Sur deux questions d`algèbre commutative

UNIVE,RSITE DE D A K A R
,
THESE DE D O C T O R A T DE S P E C I A L I T E
PRESENTE PAR
S U R D E U X QUEST ONS D1ALGE13RE
SOUTENUE L E 2 6 M A R - 5 19132 D E V A N T L A COMMiS5iON D ' E X A M E N
M M 5 . NlANG
13. 13A
C M , 13ADJI
A . CO5TE
PRESIDENT
L'objet de ce travail est d'obtenir une gén6ralisation d u
théoreme de Samuel-Ramanujam sur les anneaux parafactorfels,
-
"A
étant un anneau local noethérien dliéal. maximal m
duel
8
est intégre intégralement clos,
soit
une A-algbbre locale noeth4rienne formellement lisse de corps rési-
K
duel
Si
Â
et dont le compléte
k
d e corps rési-
K
telle que
dim(B) > dim(A).
est une extension finte
de
k
alors :
p = gB
tout cycle 1-codimenslonnel principal en
est
CC
un cycle
1-codimensionnel principal,
Ce qui revient a dire que pour tout idéal premier
contenu dans
-p
et de hauteur a:<2
factoriel et en particulier
1 'anneau local
encore valable lorsque K
non
est para-
6 lui-même est parafactoriet.
Le même résultat est obtenu ici lorsque
une extension séparable de
B9
q
C
K
est seulement
k . 1 1 est certain même que ce rgsultat est
est une extension finie d'une extension
La première partie introduit les différentes notions dont i l
est fait cas dans le thdoréme de Samuel-Rarnanujam lissitb formelle,
.,
L
cycle 1-codimensionnels, parafactorialité etc..,.,..
Cette introduction, fort longue est cependant indispensable :
-
i
.
tout d'abord i l s'agit de permettre aux non spécialistes de se
familiariser avec le langage et les techniques de la géom6trie algébrique afin que les démonstrations leur soient aisément accessibles.
-
en suite i l fallait relever quelques propri4tés liées aux dSff4ren-
tes notions introduites ; ces propriétés constituant les outils essentiels des demonstrations attendues, Il est h noter que dans cette
'
premihre partie les démonstrations des propositions ainsi reprises
sont entiérement refondues par l'auteur afin de les adapter au cadre
restreint de ce travail.
La deuxi5me partie comprend le théoréme de Samuel-Ramanujam
I
nouvelle version et ses conséquences immédiates d'une part et d'autre
part des applications pratiques consistant à d6gager un proc6d4 sïm-.
pie de constructions d'anneaux parafactoriels
a)
parafactoriel
Moyennant une hypothbse sur la profondeur d'un anneau
A
d'idéal maximal
anneau de séries formelles
B
en
;
B
=
2 , i l est obtenu q u e pour tout
A[[T~,
..., 1,lf
le localis6 de
-m B
est parafactoriel.
b)
I l est 6galement donnge une conditton suffisante pour
qu'un anneau de series formelles sur un anneau factoriel
A
soit
aussi factoriel ; le résultat analogue étant valable pour les anneaux
parafactoriels dès que
dim(A) r 2..
P R E M I E R E
- - - - - -
P A R T I E
--.----------=.=-*=-a-=-=-=.=d
1
-
Lissité formelle et Anneaux de Cohen :
Dans c e qui suit
- Lissité formelle.
1.1.
-
1.1.1
t
A
désigne un anneau topologique.
Définition : Une A-algèbre topologique
est dite
8
C
formellement lisse ssi étant donnés une A-algebre discrkte
ideal nllpotent
1
se factorise en
B .
4
me continu et
-
1.1.2
de
,
C
tout A-homomorphisme continu
)C 1
v
où
v
et un
u : I'#B
est un A-hornonorphis-
la surjection canonique,
Proposition :
(i)
A
est une A-algebre formellement lisse
(ii) Si
B(resp C)
C
formellement lisse alors
(iii)
Si
est une A-alghbre (resp. B-algèbre)
est une A-alghbre formellement lisse
est une A-algebre formellement lisse alors pour
B
toute A-algèbre topologique A t ,
B
Q A est
~ une A t - a l g è b r e formelleA
v,ement1 isse.
(iv)
Soit
B
est une A-algèbre formellement lisse et
une partie multiplicative d e
ve
une
S
B
alors pour t o u t e partie rnultiplicati-
de A' dont l'image canonique est continue dans
S œ1 A -algébre formel lement lisse,
produit
T
T,
est
T"B
( v ) Soit 6 ( = l e . n) une A-algebre topologique ; le
n
B i est une A-alghbre formellement lisse si et seulement
i=l
si chaque
BI
Preuve :
(i)
nilpotent d e
l'est.
Soit
C
une A-algèbre discrhte et soit
C ; l'unique
A-homomorphisme d e
qui definit la structure de
A&C
c
00 v
la surjection canonique,
A-algebre de C/I
1
A--)C/I
un idéal
est celui
donc se factorisant en
est le morphisme d e stucture de
C
..*/.a.
et
O
Soient
(ii)
E
de
E
une A-algèbre discrète,
u : I'~\.C
et
un A-homomorphisme continue ; a et
désignant les homomorphismes de structure de
uoB
1 un idéal nilpotent
8
et
C
est un A-homomorphisme se factorisant alors e n
( v = A-homomorphisme continu et
devient une B-alghbre discrhte de quotient
ElI ; u
un B-hornomorphisme continu se factorise en
C -!+ E
w
( w = 8-homomorphisme continu),
respectivement,
B>
E -!?++€II
L>
= surjection canonique).
@
B
Par v , E
qui est aussi
est égaiement un A-homomorphisme
continu c.omme i l résulte d e l a commutativité du diagramme :
B O Al
(iii)
est une Alalgèbre,
A
Soient
C
une A t a l g è b r e discrète, I
u : B Q At-+C/I
A
Le diagramme :
C
et
est corrimutatif (a, a i
un idéal nilpotent de
un A 1 ~ h o m o m o r p h i s m econtinu,
j,
jA,
etant les morphismes canoniques)
11 en résulte que le A-homomorphisme continu
)c
B-
Par
v,
existe
- >
C
et
=
w : 0 @ Al-YE
A-homomorphisme continu),
T-'
B
w
est une '.S
=
;
de suite i l
Al-homomorphisme continu.
A-algèbre au moyen du morphisme cano-
s-la,
Soient
C
(V
est une 6-algèbre donc un ( A 1 , B ) bimodule
(1)
nique
clI
u o j B s e factorise en
u : T
une
C
B
s œ l ~ - a l g k b r ediscrète,
CI
un
1
un idéal nilpotent d e
~ - ~ ~ - h o B o r n o r ~ h i s continu.
ine
Le diagramme s u i v a n t 6 t a n t c o m m u t a t i f .
l e A-homomorphisme
v
B
uojB
se f a c t o r i s e en
0
3 c----3c/~
t€T
Comme p o u r t o u t
~ ( ~ / l e )s t i n v e r s - i b l e dans
e t que
C/I
est nilpotent,
v ( t ) e s t é g a l e m e n t i n v e r s - i b l e ; de s u i t e il e x i s t e
w : T-'
factorisant
B +C
(v)
t e n t de
de
1
( v = A-homomorphisme c o n t i n u ) .
n
Soient
(w
e s t u n ~ - ' ~ - h o r n o m o r ~ h i s r n ce o n t i n u ) .
une A - a l g s b r e d i s c r é t e e t
C
La donnée de
C.
v.
v
A-homomorphismes
1
1
un i d 6 a l n i l p o -
A-homomorphisme c o n t i n u é q u i v a u t à c e l l e
continus
ui
,
t o u t comme c e l l e de
v
n A-homomorphismes c o n t i n u s via
B q u i v a u t c e l l e de
1
1,1,3
-
Proposition :
P o u r une A - a l g & b r e t o p o l o g i q u e
les conditions
B
suivantes sont Gquivalentes :
(i)
e s t une A - a l g g b r e f o r m e l l e m e n t l i s s e
B
A
(ii)
e s t une A - a l g è b r e f o r m e l l e m e n t l i s s e
B
A
(iii)
(Â
i
et
Ê
e s t uneÂ-algèbre formellement lisse.
B
d é s i g n a n t l e s c o m p l 6 t é s de
A
et
B
respectivement).
Preuve :
1
A
j
&
,
!
a u s s i une
B--+C
e s t une A - a l g ê b r e
; t o u t e A-algèbre d i s c r è t e
C
est
 - a l g è b r e d i s c r e t e ; t o u t A-homomorphi sme c o n t i n u
se p r o l o n g e c o n t i n 0 m e n t e n
L e s é q u i v a l e n c e s annoncées r b s u l t e n t
suivant
A
E-3
C.
de l a c o m m u t a t i v i t b d u diagramme
= A-algèbre discbte.
et
JB
morphismes canoniques.
A-homorphisme continu factorisant
l,lm4-Propos,ition (Th,
SoIt K
Si
k
et
K
uojs
de Cohen),
une extension d'un corps k ,
sont munis des topologies discretes alors K
k-algebre formellement lisse ssi
est une
est une extension sdparable de K.
K
Preuve :
L a ndcessité de la condition est une consequence directe
de la proposition (0.19-6-1
[3]
EGA
)
.
Pour démontrer que la
condition est suffisante i l stagira, de lt6tablir pour les extensions
separables de type fini, le cas g6néral se deduisant de celui-ci.
K
Si
est de type fini, 11 existe une sous-extension
telle que K
Ka
de
K
soit algebrique f i n i sur Kt. Tout revient donc h
prendre soft K
algebrique fini sur k
K =
soit
cas le résultat découle de la proposition (
K ~ . Dans le ler
2 v
1
puisque K
est la localise d'une k-algèbre formellement lisse k ~ l , ~ b . ., TJ
en vertu d e ft~.19.3.3.[3J
1. Dans le second cas, i l suffit d'observer
que les groupes do Hotchild
L
da
K @ K
K ;
or H ~ ( K , L)
,
=
H:(K,
E+K,
L)
L)
sont nuls pour toute extension
C =
pour
K@K.
Comme
k
K
est composé direct dlextensions de
k
dont
lui-meme,
K est un C-module projectif. Le cas gén6ral
fami 1 le fi 1 trante de sous-extensions finis de
K
est une reunion de
k
K,
- Proposition
1.1.5
(resp,
A
-m ( r e s p -n )
maximal
p :
B)
- 5 -
:
d 4 s i g n a n t u n anneau l o c a l n o e t h é r i e n d ' i d é a l
k
de c o r p s r é s i d u e l
(resp,
K) soient
B o = B @k
A
conditions suivantes sont a l o r s equivilentes
un homomorphisme l o c a l e t
A->B
;
les
:
e s t une A - a l g & b r e f o r m e l l e m e n t l i s s e .
(i) B
(ii)
e s t un A-module p l a t
B
et
k-algbbre formellement lisse.
Preuve :
cf.
(O
19
-7-1
- Proposition
1.1.6
EGA IV
= A/I
et
A,
A.
Si
Bo
e s t une A,-algebre
s o i t isomorphe à
B
un i d é a l
1
un anneau l o c a l n o e t h é r i e n c o m p l e t .
f o r m e l l e m e n t l i s s e a l o r s il e x i s t e u n
anneau l o c a l n o e t h é r i e n c o m p l e t
-
BI
:
Bo
de
1.2,
-
é t a n t u n anneau l o c a l n o e t h b r i e n , s o i t
A
Bo
e s t une
B o = B/,~
@
A
B
q u i e s t u n A-module p l a t t e l que
A.,
A l g e b r e s e t Anneaux de Cohen :
- Définition
1.2.1,
Soit
:
un anneau l o c a l noe.:berien
A
e t de c o r p s r é s i d u e l
g
d ' i d é a l maximal
k . Une A - a l g e b r e l o c a l e n o e t h é r i e n n e
B
est
d i t e de Cohen s s i
(il
B
e s t u n anneau c o m p l e t
(ii)
B
e s t u n A-module p l a t
(iii)
B
@
k
e s t un c o r p s q u i e s t une e x t e n s i o n
A
s é p a r a b l e de
1.2.2.
