Correction - TD n˚12 - Ondes électromagnétiques dans le vide 1

Correction TD no 12 : Ondes électromagnétiques dans le vide
Physique
Correction - TD n˚12 - Ondes
électromagnétiques dans le vide
1 Equation de propagation du potentiel électromagnétique dans le
vide
1. La condition de jauge de Lorentz s’écrit :
∂V
→
−
div A + µ0 ϵ0
=0
∂t
2. Cherchons tout d’abord à déterminer l’équation différentielle vérifiée par le potentiel scalaire V dans le vide :

−
→
∂A
−
−
→
−
→

0|{z}
= div E |{z}
= div −gradV −
∂t
MG
def V
=
|{z}
−−→
div grad=∆
−
→
∂div A
− ∆V −
∂t
=
|{z}
jauge Lorentz
− ∆V + µ0 ϵ0
∂2V
∂t2
On obtient donc une équation de D’Alembert avec la célérité :
c= √
1
µ0 ϵ0
∆V − µ0 ϵ0
∂2V
=0
∂t2
→
−
3. Cherchons maintenant un équation différentielle vérifiée par le potentiel vecteur A dans
le vide :
→
−
∂E
→)
→
−→ (−→−
−→−
= rot B |{z}
= µ0 ϵ0
rot rot A |{z}
∂t
→
−
def A
MA
→
−
−→−→ −−→
En utilisant la formule d’analyse vectorielle : rotrot = graddiv − ∆ et la définition de V :
−−→ (

