Point de vue séries formelles des nombres p

Point de vue séries formelles des nombres p-adiques
Bertin DIARRA
Introduction :
Les nombres p-adiques ont été introduits par K. Hensel (1897) en analogie avec les séries
formelles. En 1975, F. Faltin et al. ont montré dans [2], que cette analogie n’était pas fortuite. Ils
ont donné une contruction des nombres réels et p-adiques comme quotient, respectivement d’un
sous-anneau de l’anneau des séries formelles de Laurent ZZ((X)) et de ZZ((X)). La construction des
nombres p-adiques ainsi obtenue est un processus de division euclidienne par l’élément irréductible
p − X de ZZ((X)) et par passage au quotient. De plus, ils montrent que l’anneau ZZ((X)) est un
anneau euclidien. Ce qui était déjà un fait bien connu, voir par exemple les articles [1] et [4] de F.
Dress et P. Samuel. Plus récement, A. Robert indique dans son livre [3]-Chap. I-4.8, que l’anneau
des entiers p-adiques ZZp est un anneau quotient de ZZ[[X]].
Nous reprenons la construction ci-dessus et montrons que pour chaque élément irréductible
b de ZZ((X)) la fonction d’ordre de ZZ((X)) induit sur le corps quotient A(b) une norme qui en
fait un corps normé ultramétrique complet. Nous indiquons dans quels cas un tel corps A(b) est
de caractéristique p 6= 0. Dans les autres cas, on obtient des corps qui sont les corps p-adiques
Q
l p ou leurs extensions. Nous donnons la construction de Q
l p faite par Faltin et al. et ensuite des
exemples simples d’extensions de Q
l p.
I-
Séries formelles de Laurent
Soit K un anneau commutatif unitaire, d’unité 1.
Considérons S = { a = (an )n∈ZZ ∈ K ZZ / il existe n(a) ∈ ZZ tel que an = 0, ∀n < n(a) }.
On voit facilement que S muni de l’addition : (an )n∈ZZ + (bn )n∈ZZ = (an + bn )n∈ZZ est un
sous-groupe du groupe additif K ZZ .
Définissons pour a = (an )n∈ZZ et b = (bn )n∈ZZ ∈ S, le produit a · b = c tel que c = (cn )n∈ZZ , où
X
cn =
aj bn−j .
j∈ZZ
On vérifie d’une part que la somme donnant cn est finie pour tout n ∈ ZZ et d’autre part que
cn = 0, ∀n < n(a) + n(b). Ainsi c ∈ S.
1
On voit alors que S muni de l’addition et de la multiplication ci-dessus est un anneau commutatif unitaire d’unité 1 = (δ0,n )n∈ZZ , où δ0,n est le symbole de Kronecker, δ0,n = 1, si n = 0 et
δ0,n = 0, si n 6= 0. Posons X = (δ1,n )n∈ZZ ; alors X n = (δn,m )m∈ZZ .
Soient a = (an )n∈ZZ ∈ S et n(a) le plus petit entier n tel que an 6= 0. On peut écrire
X
formellement a =
an X n .
n≥n(a)
On pose alors S = K((X)) et on dit que c’est l’anneau des séries formelles de Laurent à
X
cœfficients dans K. L’anneau usuel K[[X]] des séries formelles a =
an X n est un sous-anneau
n≥0
unitaire de K((X)).
S
Considérons donc l’application vX : K((X)) −→ ZZ {∞} qui à a =
X
an X n associe
n≥n(a)
vX (a) = n(a), lorsque a 6= 0 et vX (0) = ∞.
Par convention, on pose n + ∞ = ∞, ∀n ∈ ZZ et ∞ + ∞ = ∞.
Lemme 1 :
S
L’application vX : K((X)) −→ ZZ {∞} est telle
(i) vX (a + b) ≥ min(vX (a) , vX (b)), ∀a, b ∈ K((X)).
(ii)
vX (a · b) ≥ vX (a) + vX (b), ∀a, b ∈ K((X)).
Si K est intègre, on a
(ii0 )
vX (a · b) = vX (a) + vX (b), ∀a, b ∈ K((X)).
