IPST L3 S6- Exercices Canaux libres (Daniel Huilier) 2008-2009 IPST : Licence LPAI – L3-S6 Mécanique des Fluides (Daniel Huilier) Contrôle continu du Mardi 6 mai 2008 - Corrigé 8h15-9h45 Deuxième partie : Exercice sur les écoulements en canaux libres (Barême : 8 points) Exercice 1 : (Giles-Evett-Liu, 10.41) Le débit d’un canal rectangulaire (n = 0.012) de 4.6 m de large est de 11.3 m3/s quand la pente est de 1 m sur 100 m. L’écoulement est-il surcritique ou sous-critique ? Solution : Il faut raisonner par l’inverse en cherchant la pente critique du problème, si celle-ci est inférieure à 1/100, l’écoulement en question sera surcritique, sinon dans le cas contraire, l’écoulement sera sous-critique. On sait que dans les conditions critiques où le nombre de Froude = 1: 11.3 m 3 / s Débit surfacique ; q max = gy 3c , soit q max = = 2.456 m 2 / s et la hauteur critique sera : 4.6 m y c = 3 q 2max / g = 3 (2.456) 2 / 9.81 = 0.851 m et la vitesse critique vaut : VC = gy C = 2.85 m / s On peut alors déterminer la pente critique pour la profondeur critique venant d’être calculée et ce à l’aide de la relation de Chezy-Manning : Q=A 1 2 / 3 1/ 2 R Sc n Le rayon hydraulique vaut : R = A/p = (4.6m)(0.851m) = 0.621 m 4.6m + 2(0.851 m) 2/3 ⎛ 1 ⎞⎛ 4.6m)(0851m) ⎞ ⎟⎟ S1 / 2 11.3 m / s = (4.6m)(0.851m)⎜ ⎟⎜⎜ ⎝ 0.012 ⎠⎝ 4.6m + 2(0.851m) ⎠ Soit S c = 0.0023 . Cette pente critique est inférieure à 0.01, pente effective, donc l’écoulement sera torrentiel (surcritique). Ou encore : 3 C= 1 1/ 6 1 R = (0.621)1 / 6 = 76.95 m / s n 0.012 Et S C = Vc2 gy 9.81 x 0.85 = 2C = = 0.0023 2 C R C R (76.95) 2 x 0.621 Exercice 2 : (Giles-Evett-Liu, 10.13) Quel est le débit dans un canal rectangulaire de 1.22 m de large, revêtu de ciment (n = 0.015), ayant une pente de 4m pour 10000 m, si l’eau a une profondeur de 610 mm. Utiliser à la fois la loi de Kutter et celle de Manning. a) Solution de Kutter 1 IPST L3 S6- Exercices Canaux libres (Daniel Huilier) 2008-2009 Le coefficient de Kutter est donné par : 0.00155 1 23 + + S n C= n ⎛ 0.00155 ⎞ 1+ ⎜ 23 + ⎟ S ⎠ R⎝ (1.22m)(0.61m) Le rayon hydraulique est : R = = 0.305 m 0.61m + 1.22m + 0.61m Le calcul du coefficient de Kutter donne : C = 54.1 m1 / 2 / s V = C RS = 54.1 x 0.305 x 0.0004 = 0.6 m / s A = by = 1.22 x 0.610 = 0.744 m 2 Le débit est alors : Q = AV = AC RS = (1.22m)(0.61m)(54 m1 / 2 / s) (0.305m)0.0004 = 0.444 m 3 / s b) Solution de Manning 1 .0 2 / 3 1 / 2 1 R .S = (1.22m)(0.61m) (0.305m) 2 / 3 (0.0004)1 / 2 = 0.45 m 3 / s soit encore si n 0.015 1 .0 1 / 6 on calcule le coefficient de Manning : C = R = 54.7 m1 / 2 / s et n Q = AV = AC RS = (1.22m)(0.61m)(54.7 m1 / 2 / s) (0.305m)0.0004 = 0.45 m 3 / s Q = AV = AC RS = A Les 2 lois donnent des résultats identiques Contrôle continu du Mardi 10 juin 2008 10h00-12h00 Toutes notes et documents autorisées, sauf les ouvrages. Première partie : Exercice sur les écoulements en conduite cylindrique (Barême : 12 points) Calculer la perte de charge pour une conduite en fonte neuve sans revêtement (fonte nue), de longueur 305 mètres, de diamètre intérieur égal à 305 mm, quand : a) de