- Définition
k.
:
Un anneau de Cohen e s t une a l g é b r e de Cohen s u r un anneau
p r e m i e r ( u n anneau p r e m i e r é t a n t u n a n n e a ~i s o m o r p h e
a
)
-
1.2.3.
Proposition :
Soit
A
Si
formellement lisse, De plus si
C
ne complète et
C,
u : 6
B
est une A-algbbre d e Cohen alors
B
>-
un idéal de
1
ClI
m_
k
et de corps rgsiduel
(i)
un anneau local noethérien d'idéal maximal
est une A-algebre
est une A-algbbre locale noetherien-
se factorise e n
tout A-homomorphisme
0
où
v
est un A-homomorphisme continu.
(ii)
Si
K
est une extension séparable de
k
, il
existe une A-al-
K.
gebre de Cohen dont le corps résiduel est isomorphe
Preuve :
(5)
vertu de
B
L e corps
( 1.14)
8
x
. De
k
est une k-alg&bre formellement lisse en
( 11.5)
i l résulte q u e
(ll,)
permet d e se ramener au c a s oO
B
est une A - a l g b
bre formellement lisse.
( i i ) La proposition
l
est complet. La conclusion résulte alors de
( 1.1.6)
A
en prenant
L a proposition précédante s'énonce dans le c a s des anneaux de Cohen :
1.2.4
-
Proposition :
(i)
étant un anneau de Cohen soient
C
un anneau
1
I
I
local noethérien complet et
1 un idéal de C ; tout homomorphisme
local
u : W+C/I
se factorise en
W .--!!--+
C
ClI
(v
local continu).
(ii)
Pour tout corps
dont le corps résiduel est isomorphe a
K, i l existe un anneau de Cohen
K,
II
-
DIVISEURS.
Dans c e q u i s u i t
-
1
2.1
(X,
OX)
e s t un e s p a c e a n n e l é .
Définition :
1
L e f a i s c e a u d e s germes d e f o n c t i o n s méromorphes s u r X,
e s t le faisceau q u i 3 t o u t ouvert
f r a c t i o n s de
l
-
2.2
a s s o c i e l ' a n n e a u t o t a l des
U
r(U. OX).
Définition :
L e f a i s c e a u des germes de s e c t i o n s méromorphes s u r
1
5
OX-Module
Tonx
e s t l e faisceau
a
qui
Ox
) @ I'(U,
U
U
asso-
4)
1
c i e l e m o d u l e des f r a c t i o n s
tout ouvert
d'un
X
OX)
1
*
Si
e s t l e f a i s c e a u des germes des f o n c t i o n s méromorX
phes r 6 g u l i e r e s s u r
b l e s de
OX.
et
0:
c e l u i des germes de s e c t i o n s i n v e r s i - ,
%H
=
l e faisceau quotient
des d i v i s e u r s s u r
Notations :
X
M(X)
d 6 f i n i t l e faisceau
X.
=
ensemble des f o n c t i o n s méromorphes s u r
D i v ( X ) = ensemble des d i v i s e u r s s u r
1
-
2.4
e s t l e s o u s - f a i s c e a u de
a s s o c i e l ' e n s e m b l e des 6 l é m e n t s r g g u l i e r s de
X
du f a i s c e a u image de 3 ( o X )
positif
l
1
tout
dans
OX
qui à t o u t ouvert
r(U,
ai;x
OX).
une s e c t i o n
e s t un d i v i s e u r
,
2.5
l
X.
Définition :
Si 8(oX)
sur
X
-
Proposition :
S o i e n t X un sch6ma l o c a l e m e n t n o e t h e r i e n e t ~ e D i v ( X ) . S i en
X EX
t e l que p r o f ( O x s x ) = 1 D, a O, a l o r s D a O. (En p a r t i -
culier s i
Dx = 0
en t o u t
xf x
t e l que p r o f ( O X B X ) = 1. D = 0).
1 1 c o n v i e n t de r a p p e l e r q u ' u n schéma e s t un espace a n n e l e en
anneaux l o c a u x l o c a l e m e n t a f f i n e .
Preuve :
Soit
une s e c t i o n r é g u l i é r e d é f i n i s s a n t
f
i n v e r s i b l e prDs.
D = d i v ( f ) ; D,
p l u s grand o u v e r t
U
de
e n t r a i n e que t o u t
x
t e l que p r o f ( O X S x ) = 1,
-
T = X
, codim(T,
U
t e que
3s
c h o i x de
U ; donc
de $OX)
puisque
X
s i g n i f i e que
h O
X)
C? r(X,
sur lequel
OX)
f = s
t e l que
et
O
x
est définie,
f
r(X, OX)
2 ; ainsi
D
a
une s e c t i o n
a p p a r t i e n t au
L'hypothèse
x E U ; de s u i t e pour
= r ( U , OX)
; il e n r é s u l -
c e q u i e s t c o n t r a i r e au
f =
e s t une s e c t i o n du f a i s c e a u image
T = B.
Le même r e s u l t a t a p p l i q u é 3
(-D)
et
m o n t r e a l o r s que
D
e s t une s e c t i o n i n v e r s i b l e ,
-
2.6
Corollaire :
Si
t o u t p o i n t maximal
Preuve :
au c a s
Si
est
x
du support d ' u n d i i i s e u r
Compte t e n u de 20.2.11[5]
X = Spec(OXsx)
pr0f(0~~,)
1 donc
2.7
e s t un schéma l o c a l e m e n t n o e t h é r i e n a l o r s p o u r
X
-
+
1
e t 20.3.6
[5]
auquel cas supp(D) =
alors
D,
D
prof(OX,,)
= 1,
i1 s u f f i t de se ramener
{x)
e s t n u l l e e n t o u t p o i n t où l a profondeur
D = 0.
Prop,osition :
Pour un anneau l o c a l n o e t h é r i e n l e s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s
sont equivalentes :
(i)
Div(A) = O
(oh
D ~ V ( A =) D ~ V ( S ~ ~ C ( A ) ) )
( i l ) yrof(A) = O
p r e u v e : D i v ( A ) = O s i g n i f i e que t o u t é l e m e n t r é g u l i e r de A e s t i n v e r s i b . l e ; de s u i t e m l 1 i d 4 a l m a x i m a l e s t l t e n s e m b l e des d i v i s e u r s de
m
ASS (A)
e t p r o f ( A ) = O e t r é c i proquement.
z é r o donc
-
-
Un diviseur
D
X
sur
est dit principal ssi
la classe d'une fonction mérornorphe réguliére
O
est
f : D = div(f).
L t e n r e m b l e des diviseurs principaux est un sous groupe de D ~ v ( x )
et se note
- CYCLES
III
1-CODIMENSIOMNELS
X
Dans ce qui suit
désigne un schéma localement noethérien
c'est 3 dire un espace annelé dont les fibres sont d e s anneaux locaux,
qui est 3 la fois localement affine et localement noethérien,
-
3.1
Définition :
1
U n cycle sur
(XEx /
pour lequel
X
est un multiplet ( n x l X E x
X
vent
3 ( ~et )dont
est un groupe note
nx
2-
I
= x&X
zX
n, f 0) est localement fini. L'ensemble des
I
cycles sur
de
les 6lérnents s'&cri-
{XI*
L e support d'un cycle est la reunion des adhérences des
x
tels que
nx # O ; dimension et codimension d'un cycle sont celles
1
de son support.
X
Un cycle sur
est dit 1-codimensionnel si chacune d e
ses composantesirréductibles est d e codimension
i
1 ; cette difinition
se gBn6ralise à un entier quelconque p a 2 ,
L'ensemble des cycles 1-codimensionnels est un sous-groupe
i
1
l
de 3 ( ~ ) noté
z s
2c (1)
-
g ( ~et)dont
nifx) où
les élements sont d e la forme
(x 6 X : dim(OX,x) = 1).
~ ( l ) est
x€X
Pour un ouvert
trlctions 3
U
de
X
, S(U)
désigne
-
des é16ments de 3 ( ~ ) et
faisceau de groupes dont
1
U
2'X
: U-+
3'(U)
l'ensemble des res-
$: : u-~S(U)
definit
est un sous faisceau.
un
En vertu de
~
I
:
D~"(x)-+
existe un morphisme d e faisceaux :
(21-6.42 @)il
qui donne lieu L un honomorphisme d e groupes
i
1
cyc :
(des sections)
3.4
-
Définition :
1
L a multiplicit6 d'un
I
z
cycle
sur
X
en un point
est 1 'entier
nx
valeur d e s a composante d e rang
d'un diviseur
D
étant c e l l e d e son c y c l e image
3,5
-
x
x€X
: la multiplicité
cyc(D),
Définition :
1
Un cycle 1-codimensionnel
z
sur
X
est dit principal ssi
z est image d'un diviseur principal c'est-à-dire de la f o r m e
l
i5
&
'
I
1 lensemble d e s c y c l e s 1-codimensionnel s principaux
est un sous-groupe de -9'(~)
note
princ(X) ; le quotient
'
nels noté
Y.
z = cyc(div(f ) )
3.6
9
C~(X)
- Définition :
Un cycle 1-codimensionnel
est u n e section sur
3.7
Si
(i)
X
z
localement principal sur
du faisceau image de a i v X
X
dans
Proposition :
X
est un sch6ma localement noethérien et normal alors
1 'homomorphisme cyc : D ~ ; ( X ) - > ~ ( X )
est injectif.
(ii) Les conditions suiiantes sont équi;alentes
:
.->z1(x)
a)
1 homom morphisme cyc : D~;(x)
b)
tout cycle 1-codimensionnel sur
est bijectif.
X
est localement prin-
cipal.
c)
2:.
pour tout
X
~
Xl'anneau
local
O X S x est factoriel.
Preuve :
Il c o n v i e n t de r a p p e l e r q u ' u n anneau f a c t o r i e l e s t un anneau de
K r u l l dont t o u t i d 6 a l e n t i e r d i v i s o r i e l e s t p r i n c i p a l .
L5]
(21.6.8
que p o u r un anneau n o e t h é r i e n i n t e g r e i n t é g r a l e m e n t
)
1
s'identifie à
clos
3 ( X )
sens
Bourbaki
1 1 r 6 s u l t e de
Div(A)
e n s e m b l e des d i v i s e u r s de
au
A
l
avec
di
(i)
~onime
X = Spec(A).
e s t l e s y m e t r i s é de
e s t entigrement
3 ( o X ) , cyc
CS])
d e t e r m i n é p a r son a c t i o n s u r l e s d i v i s e u r s p o s i t i f s ( 2 1 - 6 - 4
puisque
suffit
Divt(x)n(-Divt(x)
= O
et
$ + ( ~ ) n
(-31t(x)
= O
.
;
il
de s ' a s s u r e r que l ' i m a g e r é c i p r o q u e d ' u n c y c l e 1 - c o d i m e n s i o n n e l
p o s i t i f e s t un d i v i s e u r p o s i t i f .
1
(2.4)
Compte t e n u de
l
t o u t r e v i e n t à é t a b l i r qu'un d i v i s e u r
de m u l t i p l i c i t é p o s i t i v e e n t o u t
X E X ( ~ ) est positif.