−
→)
(
−
→−
−−→ ∂V
→
−
→
grad div A − ∆ A = µ0 j − µ0 ϵ0 grad
∂t
)
→
−
∂2 A

+
∂t2
Et en utilisant la jauge de Lorentz, on obtient encore la même équation de D’Alembert,
vectorielle cette fois-ci :
−
→
∂2 A −
−
→−
→
→
∆ A − µ 0 ϵ0 2 = 0
∂t
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1
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Physique
Correction TD no 12 : Ondes électromagnétiques dans le vide
2 Ondes sphériques
On considère une région de l’espace vide de charges et de courants située autour d’une source
de champ électromagnétique à symétrie sphérique. On cherche à déterminer l’expression générale
des ondes émises par la source dans la zone vide.
1. L’équation vérifiée par les composantes du champ électromagnétique est l’équation de
D’Alembert, où c est la vitesse de la lumière dans le vide. Par exemple pour la composante
radiale du champ électrique :
1 ∂ 2 Er
∆Er − 2 2 = 0
c ∂t
2. La source étant à géométrie sphérique, le champ créé est également à symétrie sphérique
autour d’un point O et est donc invariant par rotation de θ ou φ autour du point O. On
recherche donc Er sous la forme Er (r, t).
3. En utilisant le formulaire d’analyse vectorielle, l’équation de D’Alembert devient :
(
1 ∂
∂Er
r2
r2 ∂r
∂r
)
1
− 2
c
(
∂ 2 Er
∂t2
)
=0
h(r, t)
4. Recherchons une solution de cette équation sous la forme Er (r, t) =
. L’équation
r
précédente devient :
∂2h
1 ∂2h
−
=0
∂r2 c2 ∂t2
, donc h est solution de l’équation de D’Alembert undimensionnelle résolue dans le premier
chapitre sur les ondes, de sorte qu’on peut écrire directement que h est une superposition
des deux ondes suivantes :
h(r, t) = f (r − ct) + g(r + ct)
Finalement, on en déduit donc que :
Er (r, t) =
f (r − ct) g(r + ct)
+
r
r
Remarque : On peut également injecter la solution proposée directement dans l’équation
et vérifier qu’elle convient.
5. A t = t0 fixé, le champ électrique radial est constant sur la surface définie par r = cste,
de sorte que les surfaces d’onde sont sphériques, et l’onde est dite sphérique. Le premier
→
→
terme est progressif dans le sens de −
u r , alors que le second dans le sens de −−
u r , d’où la
dénomination d’ondes sphériques progressives.
3 Relations de dispersion dans le vide et dans un milieu conducteur
1.
a) L’équation de D’Alembert, en utilisant la notation complexe, permet de montrer que :
1
→
−
−
→−
→
−
→ −
→
(−i k ) · (−i k ) E − 2 (iω)2 E = 0
c
−k 2 +
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ω2
=0
c2
2
donc
k=±
ω
c
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b) En utilisant les relations obtenues à partir des équations de Maxwell-Ampère et
−
→
→
Maxwell-Faraday avec la notation complexe, on obtient, avec k = k −
u :
→
k−
u ∧
(
k−
→
−
→
u ∧E
ω
)
=−
ω−
→
E
2
c
et en utilisant le produit mixte :
]
k 2 [−
ω−
→
−
→
−
→ → −
→
→
u · (−
u · E ) − E · (−
u ·→
u ) = − 2E
ω
c
et en utilisant la relation donnée par l’équation de Maxwell-Gauss :
−
2.
k2
ω
=− 2
ω
c
donc
k=±
ω
c
→
−
→
−
a) Sachant que le milieu est conducteur et que la loi d’Ohm locale s’écrit : j = γ E , on
en déduit les équation de Maxwell suivantes :
−
→ −
→
−ik′· B =0
(M T )
→ −
−
→
−ik′· E =0
→ −
−
→
−
→
(M F )
− i k ′ ∧ E = −iω B
−
→ −
→
−
→
−
→
(M A)
− i k ′ ∧ B = µ0 γ E − iωµ0 ϵ0 E
−
→ −
→
b) Les deux premières équations permettent de montrer que E et B sont transverses.
(M F )
c) Les deux dernières équations et la formule du produit mixte permettent de montrer
que la relation de dispersion dans le milieu conducteur est donnée par :
k ′2 = −iµ0 γω +
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ω2
c2
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4 Ondes électromagnétiques planes progressives
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5 Décomposition d’une onde polarisée rectilignement en deux ondes
polarisées circulairement
1. Le champ électrique peut s’écrire sous la forme :
−
→
→
→
→
E = E0 cos α cos(kx − ωt)−
u y + E0 sin α cos(kx − ωt)−
u z = E0 cos(kx − ωt)−
u
en posant :
−
→
→
→
u = cosα−
u y + sinα−
uz
L’onde est donc polarisée rectilignement. L’onde est représentée sur la figure ci-dessous.
−
→
2. E peut se décomposer en deux ondes polarisées circulairement en sens opposés. En effet,
→
→
→
→
→
→
dans la base (−
u x, −
u,−
v ), où −
v est le vecteur unitaire perpendiculaire à −
u x et −
u , de telle
sorte que la base précédente soit directe, le champ électrique peut s’écrire :
0
−
→ E = E0 cos(kx − ωt) = 0
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0
0
E0
E0
cos(kx
−
ωt)
cos(kx
− ωt)
+
2
2E0
E0
− 2 sin(kx − ωt)
2 sin(kx − ωt)
5
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z
u
y
α
x
6 Ondes polarisées circulairement
1. L’onde tourne dans le sens horaire, car en x = 0 par exemple, la première fois que le champ
π
Ey s’annule, pour ωt = , Ez < 0.
2
→ −
−
→ i(kx−ωt)
, on en déduit que :
2. Avec E = E 0 e
[−
[−
[−
→]
→ ]
→ ]
Re E = Re E 0 cos(kx − ωt) − Im E 0 sin(kx − ωt)
Cette expression s’identifie donc au champ électrique si et seulement si :
−
→
→
→
E 0 = E0 −
u y − iE0 −
uz
3. Pour une onde polarisée circulairement en sens inverse ayant la même amplitude, le champ
électrique est défini par :
Ex′ = 0;
Ey′ = E0 cos(kx − ωt);
Ez′ = −E0 sin(kx − ωt) .
L’expression de son amplitude complexe est alors donnée par :
−
→′
→
→
u y + iE0 −
uz
E 0 = E0 −
7 Ondes polarisées
1. L’onde se propage suivant l’axe Ox, et on en déduit que Ex = 0, donc :



Ex = 0
E = E cos(ωt − kx)
( )
y
0y


E = E cos(ωt − kx)
z
0z
√
E0z
π
= tan
= 3.
avec :
E0y
3
2. L’onde se propage selon Oy, on en déduit que Ey = 0.


