GEOMETRIE DES MASSES

I-
ENSEMBLE MATERIEL
(E)
i.co
m
GEOMETRIE DES MASSES
dm
P
(E) est un ensemble matériel si à tout point P ∈ (E) on associe la grandeur ρ (P) telle que :
q-d
em
ρ(P ) =


 ρ(P ) : densité spécifique
dm(P )
dv(P) : volume élémentaire entourant P
où

dv(P )
 dm(P) : la masse de l’élément de matière occupant le volume dv
Z
La masse de (E) est alors m =
Z
Le volume de (E) est alors v =
dm(P )
P ∈E
dv(P )
P ∈E
Lorsque (E) est homogène :

dm(P )
m


ρ(P ) =
=
= const(kg/m3 ) si E est un volume



dv(P
)
v







dm(P )
m
=
= const(kg/m2 ) si E est une surface
∀P ∈ E, σ(P ) =

ds(P
)
s








dm(P )
m


 λ(P ) =
=
= const(kg/m) si E est une courbe
dl(P )
cin
Application
l
1
(1)
CINETIQUE
Géometrie des masses
Le secteur ci-dessus est une tôle d’épaisseur e = 2mm ,fabriquée en acier de masse volumique ρ =
7800kg/m3 . Determiner :
1. sa masse surfacique σ(kg/m2 ) en fonction de ρ et e. Faire l’application numérique.
2. son aire S et sa masse m en fonction de σ, R et α.
REP :
i.co
m
3. application numérique : calculer m en kg si R =200mm et α=45˚
1) σ = e.ρ ; A.N : σ = 15, 6kg/m2 2) S = α.R2 et m = σ.α.R2 ; 3) m = 0, 49kg.
II-
CENTRE D’INERTIE
II-1)
Solides simples
On désignera par solide simple, un solide qu’on ne peut décomposer en solides encore plus simple.
Ainsi, un cône, une demi sphère, une plaque triangulaire... sont des solides simples.
Soit R(O, ~x, ~y , ~z) un repère orthonormale direct tel que :




x
−−→


OP =  y 
β
z
et
q-d
em
XG
−−→


OG =  YG 
β
ZG
(S)
~y
G
O
dm
P
~x
~z
cin
Le centre d’inertie G est alors déterminé à partir de :
−−→
1
OG =
m
Z
−−→
OP dm ⇐⇒

Z
1


X
=
x dm

G


m S





Z

YG =
1
m
y dm
(2)

S





Z


1


 ZG =
z dm
P ∈S
m
S
Application
Determiner le centre d’inertie d’un cône de rayon R et de hauteur h.
2
A.Serroukh
Géometrie des masses
i.co
m
CINETIQUE
REP
ZG =
3
h à partir du sommet du cône.
4
II-2)
Solides composés
On désignera par solide composé (de centre d’inertie “ G ” ), tout solide qu’on peut décomposer en “ n”
solides simples “ Si ” chacun de masse mi et de centre d’inertie “Gi ”. “G” est alors déterminable à partir de :
q-d
em




XG =




















−−→
OG =
n X
1
n
X
!
mi
−−→
mi OGi ⇐⇒
















ZG =







i=1
i=1
où
YG =


et
n
X
!
(mi xi )
i=1
mi
i=1
n
X
1
n
X
!
(mi yi )
i=1
mi
(3)
i=1
n
X
1
n
X
!
mi
(mi zi )
i=1
i=1


xi
−−→


OGi =  yi 
β
zi
cin
XG
−−→


OG =  YG 
β
ZG
n
X
1
Remarques importantes
Rq1
* Si un solide homogène présente un centre de symétrie, alors ce centre de symétrie est le centre
d’inertie
* Si un solide homogène présente un axe de symétrie, alors le centre d’inertie appartient à cet axe de
symétrie.
* Si un solide homogène présente un plan de symétrie, alors le centre d’inertie appartient à ce plan de
symétrie.
Rq2
Pratiquement, dans tous les cas, les solides sont homogènes. On remplacera dans les égalités ci dessus
la masse m par :
3
A.Serroukh
CINETIQUE
Géometrie des masses
* le volume V s’il s’agit de solide volumique.
* la surface S s’il s’agit de solide surfacique
* la longueur L s’il s’agit de solide linéïque
Remarquer les ressemblances entre les relations (2) et (3).
i.co
m
Application
On se propose de déterminer le centre d’inertie de la surface suivante :
q-d
em
1. déterminer le centre d’inertie d’un demi-disque de rayon r.
2. en déduire le centre d’inertie de surface ci-dessus.
REP
1) G est situé à
II-3)
−−→
4r
r
28 r
sur l’axe de symetrie. 2) OG = − ~x +
~y
3π
5
15 π
cas de surfaces ou courbes plane :Théorème de Guldin
La détermination du centre d’inertie “C” d’une surface plane d’aire S (reps. courbe plane de longueur
L),relativement à une droite (∆ = (O, ~x)), est aisée lorsque l’on connait le volume V (reps. l’aire S) généré
par cette surface (reps. cette courbe) après un tour autour de cette droite .
Si les hypothèses suivantes sont vérifiés :
* ∆ = (O, ~x) et S (reps.la courbe de long.L) appartiennent au même plan
* ∆ = (O, ~x) ne traverse pas S(reps.la courbe de long.L)
cin
alors :
YC =