1
é t a n t n o e t h é r i e n i n t e g r e i n t é g r a l e m e n t clos, pour x $x(')
x,x
dim(OX,x) = O ou dim(OX,x)
2 donc p r o f ( 0
) = O ou
x,x
O
prof(OXnX) > 2 ;
e t pour
X
~
( 1X)
OX,,
e s t un anneau d e v a l u a t i o n
) = 1. A i n s i s e u l s l e s p o i n t s
x.x
) = 1.
d i s c r è t e donc p r o f ( 0
t e l s que
prof(0
(ii)
1
t
x,x
b)
sont
1
s i g n i f i e que
d u i t encore par c y c ( D f v ( X ) )
I
XEX(')
r(X,
- 3( 1 ) ( X )
c&ivX))
=
3 ( ~ )q u i s e t r a -
; de s u i t e
a)
et
b)
sont
1
'ifx
'
Ox,x
est noethérien intègre intégralement clos,
de s u i t e
c ' e s t un anneau de K r u l l . En v e r t u de l a r e m a r q u e f a i t e au d é b u t
s i g n i f i e que t o u t d i v i s e u r au s e n s
Ox,x
est factoriel,
3.7.1
Si
(i)
,
(il)
X
-
b
B o u r b a k i e s t p r i n c i p a l donc
ce q u i é t a b l i t l ' é q u i v a l e n c e e n t r e
b)
et
c).
Corollaire :
e s t un schéma l o c a l e m e n t n o e t h é r i e n e t n o r m a l a l o r s
11 e x i s t e un homomorphisme canonique i n j e c t i f
s i pour t o u t
x
f
X,
OX,,
>-,
Pic(X)
C~(X)
e s t f a c t o r i e l a l o r s c e t homomorphisme e s t b i j e c t i f ,
Preuve :
l
1 1 convient de rappeler qu'un OX-Module inversible est u n
OX-Module projectif de rang
1
et de préciser que Pic(X) désigne le
groupe quotient d e Ilensemble des CIX-Modules inversibles par la
relation d'isomorphie.
1
1 1 résulte de la définition 3.5
l
3 princ(X)=
que
cyc(Divprinc(XI
l l h o m o m o r p h i s m e cyc : donne par passage aux quotients un homomorphis1
-(
me injectif de Div(X)
En vertu de (3.7
x ) .
(ii ))
i nc (X
si
X EX
est factoriel pour tout
Ox,x
cyc.
est surjectif ; de suite
l
La conclusion vient de l'identification
obtenue grâce 21 (21-3.4
i
!
3.8
-
PJ
(b)
Pic(X)
-
Div(X)
i nc (X
).
Proposition :
Sur un schéma noethérien r6duit
X
soit
(UA)
X E L
une famil-
le filtrante d6croissante d'ouverts telle que :
X G L
a)
pour tout
b)
pour tout
X Er )
Div(U,)
131( X )
X
Y,
U,
= X
-
UA
l'anneau local O
Alors
lim
-3
.
-+
et
lim Pic(U,)
Preuve :
DU fait que chaque
UA
passant aux quotients C](X)
-
contient
X)
codim(Y,.
XaX
b
2
est factoriel.
.
=C~(X)
~('5sl(x)
= a ( u ~ ) et en
1
L\(u,).
1 1 suffit alors d t 6 t a b l i r le ler de ces isomorphismes ; le second
,
s'en déduit par passage aux quotients :
Soit
ge de
1
1
lin Div(U,)--3
(X).
3
U A ; les U A forment u n systéme fondamental d e voisina-
injectivité d e
T =
T (OIII
-
9.2.4
[2])
; tout revient donc à démontrer que pour
.../...
tout
Dl
"
cyc(D) = O
~ c D i v ( ~ ~tel
) que
O ; ce qui revient à
=
ti
( b i v X ) &Div(OX,,)
(21
X
X = Spec(OX8,).
-
L'anneau
D, = O
15)
4.6
i l existe ri r h tel que
pour tout
)
x ~ T L'identification
.
permet d e se ramener au cas
O X B X étant factoriel,
X
est normal et la
X
conclusion vient de la proposition
(3.7
(i))
1
bijectivité de lim Div(U
3(X)
4
h
Les mêmes considérations que tout B l'heure ramgnent au cas
-
X = S p e ~ ( 0 ~où~ ~ x) E T et la partie ( i l ) de la proposition (3.7)
permet de conclure.
-
3.8.1
Soit
Corollaire 1 :
A
un anneau local noeth6rien intègre int6gralement clos
tel que dirn(A) B 2. Si
est le complémentaire du point f e r m é d e
alors les conditions sui"antes sont équivalentes :
X = Spec(A)
(i) A
(ii)
U
est factoriel
Pic(U) = O
et pour tout
l'anneau O
est factoriel.
X8X
Preuve :
A
factoriel 6quivaut
a Q(x)
phisme de la proposition (3.9) que
outre si
1
A
-
Soit
1
l
U
Pic(U) = O
avec
isomor-
U = UA Y h , En
est factoriel i l en est de même tout localise d e A * Inver-
sement Pic(U) = O
3.8.2
= O ; i l résulte du 2
implique q u e
C~(X
= O) par
isomorphisme.
le 2
Corollaire 2 :
A
un anneau local noeth6rien tel q u e dim(A) a 2. Si
est le compl6mentaire du point fermé de
X = Spec(A)
alors les
conditions suivantes sont &quivalentes :
(i)
A
est factoriel
(ii)
Pic(U) = O
pour tout X E ,% 1 'anneau 0,
¶
x
est factoriel
et prof(A) a 2.
.*./*..
Preuve :
( i ) ( i i )
donc
X
i(
normal
1
I
1
puisque
A
factoriel
normal
(
i
)
est établi des qu'il
c'est-à-dire que
et
(RI)
resulte du corollaire
et
(RI).
IV
-
(S2)
et q u e
X
vérifie
est prouvé que
(RI)
prof(A) h 2
X
et
A
est
(S2). Comme
vérifie également
U vérifie
(S2)
PARAFACTORIALITE,
4
l
(X, O X )
Dans c e qui suit
,
f e r m é de
X
et
Y
désigne un espace annelé
un
U = X-Y. L a a t t e n t i o n est centrée s u r le foncteur d e
restriction transformant les O X - m o d u l e s inversibles e n d e s O - ~ o d u l e s
U
V
inversibles : pour tout ouvert
2
est associé i
4.1
-
2/;nu
X,
chaque
s a restriction 3
O,,-Module
inversible
w
U.
Définition :
Le couple
restriction
surjectif
de
'
(X, Y )
est dit parafactoriel ssi le foncteur de
2
est pleinement f i d k l e et essentiellement
(pour tout ouvert
V
de
X).
1 1 revient au même de d i r e qu'étant d o n n é un ouvert
d'une part pour
2
est isomorphe à
HomO
et
2.'des
wfl u
(y
h
u
Oy-Modules inversibles
,
)
V
X,
de
HomO
w
($,.$<
et d'autre part tout
(tu
O w A U - M o d u l e inversible est à un isomorphisme pres la restriction d a u n
O,,-Module inversible.
4.2
1
-
Lemme 1 :
Si
1l
I
est l'injection canonique alors les condi-
tions suivantes sont equivalentes :
(i)
I
~
j : U-->x
fidèle.
le f o n c t e u r de restriction
y+&ilu est pleinement
.../...
(ii)
du faisceau
I
OX
OU
est i s o m o r p h e au f a i s c e a u
par
j,(OU)
image d i r e c t e
j.
Preuve :
L'equivalence d e ( i )
lence des c o n d i t i o n s
( i l ) résulte directement de 116quiva-
et
(a')
et
(b')
du c o r o l l a i r e (21-13-3
[5]
).
- Lege 2 :
4.3
Si
X
est un s c h é m a localement n o e t h é r i e n a l o r s les c o n d i -
t i o n s s u i v a n t e s sont é q u i v a l e n t e s :
(i)
OX
(ii)
est isomorphe au f a i s c e a u
pour t o u t
y EY
prof (O
X,Y
j,(OU)
) b 2
Preuve :
Ceci n'est qu'une version du lemme (21-13-4
-
4.4
.
Proposition :
est parafactoriel si et s e u l e m e n t si :
L e couple ( X , Y )
a)
I'homomorphisme c a n o n i q u e
b)
pour t o u t ouvert
,
jvn u
V
de
(j vnu)* (
=
[5]).
OX-->
X
et t o u t
est un
injection c a n o n i q u e
j*(O,,)
module
est bijectif.
O y o U -Module i n v e r s i b l e
inversible ;
v~U.-)V.
Preuve :
En vertu du lemme 4.2.
est pleinement f i d è l e et
I
b)
a)
é q u i Y a u t au f a i t q u e
au f a i t q u e
i4hnU
f--+an
est i s s e n t i e i -
lement surjectif ; ceci n'est q u e la t r a d u c t i o n d e l a parafactorialité.
1
4.4.1
-
Corollaire :
Si le c o u p l e ( X , Y )
(i)
pour t o u t ouvert
GI
de
est parafactoriel alors :
X
le c o u p l e (W, Y ( 1 ~ est
)
parafactoriel ;
inversement si
est u n recouvrement ouvert de
)
(W
X
tel que pour
ci
tout
(Ma, Y
a
~ O! W
soit parafactoriel alors
(X, Y ) est lui-même
parafactoriel.
(ii)
pour tout f e r m é
contenu dans
Y'
Y, le couple (X, Y')
est
parafactoriel.
Preuve :
( i ) La condition
a)
de la proposition exprime une proprieté
locale ce qui rend évidente la première assertion. Pour démontrer la
seconde i l suffit d'établir q u e pour tout OU-Module inversible
1
j,(
A0 )
j : U+X
est un OX-Module inversible a"ec
ja : W afl~-->~,
par hypothèse
;
(ja)* ( f j W
I
2
soit
;
,.qu ) est un
ci
O w -Module inversible. La conclusion résulte alors de la relation
"a
(~*(d'))
l
=
[J,),(&~
)
lWa
puisque l a notion d e OX-Module inver-
a
sible est locale.
Posant
(ii)
=
I~isomorphisrne O x
T(V, O X )
X-Y'
UCU' ; soient alors
i l vient que
UA
j1I les injections canoniques :
j, j 8 et
a)
Ut
I-
j
:
( O U l ) s e traduit p
r(vr)ul, O X ) pour tout ouvert
V
de
d 1 6 t a b l i r le second. De la parafactorialité dc
X
a
s
m
e
X ;
i l s'agit donc
(X, Y ) i l résulte
que l'homomorphisme composé
est un isomorphisme pour tout ouvert
V ~ U Icet isomorphisme s'écrit
l
l
i l e n resulte que
r(V, O N ) ' =
V
de
X
;
et pour l'ouvert
r(vnu1,oX) = r(vnu, ox)
r(\lfhJ1. ON).
;
.../. ..
I
2
i
b)
si
est un O U I - M o d u l e inversible,
sible ; de suite
=
j
6
est un 0"-Module inver-
J ( ( ~ ) est
) u n O X A o d u l e inver-
sible.
,
Le couple
Y ~ ) u ' ) étant parafactoriel en vertu d e
(i).
f
1
,.
j (
)
dans ces conditions
(
J.;
k)
donc un
j*(
"
OX-Module inversible.