Ex = E0x cos(ωt − ky)




Ey = 0
(
)

π


Ez = E0z cos ωt − ky ±

2
Le grand axe est selon Oz, on en déduit que E0z = 3E0x .
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3. L’onde est polarisée linéairement selon Oy donc Ex = 0 et Ez = 0. La direction de
propagation est dans le plan zOx à π/4.


Ex = 0




(
kx + kz
Ey = E0y cos ωt − √

2




Ez = 0
)
8 Propagation entre deux plans métalliques infinis
1. D’après les données, le champ électrique est défini par :
−
→
→
E = E0 (y)cos(ωt − kx)−
uz
−
→
−
→ →
Et sachant que pour une onde plane progressive dans le vide, E = c B ∧ −
u , on en déduit
que le champ magnétique est défini par :
E0 (y)
−
→
→
cos(ωt − kx)−
uy
B =−
c
2. Le champ électrique vérifie une équation de D’Alembert dans le vide, donc on peut en
déduire :
1 ∂ 2 Ez
∆Ez − 2
=0
c ∂t2
Et en remplaçant avec l’expression précédente, on obtient :
[
]
ω2
d2 E0 (y)
+
− k 2 E0 (y) = 0
dy 2
c2
[
]
ω2
La solution de cette équation différentielle du second ordre dépend du signe de 2 − k 2 .
c
Les solutions exponentielles étant non acceptables car ne pouvant pas satisfaire ensuite aux
conditions aux limites,√ce terme est nécessairement positif, et la solution est harmonique
ω2
avec la pulsation Ω =
− k2 :
c2
E0 (y) = Acos(Ωy) + Bsin(Ωy)
Or nous savons que le champ électrique est nul dans les conducteurs, ce qui impose, par
continuité de la composante tangentielle 1 du champ électrique au niveau de l’interface
vide/conducteur, sachant que la condition doit être vraie pour tout t et pour tout x, que :
{
E0 (0) = 0
E0 (a) = 0
{
A=0
Ωa = nπ
donc
avec n ∈ Z
Finalement, l’amplitude du champ électrique est donnée par, en remplaçant B par E0 :
E0 (y) = E0 sin(Ωy)
1. On notera qu’il y a toujours continuité de la composante tangentielle, et qu’il n’est pas nécessaire de connaître
l’existence ou non de courant surfacique à l’interface vide-métal.
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3. De plus, on déduit de la continuité du champ en y = a la relation de dispersion suivante :
n2 π 2
ω2
2
=
k
+
c2
a2
avec
n∈Z
Il y a donc existence de modes propres entre les deux plaques conductrices.
4. La vitesse de phase est déterminée par :
vφ =
ω
c
c
=√
=√
2
2
2
k
n π c
n2 λ 2
1− 2 2
1−
a ω
4a2
2πc
où nous avons utilisé que ω =
. La vitesse de phase dépend de la longueur d’onde, et
λ
le milieu est donc dispersif.
2π
Remarque : Attention, on veillera bien à ne pas utiliser dans ce cas l’expression k =
λ
qui n’est valable que dans le cas d’un milieu non dispersif.
9 Guide d’onde rectangulaire
1. Le champ étant nul à l’intérieur d’un conducteur, cela impose, par continuité de la composante tangentielle 2 du champ électrique que, le champ est également nul juste à l’extérieur
des plaques conductrices, donc :
{
f (0) = 0
f (b) = 0
2. De la même façon que dans l’exercice précédent, en utilisant l’équation de D’Alembert
dans le vide, on en déduit que :
√
f (y) = E0 sin(Ωy)
avec
Ω=
ω2
− kz2
c2
et
Ωb = nπ
avec n ∈ Z
Seuls certains modes propres du champ électromagnétique vont donc se propager dans le
guide d’onde, qui sont tels que :
√
−
→
E n = E0 sin 