V




2 π S
s’il s’agit d’une surface plane



S


s’il s’agit d’une courbe plane
2πL
(4)
où YC est la distance entre le centre d’inertie “C” et la droite ∆ = (O, ~x)
4
A.Serroukh
Géometrie des masses
i.co
m
CINETIQUE
Figure 1 – Courbe plane
Figure 2 – Surface plane
Application
REP
V = 2 π 2 a2 R
MATRICE D’INERTIE
cin
III-
q-d
em
déterminer le volume d’un tore de dimension R et a comme indiqué ci-dessous :
Les éléments de la matrice d’inertie d’un solide (S) traduisent quantitativement comment la matière
est répartie autour des trois axes d’un repère (Q, ~x , ~y , ~z) où Q est un point de (S).
III-1)
Notation et définition
On note


A −F −E


B −D 
[IQ (S)] =  −F
−E −D
C (~x ,
la matrice d’inertie de (S) au point Q dans la base(~x , ~y , ~z)
~
y, ~
z)
où
5
A.Serroukh
CINETIQUE
Géometrie des masses

Z


A
=
(y 2 + z 2 ) dm : moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe (Q,~x)



S





Z

(x2 + z 2 ) dm : moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe (Q,~y )
B=
S
i.co
m

S





Z




z)
 C = (x2 + y 2 ) dm : moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe (Q,~

Z


D
=
yz dm : produit d’inertie de (S) par rapport au plan (Q,~y , ~z)



S





Z

xz dm : produit d’inertie de (S) par rapport au plan (Q,~z, ~x)
E=

S





Z




xy dm : produit d’inertie de (S) par rapport au plan (Q,~x, ~y )
 F =
S
III-2)
Signification
moment d’inertie
Z
q-d
em
Le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe traduit la répartition de la masse autour de cet
axe. Ainsi par exemple :
(y 2 + z 2 ) dm traduit la répartition de la masse autour de l’axe (Q,~x)
* A=
S
* Le moment d’inertie d’un tige, sans épaisseur, par rapport à son axe est nul puisque il n’y a pas de
matière autour de cet axe.
produit d’inertie
On montre que le produit d’inertie par rapport à un plan peut être traduit comme étant la moitié de
la différence des moment d’inertie par rapport aux bissectrices.
III-3)
Propriété de la matrice d’inertie
où
cin
La matrice d’inertie est une matrice carrée symétrique, elle donc diagonalisable. C’est à dire, il existe
~ Y,
~ Z)
~ telle que :
une base (X,


Ix 0 0


[IQ (S)] =  0 Iy 0 
0 0 Iz (X,
~ Y,
~ Z)
~
~
~ )et (Q,Z).
~
- IX , IY , IZ : moment principal d’inertie par rapport respectivement à l’axe (Q,X),(Q,
Y
~
~ ) et (Q,Z)
~ sont appelés axes principaux d’inertie
- (Q,X),(Q,
Y
~ Y,
~ Z)
~ est dit central d’inertie.
- si de plus le point Q est le centre d’inertie G , le repère (G, X,
Pour un solide ne présentant q’un seul axe principal d’inertie alors tous les produits d’inertie par
rapport au plans contenant cet axe sont nuls. Ainsi :
~ est principal d’inertie alors tous les produits d’inertie contenant la variable x sont nuls.
- Si (Q,X)
autrement dit : E=F=0.
6
A.Serroukh
CINETIQUE
III-4)
Géometrie des masses
Symétrie matérielle
S présente un plan de symétrie
S présente un axe de révolution
i.co
m
Si (Q,~x, ~y ) ce plan de symétrie, tous les produits d’inertie contenant la variable z sont nulles, C’est à
dire que l’axe (Q,~z) est principale d’inertie. Ainsi D=E=0.
Un solide de révolution est un solide qu’on peut obtenir en faisant tourner une courbe plane ou bien
une surface plane d’un tour autour autour d’un axe appelé “axe de révolution“.
Si (Q,~z) est un axe de révolution pour le solide (S) alors