De plus K((X)) est un anneau intègre .
Démonstration :
(α)
X
Soient a =
X
an X n , b =
n≥n(a)
vX (b) = n(b), on a a + b =
bn X n ∈ K((X)), supposons vX (a) = n(a) ≤
n≥n(b)
X
(an + bn )X n =
n∈ZZ
X
(an + bn )X n et vX (a + b) ≥ n(a) =
n≥n(a)
min(vX (a) , vX (b)).
X
X
Comme a · b =
cn X n , avec cn =
aj bn−j , on a cn = 0, ∀n < n(a) + n(b) et cn(a)+n(b) =
n∈ZZ
j∈ZZ
an(a) bn(b) . Ainsi vX (a + b) ≥ vX (a) + vX (b).
(β)
Si K est intègre, par définition de n(a), on a n(a) 6= ∞, lorsque a 6= 0. Alors si a et b
sont deux éléments non nuls de K((X)), on a an(a) bn(b) 6= 0 et vX (a · b) = vX (a) + vX (b).
Si l’un des éléments a ou b est nul, on a a · b = 0 et vX (a · b) = vX (0) = ∞. Doù (ii0 ).
Alors, pour a et b ∈ K((X)), non nuls, vX (a · b) = vX (a) + vX (b) 6= ∞. Ainsi a · b 6= 0 et
K((X)) est intègre.
u
t
2
Considérons un nombre réel ρ fixé, 0 < ρ < 1, et posons pour a ∈ K((X)), |a| = ρvX (a) , si
a 6= 0 et |0| = 0. Alors |a| = 0 ⇐⇒ a = 0 et on a |X| = ρ.
On déduit du Lemme 1 que l’on a :
(1)
|a + b| ≤ max(|a| , |b|), ∀a, b ∈ K((X)).
(2)
|a · b| ≤ |a||b|, ∀a, b ∈ K((X)).
(20 )
|a · b| = |a||b|, ∀a, b ∈ K((X)), lorsque K est intègre.
Posons pour a et b ∈ K((X)), d(a, b) = |a − b|. On définit ainsi sur K((X)) une distance et
cette distance est ultramétrique, c’est-à-dire
(3)
d(a, c) ≤ max(d(a, b) , d(b, c)), ∀a, b, c ∈ K((X)).
D’autre part, puisque |a · b| ≤ |a||b|, on voit aussitôt que K((X)) est un anneau topologique. Il
suffit de vérifier que la multiplication K((X)) × K((X)) −→ K((X)) : (a, b) −→ a · b est continue.
Ce qui découle de l’identité : a · b − a0 · b0 = a(b − b0 ) + (a − a0 )b0 .
N.B. 1 :
(i) a ∈ K[[X]] ⇐⇒ |a| ≤ 1.
[
(ii) K((X)) =
X −n K[[X]].
n≥0
Lemme 2 :
L’anneau K((X)), muni de la distance : d(a − b) = |a − b| est un anneau topologique complet.
De plus la suite décroissante des idéaux (X n K[[X]])n≥0 de K[[X]] est un système fondamental
de voisinages de 0 pour la topologie induite par d, appelée la topologie X-adique .
Démonstration :
(1)
(X n K[[X]])n≥0 est un système fondamental de voisinages de 0.
En effet, d’une part X n K[[X]] = { a ∈ K((X)) / |a| ≤ |X|n = ρn }.
D’autre part, considérant 0 < ε < 1, il existe un entier n ≥ 0, tel que ρn+1 < ε ≤ ρn . Alors
X n+1 K[[X]] = { a ∈ K((X)) / |a| ≤ |X|n+1 = ρn+1 } ⊂ { a ∈ K((X)) / |a| < ε }.
(2)
-(i)-
Vérifions que (K((X)), d) est complet.
Soit (a(j))j≥0 une suite de Cauchy dans K((X)). Pour tout ε > 0, il existe un entier jε tel
que pour tous j, k ≥ jε , on a |a(j) − a(k)| < ε.
