IPST : Licence LPAI – L3-S6 Mécanique des Fluides (Daniel Huilier)

IPST L3 S6- Exercices Canaux libres (Daniel Huilier) 2008-2009
IPST : Licence LPAI – L3-S6 Mécanique des Fluides (Daniel Huilier)
Contrôle continu du Mardi 6 mai 2008 - Corrigé
8h15-9h45
Deuxième partie : Exercice sur les écoulements en canaux libres
(Barême : 8 points)
Exercice 1 : (Giles-Evett-Liu, 10.41)
Le débit d’un canal rectangulaire (n = 0.012) de 4.6 m de large est de 11.3 m3/s quand la pente est de 1 m sur
100 m. L’écoulement est-il surcritique ou sous-critique ?
Solution :
Il faut raisonner par l’inverse en cherchant la pente critique du problème, si celle-ci est inférieure à 1/100,
l’écoulement en question sera surcritique, sinon dans le cas contraire, l’écoulement sera sous-critique.
On sait que dans les conditions critiques où le nombre de Froude = 1:
Débit surfacique ; 3
cmax gyq =, soit s/m456.2
m6.4
s/m3.11
q2
3
max == et la hauteur critique sera :
m851.081.9/)456.2(g/qy 32
32
maxc === et la vitesse critique vaut : s/m85.2gyV CC ==
On peut alors déterminer la pente critique pour la profondeur critique venant d’être calculée et ce à l’aide de la
relation de Chezy-Manning :
2/1
c
3/2 SR
n
1
AQ =
Le rayon hydraulique vaut : R = A/p = )m851.0(2m6.4
)m851.0)(m6.4(
+= 0.621 m
2/1
3/2
3S
)m851.0(2m6.4
)m0851)(m6.4
012.0
1
)m851.0)(m6.4(s/m3.11 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Soit . Cette pente critique est inférieure à 0.01, pente effective, donc l’écoulement sera
torrentiel (surcritique).
0023.0Sc=
Ou encore :
s/m95.76)621.0(
012.0
1
R
n
1
C6/16/1 ===
Et 0023.0
621.0x)95.76(
85.0x81.9
RC
gy
RC
V
S22
C
2
2
c
C====
Exercice 2 : (Giles-Evett-Liu, 10.13)
Quel est le débit dans un canal rectangulaire de 1.22 m de large, revêtu de ciment (n = 0.015), ayant une pente
de 4m pour 10000 m, si l’eau a une profondeur de 610 mm. Utiliser à la fois la loi de Kutter et celle de
Manning.
a) Solution de Kutter
1

IPST L3 S6- Exercices Canaux libres (Daniel Huilier) 2008-2009
Le coefficient de Kutter est donné par :
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛++
++
=
S
00155.0
23
R
n
1
n
1
S
00155.0
23
C
Le rayon hydraulique est : m305.0
m61.0m22.1m61.0
)m61.0)(m22.1(
R=
++
=
Le calcul du coefficient de Kutter donne : s/m1.54C 2/1
=
2
m744.0610.0x22.1byA
s/m6.00004.0x305.0x1.54RSCV
===
===
Le débit est alors : s/m444.00004.0)m305.0()s/m54)(m61.0)(m22.1(RSACAVQ 32/1 ====
b) Solution de Manning
s/m45.0)0004.0()m305.0(
015.0
1
)m61.0)(m22.1(S.R
n
0.1
ARSACAVQ 32/13/22/13/2 ===== soit encore si
on calcule le coefficient de Manning : s/m7.54R
n
0.1
C2/16/1 == et
s/m45.00004.0)m305.0()s/m7.54)(m61.0)(m22.1(RSACAVQ 32/1 ====
Les 2 lois donnent des résultats identiques
Contrôle continu du Mardi 10 juin 2008
10h00-12h00
Toutes notes et documents autorisées, sauf les ouvrages.
Première partie : Exercice sur les écoulements en conduite cylindrique
(Barême : 12 points)
Calculer la perte de charge pour une conduite en fonte neuve sans revêtement (fonte nue), de longueur 305
mètres, de diamètre intérieur égal à 305 mm, quand :
a) de l’eau y coule à 15,6 °C à 1,525 m/s (vitesse de débit)
b) du fuel – oil moyen y coule dans les mêmes conditions (on prendra dans ce cas un coefficient de
frottement λ de 0.0213)
c) du fuel – oil lourd y coule dans les mêmes conditions
On utilisera pour ces calculs la table 2 qui fournit les densités et viscosité cinématique de liquides à différentes
températures (en extrapolant à 15,6°C) et le diagramme A-1 (dit de Moody – Nikuradse) permettant de calculer
le coefficient de frottement à partir des réseaux de courbes , sachant que la rugosité ε de différents revêtements
(dont la fonte nue) est donnée dans la partie gauche au bas de ce diagramme.
d) Dans le cas des écoulements d’eau, on peut tout-à-fait utiliser des lois des écoulements en canaux à
surface libre voire en conduites d’eau partiellement remplies ou entièrement pleines.
On rappelle que la loi de Hazen-Williams est donnée (en unités SI) par :
2