ωn2
→
− kz2 y  cos (ωn t − kz z) −
uz
c2
√
avec
ωn = kz c 1 +
n2 π 2
b2 kz2
3. Les seules fréquences qui peuvent se propager dans le guide d’onde sont définies par 3 :
√
ωn kz c
n2 π 2
=
νn =
1+ 2 2
2π
2π
b kz
avec
n∈Z
Le guide d’onde laissera donc principalement passer des hautes fréquences, et coupe les
fréquences en dessous de v1 . Celui-ci agit comme un filtre fréquentiel discontinu des ondes
électromagnétiques.
2. On notera qu’on ne peut pas déduire que la composante du champ s’annule en x = 0 et x = a de la même
façon car le champ est ici normal aux surfaces x = cste, et rien ne prouve qu’il n’existe pas de courants surfaciques.
c
2π
, mais on n’a plus λ = puisque la célérité c n’a plus de sens ici.
3. On notera qu’on a toujours k =
λ
ν
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10 Propagation d’ondes électromagnétiques
- extrait de CCP TSI 98
10.1 Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide
→
−
1. Calculons le double rotationnel de E .
D’après l’équation de Maxwell-Faraday

→
−
∂ −→ −
→ ] −→  ∂ B 
→
−→ [−→ −
rot rot ( E ) = rot −
= − rot ( B )
∂t
∂t
On utilise alors l’équation de Maxwell-Ampère en l’absence de courant de conduction
→
−
→
(−
ȷ = 0) :
−
→
∂2 E
∂ −→ −
→
→]
−→ [−→ −
rot rot ( E ) = − rot ( B ) = −µ0 ϵ0
∂t
∂t2
Par ailleurs, le double rotationnel s’écrit
→ ] −−→ [
−
→]
−
→
−→ [−→ −
rot rot ( E ) = grad div ( E ) − ∆ E
−
→
En l’absence de charge ρ = 0, l’équation de Maxwell-Gauss prend la forme div E = 0. On
en déduit l’équation de propagation pour le champ électrique, en l’absence de charge et de
courant
−
→
∂2 E −
→
−
→
∆ E − µ0 ϵ0
= 0
∂t2
→
−
Calculons le double rotationnel de B .
−
→
→
D’après l’équation de Maxwell-Ampère, en l’absence de courant (−
ȷ = 0)

→
−
∂ −→ −
∂E
→
→ ] −→ 
−→ [−→ −
 = µ0 ϵ0
rot ( E )
rot rot ( B ) = rot µ0 ϵ0
∂t
∂t
On utilise alors l’équation de Maxwell-Faraday :
−
→
∂ −→ −
∂2 B
→]
→
−→ [−→ −
rot rot ( B ) = µ0 ϵ0 rot ( E ) = −µ0 ϵ0
∂t
∂t2
Par ailleurs, le double rotationnel s’écrit
→ ] −−→ [
−
→]
−
→
−→ [−→ −
rot rot ( B ) = grad div ( B ) − ∆ B
−
→
Mais l’équation de Maxwell-flux donne div B = 0. On en déduit l’équation de propagation
pour le champ magnétique, en l’absence de charge et de courant
−
→
∂2 B −
−
→
→
∆ B − µ0 ϵ0
= 0
2
∂t
z
2. On considère la fonction f1 (u), avec u = t − . Alors
c
(
)
1
∂f1 df1 ∂u
=
= f1′ (u) × −
∂z
du ∂z
c
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et
∂ 2 f1
1
= 2 f1′′ (u)
2
∂z
c
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D’autre part
∂f1 df1 ∂u
=
= f1′ (u) × 1 et
∂t
du ∂t
On a donc
(
f1
z
t−
c
∂ 2 f1
∂ 2 f1
−
µ
ϵ
=
0
0
∂z 2
∂t2
(
∂ 2 f1
= f1′′ (u)
∂t2
)
1
− µ0 ϵ0 f1′′ (u) = 0
c2
si µ0 ϵ0 c2 = 1
)
est bien solution de l’équation de d’Alembert f1 = 0.
(
z
On montre de même que f2 t +
c
(il suffit de changer c en −c).
(
)
est solution de l’équation de d’Alembert f2 = 0
)
(
)
z
z
Finalement f (z, t) = f1 t −
+ f2 t +
est une combinaison linéaire de soc
c
lution de l’équation de d’Alembert : c’est donc également une solution de
l’équation de d’Alembert
f = 0
(
3.
)
z
a) La phase vaut φ = ω t −
. À t fixé, la phase est une constante si z = cste. Les
c
surfaces équiphases sont les surfaces planes z = cste.
[ (
)]
z
−
→
−
→
−
→
u x . L’équation de d’Alembert projetée sur la
b) E = Ex u x = E0 cos ω t −
c
→
→
→
base orthonormée (−
u x, −
u y, −
u z ) fournit

