SUJET D’EXAMEN
DIPLOME : Licence 2 Math´ematiques Dur´ee du sujet : 3h
Epreuve de : Analyse 2 Nom de la r´edactrice : Anne de Roton
Examen final □Documents autoris´es :
Premi`ere session ■Documents non autoris´es
Date : 13 janvier 2020 □Calculatrices autoris´ees
Horaire : 13H30–16H30 ■Calculatrice non autoris´ees
Le bar`eme (sur 30 pts) est donn´e `a titre indicatif et est susceptible d’ˆetre mo-
difi´e ult´erieurement. La qualit´e de la r´edaction et de la pr´esentation sera un ´el´ement
d´eterminant pour l’´evaluation de la copie.
Exercice 1 (8 pts/30)
D´eterminer la nature (convergente ou divergente) des int´egrales g´en´eralis´ees sui-
vantes :
(a) R+∞
0(ln t)e−tdt (b) R+∞
0
√tsin(1/t2)
ln(1+t)dt
(c) R+∞
0(1 + t2)t−3dt (d) R+∞
0
arctan t
t3+1 dt.
Exercice 2 (4 pts/30)
On pose
I=Zπ/6
0
cos2(t)
cos(2t)dt et J=Zπ/6
0
sin2(t)
cos(2t)dt.
1. Calculer I−J.
2. Calculer I+Jen posant u= tan(t).
3. En d´eduire Iet J.
Exercice 3 (2,5 pts)
D´eterminer la limite suivante :
lim
n→+∞Z3n+7
n
arctan(t)
tdt.
Exercice 4 (6 pts)
D´eterminer les rayons de convergence Rdes s´eries enti`eres suivantes.
(a)X
n≥1
cos nπ
2019zn; (b)X
n≥1
2(−1)nn
nzn; (c)X
n≥0
n!
1·3· · · (2n+ 1)zn.
Exercice 5 (3,5 pts)
1. D´eterminer le rayon de convergence de la s´erie enti`ere r´eelle
X
n≥0
nxn−1
et exprimer sa somme en termes de fonctions usuelles.
2. D´eterminer le rayon de convergence de la s´erie enti`ere r´eelle
X
n≥0
(−1)n+1nx2n+1
et exprimer sa somme en termes de fonctions usuelles.
Exercice 6 (6 pts)
On d´efinit pour t∈]−1,1[, f(t) = 1−t2
1−t6.
1. Rappeler le d´eveloppement en s´erie enti`ere de 1/(1 −x) sur ] −1,1[.
2. En utilisant la question pr´ec´edente, d´eterminer le d´eveloppement en s´erie
enti`ere de fsur ] −1,1[.
3. Montrer que pour tout x∈Rl’int´egrale impropre suivante converge
F(x) = Zx
−∞
dt
1 + t2+t4
et d´efinit une fonction de classe C1sur Rdont on exprimera la d´eriv´ee en
fonction de f.
4. D´eterminer le d´eveloppement en s´erie enti`ere de Fsur ] −1,1[ en fonction de
F(0).
5. Calculer F(0).
1
/
2
100%