IPST L3 S6- Exercices Canaux libres (Daniel Huilier) 2008-2009
54.063.0 SRC8492.0V =
avec :
V vitesse de débit (m/s)
R : rayon hydraulique (m)
C : coefficient de rugosité de Hazen-Williams
S : pente de la ligne de charge (perte de charge exprimée en mètre par unité de longueur)
Vérifiez si cette loi corrobore les résultats de la question a) en utilisant la table 6 . Commentez
Corrigé :
Cas de l’eau
A) Quand on utilise le diagramme A-1, on peut d’abord évaluer la rugosité relative de la conduite.
Pour la fonte nue, la valeur de conception est de :
cm024.0≈ε , ce qui donne une rugosité relative 000787.0
305
24.0
D==
ε
La viscosité cinématique de l’eau à 15,6°C est extrapolée des valeurs de la tableau 2 à partir des valeurs :
ν = 1.142 e-6 m2/s à 15°C et ν = 1.007 e-6 m2/s à 20°C , soit :
s/m10x1258.1)C15C6.15(x10x
1520
007.1142.1
10x142.1)C6.15( 2666 −−− =°−°
−
−
−=°ν
Le nombre de Reynolds de l’écoulement est alors de : 413150
10xs/m1258.1
m305.0xs/m525.1
Re 62 == −
L’écoulement est ainsi pleinement turbulent.
Le diagramme A-1 permet alors d’obtenir un coefficient de frottement de l’ordre de 0.019
Ce qui donne une perte de charge en hauteur de colonne d’eau (lois de Darcy-Weisbach) de :
m245.2
s/m81.9x2xm305.0
)s/m525.1(xm305
019.0
g2
V
.
D
L
h2
2
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=λ=Δ
kPa023.22
2xm305.0
)s/m525.1(xm305xm/kg1000
019.0
2
V
D
L
p
23
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
ρ
λ=Δ
Cas du fuel-oil moyen
B) Quand on utilise le diagramme A-1, on peut d’abord évaluer la rugosité relative de la conduite.
Pour la fonte nue, la valeur de conception reste la même et est évidemment indépendante du
liquide :
cm024.0≈ε , ce qui donne encore une rugosité relative 000787.0
305
24.0
D==
ε
3

