQ:’
g.E = g’.E si et seulement si g.K g’.K ; puiaque E est
=
il
en
sentation de
résulte que
K
dans
E
Eo;3
est
et l’on voit que
(K,Eo)
degré 1 d’un sous-groupe de
té de l’opération d’induction.
de
( Le
g E G,
somme
et l’on
a
directe des
à la
est elle-même induite par
K . D’où le
raisonnement ci-dessus remonte à
peut généraliser
SERRE
on
laissant stable
représentation induite de la repréE est irréductible, cette représentation est
peut appliquer l’hypothèse de récurrence à
isomorphe
comme
irréductible ; puisque K ~ G ,
(K , Eo) ,
et serait conte-
théorème, compte
BLICHFEIDT ;
le théorème 6 à certains, groupes de
représentation
tenu de la transitivi-
cf. VAN DER
Lie,
une
WAERDEN, [6] .
On
cf. A. BOREL et J.-P.
[z~)~
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ARTIN
113