Probabilités et Biostatistique

Probabilités et Biostatistique
Probabilités
et
Biostatistique
2 – Variables aléatoires
P incipales lois de p obabilité
P
r
incipales
lois
de
p
r
obabilité
PAES Faculté de Médecine P. et M. Curie
VM i
V
.
M
or
i
ce

Variable aléatoire
Une variable aléatoire désigne la grandeur
mesurée lors d
'
une expérience aléatoire
mesurée
lors
d une
expérience
aléatoire
Exemples : âge, couleur des yeux
Résultats possibles de l'expérience ⇒valeurs
ibl
dl bl lé
poss
ibl
es
d
e
l
a varia
bl
e a
lé
atoire
Types de variables aléatoires
Si résultats numériques (variable
quantitative
)
Si
résultats
numériques
(variable
quantitative
)
V.a. continue : les valeurs couvrent Թou un intervalle
V.a. discrète : les valeurs sont discontinues (Գ)
Sinon (variable
qualitative
)
Sinon
(variable
qualitative
)
V.a. ordinale : les valeurs sont ordonnées
V.a. nominale ou catégorielle : valeurs sans ordre
V. Morice - Biostatistique PAES 2

Fonction de répartition
Soit X une v.a. quantitative
On cherche une fonction définissant la
p
robabilité de tout intervalle
[
a
;
b
]
p[;]
Soit l’événement [ X ≤x] où xest un
nombre
nombre
Pr ([ X ≤x]) dépend de la valeur x
F
(
)F(
)
P
(
[
X
])
F
X
(
x
)
=
F(
x
)
=
P
r
(
[
X
≤
x
])
=
fonction de répartition de
X
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Fonction de répartition :
Fonction
de
répartition
:
premières propriétés
F
X
(-∞) = 0
(
)
F
X
(
+∞
)
= 1
a < b ⇒
P
(
[
X
≤
b])
P
(
[
X
≤
]) +
P
(
[<
X
≤
b])
P
r
(
[
X
≤
b])
=
P
r
(
[
X
≤
a
])
+
P
r
(
[
a
<
X
≤
b])
car [ X ≤a] et [a < X ≤b] = événements exclusifs
F
(b) = F
(a) +
Pr
(
[a <
X
≤
b])
F
X
(b)
=
F
X
(a)
+
Pr
(
[a
<
X
≤
b])
F
X
est monotone croissante
On trace la courbe en cumulant les probabilités rencontrées
l
t
l
orsque xaugmen
t
e
Pr ([a < X ≤b]) = F
X
(b) - F
X
(a)
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Fonction de répartition :
Fonction
de
répartition
:
exemple d’une v.a. discrète
Jet d’une pièce : E = {p, f} ; Pr (p) = Pr (f) = ½
V.a.
X
:
X
(f) = 0 ;
X
(p) = 1
Fonction de répartition
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