En particulier, pour tout entier s ≥ 0, il existe js tel que pour j, k ≥ js , on a
|a(j) − a(k)| ≤ ρs+1 = |X|s+1 .
Pour s = 0, on a |a(j) − a(j0 )| ≤ |X|, ∀j ≥ j0 . Ainsi, on a |a(j)| ≤ max(|a(j0 )| , |X|), ∀j ≥ j0
et |a(j)| ≤ max(|X| , |a(j0 )|, · · · , |a(0)|) = |X|q , ∀j ≥ 0.
D’où |X −q a(j)| ≤ 1 et b(j) = X −q a(j) ∈ K[[X]], ∀j ≥ 0, avec |b(j)−b(k)| = |X −q ||a(j)−a(k)|.
3
Il vient que (b(j))j≥0 est une suite de Cauchy dans K[[X]] et il suffit de montrer que K[[X]]
est complet.
-(ii)-
Soit donc (a(j))j≥0 une suite de Cauchy dans K[[X]], a(j) =
X
an (j)X n .
n≥0
Pour tout entier s ≥ 0, |a(j) − a(k)| ≤ ρ
s+1
s+1
= |X|
, ∀j, k ≥ js si et seulement si
a(j) − a(k) ∈ X s+1 K[[X]], ∀j, k ≥ js , ou encore si et seulement si
an (j) = an (k), ∀j, k ≥ js , ∀0 ≤ n ≤ s.
En particulier : an (j) = an (js ), ∀j ≥ js , ∀0 ≤ n ≤ s.
Posons qs = max jn . Pour 0 ≤ m ≤ n ≤ s, comme qs ≥ qn ≥ jn , ∀j ≥ qs ,
0≤n≤s
on a an (j) = am (j) = an (jn ).
X
Considérons a =
an (jn )X n .
n≥0
Comme pour j ≥ qs = max jn , on a an (j) = an (jn ), ∀0 ≤ n ≤ s, on obtient
0≤n≤s
X
a(j) − a =
(an (j) − an (jn ))X n , c’est-à-dire |a(j) − a| ≤ |X|s+1 = ρs+1 . D’où l’on déduit
n≥s+1
aussitôt que lim |a(j) − a| = 0 et lim a(j) = a ∈ K[[X]]. Il vient que K[[X]] est complet.
j→+∞
j→+∞
N.B. 2 :
(i) On a l’identification K[[X]] = K IN . Dire que K[[X]] est complet équivaut à dire que
K IN est complet, comme espace produit de l’espace complet K muni de la distance triviale
δ(a, a) = 0, δ(a, b) = 1, lorsque a, b ∈ K, a 6= b. La distance sur K IN est alors donnée pour
X
|a − b|
a = (an )n≥0 et b = (bn )n≥0 par δρ (a, b) =
ρn δ(an , bn ). De plus, |a − b| ≤ δρ (a, b) ≤
.
1−ρ
n≥0
(ii)
L’anneau des polynômes K[X] ( resp. des polynômes de Laurent K[X, X −1 ] ) est
dense dans K[[X]] ( resp. K((X)) ) .
Remarque 1 :
(i) La (pseudo-)valeur absolue | | sur K((X)) étant ultramétrique, une série
X
a(j) converge
j≥0
dans K((X)) si et seulement lim a(j) = 0.
j→+∞
(ii)
Soit a =
X
an X n ∈ K((X)), vX (a) = n(a). Alors a est inversible dans K((X)) si et
n≥n(a)
seulement si an(a) est inversible dans K. En particulier K((X)) est un corps si et seulement
si K est un corps.
Démonstration :
On va vérifier (ii).
4
Il est clair que pour tout entier n ∈ ZZ, X n est inversible dans K((X)).
X
Ainsi a =
an X n ∈ K((X)) est inversible si et seulement si α = X −n(a) a est inversible.
n≥n(a)
Posons α =
X
αn X n , où αn = an+n(a) .
n≥0
Si α est inversible, il existe β =
X
βn X n ∈ K[[X]] tel que αβ =
X X
(
αi βj )X n = 1.
n≥0 i+j=n
n≥0
Ainsi α0 β0 = 1 et an(a) = α0 est inversible dans K.