.4,4.2
-
Corollaire :
un schéma f : X - X
X
Soient
un morphisme fid5lement
Y' = fml(y). Si
plat et quasi-compact et
couple .(XJ, Y') parafactoriel alors
U
est retrocompact et le
(X, Y) 1 8 e s t aussi,
Preuve :
U' = f -1 (U) = X I
Soient
-
Y'
niques. 11 s'agit d'établir : a)
OU-Module inversible
a)
,
OX
j,(L)
-
les injections Cano-
j, j J
j,(OU)
et
i l suffit d'avoir
l'image réciproque par
restriction de
separé et
f
isomorphe 3
f
*
du faisceau
f-l(U)
*
f (j,(OU)).
f
f (OX)*f
f
f (OX)
t
*
f U 1a
*
f ( O X ) = O X l i l résulte que
'
canoniquement
I
I
et de
j*(Ou,)
*
f (OX)
=
est
est quasi-oonpact
j
= j*(fU(Ou))
2 est un Ou-Module in;ersible,
*
OC
Designant par
OX.
De 18isomorphisme O X l
OU fi -Module inversible et :j
s'identifiant canoniquement
pour obtenir
(j*(OU))
et observant que
plat, i l vient : j:(oU,)
l'identification
Si
3
f
pour tout
b)
est un OX-Module inversible.
Compte tenu de la fidéle platitude de
O X = j*(O,,)
b)
et
fU(
*
*
I
1
f (j*(OU)).
est un
( f i ( i ) ) un OX,-Module inversible
a f*(j*(i)) en "ertu de (2.3.1EGAIb
[4])
La conclusion que
8
j,(
)
des hypothèses faites sur
- Définition
4.5
est un O X - k d u l e inversible résulte alors
f
et d e
(2.5.2
EGAIy
[4J
1.
:
.
.
Un anneau local est djt parafactoriel ssi le couple
(Spec(A),
{a))
- Proposition
4.6
A
l
est parafactoriel
a
désignant le point f e r m é d e
:
Btant un anneau local soient
X = Spec(A)
et
U
le
X. Les conditions suivantes sont
complémentaire du point f e r m 6 d e
alors Bquivalentes :
A
(i)
(il)
est un anneau local parafactoriel
les conditions suivantes sont v6rifi6es :
A
a)
=
r(X, O X ) = r(U, O X )
Preuve:I1
convient de préciser ici que Pic(U) d h i g n e le groupe
quotient de 1 'ensemble des OU-Modules i nversi bles par la relation
I
d t i s o m o r p h i e (idem pour Pic(X)) ; i l faut également rappeler que
2-3 I/,nu
essentiellement surjectif signifie que
Pic(W)+Pic(VOU)
a)
I
est surjectif.
traduit la condition
a) d e la proposition (4.4) ; pour
il
b)
suffit d'observer que tous les ON-Modules inversibles sont isomorphes
à
I
Ox
puisque
fait
l
b)
l
1
,.
l
est le seul ouvert contenant le point fermé ; d e c e
Pic(X) = O. Compte tenu de la deuxieme remarque la condition
traduit la surjectivité d e
condition
,
X
b)
Pic(X)
>-
Pic(U)
et donc la
de la proposition (4.4).
I l faut noter d e plus q u e si
A
est noethérien
1 .
A = r(X, O X ) = r(U, O X )
I
(4.3).
signifie que prof(A).aZ
en vertu du lemme
0.4
/..4
-
4.6.1
a)
Remarques :
Un anneau local dont le compl6té est parafactoriel
1 'est aussi.
Un anneau local noethgrien parafactoriel est nécessaire-
b)
ment de dimension a 2,
c)
(3.9.1)
Compte tenu d e la proposition (4.6) et du corollaire
un anneau local noethérien factoriel d e dimension a 2
est
un anneau parafactoriel.
de
.
I l existe des anneaux locaux noeth6riens parafactoriels
d)
dimension
4.7
-
3 qui ne sont pas factoriels
(21-13-9 ( i i i )
[5]
Proposition :
Si
X
est un schema localement noethérien alors les condi-
tions suivantes sont équivalentes :
(i)
le couple (X, Y )
pour tout
(ii)
yEY
est parafactoriel
l'anneau local O
est para-
X,Y
factoriel.
Preuve :
I l faut noter q u e
pour tout
OX
j,(OU)
équivaut à prof(OX
,Y
) b 2
y&Y.
(i)3
-.
(ii)
soient
T~
= Spec(OXBy)
et
Uy = Ty
-
{Y) ;
compte tenu de ce qui vient d l $ t r e dit i l slagit d l & t a b l i r q u e
clest-b-dire q u e tout
Pic(Uy) = O
isomorphe
a
O
U~
de la forme
inversible
ii
Y
.
UV = V
O U -Module inversible
Comme
-
~f)E3
U~
4
est
est limite projective d'ouverts
,
; puisque lecouple (V,
est restriction d i u n OU,,-Module
v
~ O V est
) parafactoriel,
$
est. restriction d'un
être choisi de rnanihre que $y % O y
(ii)
(
.-
2,
inversible
pouvant
V
;
io&O Gy .
; ce qui fait que
i l s'agit d'établir que pour tout OU-Module
:
j,(
4
O y - ~ o d u l e inversible
4!
est u n " O X - ~ o d u l e inversible. L a notion étant
)
V
locale i l convient d e s e ramener au cas noethérien. Soit alors
x.EX
l'ensemble des
l
V
1
au voisinage desquels
est ouvert et i l suffit d e démontrer q u e
non vide, soit
sui t e
zeZ
est inversible.
!
)
j,(
V = Xe
io
étant inversible,
=
parafactoriel,
tj*(
1
j,(
Z = X-V
ZCY
un point maximal. Naturellement
est parafactoriel. La restriction d e
Ox, 2
Si
d'
a
)
l'est aussi. Comme
O
Z
est restriction d'un
est
;
de
V
- Vl)F}
est
x,z
OT -Module inversible
2
avec
= Spec(OXSZ).
T,
ouverts de
z
2';
(W
ble
,
T,
étant limite projective d e voisinages
1 est tgalenent restriction d'un
/
2
j,(
w-w fl 3 .
UCV1
Posant
VI
=
VUW
.
sur
v
0
J
i l apparatt que
)
et
sur
O
(j,(
W
alors
1)
4.7.1
-
21/u = 2 .
W
sur
et
;
si
O y -Module inversible coïncidant respectivement avec
est contraire au choix d e
~
z). U n chojx convenable d e
voisinage ouvert de
1
1
ON-Module inversi-
permet d'obtenir l'identité des restrictions de
est un
2'
Zl
j,(
2
)
Du f a i t q u e
-Module inversible ce qui
est u n
V
donc
*y1
Z
=
P.
Corollaire :
Soit X un schbma localement noeth6rien ; si les conditions
suivantes sont vérifiées :
x c U = X-Y
a)
le couple ( X , Y )
b)
l'anneau local O
alors pour tout
est parafactoriel
x,x
xêX
est factoriel pour tout
est factoriel.
OXix
Preuve
-
:
Soit
tel que
y€Y
maoihre que
dim(OX
prof(OXBy) a 2.
vient : Pic(Uy
-
,Y
non factoriel ; y étant choisi d e
OXBY
soit minimale. Comme O X
est parafactoriel
,Y
)
Ty = S p e c ( O X S y )
Posant
O
z G Uy
et pour tout
et
Uy = T
, OXsz
factoriel. Ainsi e n vertu du corollaire (3.8.2)
Y
-
{Y)
11
#
est un anneau
O X ,Y
est factoriel :
absurde !
-
4.8
Proposition :
A
B
et
A 4B
p :
plat.
Si
B
4tant des anneaux locaux noetheriens soit
un homomorphisme local faisant d e
B
est factoriel i l en est d e m e m e de
A.
un A-module
Preuve :
I l suffit d'établir le résultat pour
clos de dimension
a
3
: XI = Spec(B)
Pour tout
x
(
Soient
2.
a
X = Spec(A)
l'homomorphisme daduit de
1 'anneau local
puisque factoriel de dimension
inthgre intégralement
point fermé de
Spec(A) = X
a
A
OX,
Ü1(a))
parafactoriel ; i l résulte alors du corollaire (4.4.2)
avec
U = X
pour tout
-
{a),
x&U
.
prof(A) a 2
est
que (X, { a ) )
et Pic(U) = O
Sous hypothése d e recurrence sur la dimension,
l'anneau
O x B X est factoriel ; ainsi le corollaire
précédent permet de conclure que
NOTA :
-
p
est parafactoriel
2 ; d e suite (XI,
est parafactoriel. Dans ces conditions
et
A
est factoriel.
le r6sultat analogue pour le cas parafactoriel est valable
seulement lorsque le relevement de 1 'id6al maximal d e A est un ideal
de définition de B .
.. . / . . .
4.9
-
Proposition :
X
étant un schéma localement noethérien normal, pour une
famille filtrante décroissante d'ouverts
les conditions
suivantes sont équivalentes :
a)
triction à l'un d e s
l
Tout cycle 1-codimensionnel sur
UA
X
dont la res-
est localement principal est un cycle
1-codimensionnel localement principal.
b)
l
l'anneau local
O
pour tout
x,x
b')
fl
x@
U A tel q u e
X
est parafactoriel.
2
Y d e codimension a 2
pour toute partie fermee
contenue dans le complémentaire d e l'un des
dim(OX,,)
UA
,
le couple (X, Y )
YCX
-
UA
est parafactoriel.
Preuve :
b)
4 b')
soit
Ytfl~h
et dim(OX
,Y
X
alors
tel que
,O
) s 2
; de
b)
;
si
y€Y
O
i l résulte q u e
OX,Y
est parafactoriel e n vertu
est parafactoriel. Donc le couple (X, Y )
de la proposition (4.7).
ba)----+
dirn(OX,,)
toriel.
1
b
b)
pour
codim (Y, X)
2
Ainsi
OX,,
x # U,
3
2
1
d e sorte q u e
Pour établir l'équivalence entre
sur
X
soit
principal. Si
H
l'ensemble des
N
Y =
(GCX-
U A ; pour
(X,
Y)
b)
i l convient de
est parafac-
est parafactoriel.
donner une nouvelle version d e
1
soit
a).
Z
xCX
a)
et
étant un cycle 1 - c o d i m e n s i o n n ~ l
en lesquels
Z
estnon-
est contenu dans le complernentaire d e l'un d e s
alors Z est localement principal. Comme Z est principal en tout point x
tel que dim(OX,,) = 1 , codim (N, X) b 2.
VA
X
*../.a.
a')
contient un fermé
si le complémentaire de l'un des
de codimension a 2
z/X-Y
tel que
Y
soit localement principal alors
Z est localement principal.
Pour achever la démonstration i l suffit d'établir l'équivalence
a')
entre
d'un ferme
OX
I
et
Y
j,(OU)
b
de codimension
U = X-Y,
où
X
) 'Du fait que
est normal, en tout point
2 ; i l en résulte que
2, prof(OXsy)
Les conditions
y
al)
et
b l ) exprimant des
propriétés locales i l suffit de se ramener au cas noethgrien. L 1 6 q u i valence entre
al
et
se traduit alors par la suivante :
b1
X
al1) Tout cycle 1-codimensionnel sur
dont la restriction à un
des U A est localement principale est lui-même localement principal.
Pic(X)>
-
bl1) 1 'homomorphisme canonique
a")-+b")
-uU
Soit
(injectif) exhibe dans (3
: Pic(U)--)(U)
-7-
le morphisme canonique
Si
JO
alors
CPic(U)
est localement principal par construction,
zo
est surjectif,
est un cycle 1-codimensionnel sur
O
sl(x)
= 2 ( ~ )
codirn(Y, X) a 2,
d'un cycle 1-codimensionnel Z
;
de suite
X
Zo
est restriction
. Il résulte de
U
Z
est localement principal. L'homomorphisme canonique (3-7-1)
étant injectif)
éiement
Qg pic(x)
bl').->
al1)
triction
a
Soit
U s Z/U
dont
Z
fo
sur
CP(Z)
pro;ient
al8) que
d'un unique
a
est ta restriction
U.