IPST L3 S6- Exercices Canaux libres (Daniel Huilier) 2008-2009
La viscosité cinématique du fuel – oil moyen à 15,6°C est extrapolée des valeurs de la tableau 2 à partir
des valeurs :
ν = 4.47 e-6 m2/s à 15°C et ν = 3.94 e-6 m2/s à 20°C , soit :
s/m10x4064.4)C15C6.15(x10x
1520
94.347.4
10x47.4)C6.15( 2666 −−− =°−°
−
−
−=°ν
Le nombre de Reynolds de l’écoulement est alors de : 105557
s/m10x4064.4
m305.0xs/m525.1
Re 26 == −
L’écoulement est ainsi encore pleinement turbulent.
On prend la valeur proposée de l’ordre de 0.0213
Ce qui donne une perte de charge en hauteur de colonne d’huile de :
m523.2
s/m81.9x2xm305.0
)s/m525.1(xm305
0213.0
g2
V
.
D
L
h2
2
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=λ=Δ
Ou en perte de pression (ρ = 857 kg/m3) :
kPa226.21
2xm305.0
)s/m525.1(xm305xm/kg857
0213.0
2
V
.
D
L
P
23
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
ρ
λ=Δ
Cas du fuel – oil lourd
C) Quand on utilise le diagramme A-1, on peut d’abord évaluer la rugosité relative de la conduite.
Pour la fonte nue, la valeur de conception est de :
cm024.0≈ε , ce qui donne une rugosité relative 000787.0
305
24.0
D==
ε
La viscosité cinématique de l’eau à 15,6°C est extrapolée des valeurs de la tableau 2 à partir des valeurs :
ν = 201 10-6 m2/s à 15°C et ν = 156 10-6 m2/s à 20°C , soit :
s/m10x6.195)C15C6.15(x10x
1520
156201
10x201)C6.15( 2666 −−− =°−°
−
−
−=°ν
Le nombre de Reynolds de l’écoulement est alors de : 2378
10xs/m6.195
m305.0xs/m525.1
Re 62 == −
L’écoulement est ainsi en régime de transition.
Le diagramme A-1 permet alors d’obtenir un coefficient de frottement λ de l’ordre de 0.035
Ce qui donne une perte de charge en hauteur de colonne d’huile/fuel lourd de :
4

IPST L3 S6- Exercices Canaux libres (Daniel Huilier) 2008-2009
m135.4
s/m81.9x2xm305.0
)s/m525.1(xm305
035.0
g2
V
.
D
L
h2
2
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=λ=Δ
kPa000.37
2xm305.0
)s/m525.1(xm305xm/kg912
035.0
2
V
.
D
L
p
23
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
ρ
λ=Δ
Réponse à la question d)
Le rayon hydraulique pour une conduite circulaire pleine est :
m07625.0
4
D
2
R
R
2
R
R
2
===
π
π
=
La pente S est donnée par : 0073606.0
305
245.2
L
h
S==
Δ
=
On prendra pour le coefficient C de rugosité de Hazen-Williams : C = 130
s/m5378.1)0073606.0(x)07625.0(x130x8492.0SRC8492.0V 54.063.054.063.0 ===
Résultat proche de la valeur initiale de 1.525 m/s
Exercice sur les canaux libres : (Giles-Evett-Liu, 10.24)
(Barème : 3 points)
Après une inondation dans une station d’observation de rivière, un ingénieur visite le site. Ayant localisé les
traces de la crue, réalisé un arpentage approprié et fait les calculs nécessaires, il détermine que l’aire de la
section droite A, le périmètre mouillé p et la pente de la surface de l’eau, au moment du maximum de la crue
valaient respectivement 2960 m2, 341 m et 0.00076. L’ingénieur a également noté que le fond du canal était
tapisssé de terre mélangée à de l’herbe et des touffes d’algues. Estimer le courant de crête (le débit ou la
vitesse) de l’inondation. On pourra se servir de la table D3-D10 pour approximer le coefficient de Manning n.
Solution
Pour un canal revêtu d’herbes et d’algues, on peut considérer que le coefficient de Manning est de l’ordre de :
n = 0.030
Le débit vaut avec la formule de Manning :
s/m11488)00076.0(
341
2960
)2960(
030.0
1
SAR
n
1
Q32/1
3/2
2/13/2 =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
La vitesse de débit est de s/m875.3
2960
11472
A
Q
V===
5