Réciproquement, supposons α0 = an(a) inversible dans K. Considérons γ = α0−1 α = 1 +
X
γn X n = 1 + g. On a |g| ≤ |X| = ρ < 1 et pour tout entier ` ≥ 1, |g ` | ≤ ρ` . Ainsi lim g ` = 0.
`→+∞
n≥1
Il vient que γ = 1 + g est inversible, d’inverse (1 + g)−1 =
X
(−1)` g ` . On en déduit que α est
`≥0
inversible, d’inverse α
II -
−1
=
α0−1 γ −1
et a est inversible, d’inverse a−1 = X −n(a) α−1 .
L’anneau ZZ((X)) et les corps des nombres p-adiques Q
lp
II - 1
Division euclidienne dans l’anneau ZZ((X))
Le groupe des unités ( = des éléments inversibles) de l’anneau ZZ((X)) est formé des séries de
X
Laurent a =
an X n ∈ ZZ((X)) telles que an(a) = ±1.
n≥n(a)
X
Posons pour a =
an X n ∈ ZZ((X)), a 6= 0, ω(a) = |an(a) |∞ ≥ 1, | |∞ étant la valeur
n≥n(a)
absolue usuelle et ω(0) = 0. On a pour a et b non nuls, ω(ab) = ω(a)ω(b) ≥ ω(a).
Lemme 3 : Soient a =
X
an X n et b =
n≥n(a)
X
bn X n ∈ ZZ((X)), b 6= 0.
n≥n(b)
Il existe q, r ∈ ZZ((X)), tels que :
a = bq + r, avec 0 ≤ ω(r) ≤ ω(b) − 1 .
Démonstration :
-(i)-
Considérons a =
X
n≥0
an X n et b =
X
bn X n ∈ ZZ((X)) tels que vX (a) = 0 = vX (b).
n≥0
Alors a0 et b0 ∈ ZZ sont non nuls et ω(b) = |b0 |∞ ≥ 1.
•
Par division euclidienne dans ZZ, il existe q0 et r0 ∈ ZZ, uniques tels que a0 = b0 q0 + r0 , et
0 ≤ r0 ≤ |b0 |∞ − 1.
5
•
De la même manière, considérant a1 − b1 q0 ∈ ZZ, il existe q1 et r1 ∈ ZZ, uniques tels que
a1 − b1 q0 = b0 q1 + r1 , et 0 ≤ r1 ≤ |b0 |∞ − 1.
Ainsi a1 = b1 q0 + b0 q1 + r1 , 0 ≤ r1 ≤ |b0 |∞ − 1.
•
aj =
j
X
Supposons avoir déterminé pour 0 ≤ j ≤ n − 1, les entiers q0 , · · · , qj et rj tels que
b` qj−` + rj , 0 ≤ rj ≤ |b0 |∞ − 1.
`=0
Considérant comme ci-dessus, an −
n
X
b` qn−` ∈ ZZ, il existe qn et rn ∈ ZZ, uniques tels que
`=1
an −
n
X
b` qn−` = b0 qn + rn , et 0 ≤ rn ≤ |b0 |∞ − 1, c’est-à-dire an =
`=1
n
X
b` qn−` + rn .
`=0
Posant q =
X
qn X n et r =
n≥0
X
rn X n , on a a = bq + r, avec r = 0 ou ω(r) ≤ ω(b) − 1.
n≥0
De façon générale, les éléments a et b s’écrivent sous la forme a = X m α, b = X k β, où
X
X
m = vX (a), k = vX (b) et α =
an X n , β =
bn X n , avec a0 et b0 non nuls. Il existe
-(ii)-
n≥0
n≥0
donc Q et R ∈ ZZ[[X]] tels que α = βQ + R, 0 ≤ ω(R) ≤ |b0 |∞ − 1.
On en déduit aussitôt que a = X m α = X m βQ + X m R.
Posant q = X m−k Q et r = X m R, on obtient a = bq + r, avec r = 0, ou 0 < ω(r) ≤ ω(b) − 1.