X
un cycle 1-codimensionnel sur
est localement principale. ('?('/u)
U ;
Du fait que
à
P~C(X)+~\X]
l
1).
Pic(U)
=
dont la res-
~ ~ ( où3 ~ )
% E Pic(").
bN
Soit !ePic(X)
~(,f)=
que
tel que
C~(Z') où
équivalents. Comme
1
Z
et
Z t I U et
S1(x)
= d(U),
X,
soient linéairement
Z/lJ
a p r1 i n c ( X ) =
sont linéairement 6quivalents. Donc
Z1
resulte de
est u n cycle 1-codimensionnel sur
Z'
localement principal tel que
. il
=
sprint ( U )
Z
ainsi
est aussi locale-
ment principal.
-
4.9.1
Corollaire :
1
X
partie
S
1)
étant un schema localement noethérien normal, pour toute
de
X
les conditions suivantes sont equivalentes :
S
tout cycle 1-codimensionnel principal aux points de
est
localement principal.
2)
pour tout point
dim(OX,x) r 2
l'anneau
x
X
local
{x) r ] S
tel que
O
X,x
=
fl
et
est parafactoriel.
Preuve :
Deux observations s'imposent ; tout d'abord l'ensemble
{x€X
/ {x]f)S
= $4)
est l'intersection des voisinages ouverts de
et puis, tout cycle 1-codimensionnel principal aux points de
S
S ;
l'est
S.
aussi aux points d'un certain voisinage de
Prenant comme famille filtrante décroissante d'ouverts les
voisinages ouverts de
de la proposition 4.9
S, la condition 1) n'est que l'énoncé
. En
outre { x ) n S
=
fl
6quivaut à
x
a)
n'appar-
1
tient pas à l'intersection des v o i s i n ~ g e s ouverts de
s'identifie à la condition
b)
S ; ainsi
2)
de la proposition 4.9.
A présent l'outillage est au point pour aborder le Théor'ème de
/
Samuel-Ramanujam sous sa nouvelle version.
..,/..*
D E U X I E M E
- - - - - - - - - - -P - A- -R - -E
- - - - - - - - O - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1
-
Nouvel le Version d u THEOREME d e -SAMUEL-RAMANUJAM
II
-
Application : Enrichissement ---ne 1 s c l a s s e d e s
Anneaux Paraf actoriels.
Thgorbrne :
Soit
A
 est intégre intégralement clos ; soient
le compl6t6
-m
un anneau local noethérien d'idéal maximal
>
dim(B)
local noethérien tel que
homomorphisme local faisant d e
Si le corps résiduel d e
B
dim(A)
.
B
un anneau
: >-A
et
dont
B
un
une A-algèbre formellement lisse.
est une extension séparable d e celui d e
B
alors :
A
tout cycle 1-codimensionnel sur Spec(B) principal en
= 2B
est un cycle 1-codimensionnel principal.
1
~ r e G e:
I l faut s'assurer tout d'abord q u e
premier de
B ; i l revient au même de d i r e que
Soit
= B
B/!~
k =
?
(J k
A
/!
. En
= mB
-
est un ideal
YiiB
est intègre.
vertu d e la proposition (
1.1.2)
B
est une k-alggbre formellement lisse puisque
est
A
formellement lisse sur
PI
BIrnB
que
1
A. I l r é s u l t e alors du corollaire (0.19.6.5
est régulier, en particulier int8gre.
I l s'agit en s u i t e de s e ramener au cas où
A
et
B
sont
en plus complets, integres et intégralement clos.
a)
1
l
a
l'homomorphisme
donne par pa-ssage aux complétés
A
6
: Â,->
p
un homomorphisme local flisant d e
B une Â-algèbre
formellement lisse en vertu de la proposition (1.1.3).
résiduels d e
Â
et
Ê sont ceux d e
A
et
B
C o m m e les corps
respectivement, la
genéralité des hypothbses n'est nullement altér6e en supposant
et
B
complets,
Â
étant intègre Intégralement clos
A
A
peut être
pris complet intègre et intégralement c l o s donc régulier.
Pour obtenir q u e
I
B
est régulier i l f a u t observer q u e B est un
A-module plat du fait d e la lissité f o r m e l l e ; en outre
sont réguliers, la régularité de B résulte de la proposition (6.5.1
A et B @ k
A
[4]
)
..*/. ..
b)
et
A
La démonstration va s'effectuer sous les hypoth&ses que
sont locaux, noethériens, complets, intègres et intégralement
B
clos.
Du ( i i ) de la proposition (1.2.4)
anneau de Cohen
l
i l r4sulte l'existence d l u n
dont le corps résiduel s l i d e n t i f i e a
V
le ( i ) de cette même proposition assure que
A
fait de la factorisation du A-homomorphisme
V.->A/,
. .,
A
V
A
Le corps résiduel
K
-
de
K
=
en vertu de la proposition (1.2.3)
Soient alors
A, = A
a
une
et
W
est une V-algèbre du
V-algbbre de
(A@w)
=
\I
(
=
Comme
W
3K
en
k
A
k,
i l existe
Cohen
telle
W
le produit ten-
V
soriel complété c'est à dire le complété de
naturelle.
-=
séparable sur
Al
;
4 = surjection canonique.
avec
étant
0
k =
A,
se factorise en
surjection canonique) B
pour la topologie
W)-
B
\K
est une id-algébre. De c e fait
B
a
une structure naturelle d e Ao-algebre q u i par passage a u x cornpl6t4s
I
fait de
B
une A'-algébre.
Compte tenu du Théorème d e Samuel Ramanujàm la démonstration
1
revient simplement à établir q u e
Al
est un anneau local noethérien
intégre intégralement clos d'une part et d'autre part que
B
est une
Al-algèbre formellement lisse.
Posant 5 = Im(m
- gv
W ) + Im(A
B pW)
v
où p est la caractérisation
de k i l vient :
Al
=
iim A O n= (+
lin
(A @ W ) (lm(a
\n
-
@ U) + 1 m ( ~ @ pnW)j=
v
En vertu de la proposition (0.7.7.10
v
p-)
(~/pn~j
[l] ) Al est un anneau semi local
-
noetherien complet et mA1 est contenu dans son radical de Jacobson.
I
.
a
..
./.
A'
Le fait que
1)
a
est local va résulter des constatations suivantes :
=1m(tn@
(yplU')
= k @K
=
%O
est maximal dans
-a A i
K ; d e suite
=
k
-m(A
qui se réduit
-m'
W ) + I ~ ( A@ pW)
V
v
= mA1
@ 11)
-
= mA1
du fait que
est donc l'unique idéal maximal de
A,
puisque
est maximal dans A'.
p.lf
-m A 1
Al.
C
Comme
0
Al i l suffit
est intègre, pour obtenir l'intégrité de
[4]
en vertu de la proposition (6.5.1
)
d'établir que
B
est
un Al-module plat.
l
Soient alors
,
canoniques
A--)A
: A - 4 A 1
f
W\
g
V
(A
le composé des homotnorphismes
= Al,
g
v
et
g : A1+B
l'homomorphisme de structure de la Al-algkbre B ; f et g sont
locaux, Comme B est un A-module plat et S I z B = 5 B k
un
A
( ~ ; / m ~ ~ ) - m o d u plat
le
la conclusion résulte de la
A
= A
= K
,
-
l
-
1
proposition (0.6.6.19
Pour obtenir que
que
g : Al-)B
l
) en prenant
Ai
S = A'
et
M = C = B.
intégralement clos i l suffit d'observer
est un homomorphisme local faisant de
dule plat. Comme
I
-
proposition
est régulier
B
(6.5.1
Al
B
un Al-mo-
l'est aussi en vertu de la
[4]).
Pour achever la démonstration du théoreme i l faut enfin établir
que
,
1
B
est une Al-algèbre formellement lisse.
Ce résultat se déduit de
a)
B
b)
B @ k
est un
A
(
1.1.5)
h partir des faits suivants :
A t - m o d u l e plat
=
YmB
- = B/,,B
(-ml = m A 1 ) est une k-algèbre
œ
œ
formellement lisse ; i l s'agit d e prendre simplement A t pour A.
1 : ~ v e cles mêmes hypotheses sur
Corollaire
idéal premier
9 de
dim(Bq) . 2
Bq
-
B
& =
non contenu dans
p
A, B et
pour tout
tel q u e
est parafactoriel ; en particulier
B
est lui-même
&
parafactoriel dès que
dim(6) > dim(A),
Preuve :
Pour obtenir le résultat i l suffit d'appliquer le corollaire
(4.9.1)
en prenant S = te}.
~
l
Corollaire 2 :
Soit
A
un anneau local noethérien d'idéal
-m
maximal
dont le
complété est intégre int6gralement c l o s et dont le corps résiduel est
I
B
parfait (en particulier de caractéristique zéro), Si
local noetherien tel q u e
dpim(B) > dim(A)
homomorphisme local faisant de
B
est un anneau
: A A B
et
un
une A-algebre formellement lisse,
alors,
-
tout cycle 1-codimensionnel sur Spec(B) principal en
= mi3
1
est un cycle 1-codimensionnel principal.
Preuve : Ceci est une conséquence immédiate du théoreme puisque le
1
corps rdsiduel de
B
A,
est une extension, separable d e celui de
Corollaire 3 :
Sous les hypotheses du corollaire
tout idéal premier
1 de
B
2
sur A, 0
non contenu dans
=
-m B
et
p
pour
tel que
1
1
dim(Bq)
-
El
%
2
Bq
est parafactoriel ; en particulier si dim(B)>dim(A)
C
est lui-même parafactoriel,
Preuve :
Il suffit d'appliquer le corollaire 11.
1
***
A partlr du théoreme d e Samuel Ramanujam et du résultat qui vient
d'être obtenu i l est certain que sous les m ê m e s hypotheses sur A, B
et
p
la conclusion reste valable lorsque le corps résiduel de
est une ex.tension finie d'une extension separable de celui de
B
A-
Enrichissement de l a c l a s s-e , d e s Anneaux
Paraf actori-el
-.- s
A un anneau local noethérien d'idéal maximal 5 et de
contenant un corps
profondeur a 3
v Soient B = A
T
un anneau de sérles
Soit
formelles sur
A
-
et
= m B . Si
A
est parafactoriel et qu'il est
de .Cohen Macaulay' de multiplicit4 c 2
aloas
B,
est paraf actoriel
-
.
Preuve :
.
*
La démonstration se fait par récurrence sur le nombre des
\
i ndétermi n6 es.
Cas
1')
A[bg
El =
n = 1
soient alors
X. Si
le complémentaire du point fermé de
1
Y = Spec(B)
et
Uo = U ~ V ( T ) alors
U
Uo
s'identifie au complementaire du point fermé de Spec(A),
Lemme :
-
Si
premier
-p de A
A
est un anneau local nocthgrien, alors pour tout idéal
prof(llp) b p r o f ( A )
-
-
dim(A/p).
-
Ce lemme admis l t h y p o t h 6 s e sur la profondeur de A
que la condition
corollaire
2.5
pfc(Û) >-.
~ic(Û) =
où
W
Leff(U, Uo)
est satisfaite compte tenu du
de (H.Seydi [ 6 ] ) .
Pic(Uo)
Pic(Uo)
De c e fait l l h o m o m o r p h i s m e
est injectif; et c o m m e
O.
=
montre
Par définition
est un voisinage ouvert de
Uo
A
est parafactoriel
~ i c ( Û ) = lin Pic(W)
-3
dont le complémentaire dans
1
U
est constitué d'un nombre fini de points fermés ; ainsi pour
le complémentaire dans
1
U
du point fermé
-nb = -mB
Pour achever la démonstration i l suffit d'établir le lemme
suivant :
Lemme :
1
Pour tout ouvert
"4dh1flV
U1
de
U,
de la categorie des O U I - M o d u l e s inversibles
O
dans celle des O U I n y
-Modules inversibles est
O
@
le foncteur
pleinement f i d e l e
@ essentiellement surjectif.