D=E=F =0



et
Z

C

 A=B=
+ z 2 dm.
2
q-d
em
Application
S
Considérons un cylindre homogène d’axe de révolution (G, ~z) , de masse m, rayon R et hauteur h.
~, −
~ , ~z) et écrire les relations entre les
1. Donner la forme de la matrice d’inertie en G dans la (−
différents moments d’inertie.
cin
2. Determiner le moment d’inertie par rapport à l’axe (G, ~z), en déduire le moment d’inertie par
rapport à un axe perpendiculaire à (G, ~z).
3. Sans calcul, déduire la matrice d’inertie d’une tige (m, 2l, axe ~x), puis celle d’un disque (m, R, axe ~y ).
4. Déterminer la matrice d’inertie d’un disque creux (m, r, R, axe ~x)en son centre d’inertie.
REP
C
1)(G, ~z) axe de révolution donc D = E = F = 0 et A = B =
+ z 2 dm
2
1
1
1
2)C = mR2 , A = B = mR2 + mh2
2
4
12
ml2
mR2
mR2
3)Pour la tige A = 0 , B = C =
, pour le disque d’axe ~y : A = C =
et B =
3
4
2
m(R2 + r2
A
4)A =
), B = C = .
2
2
Z
7
A.Serroukh
CINETIQUE
Géometrie des masses
III-5)
Théorème de Huyghens
Entre matrices d’inertie
Il permet de déterminer la matrice d’inertie en un point Q connaissant cette matrice au centre d’inertie
G (ou inversement) selon la relation :
[IQ (S)] = [IG (S)] + [IQ (S, m(G))]
(5)
i.co
m


XG
−−→


avec, si QG =  YG  alors
β
ZG


2)
m(YG2 + ZG
−m XG YG
−m XG ZG


2
2
−m YG ZG 
[IQ (S, m(G))] =  −m XG YG m(XG + ZG )
2 + Y 2)
−m XG ZG
−m YG ZG
m(XG
G
β
(6)
[IQ (S, m(G))] est la matrice d’inertie de S si toute sa masse était concentrée au point G.
Entre moments d’inertie
on note :


u)
 I(Q,~u) (S) : moment d’inertie de S par rapport à la droite(Q, ~
alors
q-d
em
I(G,~u) (S) : moment d’inertie de S par rapport à la droite(G, ~u)

 d : la distance entre (Q, ~
u) et (G, ~u)
I(Q,~u) = I(G,~u) + m d2
cin
Application

(7)

A 0 0


Pour le cylindre S(m, R, h), on connait : [IG (S)] =  0 A 0 
(voir l’application précédente)
0 0 C (−,−,~z)
−−→
h
Soit le point Q tel que : QG = R ~u − ~z où (~u , ~v , ~z) est une base orthonormée directe.
2
1. Déterminer le moment d’inertie de S par rapport à l’axe (Q, ~u) puis par rapport à (Q, ~z).
2. Déterminer le moment d’inertie de S par rapport à l’axe (Q, ~v ).
3. Determiner les produits d’inertie de S par rapport aux plans (Q, ~u, ~v ) , (Q, ~v , ~z) et (Q, ~z, ~u)
4. En déduire la matice d’inertie [IQ (S)](~u ,
~v , ~
z)
8
A.Serroukh
CINETIQUE
Géometrie des masses
REP
1) I(Q,~u) (S) = A + m
h2
et I(Q,~z) (S) = C + m R2
4
h2
+ R2 )
4
1
3) P(Q,~u,~v) (S) = 0 et P(Q,~v,~z) (S) = 0 et P(Q,~z,~u) (S) = − m R h
2
III-6)
i.co
m
2) I(Q,~v) (S) = A + m (
Moment d’inertie par rapport à un axe quelconque
notons I(Q,~u) (S) : moment d’inertie de S par rapport à la droite (Q, ~u)
On montre que :
I(Q,~u) (S) = ([IQ (S)].~u) .~u
(8)
~u étant unitaire
Technique de calcul
Application
q-d
em
On exprime ~u dans la base de la matrice. On effectue l’opération [IQ (S)].~u ce qui donne une matrice
colonne, puis le produit scalaire ([IQ (S)].~u) .~u qui donne un scalaire positif.(Un moment d’inertie est
toujours positif).
Pour le cylindre S(m, R, h) déterminer le moment d’inertie par rapport à la droite (Q, G).
indication
cin
~ orientant la droite (QG) et ensuite
il faut déterminer en fonction de R et h le vecteur unitaire U
appliquer la formule.
9
A.Serroukh