De plus vX (r) ≥ vX (a).
Remarque 2 :
(i)
L’anneau ZZ((X)) est un anneau euclidien de stathme ω.
X
En fait, on a démontré que a = bq + r, avec r =
rn X n , tel que
n≥n(a)
0 ≤ rn ≤ ω(b) − 1, ∀n ≥ n(a).
b est inversible dans ZZ((X)) ⇐⇒ ω(b) = 1. Ainsi dans la division euclidienne de a par
X
b, on a r =
rn X n , avec 0 ≤ rn ≤ ω(b) − 1 = 0. Alors, r = 0 et a = bq.
(ii)
n≥n(a)
N.B. 3 :
De façon générale, si K est un anneau euclidien, alors K((X)) est un anneau euclidien, la
réciproque étant vraie. ( cf. [ 1] et [ 2] ).
Corollaire :
Dans l’anneau intègre ZZ((X)), tout idéal J est principal : J = b·ZZ((X)) et l’on peut supposer
vX (b) ≥ 0 .
De plus J est fermé dans ZZ((X)) .
Démonstration :
6
Soit b ∈ J tel que ω(b) est minimal. Soit a ∈ J , de division euclidienne a = bq + r, avec
ω(r) ≤ ω(b) − 1. Comme r = a − bq ∈ J et ω(b) est minimal, on a nécessairement ω(r) = 0. Ce
qui n’est possible que si r = 0. Ainsi a ∈ b · ZZ((X)) et J ⊆ b · ZZ((X)). Comme b · ZZ((X)) ⊆ J ,
on a J = b · ZZ((X)).
Soit c ∈ ZZ((X)) adhérent à J . Il existe (cn )n≥0 ∈ J telle que
lim cn = c. Mais J =
n→+∞
b · ZZ((X)), ainsi cn = bdn et |cn − cm | = |b||dn − dm |. Il vient que (dn )n≥0 est une suite de Cauchy
et converge donc dans ZZ((X)). D’où c = lim bdn = bd ∈ J .
n→+∞
N.B. 4 :
Dans le corollaire ci-dessus, on peut supposer que le générateur b =
X
bn X n de l’idéal J
n≥n(b)
est tel que bn(b) ≥ 1, c’est-à-dire ω(b) = bn(b) et de plus que n(b) = 0.
Noter que b inversible ⇐⇒ J = ZZ((X)). t
u
Disons que b ∈ ZZ((X)) est irréductible, si b est non inversible et si toute décomposition de b
en produit b = cd est telle que c ou d est une unité de ZZ((X)).
Lemme 4 :
(i) Soit b un élément de ZZ((X)) tel que ω(b) = p est un nombre premier, alors b est
irréductible et b est produit d’une unité de ZZ((X)) et d’un élément de la forme p + c, où
vX (c) ≥ 1 .
(ii) Si b est un élément irréductible de ZZ((X)), alors ω(b) est une puissance d’un nombre
premier .
(iii)
Tout idéal maximal M de ZZ((X)) est de la forme M = b·ZZ((X)), où b est irréductible.
Démonstration :
-(i)- Rappelons que pour a et b ∈ ZZ((X)), on a ω(ab) = ω(a)ω(b).
Soit b ∈ ZZ((X)) tel que ω(b) = p est un nombre premier. Soit b = cd une décomposition en
facteurs. Comme ω(b) est premier et ω(b) = ω(c)ω(d): ou bien ω(c) = 1 et c est inversible, ou bien
c’est ω(d) qui est égal à 1 et d est inversible. Ainsi b est irréductible.
X
Soit donc b = X n(b)
bn X n tel que |b0 |∞ = ω(b) = p est un nombre premier. Ainsi, b0 = ±p
n≥0
et b = ±X n(b) (p + c), où c ∈ ZZ((X)) est tel que vX (c) ≥ 1.