Vo
Dans le cas oh
U'
n'y a rien 3 démontrer. U t
alors aucun point de
resulte que
-Z C V,
ainsi
-Z
Dire que
Z dans
-Z =
X
vient q u e
U1-U; =
l-->/ugest pleinement
faisceau de torsion de
Y
l'ensemble de platitude de
a
2
alors
y;
un faisceau inversible qui se prolonge e n
U ' g la restriction de
surjectivitd de
2')
2'a
U,
faisceau quotient,
f.
Si
est
W
u est
n/
u n faisceau inversible $
sa restriction
ti
ce q u i traduit la
est
P i c ( U 1 ) -3Pic(U;,).
est le localise de
Al
9-le
le sous-
Généralisation :
Si
fidèle.
soit
%désignant
coFncide avec
UA
Ug
sur
@le
=
soit
restriction
iles lors
O
I
;
est surjectif.
faisceau cohérent q u i le prolonge sur- U n .
sur
; i l en
. Comme
}:{
F :
Etant donné un faisceau inversible
4
-n
-n
ne contient pas
Vo-U'
=
est essentiellement surjectif revient à établir que
F
P i c ( U 1 ) ->Pic(U;,)
.
Z
Z.
u'~v, il
le foncteur
3
-
. Si
-
est supposé contenir
adherence de
UA =
U1nV0= U n i l
ne peut être une générisation de
et donc
Posant
prof ( l n )
Z
-
ne contient pas
en
A[[T~
-
ml
= mA
ET$
aMrS
L
A l est parafactoriel en vertu de c e qui précède. Sous l'hypothèse
de récurrence le localis6 de l'anneau
BI
= Al
est parafactoriel.
Du fait que 1 'hornomor<hisme canonique
B,~-->(B
-
1
est fidhlement plat et que 1 1 i d 6 a l maximal de
1
1
de
(B )
1 !LI
cellede
,
la parafactorialité de (5 )
1 21
BmB.
-
-
BmB
entrcine
)
nl
engendre celui
Corollaire :
A
Si
(S3)
et
est un a n n e a u local factoriel e x c e l l e n t qui vérifie
(R2)
a l o r s t o u t anneau d e s é r i e s f o r m e l l e s
T
est factoriel.
Preuve :
La d g m o n s t r a t i o n s'appuie s u r le l e m m e s u i v a n t :
Lemme :
-
A
Soit
I
un anneau local n o e t h é r i e n normal, Si pour t o u t
de hauteur 3 . 2
-p
idéal premier
l'anneau local
est parafactoC
A
rie1 alors
est f a c t o r i e l ,
L e lemme s e d é m o n t r e par une r é c u r r e n c e s u r la d i m e n s i o n d e
A
Si dim(A) = 1
alors
Si dim(A) = 2
s o i e n t alors
t a i r e du point f e r m é d e
pour tout idéal
-p
b
est un anneau d e valuation discrète,
X ; U
non maximal
U
X = S p e c ( A 1 ) et
le c o m p l é m e n -
est localement f a c t o r i e l ( p u i s q u e
Ap
est ut1 anneau principal).
+
Le c o r o l l a i r e 4.7.1
Si dim(A)
permet d e c o n c l u r e q u e
3 : soient
X = SpecCA)
et
A
=
U
A,
est factotiel.
-
le c o m p l 4 m e n t a i r e
X ; sous llhypothEse de recurrence
du point f e r m é d e
A :
U
est loca-
lement factoriel. L a c o n c l u s i o n r é s u l t e e n c o r e d u c o r o l l a i r e 4.7.1.
El,..
. T
g
La d é m o n s t r a t i o n du c o r o l l a i r e r e v i e n t à 6 t a b l i r q u e la
c o n d i t i o n du lemme e s t s a t i s f a i t e par
soit
-n = m-B
1)
Bs
Si
-m
B = A
&tant 1 1 i d 4 a l maxina1 d e
-q F S p e c ( B )
et
ht(q)
a-
>,
2
et
,,
A.
-q
non c o n t e n u d a n s
est parafactoriel e n vertu du t h 6 o r S m e de Samuel Ramanujam.
2)
Si
qCn
soit
-4-
Dans le c a s où
ht(p)
g
2
-p = -qr\A.
Bq
-.
hypotheses p donc factoriel.
e s t r é g u l i e r en vertu d e s
n,
Dans le cas oh
a)
à
3 :
est parafactoriel e n vertu du théorème
g, # eB. Bq
Pour
ht(e)
Samuel-Ramanujam.
b)
q =
pour
eB,
comme
A
vérifie (S3) le localisé de
est parafactoriel en vertu du théorème, D u FaSt q u e l ~ h o m o m o r p h i s m e
B
Y.
B
9
>
-
est fidGlement plat et q u e l'idéal maximal d e
engendré celui d e
L a parafactorialité d e
(A')m,.
-
(A'),,
-
entratnc c e l l e d e B
Remarque :
Il existe d e s anneaux d e Cohen-Macaulay
qui vérifient
(S3) et
(Rp)
d e dimension a 3
et qui ne sont pas des anneaux
factoriels.
anneau d e GOREMTEIN de
Il est cependant plausible qu'un
dimension a 4
est un anneau parafactoricl. S'il
anneau de GORENTEIN qui verifie
(R3)
e n était ainsi un
serait factoriel d e m ê m e q u e
ses anneaux d e séries formelles.
Dans une publication r é c e n t e B O U ï O I semble affirmer q u e le
théorème d e Samuel-Ramanujam est vrai si
A
hypothèse aucune sur Ilextension résiduelle.
contient un corps sans
CONJECTURE :
Si
A
est un anneau local noethérien de dimension > O
dont le complété est normal alors toute A-algèbre locale noethérienne
formellement lisse
B
telle q u e
1
dim(B) > dim(A)
est un anneau
paraf actoriel.
i
Ce résultat vrai lorsque
dim{Aj
-
I
est loin d'être
démontré dans les autres cas ; la plupart des résultats obtenus sur
l
la question
-
en dehors de celui de B o u t o t
1
I
d e l'extension résiduelle.
-
font appel
la nature
1
Cil
A. GROTHENDIECK : Eléments de Geométrie Algébrique 1 Springer 1 9 7 1
.
II
Il
II
II
"
Il
III Publication de
l'Institut des Hautes Etudes Sciez-Lifiques 1 9 6 1 no 1 1
(Etude cûhomologiqwe des faisceaiix cohérents).
[3]
A. GROTHENDIECK
:
Eléments de GéoiiStrie Algébrique IV Publication
de l'Institut des Hautes Etudes Scientifiques
1964
no 20
(Etude des schémas et des morphisiacs d e schémas).
[4]
A. GROTHEMOIECK : Eléments de fifcmétrie Algébrique
de l'Institut des Hautes Etudcs Scientifiques
1965
IV Pub1 ication
no 24
(Etude locale des sch4mas et des morphismes de schémas),
[5]
A. GROTHENOIECK : Eléments
u e C,6oi::dtrie
Algébrique
de l'Institut des Hautes Etudes scientifiques
l
1967
IV Publication
no 3 2
(Etude locale des schgmas et des morphismes de schémas).
[6]
H.
SEYOI : Une remarque sur les annsaux d a Cohen-Macaulay
Bull. Sc, Math.
2:
S 6 r i e 96
1972
p. 122-160,
T R A N S F O R M A T I O N de MAGATA
11--1111--111---1,-I....--
r
TRANSFORMATION DE NAGATA
L
Cette notion purement algébrique a &té introduite par NAGATA
-
dans l'étude du 14e problème de Hilbert
H.
SEYDI
lu1
L23
à u n anneau
attache une signification g6ométrique en l'identifiant
A
de sections globales du faisceau structural d e l'anneau
sur
1
I g o u v e r t cornpl4mentaire dans
Spec(A)
obtenu ici le résultat suivant : si
sans torsion et BJ un idéal d e
d e zéro alors
un idéal de
A
A
(a € A
l'ensemble
Ilensemble
Bl4ments de
contenant un élément non diviseur
T(a).
d6signe un anneau commutatif unitaire et
x e Fr(A)
/
axe A}
dans
,
A
noté
(A : x )
Pour tout entier
T(a)
A
a - t r a n s f o r m e e de Nagata de
,
A
T(a)
xA
alors
Fr(A)
la famille
T(&)
a.
(Knln
est un sous-anneal!
A w
Cas particuliers
a = [m est
des
=goan
=liis an
contient une puissance d e l'idéal
. anc.c("+"
Fr(A) contenant
=
est
est donc constitué de 1 'ensemble des él6ments de
est filtrante croissante d e sorte q u e
si
soit
ad.
Fr(A)
Du fait que
l
n > O
autrement dit l'ensemble
n
dont le conducteur dans A contient
dont le conducteur dans
de
est
= ib 6 Fr(A) / b3n,"C~)
Définition 1 :
L;
11 est
contenant un élément non diviseur d e zéro.
L e conducteur de
1
V((3J).
est une A-algèbre entière
B
est entier sur
T(aB)
Dans ce qui suit
a
A
du f e r m é
A
T(CL) = A
l'Idéal maximal d'un anneau local IntPlgre et si
T.(ur))
est simplement le corps d e s fractions de Aw
1 :
LEMME
b
Si
(i)
p o u r un c e r t a i n e n t i e r
(ii)
&C
63
T(eL)
r
et
d3
=
-
T ( P ~c) T(CL).
alors
S ' i l e x i s t e deux e n t i e r s
(2 e t
lorsque
no > O
alors
m, n > O
T(!%)
"
0
t e l que
A
e s t u n a u t r e i d c i a l de
C
b
t e l s que
~ ( 6 ); e n p a r t i c u l i e r
=
o n t meme r a c i n e e t s o n t de t y p e f i n i a l o r s
T(& )
DEFIMITION 2 :
L a t r a n s f o r m é e g l o b a l e de N a g a t a
l ' e n s e m b l e d e s é l é m e n t s de
A
de l ' a n n e a u
est
d o n t l e c o n d u c t e u r dans
A
t i e n t une p u i s s a n c e d ' u n p r o d u i t f i n i d 1 i d 6 a u x maximaux de
A.
T
=
'3T
)
c?t
Fr(A)
T
con-
a a r c o u r a n t l ' e n s e m b l e des p r o d u i t s f i n i s
d t i d 6 a u x maximaux de
Sur c e t t e t r a n s f o r m e e g l o b a l e
A.
Matejevic
un
a établi
joli
t h é o r è m e q u i g g n é r a l i s e c e l u i ( b i e n connu}, de K r u l l - A k i z u k i ,
Cas p a r t i c u l i e r :
Si
A
T = T(Qq)
Si
T(m) = T
e s t un anneau l o c a l d 1 i d 6 a l m a x i m a l
GY7
e s t l a t r a n s f o r m B e g l o b a l e de M a g a t a de
A
A,
e s t semi l o c a l de r a d i c a l de J a c o b s o n Q?7 a l o r s
e s t l a t r a n s f o r r n 6 e g l o b a l e de N a g a t a d e
A.
LEMME 2 ( f o n d a m e n t a l )
é t a n t supposg n o e t h é r i e n ,
A
(
Spec(A)
contenant
-
V(a))
A,
et
si
B
e s t u n s o u s - a n n e a u de
il e x i s t e a l o r s une b i j e c t i o n e n t r e
Spec(B)
-
V(û/8)
;
p
6 Spec(A)
- V(a)
et
q
JC
-P = -q
e
Spec(~)
n A ;
-
V(CZB)
se c o r r e s p o n d e n t s i e t seulement s i
e t dans c e c a s
Ap = Bq.
