La trigonométrie

Mathématiques
Section :
La trigonométrie
(2ème partie)
C.F.A du bâtiment
Ermont
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Dans le dossier précédent, nous avons découvert l’existence de la
trigonométrie comme art de relier angles et côtés d’un triangle rectangle :
Avec deux longueurs, je trouve les angles.
Avec une longueur et un angle, je retrouve les deux autres longueurs.
Nous disposons pour cela de 3 formules :
sin a =
côté opposé
hypoténuse
cos a =
𝐜ô𝐭é 𝐚𝐝𝐣𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭
𝐡𝐲𝐩𝐨𝐭é𝐧𝐮𝐬𝐞
tan a =
𝐜ô𝐭é 𝐨𝐩𝐩𝐨𝐬é
𝐜ô𝐭é 𝐚𝐝𝐣𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭
Nous avons également appris à choisir la bonne formule parmi ces 3 possibles
en fonction du problème posé.
Mais nous ne sommes pas encore allés au bout du calcul. Dans ce dossier, nous
allons voir comment calculer une longueur manquante d’un triangle rectangle à
partir d’une longueur connue et d’un angle connu (autre que l’angle droit), et
dans le dossier suivant, nous verrons comment retrouver les angles quand on
en connait au moins 2 longueurs du triangle.
Attention : dans ces dossiers, nous aurons impérativement
besoin d’une calculatrice, rien ne peut se faire de tête ou sur
papier pour remplacer, même pour votre enseignant !
2
Trouver une longueur à partir d’un angle et d’une longueur
(dans un triangle rectangle)
Situation de départ :
Vous l’avez en couverture de ce dossier : nous allons estimer la hauteur h de la
tour Eiffel grâce à ce que l’on peut mesurer facilement : des longueurs au sol
et des angles.
Sur le côté de l’illustration ci-dessous, faites un schéma clair et complet qui
permet de relier le problème posé à la trigonométrie :
(Illustration http://fr.wikibooks.org)
Quelles sont les valeurs intéressantes pour la trigonométrie que nous
connaissons d’après cette illustration (et d’après votre schéma) ?
Quelle formule allons-nous choisir pour tenter de résoudre ce problème ?
3
Nous voyons que nous arrivons à écrire une formule qui relie ce
que l’on connait et ce que l’on cherche, mais il nous reste du
travail pour pouvoir répondre à la question posée : il faut
transformer cette formule.
Aide : pour transformer une telle formule, on utilise uniquement la réciprocité de la
multiplication et division.
Pour ceux qui ont des difficultés sur ce point, vous pouvez vous servir d’un exemple
facile et ensuite « faire jouer les rôles » .
Voici ce que cela peut donner :
6=3x2 ↔ 2=6:3 ↔ 3=6:2
Écrire la formule choisie avec les valeurs connues de notre problème :
Transformer cette formule de façon à ce qu’elle réponde à notre problème :
Barrez les touches de votre calculatrice qui ne seront pas utile pour notre
problème :
Cos
Sin
Tan
En utilisant la touche appropriée de votre calculatrice, trouvez la hauteur h
de la tour Eiffel.
4
Exercice 1 :
Dans les trois cas suivants, trouvez la valeur du côté demandé.
C
?
30°
B
A
4m
A
P
?
20°
Q
A
R
6m
10 m
T
V
50°
?
U
5
Exercice 2 :
Calculez la valeur du côté AD
D
C
15°
25°
B
50 m
A
A
Exercice 3 :
Calculez la hauteur de chacun de ces bâtiments : (attention : pour le second, nous sommes
vraiment aux limites du programmes, c’est vraiment compliqué et facultatif)
42°
35 m
58°
23°
50 m
6
Exercice 4 :
Vous éclairez une table avec une lampe suspendue dont l’abat-jour a un angle de 35° avec la
verticale.
PLAFOND
Chaînette →
Chaînette →
1,90 m
1,20 m
TABLE
Abat-jour →
35°
Quelle longueur donner à la chaînette pour éclairer la table avec un diamètre de 1,20 m ?
7
Exercice 5:
Le but de cet exercice est de montrer les formules trigonométriques suivantes :
a) cos  = sin 
C
b) sin  = cos 
c) tan  = sin  / cos 
d) cos ²  + sin ²  = 1
β
B
α
A
A
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