X
(ii) Soit b = X n(b)
bn X n tel que ω(b) n’est puissance d’aucun nombre premier.
n≥0
Comme ω(b) = |b0 |∞ , l’entier b0 n’est puissance d’aucun nombre premier. Soit alors b0 = m`
une décomposition de b0 tel quel (m, `) = 1. Ainsi, il existe c1 et d1 ∈ ZZ tels que b1 = md1 + `c1 .
De la même manière, il existe c2 et d2 ∈ ZZ tels que b2 − c1 d1 = md2 + `c2 .
7
Ayant déterminé c1 , c2 , · · · , cn−1 et d1 , d2 , · · · , dn−1 , considérant bn −
n−1
X
cj dn−j , il existe cn
j=1
et dn ∈ ZZ tels que bn −
n−1
X
cj dn−j = mdn + `cn .
j=1
Considérons alors les séries formelles c = X n(b)
X
cn X n et d =
n≥0
X
dn X n , où c0 = m et
n≥0
d0 = `. On a ω(c) = |m|∞ ≥ 2 et ω(d) = |`|∞ ≥ 2. Il vient que c et d ne sont pas des unités de
X
ZZ((X)). Puisque bn =
ci dj , on a b = cd et b n’est pas irréductible.
i+j=n
-(iii)-
Soit M = b · ZZ((X)) un idéal maximal. Si c ∈ ZZ((X)) divise b, on a b = cd. Alors
b ∈ c · ZZ((X)) et l’on a M ⊆ c · ZZ((X)). Ainsi, ou bien M = c · ZZ((X)) et c = bf = cdf =⇒
df = 1, ou bien c · ZZ((X)) = ZZ((X)) et il existe g tel que cg = 1. Il vient que c ou d est une
unité et b est irréductible.
Réciproquement, soit b un élément irréductible de ZZ((X)), si b · ZZ((X)) ⊆ c · ZZ((X)), alors
b = cd, ou bien d est une unité et b · ZZ((X)) = c · ZZ((X)), ou bien c est une unité et c · ZZ((X)) =
ZZ((X)). Il vient que b · ZZ((X)) est un idéal maximal de ZZ((X)).
Remarque 3 :
Soit p un nombre premier. Tout élément b de ZZ((X)) de la forme p` +
X
bn X n , ` ≥ 2, tel
n≥1
que (p, b1 ) = 1, est irréductible .
Démonstration : Avec les hypothèses ci-dessus, supposons b = cd, c =
X
cn X n , d =
n≥0
On a p` = c0 d0 et bn =
X
X
dn X n .
n≥0
ci dj . Alors c0 = pk , d0 = pm , k + m = `. Ainsi b1 = c0 d1 + c1 d0 =
i+j=n
k
m
p d1 + p c1 . Si l’on suppose min(k, m) ≥ 1, on aurait b1 ≡ 0 (mod p ); ce qui est absurde. Ainsi
min(k, m) = 0 et c0 = 1 ou d0 = 1, c’est-à-dire c ou d est inversible.
N.B. 5 :
-(i)-Il est clair que pour ` ≥ 2, p` − X ` = (p − X)
`−1
X
p`−j−1 X j n’est pas irréductible.
j=0
-(ii)- Soit b = p` + c où ` ≥ 2 et vX (c) ≥ 1. À quelles conditions nécessaires et suffisantes
portant sur c a-t-on b irréductible ?
Exemples : de division euclidienne
Exemple 1: Soient m ∈ ZZ et b =
X
bn X n ∈ ZZ((X)) tel que ω(b) = b0 ≥ 2.
n≥0
8
On a m = bq + r =
X
X X
bi qj )X n +
rn X n , 0 ≤ rn ≤ b0 − 1. Ainsi, m = b0 q0 + r0 et
(
n≥0 i+j=n
X
n≥0
bi qj + rn = 0, ∀n ≥ 1.
i+j=n
[ bm0 ],
Donc q0 =
r0 = m −
b0 [ bm0 ],
q1 =
[ −bb10q0 ], · · · · · · , qn
=
[ Bb0n ],
où Bn = −
n
X
bi qn−i , · · · · · ·
i=1
et [ ] = partie entière.