-
C
Ddmonstration :
Il s ' a g i t d ' é t a b l i r une c o r r e s p o n d a n c e b i u n i v o q u e e n t r e
l e s idéaux p r e m i e r s de
ne c o n t i e n n e n t p a s
suivant :
-p
si
a- p
dans
€ a-p =
.
E Spec(A)
6
ceux de
qui
La démonstration s'appuie sur l e f a i t
,
ne c o n t i e n t p a s
=
s
en p o s a n t
A~
= {an
,
il e x i s t e a l o r s
;
AS
-
de l a s o r t e
q = (p AS)
q- f l ~ e s t p r e m i e r d a n s
c o n t i e n t pas & p u i s q u e
A
Lorsque
b -p
a
A
;
>
n
e s t n o n d i v i s e u r de z é r o . A i n s S
premier de
et
(9.B
a et
ne c o n t e n a n t p a s
u n é l é m e n t n o n d i v i s e u r de z é r o . Dans c e s c o n d i t i o n s
B C T ( ~ ) CA # ]
a
A
-p A s
0B
où
O)
e s t un i d é a l
e s t p r e m i e r dans
-
il v a de s o i q u e
. De p l u s Bq- =
e s t u n anneau de K r u l l
T(
(AS)
q
ne
= A
-P'
P Ac
fa
6
peut s'exprimer
de m a n i e r e f o r t s i m p l e :
COROLLAIRE :
Si
A
e s t u n anneau de K r u 1 1 a l o r s
f7 Ap
~ ( a )=
C
où
A
-p
1
p a r c o u r t l ' e n s e m b l e des i d é a u x p r e m i e r s d e h a u t e u r
e t ne c o n t e n a n t p a s
a E:n
outre T ( a )
e s t d g a l e m e n t de K r u l l .
Démonstration :
Comme p o u r t o u t
-p
e
Spec(A)
-
V(a)
,
T(4,)C
Ap,
II)
T ( B ) ~
Spec(A)
t e l que
wp
-
- V(q)
-p ê
-p
lorsque
p a r c o u r t l ' e n s e m b l e des i d e a u x de
de h a u t e u r
Spec(A)
-
V(;jZ)
1.
et
Inversement s o i t
-
h t ( p ) = 1.
dans
d
e
0A-p
Si
%
zi.e*e*s
1
sont les idéaux premiers d e hauteur
contiennent ;?t alors pour tout
a = l.....,
"a > O
puisque
~ tel
- - -que
; "dd
--
c!
valuation discrète.
Posant
s
dans
i l existe
A qui
entier
est un anneau de
AqCa
i l vient :
n = sup(n,)
cc
s
-
fj
A
a=!
danc
n
do, Cfl A
. 11 en résulte q u e
l'ensemble des idéaux premiers de hauteur
Ainsi :
dancr / Ap.-.
=
T(o,,)est
1 1 va de soi que
et donc
A
-p
ou
P
4
1
d 6
dans
parcourt
A,
C.Xn
C-.
T(a)
alors un anneau de Krull.
LEMME 3 :
Si
A
est une
R-algkbre alors pour toute
-n
R-algèbre plate 6.
-n
(A I 5 )
(IZ(A @ B))
R
=
R
pour tout entier
n > O
Démonstration :
L a seconde assertion est une conséquence directe d e la première
n JL
r a m k n e la question
b € an A .:O&,
Ltexpression
- ( h
Gn - 1.
an
(an A
à une comparaison des ensembles
Soient
l
O
A >-
a
€ aun
A @B
dans
et
élément non diviseur de z é r o et
le morphisme canonique. v = a@l
R
est non diviseur d e zéro dans
1
: an )@R B
A
8B
R
A :$B
; et 1 1 i d 6 a l engendré par
R
est
.*./*..
ainsi
(anA:an)@~
Q:~(A
L e lemme
T
B
)
@ B)
R
3
( a v ( ~ @ B :) n n ( ~ @ B ) )
R
R
=
B) )-n
= (Q(A
dosuite
ce q u i achève l a démonstration.
R
s i g n i f i e que l o r s q u e
est e n t i e r (resp f i n i ) sur
e s t entieï. (resp. f i n i ) sur
A.
e s t une A - a l c è b r e p l a t e
B
dès l l i t l s l a n t que
T(0,)
B
L e t h é o r è m e s u i v a n t e s t une a m é l i o -
r a t i o n de ce r é s u l t a t .
--
i héorème
---------------
:
Si
-.
l(C%B)
e s t une A - a l g è b r e e n t i è r e sans t o r s i o n a l o r s
B
e s t u n e T ( a ) - a l ~ è b r ee n t i è r e .
Démonstration :
E l l e s'appuie sur l a proposition suivante :
Proposition : Soient
anneau
A',
g : B
commutatif :
B
(resp
f : A
A
un h o m o n o r p h i s m e d e A d a n s u n
0 ' ) une a l g è b r e s u r A ( ~ e s pA t )
et
u n homomorphisme t e l q u e l e d i a g r a m m e s u i v a n t s o i t
f
Si
x 6 B
alors
g(x) est entier sur
x n + a l x n-l +.......+a
En effet si
la polynome minimal de x
l
A
est entier sur
alors
.x
n-L
g(x n + al x n-1,
-:-a, = 0
....-+
a n-l x
(CJ(X))~ + +(aal)(g(x)) n-l
ce qui slécrit encore
f(A).
+
an) = O
c~(a~-~)(g(x})
appliquer ce résultat au d i a g r a m m ~ des morphismes canoniques :
L'utilisation de ce r6sultat va se faire par le biais de
1 'identification introduite par
l
Dans le cas où
A
H.
SEYDI
noethérient le théorsme suivant d O à
SEYDI permet une identification entre
globales du faisceau structural de
dans
LEMME 4
A
T(CC)
et l'anneau des sections
sur llouvert complémentaire
V(!J.:)
(Théorème de SEYDI) :
Si
l
d u fermé
Spec(A)
[8]:
A
est noethérien i l existe alors un isomorphisme de
A-alggbres de
T(:g)
(cf
1
théorème
[a])
sur
r(U,
oX)
où
X = Spec A
et
U =
X-V(aj
A p a r t i r de c e t t e i d e n t i f i c a t i o n ,
l e 2'
c o r o l l a i r e du théo-
rGme de F e r r a n d e t Raynaud r l ] p e u t s ' é n o n c e r s o u s l a f o r m e s u i v a n t e :
l
LEMIYE 5 :
Si
,
d ' i d é a l maximal
l
lorsqlte
A
et si
T(
)
cil)
est entier sur
e s t unibranche) a l o r s
Ges lemmes 2
I
2
e s t l o c a l n o e t h é r i e n r é d u i t de c i i n e w s i o n
A
et
( 1 )
et
A (en p a r t i c u l i e r
e s t noêlhérien.
il r é s u l t e l e s u i v a n t
5
LEMME 6 :
Si
,
A
e s t l o c a l n o e t h é r i e n i n t è g r e u n S b ~ ~ z n c hdee d i m e n s i o n 2
1
l
e-k d ' i d é a l m a x i m a l :Ti l e m o r p h i s m e c a n o n i q u e
@ :
S p e ~ ( i ( ~ ' J :) \)->Spec(Pi)
sous-schéma
1
e s t un
isomorphe son image r é c i p r o q u e
Le
S p e c ( A ) du p o i n t f e r m é e s t
complémentaire dans
U
homéomorphlsma
$œl(~).
V =
Démonstration :
T
1
1
2.2
)
noethérien.
de
entier sur
e s t contenu dans
A
2
P a r l e lemme
;
-
€ \I
De I ' i s o m ~ r p h i s m e U
@*(ou)
où
en v e r t u de
(21
0 Y\
q
piiisque pour
$* (OU)
-
13
-
de s u i t e
Spec(T(r/rl))
A
et
e t Spec(A)
e s t u n homdomorphisme,
L ' i s o m o r p h i s m e desschémas
lemme 2
donc l o c a l
l e s i d é a u x non maximaux de
T ( / ~ r l ) s o n t en b i j e c t i o n
s o n t en b i j e c t i o n ; d o n c
-A
2
et
U
et
p = qijA
--
= $-'(u)
= V
V = 4-'(u)
se d é d u i t du
-
il r é s u l t e l e s u i v a n t
e s t l ' i m a g e d i r e c t e du f a i s c e a u
(b')
[5]
1.
OU
Cor01 1 aire
:
1.
Si
A
est local noethérien intègre unibranche diideal
alors :
maximal
-
ï(07)) est noethérien pour dim(A)
-
et pour dim(A) a 2
T((!'y])
aI
est entier sur
A
de
profondeur a 2.
1
Démonstration
Si
théorème
:
dim(A)
Matejevic
E
=
c'est une conséquence du corollaire du
161
dim(A) a 2
Si
seul reste à établir le resultat sur l a
profondeur ; i l se déduit de (21-13-4
1 'isomorphisme
l
Corollaire
I
OX =
[5]
) en vei-tu de
c (OU).
:
étant supposé noethgrien si
A
T
)
est noethérien alors
1
1
Spec(Aj et S~~C(T(~'))
les sous-schémas complémentaires respectifs dans
de
el
!(la)
V(t;YT(Q,))
est de profondeur
A
e;* S . . . . . ,
-1
2
le long du fermé
6tant noetherien
T(;'%,)
=
Spec(T(a))
V(lJLT(Qd)).
\
\
T(rac(~~!)
les idéaux premiers minimaux de
p
S,
rat(:?.,) --
b
sont isomorphes. En outre
soient
9
;
comme
s
f '-
,
&= l
P
-01
et sue
le morphisme canonique
I$ :
(T(i7.)),3 =
Spec(T((5))
u n homéomorphisme dès lors que T((i,)
. L'isomorphisme
T(12Ap
-a ) = T(J~ Ap
-a )
>
Spec(A) est
est noetherien en vertu du
annoncé s'en déduit immédiatement/
resultat sur la profondeur suivant aussitôt.
Lemme Q
1e
.../...
Corollaire
:
Sous les hypothèses d u corollaire précédant si l'ouvert
V(iyJ) vérifie
complémentaire de
vérifie aussi
(S2)
alors
U
Spec(T(r2))
(S2).
Ceci est évident.
Corollaire
:
A
Si
est local noethérien integre (resp. unibranche)
d'idéal maximalW,l alors toute sous-A-algèbre enLière (resp. toute
sous-A-algèbre)
de
B
T(flKj)
est noethérienne.
Démonstration :
Il suffit d'observer que
de
A
est la transform6e globale
et d'appliquer le corollaire du théorème de llatejevic
A
Si
maximal W
S[)
.
[b]
:
Corollaire
P(U,
T(;r//)
est local noetherien intègre et unibranche, dtid6al
alors pour tout A-module sans torsioii de type fini M
est un T(;ii,,)-module de type fini
mentaire d u point fermé d e
En outre pour dim(A) a 2
Spec(A)
Â
si
le faisceau associé a
et
vérifie
désignant le complé-
(U
(SI)
M)
r(U, R)
alors
est un A-module de type fini.
Démonstration :
Si
et
Y
dim(A)
)M
Si
d e torsion de
1
=
est un
dim(A)
P
;
R
est plat puisque
est principal
T(,*,,Yl)-module de type fini.
2
E
M
soient
=
P =
T(c'f'ri)
est un
En vertu du theoreme de Ferrand et Raynaud
@)' d
I
4 le module
et
T(f/~,)-iii~d~le
sans torsion.
(I(4)
cl]
1
r(v,
2)
est un
V = 4''
r(V, Oy)-module de type fini avec
(u) pour
8
cie
@ :
@,(OU)
3
r(U,
3)
est nulle ; de suite.
