DS – TERMINALE S - ambition

!"#$%&'(")*)+",-%#)./#,"%((0)1$")1234567)
!
!
!
! !
!!!!!!!!!!!!!DS – TERMINALE S
!!!!!!!!!!!Loi uniforme – lois normales
!
!
!
Exercice 1
On!considère!l’algorithme!suivant!:!!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
89 À!quoi!sert!cet!algorithme!?!
!
:9 Modifier!cet!algorithme!pour!qu’il!demande!des!valeurs!pour!un!intervalle!
a;b
⎡
⎣⎤ ⎦
!et!qu’il!calcule!des!probabilités!
pour!une!variable!aléatoire!suivant!une!loi!uniforme!sur!
a;b
⎡
⎣⎤ ⎦
.!
!
;9 Que!faut-il!ajouter!à!ce!nouvel!algorithme!afin!qu’il!calcule!aussi!l’espérance!?!
!
Exercice 2
Une!station!d’ambulance!(S)!se!situe!au!kilomètre!30!d’un!tronçon!de!route!de!100!km!de!long!(segment!
AB
⎡
⎣⎤ ⎦
).!!
Les!accidents!surviennent!au!hasard!en!tout!point!de!ce!tronçon!et!la!variable!aléatoire!
X
!qui!prend!pour!valeur!le!
kilométrage!précis!d’un!lieu!d’accident!(!à!partir!du!point!
A
!sur!le!schéma!ci-dessous)!et!suit!une!loi!uniforme!.!
!
!
!
!
Lorsqu’un!accident!survient,!l’ambulance!roule!à!100km/h!pour!intervenir.!
Soit!
T
!la!variable!aléatoire!correspondant!au!temps!écoulé!(en!minutes)!entre!l’appel!à!la!station!et!l’arrivée!de!
l’ambulance!sur!le!lieu!de!l’accident.!
89 Démontrer!que!
T
!prend!ses!valeurs!dans!l’intervalle!
0 ; 42
⎡
⎣⎤ ⎦
.!
:9 Calculer!
p T >30
( )
!puis!
p T > 9
( )
.!
<'#%'=(".)>! !réels!
!#'%?"$"&?)>!Afficher!:!«!!Donner!les!valeurs! !et! !d’un!intervalle! !
!Afficher!«! !et! !sont!deux!nombres!entre!0!et!60!»!
!Demander! !
!Demander! !
!Donner!à! !la!valeur! !
*-#?%")>!Afficher!la!valeur!de! !

!"#$%&'(")*)+",-%#)./#,"%((0)1$")1234567)
!
!
Exercice 3
La!compagnie!Goodweek!fabrique!des!pneus!qui!ont!une!durée!de!vie!moyenne!de!50!000!km!avec!un!écart-type!de!!
4000!km.!
On!prélève!un!pneu!dans!la!production!et!on!modélise!sa!durée!de!vie,!en!km,!par!une!variable!aléatoire!
X
!qui!suit!!
une!loi!normale!
N50 000 ; 40002
( )
.!
89 Déterminer!la!probabilité!que!ce!pneu!ait!une!durée!de!vie!:!!
a/!supérieure!à!
50 000
!km!;!
b/!comprise!entre!
50 000
!et!
58 000
!km!;!
c/!inférieure!à!
46 000
!km.!
:9 Sur!chaque!pneu!acheté,!le!client!bénéficie!d’une!garantie!si!une!défaillance!survient!avant!un!certain!nombre!!
N=50 000 −t
!de!kilomètres!parcourus.!
Estimer!ce!nombre!
N
!si!l’entreprise!ne!souhaite!pas!appliquer!sa!garantie!à!plus!de!5%!des!pneus!vendus.!
!
On!pourra!utiliser!le!résultat!suivant!:!
p−1,65 ≤Z≤1,65
( )
≈0,9
!où!
Z
!est!une!variable!aléatoire!qui!suit!une!loi!
normale!centrée!réduite.!
!
Exercice 4
La!société!«!Bonne!Mamie!»!utilise!une!machine!pour!remplir!à!la!chaîne!des!pots!de!confiture.!On!note!
X
!la!variable!
aléatoire!qui!à!chaque!pot!de!confiture!produit,!associe!la!masse!de!confiture!qu’il!contient,!exprimée!en!grammes.!
Dans!le!cas!où!la!machine!est!correctement!réglée,!on!admet!que!
X
!suit!une!loi!normale!de!moyenne!
µ =125
!et!
d’écart-type!
σ
.!
89 a/!Pour!tout!nombre!réel!
t
!positif,!déterminer!une!relation!entre!
p X ≤125 −t
( )
!et!
p X ≥125 +t
( )
!en!justifiant.!
b/!On!sait!que!
2,3%
!des!pots!de!confiture!contiennent!mois!de!121!grammes!de!confiture.!
!!!!!!En!utilisant!la!relation!précédente,!déterminer!
p121 ≤X≤129
( )
!
!
:9 Déterminer!une!valeur!arrondie!à!l’unité!près!de!
σ
!telle!que!
p123 ≤X≤127
( )
=0,68
.!
Dans!la!suite!de!l’exercice,!on!suppose!que!
σ =2
.!
;9 On!estime!qu’un!pot!de!confiture!est!conforme!lorsque!a!masse!de!confiture!qu’il!contient!est!comprise!entre!!
120!et!130!grammes.!
!
a/!On!choisit!au!hasard!un!pot!de!confiture!de!la!production.!
!!!!!Déterminer!la!probabilité!que!ce!pot!soit!conforme.!On!donnera!le!résultat!arrondi!à!
10−4
!près.!
!
b/!On!choisit!au!hasard!un!pot!parmi!ceux!qui!ont!une!masse!de!confiture!inférieure!à!130!grammes.!
!!!!!Quelle!est!la!probabilité!que!ce!pot!ne!soit!pas!conforme!?!On!donnera!le!résultat!arrondi!à!
10−4
!près.!
!
Exercice 5
Sur!le!schéma!ci-dessous!on!a!représenté!la!courbe!de!densité!d’une!variable!aléatoire!
X
!qui!suit!une!loi!normale!
d’espérance!
µ =20
.!La!probabilité!que!la!variable!aléatoire!
X
!soit!comprise!entre!
20
!et!
21,6
!est!égale!à!
0,34
.!
!
!
!
!
!
º!Déterminer!la!probabilité!que!
X
!appartienne!à!l’intervalle!
23,2 ; +∞
⎡
⎣⎡ ⎣
.!