Correction - TD n˚12 - Ondes électromagnétiques dans le vide 1

Physique Correction TD no12 : Ondes électromagnétiques dans le vide
Correction - TD n˚12 - Ondes
électromagnétiques dans le vide
1 Equation de propagation du potentiel électromagnétique dans le
vide
1. La condition de jauge de Lorentz s’écrit :
div−→ A+µ0ϵ0
∂V
∂t = 0
2. Cherchons tout d’abord à déterminer l’équation différentielle vérifiée par le potentiel sca-
laire Vdans le vide :
0 =
MG
div−→ E=
def V
div 
−−−→
gradV −∂−→
A
∂t 
=
div−−→ grad=∆
−∆V−∂div−→
A
∂t =
jauge Lorentz −∆V+µ0ϵ0
∂2V
∂t2
On obtient donc une équation de D’Alembert avec la célérité :
c=1
√µ0ϵ0
∆V−µ0ϵ0
∂2V
∂t2= 0
3. Cherchons maintenant un équation différentielle vérifiée par le potentiel vecteur −→ Adans
le vide :
−→
rot −→ rot−→ A=
def −→ A
−→
rot−→ B=
MA
µ0ϵ0
∂−→ E
∂t
En utilisant la formule d’analyse vectorielle : −→ rot−→ rot =−−→ graddiv −−→ ∆et la définition de V:
−−→
grad div−→ A−−→ ∆−→ A=µ0−→ j−µ0ϵ0
−−→
grad ∂V
∂t +∂2−→
A
∂t2
Et en utilisant la jauge de Lorentz, on obtient encore la même équation de D’Alembert,
vectorielle cette fois-ci :
−→
∆−→ A−µ0ϵ0
∂2−→ A
∂t2=−→
0
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2 Ondes sphériques
On considère une région de l’espace vide de charges et de courants située autour d’une source
de champ électromagnétique à symétrie sphérique. On cherche à déterminer l’expression générale
des ondes émises par la source dans la zone vide.
1. L’équation vérifiée par les composantes du champ électromagnétique est l’équation de
D’Alembert, où cest la vitesse de la lumière dans le vide. Par exemple pour la composante
radiale du champ électrique :
∆Er−1
c2
∂2Er
∂t2= 0
2. La source étant à géométrie sphérique, le champ créé est également à symétrie sphérique
autour d’un point Oet est donc invariant par rotation de θou φautour du point O. On
recherche donc Ersous la forme Er(r, t).
3. En utilisant le formulaire d’analyse vectorielle, l’équation de D’Alembert devient :
1
r2
∂
∂r r2∂Er ∂r −1 c2∂2Er ∂t2= 0
4. Recherchons une solution de cette équation sous la forme Er(r, t) = h(r, t)
r. L’équation
précédente devient :
∂2h
∂r2−1 c2
∂2h
∂t2= 0
, donc hest solution de l’équation de D’Alembert undimensionnelle résolue dans le premier
chapitre sur les ondes, de sorte qu’on peut écrire directement que hest une superposition
des deux ondes suivantes :
h(r, t) = f(r−ct) + g(r+ct)
Finalement, on en déduit donc que :
Er(r, t) = f(r−ct)
r+g(r+ct) r
Remarque : On peut également injecter la solution proposée directement dans l’équation
et vérifier qu’elle convient.
5. A t=t0fixé, le champ électrique radial est constant sur la surface définie par r=cste,
de sorte que les surfaces d’onde sont sphériques, et l’onde est dite sphérique. Le premier
terme est progressif dans le sens de −→ ur, alors que le second dans le sens de −−→ ur, d’où la
dénomination d’ondes sphériques progressives.
3 Relations de dispersion dans le vide et dans un milieu conducteur
1. a) L’équation de D’Alembert, en utilisant la notation complexe, permet de montrer que :
(−i−→ k)·(−i−→ k)−→ E−1
c2(iω)2−→
E=−→ 0
−k2+ω2
c2= 0 donc k=±ω c
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b) En utilisant les relations obtenues à partir des équations de Maxwell-Ampère et
Maxwell-Faraday avec la notation complexe, on obtient, avec −→ k=k−→ u:
k−→ u∧k
ω−→
u∧−→ E=−ω
c2−→
E
et en utilisant le produit mixte :
k2
ω−→
u·(−→ u·−→ E)−−→ E·(−→ u·−→ u)=−ω
c2−→
E
et en utilisant la relation donnée par l’équation de Maxwell-Gauss :
−k2
ω=−ω c2donc k=±ω c
2. a) Sachant que le milieu est conducteur et que la loi d’Ohm locale s’écrit : −→ j=γ−→ E, on
en déduit les équation de Maxwell suivantes :
(MT )−i−→ k′·−→ B= 0
(MF )−i−→ k′·−→ E= 0
(MF )−i−→ k′∧−→ E=−iω−→ B
(MA)−i−→ k′∧−→ B=µ0γ−→ E−iωµ0ϵ0−→ E
b) Les deux premières équations permettent de montrer que −→ Eet −→ Bsont transverses.
c) Les deux dernières équations et la formule du produit mixte permettent de montrer
que la relation de dispersion dans le milieu conducteur est donnée par :
k′2=−iµ0γω +ω2
c2
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4 Ondes électromagnétiques planes progressives
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5 Décomposition d’une onde polarisée rectilignement en deux ondes
polarisées circulairement
1. Le champ électrique peut s’écrire sous la forme :
−→
E=E0cos αcos(kx −ωt)−→ uy+E0sin αcos(kx −ωt)−→ uz=E0cos(kx −ωt)−→ u
en posant : −→
u=cosα−→ uy+sinα−→ uz
L’onde est donc polarisée rectilignement. L’onde est représentée sur la figure ci-dessous.
2. −→ Epeut se décomposer en deux ondes polarisées circulairement en sens opposés. En effet,
dans la base (−→ ux,−→ u , −→ v), où −→ vest le vecteur unitaire perpendiculaire à −→ uxet −→ u, de telle
sorte que la base précédente soit directe, le champ électrique peut s’écrire :
−→
E=
0
E0cos(kx −ωt)
0
=
0
E0
2cos(kx −ωt)
E0
2sin(kx −ωt)
+
0
E0
2cos(kx −ωt)
−E0
2sin(kx −ωt)
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