V
que la restriction
= I(Vs
r(U, OX) =
=
X.
2.)
; Ilassertlon
-Ï(fiVjm
étant local noetherien f ntègre d'idéal maximal $QY/,
A
$ :
-
un homomorphisme entier injectif. Si :
>B
A
est universellement caténaire de ciiï:ension 2
8
est intègrz quasi-fini et séparable scr
ei
(Ri)
E
r(V, Oy)
et
:
A
1
> Spec(A) =
OX
THEOREME
vérifie
Spec(T(rij))
I l résulte de I'isomorphisme
o'6coule d e l'égalité
soit
Y = Spec(T(frq))
A
alors
est noethérien.
Démonstration :
1
B
étant séparable quasi fini sur
bre finie contenant
A
telle que
A,
soit
Fr(A1) = Fr(Sj.
noethérien ; son radical d e Jacobson
1
/?li
= 'triAl
A'
A'
;
une A-algè-
est semi local
en vertu du
I
corollaire du théorème de
1
Matejevic [6]
ainsi que tous ses sous anneaux contenant
i l apparaît que pour établir que
nir que
BI
l'est
(cf.
L'assertion
sion
I
B',.-- T('fl!
~ ( m ; ' )soit
!S 2 )
t
).
B
Puisque
)
est noethérien
Al. Posant
BI
[AI]
= B
est noéthgrien i l suffit d'obte-
(31).
6-4-9
BI
Y
est noethSrien va se déduire de l'incluBa
est entier sur
intégralement clos :
~(ih')
A
i l suffit que
doit "ériicier (RI) et
pour cela.
Comme
A
vérifie
(RI)
i l en est de même de
A'
ainsi
/
que de
T I ) en vertu du lemme 2 . En outre 1k complémentaire
U n Ge
Spec(A1)vérifie
.
(S2) ; i l en résulte
la rdunion des points fermés de
T
que
THEOREME
4.
:
A
Si
Jacobson
est semi-local noethérien intègre de radical de
alors
Si de plus
dim(A)
contenant
8
à
A
est également noethérien.
A
alors la trace sur
2
d'un tel sous-anneau
A*
est semi-local noethérien intègre et chacun
T(,'11)
de ses sous-anneaux
où
(s~) compte tenu du corollaire
) verifie également
de -;out idéal maximal
ï(;*r"f))
est un idéal maximal e t
B
désigne la fermeture intégrale de
le compl4mentaire dans
dans
A
=
S -1 A *
S
et
TVMj)
de ses idéaux maximaux de hauteur
A*
2.
h
Lémonstration :
131
La proposition (23-2-5
sous-A-alébre finie
de
A'
/
i~nibranchê. Soient ''. : : , 1 3 * - *
son radical de Jacobson ;
Fr(A)
assure 1 'existena d'une
)
dont le spectre est géométriquement
TL
les idéaux maximaux de
;rri/=flj~'
et
(
T
i
)=
Al
et :7i.j'
T(mAh,q
1
)
a
a = l,,..., s
est un anneau local noethérien pour
En outre :
pour h t { v ),'
pour ht (
=
a
an!)):,y, ;
1
) h 2
(~(irr~')
SOUS
anneaux contenant
rien ; le résultat
Comme T : )
T(1ri)
)
est entier sur
8
Tvlri)
h
A'
(
i
; donc
T(irr; ) [AI]
T(i~n) (th, 1 )
2 ; de suite
/
est noethérien ainsi que
)
est noethé-
noethérien découle alors de (6-4-9
est entier sur
est de hauteur
16.1
Alnb;
a
a
par le corollaire de Matejevic
tous ses
)([,!
Fr(A)
=
s-1
[z]).
tout idéal maximal de
6
II*L-.,.-
j-(:ffj)
Si
et
S'
C
est la fermeture intégrale de
le complémentaire dans
'.S
Comme
I
l'égalité
l
Corollaire
l
ofl I
S -1 A *
alors
T(l%'))
est établie.
:
Si
1
de la réunion des
est intégralement fermé dans
A*
T(ir?]) =
C
dans T(;~N')
A'
A
est semi-local noethérien intkgre de radical de
A-module sans torsion de type fini M ,
Jacobson / T / j , alors pour tout
fi) est un T(;il,)-module de type fini ; U = cornpl6mentaire dans
A de la réunion des idéaux maximaux et fi = faisceau associé a M.
r(U,
I
l
Démonstration :
/
Soit
Fr(A)
de
l
/
=gilA
Soit
t
le radical de Jacobson d'une sous-A-algèbre A'
finie et dont le spectre est g6onStriquement unibranche
=
K
;
de suite
P'
l
( U
=
....*
I
r-i",
Al-module. Soient
l
)
=
1 'image canonique de
Pl'
posant
T
A )
) &" M
T
n
=
dans
K
F
f? ;
T~I)~
I
est un
il
;
complémentaire dans S p e c ( A t ) de la
réunion des points fermés, i l vient :
pour tout
a = l
m Ss
est un
(PI)
:TU&
,
est finic sur
les idéaux maximaux de A'
j
U'
avec
)
T
(~(q?'?')
1 , -module de type
mi a
fini : dans ces conditions i l exfste un sous ~(.*r!i')-module
fini
I
Po
tel que
(P')
=
(PL
a
dx e
i l en résulte :
P' et
da =
a " ?LS.....~
de type
s
07,;
I~.....~
+a
mi:,
o e
I
de manière que
de suite
l
x
=
t,x
E b,
€
ta x
I
P o ; comme A' = E t a A 1
E
Plo
et
P'
fini donc un T( ,,':)-module de type fini.
,
1 =
Ebatal a
A';
est un 'i(l'fl')-module de type
...
/o..
P o u r a c h e v e r l a d e m o n s t r a t i o n il s u f f i t ~e m o n t r e r q u e
fi = r ( U 9
8)
L e f a i t que
M
K
M
= K
i!
A'
A
kt
; ainsi
e s t u n sous A-module de
I
MI
fi
; dans ces c o n d i t i o n s
8')
r ( u 9 8!)--.r(u,
--.-
= r(u,
d é s i g n a n t l e morphisme
I
.
se d 6 d u i t d e 1 ' é g a l i t é
e s t u n sous OX-Module de
+*(?Il))
= r(ul,
$')
canonique de
XI
I
6
( u t , 8 ) = b!
e s t u n s o u s T @ q . ? ) - m o d u l ed e
= S~CC(R')->S~~C(A)-X.
C e c i p e r m e t de c o n c l u r ~ .
I
:
Corollaire
é t a n t l o c a l noetherien intègre. S i t o u t i d e a l premier
A
contenant
;'iJ e s t m a x i m a l a l o r s
anneau d e
T(cd)
contenant
T(Yh)
e s t n o e t h é r i e n e t t o u t sous
e s t également noetherien,
A
Démonstration :
Soient
1
lij
....
19..
l e s i d é a u x p r e m i e r s m i n i m a u x de
s
S
posant
= A-
Si
"
‘'YI!
i et
Si
S =
i=l
,
il v i e n t que
AS
(x;
e s t un
anneau semi l o c a l n o e t h e r i e n d o n t l e s i d é a u x m a x i m a u x s o n t
-vI
\i
= "I'i'ii
e t l e r a d i c a l de J a c o b s o n
Poltr t o u t sous-anneau
A,-B~
-A--
de
B
T
)
.:
..
contenant
A
& ( ~ ( 2 ) )= ~T ( \ , ( ) .
11 r é s u l t e du
theorBrne 3
que
T . )
est semi-local
1
1
l
naetherien e t
p = q-; ! A
BS
e s t de t y p e f i n i s o i t
/
n
1
.!
Bs
soit
qBS =
-
est noetherien.
iE1
ai
BS
+
P o u r t o u t i d e a l p r e m i e r q de B
n
p = Z aiA
; il e n e s t d e même d e
-
1
m
E b J. B S ,
j;?
Dans c e s c o n d i t i o n s s i C ) f ; e s t u n i d é a l m a x i i n a l d e
1
,
ci e s
s r f fi
i
,...., s
i = 1
, fli/!ne
c o n t i e n t pas
;-(,A-!
,',.
de s u i t e
A
disticct
ainsi
par contre 1 'idéal wl? est 1 'un des
Si
i l contient
t'Kvl i
n
r-
(2 B r n i i ...- q- U ( L L ),y7;a
)
de suite
;
1
11 résulte de ces considerations que q =
qYii,
-
i
= z a
n
i=l
z ai B
i=1
c bj9,
j=l
i
rn
+
m
+
z
i
.
b. B
j=1 J
ceci achève 1 a dérnonstrati on
,
Corollaire
Soit A
,
dimension
l
:
un anneau noetherien universcllenent cat2naire de
2 et vérifiant
Si
(RI).
Nor (Spec(A))
Fr(A) contenant A
alors tout sous anneau de
est ouvert
e t entier sur
A
est
noetherien.
Demonstration :
Nor(Spec(A))
est l'ensemble des idéaux premiers
p
de
A
1
4
1
tels que
soit normal. Puisque A
A~
'l'idéal (7,de
de hauteur
I
hauteur
,
T(<:[)
..--
,/. -
A
ht'(p)=l .!
I dans A
.-
(
= A (')
a pour trace dans
A('),,_
/ Aht(P)=I
I
=
est de
<+,
est maximal ;
q
et que tout idéal premier
A
un idéal premier de
A ; de suite T(c2;)
est entier sur
I
q--
est de profondc~ir >p 2.
de (
T(.Y4!)qr AqtiiH est normal puisque
) ne con.i;cnant p a s :xT(?..)
q'f-!
-
4 ne contic:~tpas
(S2) et ( R 1) donc
5'( f/,)= A ; i l en résulte que tout sous anneau S d e Fr(A) entier sur
T(:L)
A
est donc normal puisque vérifiant
est contenu dans
T(,-!,).
A.
pour tout idéal premier q de T((9') conte-
) l'anneau (T(,;y,))
Pour tout idéal premier
1
V(/L~)
.-.
i '
E n outre par le corollaire
nant
-
et dim(A) = 2
est noetherien en vertu d u cor01 laire précédent,
)
Comme
l
Nor(X) = Spec(A)
2 ; de suite tout id6al premier contenant
hauteur
(
tel que
A
vérifie ( n l j
B I B L I O G R A P H I E
-.------------.--.--O----
[Il
FERRAND e t R A Y M A U D : F i b r e s f o r m e l l e s d ' u n annenu l o c a l n o e t h e r i e n
Ann.
2970
Sc.
de 1 ' E c o l e N o r m a l e Sup.
4 C semi
3 Fac
pages 205-211.
[2)
GROTHENDIECK
que
3
Dl
L61
A.
1 Springer.
GROTHENDIECK A e t D I E U D O N N E J : Ch.
II
II
NAGATA :
1
[8]
II
II
Il
N c t h IHES NO20 ( 1 9 6 4 )
II
II
SEYDI
H.
Ann,
Math.
Soc 54
pp 49-52
(1975)
A Theorem i n F i n i t e G e n e r a t i o n o f R i n g s 1966
Nagoya
(
II
I V Publi.
MATEJEYIC : M a x i m a l I d e a l T r e n s f o r m o f N o e t h c r i a n R i n g s
P r o c . Amer.
[7]
e t DIEUDONNE J : E l e r n e n t s d e C f o m é t r i e A l g é b r i -
:
Math 3 . 7
M o 1.
S u r l a T r a n s f o r m a t i o n de NAGATA ( 1 9 7 8 )
Fac S c i e n c e s
D a k a r Tome 3 1 ~ ~ 2 3 - 2 8 .
hl0 32 (1967)
.