IPST : Licence LPAI – L3-S6 Mécanique des Fluides (Daniel Huilier)

IPST L3 S6- Exercices Canaux libres (Daniel Huilier) 2008-2009
IPST : Licence LPAI – L3-S6 Mécanique des Fluides (Daniel Huilier)
Contrôle continu du Mardi 6 mai 2008 - Corrigé
8h15-9h45
Deuxième partie : Exercice sur les écoulements en canaux libres
(Barême : 8 points)
Exercice 1 : (Giles-Evett-Liu, 10.41)
Le débit d’un canal rectangulaire (n = 0.012) de 4.6 m de large est de 11.3 m3/s quand la pente est de 1 m sur
100 m. L’écoulement est-il surcritique ou sous-critique ?
Solution :
Il faut raisonner par l’inverse en cherchant la pente critique du problème, si celle-ci est inférieure à 1/100,
l’écoulement en question sera surcritique, sinon dans le cas contraire, l’écoulement sera sous-critique.
On sait que dans les conditions critiques où le nombre de Froude = 1:
11.3 m 3 / s
Débit surfacique ; q max = gy 3c , soit q max =
= 2.456 m 2 / s et la hauteur critique sera :
4.6 m
y c = 3 q 2max / g = 3 (2.456) 2 / 9.81 = 0.851 m et la vitesse critique vaut : VC = gy C = 2.85 m / s
On peut alors déterminer la pente critique pour la profondeur critique venant d’être calculée et ce à l’aide de la
relation de Chezy-Manning :
Q=A
1 2 / 3 1/ 2
R Sc
n
Le rayon hydraulique vaut : R = A/p =
(4.6m)(0.851m)
= 0.621 m
4.6m + 2(0.851 m)
2/3
⎛ 1 ⎞⎛ 4.6m)(0851m) ⎞
⎟⎟ S1 / 2
11.3 m / s = (4.6m)(0.851m)⎜
⎟⎜⎜
⎝ 0.012 ⎠⎝ 4.6m + 2(0.851m) ⎠
Soit S c = 0.0023 . Cette pente critique est inférieure à 0.01, pente effective, donc l’écoulement sera
torrentiel (surcritique).
Ou encore :
3
C=
1 1/ 6
1
R =
(0.621)1 / 6 = 76.95 m / s
n
0.012
Et S C =
Vc2
gy
9.81 x 0.85
= 2C =
= 0.0023
2
C R C R (76.95) 2 x 0.621
Exercice 2 : (Giles-Evett-Liu, 10.13)
Quel est le débit dans un canal rectangulaire de 1.22 m de large, revêtu de ciment (n = 0.015), ayant une pente
de 4m pour 10000 m, si l’eau a une profondeur de 610 mm. Utiliser à la fois la loi de Kutter et celle de
Manning.
a) Solution de Kutter
1
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Le coefficient de Kutter est donné par :
0.00155 1
23 +
+
S
n
C=
n ⎛
0.00155 ⎞
1+
⎜ 23 +
⎟
S ⎠
R⎝
(1.22m)(0.61m)
Le rayon hydraulique est : R =
= 0.305 m
0.61m + 1.22m + 0.61m
Le calcul du coefficient de Kutter donne : C = 54.1 m1 / 2 / s
V = C RS = 54.1 x 0.305 x 0.0004 = 0.6 m / s
A = by = 1.22 x 0.610 = 0.744 m 2
Le débit est alors : Q = AV = AC RS = (1.22m)(0.61m)(54 m1 / 2 / s) (0.305m)0.0004 = 0.444 m 3 / s
b) Solution de Manning
1 .0 2 / 3 1 / 2
1
R .S = (1.22m)(0.61m)
(0.305m) 2 / 3 (0.0004)1 / 2 = 0.45 m 3 / s soit encore si
n
0.015
1 .0 1 / 6
on calcule le coefficient de Manning : C =
R = 54.7 m1 / 2 / s et
n
Q = AV = AC RS = (1.22m)(0.61m)(54.7 m1 / 2 / s) (0.305m)0.0004 = 0.45 m 3 / s
Q = AV = AC RS = A
Les 2 lois donnent des résultats identiques
Contrôle continu du Mardi 10 juin 2008
10h00-12h00
Toutes notes et documents autorisées, sauf les ouvrages.