−
→

 Ex = 0
1 ∂2 E −
−
→
−
→
→
Ey = 0
E = ∆E − 2
=
0
=⇒

c ∂t2
 E
z = 0
Mais Ey = Ez = 0 et Ex est une fonction de t − z/c uniquement. D’après la question
→ −
−
→
précédente, Ex vérifie l’équation Ex = 0. On a donc bien E = 0 .
−
→
∂B
→
−→ −
4. Utilisons l’équation de Maxwell-Faraday rot ( E ) = −
.
∂t



−
→

∂ B −→ −
→

= rot ( E ) = 
−

∂t


∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z

)]  
[ (



z

[0 (
)]
E
cos
ω
t
−
  0
  ω

z
c
 
 

E0 sin ω t −
∧
=

 



c
c
0


0
0
En intégrant par rapport au temps et en ne tenant pas compte des constantes d’intégration

[ 0(
z
−
→ 
 E0
B =
cos ω t −
 c
c
0
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)]





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5.
a) Cette onde est une onde plane, progressive monochromatique se propageant dans le
sens des z croissants et polarisée rectilignement selon (Ox).
→ ω→
−
→ −
−
→
→ →
−
b) K = −
u z est le vecteur d’onde de cette onde de sorte que E = E 0 cos(ωt− K · −
r)
c
→ −
−
→
−
→ →
et B = B 0 cos(ωt − K · −
r ).
−
→ −
→ −
→
( E , B , K ) forme un trièdre direct.
c)
E
=c.
B
10.2 Réflexion d’une onde électromagnétique par un plan métallique
1.
→
−
−
→
a) Les relations de discontinuité des champs E et B à la traversée d’une surface, de
→
densité surfacique de charge σ et de densité surfacique de courant −
ȷs , s’écrivent
−
→
−
→
E2 − E1 =
−
→
−
→
B2 − B1
σ −
→
n 12
ϵ0
→
→
= µ0 −
ȷs ∧ −
n 12
→
où −
n 12 est la normale orientée du milieu 1 vers le milieu 2. Appelons milieu 1 le demi→
→
espace z < 0 et milieu 2 le demi-espace z > 0 (intérieur du conducteur) : −
n 12 = −
u z.
→
−
−
→
À l’intérieur du conducteur, les champs E 2 et B 2 sont nuls. On en déduit les champs
électrique et magnétique dans le vide au voisinage du conducteur
σ →
− −
→
uz
E (0 , t) =
− −
ϵ0
→ −
−
→
→
B (0 , t) = −µ0 −
ȷs ∧ −
uz
En décomposant les vecteurs
sante normale (notée ⊥), de
obtient
 −
→

 E∥ =

 E⊥
en une composante tangentielle (noté ∥) et une compo−
→
−
→
−
→
−
→
→
→
u z , on
u z et B = B ∥ + B⊥ −
sorte que E = E ∥ + E⊥ −
−
→
0
σ
= −
ϵ0
{ −
→
→
→
B ∥ = −µ0 −
ȷs ∧ −
uz
B⊥ =
0
et
−
→
→
b) De la question précédente, on déduit, avec →
ȷs = jsx −
u x + jsy −
uy


Ex



Ey



 Ez
2.


 Bx
=
=
0
0
σ
= −
ϵ0
et
B
y

 B
z
= −µ0 jsy
= µ0 jsx
=
0
−
→
a) Le champ électrique E i de l’onde incidente ne vérifie pas les conditions aux limites
→
précédentes car sa composante Ex suivant −
u x n’est pas nulle. Il doit donc exister
−
→
−
→
→
−
−
→
un champ réfléchi E r de sorte que le champ résultant E = E i + E r satisfasse les
conditions aux limites.
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b) La composante tangentielle du champ résultant doit être nulle en z = 0− . On en
déduit
E0i cos(ωt) + E0r cos(ω ′ t) = 0 ∀ t
On en déduit
ω = ω′
et
E0r = −E0i
Par ailleurs, la phase de l’onde réfléchie est en ω(t + z/c) car c’est une onde plane
progressive monochromatique se propageant dans le sens des z décroissants, i.e. en
sens opposé à l’onde incidente.
−
→
∂B
→
−→ −
c) En utilisant l’équation de Maxwell-Faraday rot ( E ) = −
pour l’onde réfléchie, on
∂t
trouve



