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Probabilités élémentaires – HLMA 311
TD n˚4 : Vecteurs aléatoires discrets
Exercice 1. (*) Montrer que la convolution de deux lois binomiales B(n1, p)et B(n2, p)est une
loi binomiale B(n1+n2, p). En déduire la loi de Y=X1+· · · +Xmsi les Xisont des variables
indépendantes suivant respectivement les lois binomiales B(n1, p),· · · ,B(nm, p).
Exercice 2. (*) Montrer que la convolution de deux lois de Poisson P(λ1)et P(λ2)est une loi de
Poisson P(λ1+λ2). En déduire la loi de Y=X1+· · ·+Xmsi les Xisont des variables indépendantes
suivant respectivement les lois de Poisson P(λ1),· · · ,P(λm).
Exercice 3. Loi binomiale négative (***)
Soit (Xn)n∈N∗une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées suivant la
loi géométrique de paramètre p∈]0,1[. Pour tout n∈N∗, on définit la variable aléatoire Snpar :
Sn=
n
X
i=1
Xi.
1. Calculer la loi de la variable aléatoire S2.
2. Calculer par récurrence la loi de la variable aléatoire Sn. On admettra que Pk−1
i=nCn−1
i−1=Cn
k−1.
3. Cette loi de probabilité est appelée loi binomiale négative de paramètres net p: on note
Sn∼ B−(n, p). Donner sa fonction génératrice.
4. En déduire sa moyenne.
Exercice 4. (**) Soit X1,· · · , Xndes variables aléatoires indépendantes et de même loi de Bernoulli
de paramètre p∈]0,1[ et S=X1+· · · +Xnleur somme. Pour s∈ {0,· · · , n}, donner la loi
conditionnelle de X1sachant S=set calculer E(X1|S).
Exercice 5. (**) Soit Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes et de même loi géométrique
de paramètre p.
1. Le calcul des probabilités suivantes est intéressant, par exemple, pour comparer les temps de
succès de deux joueurs jouant simultanément et dans les mêmes conditions.
a) Calculer P(Y≥X). Etudier le cas particulier où p= 1/2.
b) Calculer P(Y=X). Etudier le cas particulier où p= 1/2.
c) Démontrer que P(Y > X) = P(X > Y )et retrouver ainsi la probabilité P(Y≥X).
2. On définit les variables Uet Vpar :
U= max(X, Y )et V= min(X, Y ).
a) Calculer, pour tout (u, v)∈N∗2, la probabilité P(U≤u, V ≥v).
b) En déduire les lois des variables Uet V. Identifier la loi de la variable V.
Exercice 6. (**) Soit qet rdeux réels strictement compris entre 0et 1. On considère deux variables
aléatoires indépendantes Uet Vsuivant des lois géométriques de paramètres respectifs 1−qet 1−r.
1. Le calcul des probabilités suivantes est intéressant, par exemple, pour comparer les temps de
succès de deux joueurs jouant simultanément dans des conditions qui peuvent être différentes.
a) Calculer P(U < V ).
b) Que vaut cette probabilité dans le cas où q=r, puis dans le cas où q=r= 1/2?
2. Calculer, pour tout k∈N∗, la probabilité conditionnelle P(U=k|U < V ). Identifier la loi
conditionnelle de Usachant que U < V .
Exercice 7. (***) Est-il possible de piper deux dés à 6 faces indépendants de façon à ce que leur
somme soit uniformément répartie sur {2,· · · ,12}?
Indication : on pourra commencer par montrer que si cela est possible, alors la fonction génératrice
associée au résultat de chacun des dés admet au moins deux racines réelles.
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Exercice 8. (***) Soit Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes et de loi géométrique de
paramètre p∈]0,1[. On définit les variables aléatoires suivantes :
T= min(X, Y ), Z =|X−Y|et G=Z
T.
1. Il s’agit d’étudier la loi d’un minimum de variables aléatoires.
a) Calculer, pour tout x∈N∗, la probabilité P(X≥x).
b) Calculer, pour tout t∈N∗, la probabilité P(T≥t)et identifier la loi de T.
2. On fait des calculs de moyennes et on fait l’étude de la loi du couple (T, Z).
a) Calculer la moyenne E(1/X).
b) Calculer, pour tout (t, z)∈N∗×N, la probabilité P(T≥t, Z =z)en étudiant séparément
le cas z= 0.
c) En déduire la loi de Z.
3. Démontrer alors que les variables Tet Zsont indépendantes.
4. Que vaut la moyenne E(G)?
Exercice 9. (*) Soit Uet Vdeux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans Zet admettant
un moment d’ordre deux. On suppose Ucentrée. On définit les deux variables aléatoires discrètes :
X= (−1)VUet Y=V.
1. Calculer E(X)puis E(XY )et cov(X, Y ). Les variables X2et Y2sont-elles indépendantes ?
2. Dans cette question, on suppose que la loi de Uest donnée par
P(U=−2) = 1
3et P(U= 1) = 2 3
et celle de Vpar
P(V= 1) = 1
2et P(V= 2) = 1 2.
a) Calculer E(X3)et E(U3).
b) Calculer Eh11{V=1}X3i.
c) Les variables aléatoires Xet Ysont-elles indépendantes ?
Exercice 10. (**) Pour fidéliser ses clients, une marque de chocolat place dans chaque tablette
une pièce d’un puzzle. Le puzzle est composé de nmorceaux distincts. Le morceau qui se trouve
dans une tablette est supposé suivre une loi uniforme sur les nmorceaux possibles. Le client est
supposé acheter les différentes tablettes au hasard. On s’intéresse au nombre Nd’achats à réaliser
pour obtenir l’ensemble des morceaux du puzzle. La première pièce ayant été découverte dans la
première tablette (N1= 1), on note N2le nombre d’achats supplémentaires nécessaires à l’obtention
d’une seconde pièce, puis N3le nombre d’achats supplémentaires nécessaires à l’obtention d’une
troisième, et ainsi de suite.
1. Exprimer Nen fonction de N1, N2,· · · , Nn.
2. On note Xile numéro de la ième pièce de puzzle obtenue. Pour m≥1, montrer que
{N2=m}=
n
[
i=1
{X1=i, · · · , Xm=i, Xm+1 6=i}.
3. Par hypothèse, les Xisont des variables aléatoires indépendantes, de loi uniforme sur {1,· · · , n}.
En déduire la loi de N2.
4. Justifier intuitivement que les Nisont des variables de loi géométrique et donner leurs para-
mètres.
5. En déduire l’espérance de N.
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