Première partie : Exercice sur les écoulements en conduite cylindrique
(Barême : 12 points)
Calculer la perte de charge pour une conduite en fonte neuve sans revêtement (fonte nue), de longueur 305
mètres, de diamètre intérieur égal à 305 mm, quand :
a) de l’eau y coule à 15,6 °C à 1,525 m/s (vitesse de débit)
b) du fuel – oil moyen y coule dans les mêmes conditions (on prendra dans ce cas un coefficient de
frottement λ de 0.0213)
c) du fuel – oil lourd y coule dans les mêmes conditions
On utilisera pour ces calculs la table 2 qui fournit les densités et viscosité cinématique de liquides à différentes
températures (en extrapolant à 15,6°C) et le diagramme A-1 (dit de Moody – Nikuradse) permettant de calculer
le coefficient de frottement à partir des réseaux de courbes , sachant que la rugosité ε de différents revêtements
(dont la fonte nue) est donnée dans la partie gauche au bas de ce diagramme.
d) Dans le cas des écoulements d’eau, on peut tout-à-fait utiliser des lois des écoulements en canaux à
surface libre voire en conduites d’eau partiellement remplies ou entièrement pleines.
On rappelle que la loi de Hazen-Williams est donnée (en unités SI) par :
2
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V = 0.8492 C R 0.63S 0.54
avec :
V vitesse de débit (m/s)
R : rayon hydraulique (m)
C : coefficient de rugosité de Hazen-Williams
S : pente de la ligne de charge (perte de charge exprimée en mètre par unité de longueur)
Vérifiez si cette loi corrobore les résultats de la question a) en utilisant la table 6 . Commentez
Corrigé :
Cas de l’eau
A) Quand on utilise le diagramme A-1, on peut d’abord évaluer la rugosité relative de la conduite.
Pour la fonte nue, la valeur de conception est de :
ε ≈ 0.024 cm , ce qui donne une rugosité relative
ε 0.24
=
= 0.000787
D 305
La viscosité cinématique de l’eau à 15,6°C est extrapolée des valeurs de la tableau 2 à partir des valeurs :
ν = 1.142 e-6 m2/s à 15°C et ν = 1.007 e-6 m2/s à 20°C , soit :
1.142 − 1.007
ν (15.6°C) = 1.142 x10 −6 −
x10 −6 x (15.6°C − 15°C) = 1.1258 x10 −6 m 2 / s
20 − 15
Le nombre de Reynolds de l’écoulement est alors de : Re =
1.525 m / s x 0.305 m
= 413150
1.1258 m 2 / s x 10 −6
L’écoulement est ainsi pleinement turbulent.
Le diagramme A-1 permet alors d’obtenir un coefficient de frottement de l’ordre de 0.019
Ce qui donne une perte de charge en hauteur de colonne d’eau (lois de Darcy-Weisbach) de :
⎛ 305 m x (1.525 m / s) 2 ⎞
L V2
⎟ = 2.245 m
Δh = λ .
= 0.019⎜⎜
2 ⎟
D 2g
0
.
305
m
x
2
x
9
.
81
m
/
s
⎝
⎠
⎛ 1000 kg / m 3 x 305 m x (1.525 m / s) 2 ⎞
ρL V 2
⎟⎟ = 22.023 kPa
Δp = λ
= 0.019⎜⎜
D 2
0.305 m x 2
⎝
⎠
Cas du fuel-oil moyen
B) Quand on utilise le diagramme A-1, on peut d’abord évaluer la rugosité relative de la conduite.
Pour la fonte nue, la valeur de conception reste la même et est évidemment indépendante du
liquide :
ε ≈ 0.024 cm , ce qui donne encore une rugosité relative
3
ε 0.24
=
= 0.000787
D 305
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La viscosité cinématique du fuel – oil moyen à 15,6°C est extrapolée des valeurs de la tableau 2 à partir
des valeurs :
ν = 4.47 e-6 m2/s à 15°C et ν = 3.94 e-6 m2/s à 20°C , soit :
ν (15.6°C) = 4.47 x10 −6 −
4.47 − 3.94
x10 −6 x (15.6°C − 15°C) = 4.4064 x10 −6 m 2 / s
20 − 15
Le nombre de Reynolds de l’écoulement est alors de : Re =
1.525 m / s x 0.305 m
= 105557
4.4064 x 10 −6 m 2 / s
L’écoulement est ainsi encore pleinement turbulent.
