TerminaleS Devoirsurveillé MmeMAINGUY DS – TERMINALE S Loi uniforme – lois normales Exercice 1 Onconsidèrel’algorithmesuivant: Variables: réels Traitement: Afficher:«Donnerlesvaleurs et Afficher« et Demander Demander Donnerà Sortie: Afficherlavaleurde d’unintervalle sontdeuxnombresentre0et60» lavaleur Àquoisertcetalgorithme? 2) Modifiercetalgorithmepourqu’ildemandedesvaleurspourunintervalle ⎡⎣ a ; b ⎤⎦ etqu’ilcalculedesprobabilités 1) pourunevariablealéatoiresuivantuneloiuniformesur ⎡⎣ a ; b ⎤⎦ . 3) Quefaut-ilajouteràcenouvelalgorithmeafinqu’ilcalculeaussil’espérance? Exercice 2 Unestationd’ambulance(S)sesitueaukilomètre30d’untronçonderoutede100kmdelong(segment ⎡⎣ AB ⎤⎦ ). Lesaccidentssurviennentauhasardentoutpointdecetronçonetlavariablealéatoire X quiprendpourvaleurle kilométrageprécisd’unlieud’accident(àpartirdupoint A surleschémaci-dessous)etsuituneloiuniforme. Lorsqu’unaccidentsurvient,l’ambulancerouleà100km/hpourintervenir. Soit T lavariablealéatoirecorrespondantautempsécoulé(enminutes)entrel’appelàlastationetl’arrivéede l’ambulancesurlelieudel’accident. 1) Démontrerque T prendsesvaleursdansl’intervalle ⎡⎣0 ; 42 ⎤⎦ . 2) Calculer p T > 30 puis p T > 9 . ( ) ( ) TerminaleS Devoirsurveillé MmeMAINGUY Exercice 3 LacompagnieGoodweekfabriquedespneusquiontuneduréedeviemoyennede50000kmavecunécart-typede 4000km. Onprélèveunpneudanslaproductionetonmodélisesaduréedevie,enkm,parunevariablealéatoire X quisuit ( ) uneloinormale N 50 000 ; 40002 . Déterminerlaprobabilitéquecepneuaituneduréedevie: a/supérieureà 50 000 km; b/compriseentre 50 000 et 58 000 km; c/inférieureà 46 000 km. 2) Surchaquepneuacheté,leclientbénéficied’unegarantiesiunedéfaillancesurvientavantuncertainnombre N = 50 000 − t dekilomètresparcourus. Estimercenombre N sil’entreprisenesouhaitepasappliquersagarantieàplusde5%despneusvendus. Onpourrautiliserlerésultatsuivant: p −1,65 ≤ Z ≤ 1,65 ≈ 0,9 où Z estunevariablealéatoirequisuituneloi 1) ( ) normalecentréeréduite. Exercice 4 Lasociété«BonneMamie»utiliseunemachinepourrempliràlachaînedespotsdeconfiture.Onnote X lavariable aléatoirequiàchaquepotdeconfitureproduit,associelamassedeconfiturequ’ilcontient,expriméeengrammes. Danslecasoùlamachineestcorrectementréglée,onadmetque X suituneloinormaledemoyenne µ = 125 et d’écart-type σ . 1) ( ) ( ) a/Pourtoutnombreréel t positif,déterminerunerelationentre p X ≤ 125 − t et p X ≥ 125 + t enjustifiant. b/Onsaitque 2,3% despotsdeconfiturecontiennentmoisde121grammesdeconfiture. ( ) Enutilisantlarelationprécédente,déterminer p 121 ≤ X ≤ 129 2) Déterminerunevaleurarrondieàl’unitéprèsde σ telleque p 123 ≤ X ≤ 127 = 0,68 . ( ) Danslasuitedel’exercice,onsupposeque σ = 2 . 3) Onestimequ’unpotdeconfitureestconformelorsqueamassedeconfiturequ’ilcontientestcompriseentre 120et130grammes. a/Onchoisitauhasardunpotdeconfituredelaproduction. Déterminerlaprobabilitéquecepotsoitconforme.Ondonneralerésultatarrondià 10−4 près. b/Onchoisitauhasardunpotparmiceuxquiontunemassedeconfitureinférieureà130grammes. Quelleestlaprobabilitéquecepotnesoitpasconforme?Ondonneralerésultatarrondià 10−4 près. Exercice 5 Surleschémaci-dessousonareprésentélacourbededensitéd’unevariablealéatoire X quisuituneloinormale d’espérance µ = 20 .Laprobabilitéquelavariablealéatoire X soitcompriseentre 20 et 21,6 estégaleà 0,34 . ºDéterminerlaprobabilitéque X appartienneàl’intervalle ⎡⎣ 23,2 ; + ∞ ⎡⎣ .