GEOMETRIE DES MASSES

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GEOMETRIE DES MASSES
I- ENSEMBLE MATERIEL
dm
(E)
P
(E) est un ensemble matériel si à tout point P ∈(E)on associe la grandeur ρ(P) telle que :
ρ(P) = dm(P)
dv(P)où 
ρ(P) : densité spécifique
dv(P) : volume élémentaire entourant P
dm(P) : la masse de l’élément de matière occupant le volume dv
La masse de (E) est alors m=Z
P∈E
dm(P)Le volume de (E) est alors v=Z
P∈E
dv(P)
Lorsque (E) est homogène :
∀P∈ E,
ρ(P) = dm(P)
dv(P)=m v=const(kg/m3)si Eest un volume
σ(P) = dm(P)
ds(P)=m s=const(kg/m2)si Eest une surface
λ(P) = dm(P)
dl(P)=m l=const(kg/m)si Eest une courbe
(1)
Application
1

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CINETIQUE Géometrie des masses
Le secteur ci-dessus est une tôle d’épaisseur e = 2 mm ,fabriquée en acier de masse volumique ρ =
7800kg/m3. Determiner :
1. sa masse surfacique σ(kg/m2)en fonction de ρet e. Faire l’application numérique.
2. son aire Set sa masse men fonction de σ,Ret α.
3. application numérique : calculer m en kg si R =200mm et α=45˚
REP :
1) σ=e.ρ ; A.N : σ= 15,6kg/m22) S=α.R2et m=σ.α.R2; 3) m= 0,49kg.
II- CENTRE D’INERTIE
II-1) Solides simples
On désignera par solide simple, un solide qu’on ne peut décomposer en solides encore plus simple.
Ainsi, un cône, une demi sphère, une plaque triangulaire... sont des solides simples.
Soit R(O, ~x, ~y, ~z)un repère orthonormale direct tel que :
−−→
OG =
β
XG
YG
ZG
et −−→
OP =
β
x
y
z
(S)
dm
O
P
G
~x
~y
~z
Le centre d’inertie G est alors déterminé à partir de :
−−→
OG =1
mZ
P∈S
−−→
OP dm ⇐⇒
XG=1
mZS
x dm
YG=1
mZS
y dm
ZG=1
mZS
z dm
(2)
Application
Determiner le centre d’inertie d’un cône de rayon R et de hauteur h.
2 A.Serroukh

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CINETIQUE Géometrie des masses
REP
ZG=3
4hà partir du sommet du cône.
II-2) Solides composés
On désignera par solide composé (de centre d’inertie “ G ” ), tout solide qu’on peut décomposer en “ n”
solides simples “ Si ” chacun de masse mi et de centre d’inertie “ Gi ”. “G” est alors déterminable à partir de :
−−→
OG =1
n
X
i=1
mi!
n
X
i=1 mi
−−→
OGi⇐⇒
XG=1
n
X
i=1
mi!
n
X
i=1
(mixi)
YG=1
n
X
i=1
mi!
n
X
i=1
(miyi)
ZG=1
n
X
i=1
mi!
n
X
i=1
(mizi)
(3)
où
−−→
OG =
β
XG
YG
ZG
et −−→
OGi=
β
xi
yi
zi
Remarques importantes
Rq1
* Si un solide homogène présente un centre de symétrie, alors ce centre de symétrie est le centre
d’inertie
* Si un solide homogène présente un axe de symétrie, alors le centre d’inertie appartient à cet axe de
symétrie.
* Si un solide homogène présente un plan de symétrie, alors le centre d’inertie appartient à ce plan de
symétrie.
Rq2
Pratiquement, dans tous les cas, les solides sont homogènes . On remplacera dans les égalités ci dessus
la masse m par :
3 A.Serroukh

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CINETIQUE Géometrie des masses
* le volume V s’il s’agit de solide volumique.
* la surface S s’il s’agit de solide surfacique
* la longueur L s’il s’agit de solide linéïque
Remarquer les ressemblances entre les relations (2) et (3).
Application
On se propose de déterminer le centre d’inertie de la surface suivante :
1. déterminer le centre d’inertie d’un demi-disque de rayon r.
2. en déduire le centre d’inertie de surface ci-dessus.
REP
1) Gest situé à 4r
3πsur l’axe de symetrie. 2) −−→
OG =−r
5~x +28 r 15 π~y
II-3) cas de surfaces ou courbes plane :Théorème de Guldin
La détermination du centre d’inertie “C” d’une surface plane d’aire S (reps. courbe plane de longueur
L ),relativement à une droite (∆ = ( O, ~x )), est aisée lorsque l’on connait le volume V (reps. l’aire S ) généré
par cette surface (reps. cette courbe) après un tour autour de cette droite .
Si les hypothèses suivantes sont vérifiés :
*∆=(O, ~x)et S(reps.la courbe de long.L) appartiennent au même plan
*∆=(O, ~x)ne traverse pas S(reps.la courbe de long.L)
alors :
YC=
V
2πSs’il s’agit d’une surface plane
S
2πLs’il s’agit d’une courbe plane
(4)
où YCest la distance entre le centre d’inertie “C” et la droite ∆=(O, ~x)
4 A.Serroukh

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CINETIQUE Géometrie des masses
Figure 1 – Courbe plane Figure 2 – Surface plane
Application
déterminer le volume d’un tore de dimension R et a comme indiqué ci-dessous :
REP
V= 2 π2a2R
III- MATRICE D’INERTIE
Les éléments de la matrice d’inertie d’un solide (S) traduisent quantitativement comment la matière
est répartie autour des trois axes d’un repère (Q, ~x, ~y, ~z)où Q est un point de (S).
III-1) Notation et définition
On note
[IQ(S)] = 
A−F−E
−F B −D
−E−D C 
(~x, ~y, ~z)
la matrice d’inertie de (S) au point Q dans la base(~x, ~y, ~z)
où
5 A.Serroukh