On prend la valeur proposée de l’ordre de 0.0213
Ce qui donne une perte de charge en hauteur de colonne d’huile de :
⎛ 305 m x (1.525 m / s) 2
L V2
Δh = λ .
= 0.0213⎜⎜
2
D 2g
⎝ 0.305 m x 2 x 9.81 m / s
⎞
⎟⎟ = 2.523 m
⎠
Ou en perte de pression (ρ = 857 kg/m3) :
⎛ 857 kg / m 3 x 305 m x (1.525 m / s) 2 ⎞
ρL V 2
⎟⎟ = 21.226 kPa
ΔP = λ .
= 0.0213⎜⎜
D 2
0
.
305
m
x
2
⎝
⎠
Cas du fuel – oil lourd
C) Quand on utilise le diagramme A-1, on peut d’abord évaluer la rugosité relative de la conduite.
Pour la fonte nue, la valeur de conception est de :
ε ≈ 0.024 cm , ce qui donne une rugosité relative
ε 0.24
=
= 0.000787
D 305
La viscosité cinématique de l’eau à 15,6°C est extrapolée des valeurs de la tableau 2 à partir des valeurs :
ν = 201 10-6 m2/s à 15°C et ν = 156 10-6 m2/s à 20°C , soit :
ν(15.6°C) = 201 x10 −6 −
201 − 156
x10 −6 x (15.6°C − 15°C) = 195.6 x10 −6 m 2 / s
20 − 15
Le nombre de Reynolds de l’écoulement est alors de : Re =
1.525 m / s x 0.305 m
= 2378
195.6 m 2 / s x 10 −6
L’écoulement est ainsi en régime de transition.
Le diagramme A-1 permet alors d’obtenir un coefficient de frottement λ de l’ordre de 0.035
Ce qui donne une perte de charge en hauteur de colonne d’huile/fuel lourd de :
4
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Δh = λ
⎛ 305 m x (1.525 m / s) 2 ⎞
L V2
⎟ = 4.135 m
.
= 0.035⎜⎜
2 ⎟
D 2g
⎝ 0.305 m x 2 x 9.81 m / s ⎠
Δp = λ
⎛ 912 kg / m 3 x 305 m x (1.525 m / s) 2 ⎞
ρL V 2
⎟⎟ = 37.000 kPa
.
= 0.035⎜⎜
D 2
0.305 m x 2
⎝
⎠
Réponse à la question d)
Le rayon hydraulique pour une conduite circulaire pleine est :
πR 2 R D
= = = 0.07625 m
2πR 2 4
Δh 2.245
La pente S est donnée par : S =
=
= 0.0073606
L
305
R=
On prendra pour le coefficient C de rugosité de Hazen-Williams : C = 130
V = 0.8492 C R 0.63S 0.54 = 0.8492 x 130 x (0.07625) 0.63 x (0.0073606) 0.54 = 1.5378 m / s
Résultat proche de la valeur initiale de 1.525 m/s
Exercice sur les canaux libres : (Giles-Evett-Liu, 10.24)
(Barème : 3 points)
Après une inondation dans une station d’observation de rivière, un ingénieur visite le site. Ayant localisé les
traces de la crue, réalisé un arpentage approprié et fait les calculs nécessaires, il détermine que l’aire de la
section droite A, le périmètre mouillé p et la pente de la surface de l’eau, au moment du maximum de la crue
valaient respectivement 2960 m2, 341 m et 0.00076. L’ingénieur a également noté que le fond du canal était
tapisssé de terre mélangée à de l’herbe et des touffes d’algues. Estimer le courant de crête (le débit ou la
vitesse) de l’inondation. On pourra se servir de la table D3-D10 pour approximer le coefficient de Manning n.
Solution
Pour un canal revêtu d’herbes et d’algues, on peut considérer que le coefficient de Manning est de l’ordre de :
n = 0.030
Le débit vaut avec la formule de Manning :
1
⎛ 1 ⎞
⎛ 2960 ⎞
Q = AR 2 / 3S1 / 2 = ⎜
⎟(2960)⎜
⎟
n
⎝ 0.030 ⎠
⎝ 341 ⎠
La vitesse de débit est de V =
2/3
(0.00076)1 / 2 = 11488 m 3 / s
Q 11472
=
= 3.875 m / s
A 2960
5