→
−

∂ B r −→ −
→

−
= rot ( E r ) = 

∂t


∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z

[ (
)]  



z
0[ (

)]
  E0r cos ω t +
  ω

z
c
 
 

∧

 =  − E0r sin ω t +
 



c
c
0


0
0
d’où
[ (
E0r
z
−
→
Br = −
cos ω t +
c
c
)]
−
→
uy
−
→
−
→
−
→ −
→ −
→
Les vecteurs E r et B r sont en phase et ( E r , B r , K r ) forme bien un trièdre direct,
ω→
−
→
avec K r = − −
u z vecteur d’onde de l’onde réfléchie. L’onde réfléchie possède la
c
structure d’une onde plane.
3.
a) Le champ électrique total est de la forme
{
[ (
z
−
→
−
→
−
→
E (z, t) = E i (z, t) + E r (z, t) = E0i cos ω t −
c
)]
[ (
z
− cos ω t +
c
(
En utilisant la relation trigonométrique cos a − cos b = −2 sin
on obtient
−
→
E (z, t) = 2 E0i sin(ωt) sin
(
ωz
c
)
)
)]}
a+b
sin
2
(
−
→
ux
)
a−b
,
2
−
→
ux
Ce champ s’écrit comme un produit d’une fonction de z uniquement par une fonction
cπ
du temps. On voit en particulier que les plans z = p , p ∈ Z, sont des plans fixes
ω
→
−
pour lesquels le champ E est toujours nul. Ces plans correspondent à des nœuds pour
le champ électrique.
On observe un phénomène d’onde stationnaire : le champ électrique total
ne se propage pas.
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b) Le champ magnétique total vaut
−
→
→
−
→
−
B (z, t) = B i (z, t) + B r (z, t) =
soit
{
{
[ (
E0i
z
cos ω t −
c
c
[ (
E0i
z
−
→
cos ω t −
B (z, t) =
c
c
)]
)]
[ (
E0r
z
−
cos ω t +
c
c
[ (
z
+ cos ω t +
c
(
)]}
)]}
−
→
ux
−
→
ux
)
a+b
En utilisant la formule de trigonométrie cos a + cos b = 2 cos
cos
2
trouve
( )
E0i
ωz −
−
→
→
B (z, t) = 2
ux
cos(ωt) cos
c
c
(
)
a−b
, on
2
L’onde résultante est stationnaire : le champ magnétique ne se propage pas
et oscille en quadrature (temporellement et spatialement) avec le champ
électrique.
ωπ
ωπ
→ −
−
→ −
−
→
→
c) E = 0 ⇐⇒ z = p
avec p ∈ Z et B = 0 ⇐⇒ z = (2p + 1)
c
2c
d) Voir les figures ci-dessous obtenues pour ωt = π/4.
4.
avec p ∈ Z
a) Au niveau de la surface du conducteur, le champ magnétique est discontinu : bien
que nul à l’intérieur du conducteur, il prend la valeur
E0i
−
→ −
→
B (0 , t) = 2
cos(ωt) −
uy
c
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dans le vide, au niveau de l’interface.
Le relation de discontinuité du champ magnétique s’écrit
E0i
−
→
−
→
→
→
→
→
→
B (z = 0− , t) − B (z = 0+ , t) = −µ0 −
ȷs ∧ −
u z =⇒ 2
cos(ωt) −
u y = −µ0 −
ȷs ∧ −
uz
c
On en déduit
E0i
1 −
→
−
→
→
ȷs = 2
cos(ωt) −
ux =2
E 0i (z = 0− , t)
µ0 c
µ0 c
−
Les courants surfaciques sont suivant le vecteur →
u x , c’est-à-dire dans la direction du
champ électrique.
b) Les courants de la grille se développent de la même manière que dans un plan métallique : le champ transmis est nul et la réflexion de l’onde est totale. L’onde est
totalement réfléchie par la grille.
c) Si les fils sont orientés suivant (Oy), les courants surfaciques ne peuvent pas se développer : tout se passe comme s’il n’y avait pas de conducteur. L’onde est totalement
transmise par la grille.
d) C’est le principe de l’atténuation d’une onde par sélection de la polarisation.
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11 Réflexion sur un métal réel
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