l’eau y coule à 15,6 °C à 1,525 m/s (vitesse de débit) b) du fuel – oil moyen y coule dans les mêmes conditions (on prendra dans ce cas un coefficient de frottement λ de 0.0213) c) du fuel – oil lourd y coule dans les mêmes conditions On utilisera pour ces calculs la table 2 qui fournit les densités et viscosité cinématique de liquides à différentes températures (en extrapolant à 15,6°C) et le diagramme A-1 (dit de Moody – Nikuradse) permettant de calculer le coefficient de frottement à partir des réseaux de courbes , sachant que la rugosité ε de différents revêtements (dont la fonte nue) est donnée dans la partie gauche au bas de ce diagramme. d) Dans le cas des écoulements d’eau, on peut tout-à-fait utiliser des lois des écoulements en canaux à surface libre voire en conduites d’eau partiellement remplies ou entièrement pleines. On rappelle que la loi de Hazen-Williams est donnée (en unités SI) par : 2 IPST L3 S6- Exercices Canaux libres (Daniel Huilier) 2008-2009 V = 0.8492 C R 0.63S 0.54 avec : V vitesse de débit (m/s) R : rayon hydraulique (m) C : coefficient de rugosité de Hazen-Williams S : pente de la ligne de charge (perte de charge exprimée en mètre par unité de longueur) Vérifiez si cette loi corrobore les résultats de la question a) en utilisant la table 6 . Commentez Corrigé : Cas de l’eau A) Quand on utilise le diagramme A-1, on peut d’abord évaluer la rugosité relative de la conduite. Pour la fonte nue, la valeur de conception est de : ε ≈ 0.024 cm , ce qui donne une rugosité relative ε 0.24 = = 0.000787 D 305 La viscosité cinématique de l’eau à 15,6°C est extrapolée des valeurs de la tableau 2 à partir des valeurs : ν = 1.142 e-6 m2/s à 15°C et ν = 1.007 e-6 m2/s à 20°C , soit : 1.142 − 1.007 ν (15.6°C) = 1.142 x10 −6 − x10 −6 x (15.6°C − 15°C) = 1.1258 x10 −6 m 2 / s 20 − 15 Le nombre de Reynolds de l’écoulement est alors de : Re = 1.525 m / s x 0.305 m = 413150 1.1258 m 2 / s x 10 −6 L’écoulement est ainsi pleinement turbulent. Le diagramme A-1 permet alors d’obtenir un coefficient de frottement de l’ordre de 0.019 Ce qui donne une perte de charge en hauteur de colonne d’eau (lois de Darcy-Weisbach) de : ⎛ 305 m x (1.525 m / s) 2 ⎞ L V2 ⎟ = 2.245 m Δh = λ . = 0.019⎜⎜ 2 ⎟ D 2g 0 . 305 m x 2 x 9 . 81 m / s ⎝ ⎠ ⎛ 1000 kg / m 3 x 305 m x (1.525 m / s) 2 ⎞ ρL V 2 ⎟⎟ = 22.023 kPa Δp = λ = 0.019⎜⎜ D 2 0.305 m x 2 ⎝ ⎠ Cas du fuel-oil moyen B) Quand on utilise le diagramme A-1, on peut d’abord évaluer la rugosité relative de la conduite. Pour la fonte nue, la valeur de conception reste la même et est évidemment indépendante du liquide : ε ≈ 0.024 cm , ce qui donne encore une rugosité relative 3 ε 0.24 = = 0.000787 D 305 IPST L3 S6- Exercices Canaux libres (Daniel Huilier) 2008-2009 La viscosité cinématique du fuel – oil moyen à 15,6°C est extrapolée des valeurs de la tableau 2 à partir des valeurs : ν = 4.47 e-6 m2/s à 15°C et ν = 3.94 e-6 m2/s à 20°C , soit : ν (15.6°C) = 4.47 x10 −6 − 4.47 − 3.94 x10 −6 x (15.6°C − 15°C) = 4.4064 x10 −6 m 2 / s 20 − 15 Le nombre de Reynolds de l’écoulement est alors de : Re = 1.525 m / s x 0.305 m = 105557 4.4064 x 10 −6 m 2 / s L’écoulement est ainsi encore pleinement turbulent. On prend la valeur proposée de l’ordre de 0.0213 Ce qui donne une perte de charge en hauteur de colonne d’huile de : ⎛ 305 m x (1.525 m / s) 2 L V2 Δh = λ . = 0.0213⎜⎜ 2 D 2g ⎝ 0.305 m x 2 x 9.81 m / s ⎞ ⎟⎟ = 2.523 m ⎠ Ou en perte de pression (ρ = 857 kg/m3) : ⎛ 857 kg / m 3 x 305 m x (1.525 m / s) 2 ⎞ ρL V 2 ⎟⎟ = 21.226 kPa ΔP = λ . = 0.0213⎜⎜ D 2 0 . 