Chapitre 06 : DIVISION DE NOMBRES DÉCIMAUX I) Division entière ou euclidienne : 1) Définitions : Dividende – Diviseur – Quotient – Reste : Effectuer la division euclidienne de deux nombres entiers, c'est trouver deux nombres entiers, le quotient et le reste, qui doivent vérifier : dividende = diviseur × quotient + reste avec reste < diviseur. Exemples : 1) Avec 180 crayons, on peut faire au maximum 22 groupes de 8 crayons car 8×221808× 23 et il restera 4 crayons. dividende reste 180 20 4 8 22 diviseur quotient On peut écrire l'égalité : 180=8×224 on a bien 48 . 2) Effectuer la division entière de 739 par 8. II) Multiple et diviseur : 1) Définition : Multiple : Les multiples d'un nombre entier sont tous les nombres de sa table de multiplication. Exemples : 1) 12 est dans la table de multiplication de 3, donc 12 est un multiple de 3. 2) Trouve deux multiples de 17. 2) Définition : Diviseur – Divisible : Un nombre entier a est divisible par un nombre entier b signifie que le reste de la division euclidienne de a par b est nul. On dit que b divise a ou encore que b est un diviseur de a. Exemples : 1) 12 est divisible par 4. En effet le reste de la division euclidienne de 12 par 4 vaut 0 ( 12=4×30 ). 4 est un diviseur de 12. 2) Trouve d'autres diviseurs de 12. III) Critère de divisibilité : 1) Propriété : Les entiers divisibles par 2, par 5 ou par 10 : Ils sont reconnaissables à leur chiffre des unités : – les entiers divisibles par 2 sont les nombres pairs. Ils se terminent par 0, 2, 4, 6 ou 8 ; – les entiers divisibles par 5 se terminent par 0 ou 5 ; – les entiers divisibles par 10 se terminent par 0. Exemples : 1) 378 est divisible par 2 car son chiffre des unités est 8. 2) Entoure en bleu les nombres divisibles par 2, en vert les nombres divisibles par 5 et en rouge les nombres divisibles par 10 : 100 ; 55 ; 60 ; 8 ; 12 496 ; 3 954 ; 8 540. 2) Propriété : Les entiers divisibles par 3 ou par 9 : Ils sont reconnaissables à la somme de tous leurs chiffres : – les entiers divisibles par 3 sont les nombres dont la somme de tous les chiffres est elle-même divisible par 3 ; – les entiers divisibles par 9 sont les nombres dont la somme de tous les chiffres est elle-même divisible par 9 ; Exemples : 1) 8 704 698 est divisible par 3 mais non divisible par 9 car la somme de ses chiffres est : 8 + 7 + 0 + 4 + 6 + 9 + 8 = 42 or 42 est dans la table de 3, mais pas dans la table de 9. 2) Prouve que 1 248 est divisible par 3 et par 9. IV) Division décimale : 1) Définition : Division décimale : Effectuer la division décimale d'un nombre (la dividende) par un nombre entier (le diviseur) différent de 0, c'est chercher le nombre appelé quotient tel que : dividende = diviseur × quotient On note : quotient = dividende diviseur Le quotient peut être : Un nombre entier Un nombre décimal non entier Un nombre non décimal 18 : 6 = 3 car 18 = 6 × 3 12,5: 2 = 6,25 car 12,5 = 2 × 6,25 Dans ce cas, la division ne s'arrête jamais : 9,4 =1,454545... 4 Exemples : 1) On cherche le quotient de 105 par 42, pour cela on cherche le nombre tel que : 42×=105 . 105 On trouve alors 2,5 = . 42 2) Effectue la division décimale de 130 par 25. 2) Méthode : Calcul posé d'une division décimale : Pour effectuer la division décimale, on peut poser l'opération. Exemples : 1) division décimale de 9,4 par 4 1 U 10 9,4 -8 1 1 100 1 U 10 9,4 -8 1 4 -1 2 2 4 U 2 1 1 10 100 9 unités divisées par 4 c'est 2 unités et il reste 1 unité. 1 1 100 4 1 1 10 100 U 2,3 1 unité c'est 10 dixièmes, d'où un total de 14 dixièmes. 14 dixièmes divisés par 4, c'est 3 dixièmes et il en reste 2. 1 U 10 100 9,4 -8 1 4 -1 2 2 0 -2 0 0 4 1 1 10 100 U 2,3 5 2 dixièmes c'est 20 centièmes. On les divise par 4. V) Diviser par 10, 100, 1 000 : 1) Propriété : Lorsqu'on divise par 10, 100 ou 1 000, le résultat est 10, 100 ou 1 000 fois plus petit. Ceci revient à déplacer la virgule de un, deux ou trois rangs vers la gauche, en complétant avec des zéros si cela est nécessaire. Exemples : 1) 73,1 : 10=7,31 ; 3,4: 100=0,034 ; 427 : 1000=0,427 . 2) Calcule : 73,1 : 10 ; 0,6:100 .