Chapitre 06: DIVISION DE NOMBRES DÉCIMAUX

Chapitre 06 : DIVISION
DE NOMBRES DÉCIMAUX
I) Division entière ou euclidienne :
1) Définitions : Dividende – Diviseur – Quotient – Reste :
Effectuer la division euclidienne de deux nombres entiers, c'est trouver deux
nombres entiers, le quotient et le reste, qui doivent vérifier :
dividende = diviseur × quotient + reste
avec reste < diviseur.
Exemples : 1) Avec 180 crayons, on peut faire au
maximum 22 groupes de 8 crayons
car 8×221808× 23 et il restera
4 crayons.
dividende
reste
180
20
4
8
22
diviseur
quotient
On peut écrire l'égalité :
180=8×224 on a bien 48 .
2) Effectuer la division entière de 739 par 8.
II) Multiple et diviseur :
1) Définition : Multiple :
Les multiples d'un nombre entier sont tous les nombres de sa table de multiplication.
Exemples : 1) 12 est dans la table de multiplication de 3, donc 12 est un multiple de 3.
2) Trouve deux multiples de 17.
2) Définition : Diviseur – Divisible :
Un nombre entier a est divisible par un nombre entier b signifie que le reste de la
division euclidienne de a par b est nul.
On dit que b divise a ou encore que b est un diviseur de a.
Exemples : 1) 12 est divisible par 4. En effet le reste de la division euclidienne de 12 par 4 vaut 0 ( 12=4×30 ).
4 est un diviseur de 12.
2) Trouve d'autres diviseurs de 12.
III) Critère de divisibilité :
1) Propriété : Les entiers divisibles par 2, par 5 ou par 10 :
Ils sont reconnaissables à leur chiffre des unités :
– les entiers divisibles par 2 sont les nombres pairs. Ils se terminent par 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
– les entiers divisibles par 5 se terminent par 0 ou 5 ;
– les entiers divisibles par 10 se terminent par 0.
Exemples : 1) 378 est divisible par 2 car son chiffre des unités est 8.
2) Entoure en bleu les nombres divisibles par 2, en vert les nombres divisibles par 5 et en rouge
les nombres divisibles par 10 :
100 ; 55 ; 60 ; 8 ; 12 496 ; 3 954 ; 8 540.
2) Propriété : Les entiers divisibles par 3 ou par 9 :
Ils sont reconnaissables à la somme de tous leurs chiffres :
– les entiers divisibles par 3 sont les nombres dont la somme de tous les chiffres est
elle-même divisible par 3 ;
– les entiers divisibles par 9 sont les nombres dont la somme de tous les chiffres est
elle-même divisible par 9 ;
Exemples : 1) 8 704 698 est divisible par 3 mais non divisible par 9 car la somme de ses chiffres est :
8 + 7 + 0 + 4 + 6 + 9 + 8 = 42
or 42 est dans la table de 3, mais pas dans la table de 9.
2) Prouve que 1 248 est divisible par 3 et par 9.
IV) Division décimale :
1) Définition : Division décimale :
Effectuer la division décimale d'un nombre (la dividende) par un nombre entier (le
diviseur) différent de 0, c'est chercher le nombre appelé quotient tel que :
dividende = diviseur × quotient
On note : quotient =
dividende diviseur Le quotient peut être :
Un nombre entier
Un nombre décimal non entier
Un nombre non décimal
18 : 6 = 3
car 18 = 6 × 3
12,5: 2 = 6,25
car 12,5 = 2 × 6,25
Dans ce cas, la division ne s'arrête
jamais :
9,4
=1,454545...
4
Exemples : 1) On cherche le quotient de 105 par 42, pour cela on cherche le nombre tel que :
42×=105 .
105
On trouve alors 2,5 =
.
42
2) Effectue la division décimale de 130 par 25.
2) Méthode : Calcul posé d'une division décimale :
Pour effectuer la division décimale, on peut poser l'opération.
Exemples : 1) division décimale de 9,4 par 4
1
U 10
9,4
-8
1
1
100
1
U 10
9,4
-8
1 4
-1 2
2
4
U
2
1
1
10 100
9 unités divisées par 4 c'est
2 unités et il reste 1 unité.
1
1
100
4
1
1
10 100
U
2,3
1 unité c'est 10 dixièmes,
d'où un total de 14 dixièmes.
14 dixièmes divisés par 4,
c'est 3 dixièmes et il en reste
2.
1
U 10 100
9,4
-8
1 4
-1 2
2 0
-2 0
0
4
1
1
10 100
U
2,3 5
2 dixièmes c'est 20 centièmes.
On les divise par 4.
V) Diviser par 10, 100, 1 000 :
1) Propriété :
Lorsqu'on divise par 10, 100 ou 1 000, le résultat est 10, 100 ou 1 000 fois plus petit.
Ceci revient à déplacer la virgule de un, deux ou trois rangs vers la gauche, en
complétant avec des zéros si cela est nécessaire.
Exemples : 1) 73,1 : 10=7,31 ; 3,4: 100=0,034 ; 427 : 1000=0,427 .
2) Calcule : 73,1 : 10 ; 0,6:100 .