305 m x 2 ⎝ ⎠ Cas du fuel – oil lourd C) Quand on utilise le diagramme A-1, on peut d’abord évaluer la rugosité relative de la conduite. Pour la fonte nue, la valeur de conception est de : ε ≈ 0.024 cm , ce qui donne une rugosité relative ε 0.24 = = 0.000787 D 305 La viscosité cinématique de l’eau à 15,6°C est extrapolée des valeurs de la tableau 2 à partir des valeurs : ν = 201 10-6 m2/s à 15°C et ν = 156 10-6 m2/s à 20°C , soit : ν(15.6°C) = 201 x10 −6 − 201 − 156 x10 −6 x (15.6°C − 15°C) = 195.6 x10 −6 m 2 / s 20 − 15 Le nombre de Reynolds de l’écoulement est alors de : Re = 1.525 m / s x 0.305 m = 2378 195.6 m 2 / s x 10 −6 L’écoulement est ainsi en régime de transition. Le diagramme A-1 permet alors d’obtenir un coefficient de frottement λ de l’ordre de 0.035 Ce qui donne une perte de charge en hauteur de colonne d’huile/fuel lourd de : 4 IPST L3 S6- Exercices Canaux libres (Daniel Huilier) 2008-2009 Δh = λ ⎛ 305 m x (1.525 m / s) 2 ⎞ L V2 ⎟ = 4.135 m . = 0.035⎜⎜ 2 ⎟ D 2g ⎝ 0.305 m x 2 x 9.81 m / s ⎠ Δp = λ ⎛ 912 kg / m 3 x 305 m x (1.525 m / s) 2 ⎞ ρL V 2 ⎟⎟ = 37.000 kPa . = 0.035⎜⎜ D 2 0.305 m x 2 ⎝ ⎠ Réponse à la question d) Le rayon hydraulique pour une conduite circulaire pleine est : πR 2 R D = = = 0.07625 m 2πR 2 4 Δh 2.245 La pente S est donnée par : S = = = 0.0073606 L 305 R= On prendra pour le coefficient C de rugosité de Hazen-Williams : C = 130 V = 0.8492 C R 0.63S 0.54 = 0.8492 x 130 x (0.07625) 0.63 x (0.0073606) 0.54 = 1.5378 m / s Résultat proche de la valeur initiale de 1.525 m/s Exercice sur les canaux libres : (Giles-Evett-Liu, 10.24) (Barème : 3 points) Après une inondation dans une station d’observation de rivière, un ingénieur visite le site. Ayant localisé les traces de la crue, réalisé un arpentage approprié et fait les calculs nécessaires, il détermine que l’aire de la section droite A, le périmètre mouillé p et la pente de la surface de l’eau, au moment du maximum de la crue valaient respectivement 2960 m2, 341 m et 0.00076. L’ingénieur a également noté que le fond du canal était tapisssé de terre mélangée à de l’herbe et des touffes d’algues. Estimer le courant de crête (le débit ou la vitesse) de l’inondation. On pourra se servir de la table D3-D10 pour approximer le coefficient de Manning n. Solution Pour un canal revêtu d’herbes et d’algues, on peut considérer que le coefficient de Manning est de l’ordre de : n = 0.030 Le débit vaut avec la formule de Manning : 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2960 ⎞ Q = AR 2 / 3S1 / 2 = ⎜ ⎟(2960)⎜ ⎟ n ⎝ 0.030 ⎠ ⎝ 341 ⎠ La vitesse de débit est de V = 2/3 (0.00076)1 / 2 = 11488 m 3 / s Q 11472 = = 3.875 m / s A 2960 5