Exemple 2:
Considérons m ∈ ZZ, m ≥ 2.
X
X
X
Tout a =
an X n se décompose sous la forme a = m ·
qn X n +
rn X n , 0 ≤
n≥n(a)
n≥n(a)
[ amn ], rn
n≥n(a)
m[ amn ].
rn ≤ m − 1. Ainsi, an = mqn + rn et l’on a qn =
= an −
L’anneau quotient ZZ((X)) mZZ((X)) est isomorphe à l’anneau ZZ mZZ ((X)) des séries
formelles de Laurent à cœfficients dans l’anneau quotient ZZ mZZ .
En particulier, si m = p est un nombre premier, on a ZZ((X)) pZZ((X)) = IFp ((X)), le corps
des séries formelles de Laurent à cœfficients dans le corps fini IFp = ZZ pZZ .
II - 2
Q
l p comme quotient de ZZ((X))
X
Soient b =
bn X n ∈ ZZ((X)) non inversible et soit J (b) = b · ZZ((X)) l’idéal engendré par
n≥n(b)
b. On peut supposer que vX (b) = 0 et que ω(b) = b0 , donc b0 ≥ 2.
Considérons sur l’anneau quotient A(b) = ZZ((X)) J (b) la (semi)-norme quotient définie pour
a ∈ A(b), la classe de a ∈ ZZ((X)) modulo J (b), par kak = inf |a − c|.
c∈J (b)
Puisque J (b) est fermé dans ZZ((X)), kak = 0 ⇐⇒ a = 0. De plus on a :
(i)
k1k = 1
(ii)
ka + bk ≤ max(kak , kbk)
(iii)
kabk ≤ kak kbk
Proposition 1:
(i)
L’anneau quotient A(b) = ZZ((X))
J (b)
est complet
(ii)
Si b est irréductible, alors :
9
muni de la norme quotient kak = inf |a − c|
c∈J (b)
ou bien le corps normé complet A(b) est isomorphe à un corps de séries formelles de Laurent
IFp ((X)) où IFp est le corps fini à p éléments; p étant un nombre premier.
ou bien A(b) contient un sous-corps isomorphe à un corps de nombres p-adiques Q
l p.
Démonstration:
• La démonstration de (i) est classique
Soit (an )n≥1 une suite de Cauchy dans A(b). Alors pour tout entier k ≥ 1, il existe un entier
1
1
nk tel que pour tous m ≥ nk , n ≥ nk , on a kan − am k < k ; en particulier kan − ank k < k .
2
2
1
Choisissons la suite des entiers nk tels que nk+1 > nk . Ainsi kank+1 − ank k < k .
2
Considérons, pour n ≥ 0, an ∈ ZZ((X)) un représentant de an .
Puisque par définition, kank+1 − ank k = inf |ank+1 − ank − c| <
c∈J (b)
que |ank+1 − ank − ck | <
1
, il existe ck ∈ J (b) tel
2k
1
1
1
+ k = k−1 .
k
2
2
2
Posons b0 = an1 , bk = ank+1 − ank − ck , ∀k ≥ 1, alors b0 = an1 et bk = ank+1 − ank .
X
1
Puisque |bk | < k−1 , ∀k ≥ 1, la série de nombres réels
|bk | est convergente. Ainsi,
2
k≥0
X
X
comme (ZZ((X)) , | |) est complet, la série
bk converge dans ZZ((X)), de somme a =
bk =
k≥0
lim
k→+∞
k−1
X
k≥0
b` .
`=0
Puisque l’application canonique ϕ : ZZ((X)) −→ A(b) est un morphisme continu d’anneaux
topologiques, on a a = ϕ(a) = ϕ( lim
k→+∞
k−1
X
bj ) = lim
j=0
k→+∞
k−1
X
ϕ(bj ).
j=0
Mais ϕ(b0 ) = an1 et ϕ(bj ) = anj+1 −anj , ∀j ≥ 1, ainsi
k−1
X
j=0
ϕ(bj ) = an1 +
k−1
X
(anj+1 −anj ) = ank
j=1
et a = lim ank .
k→+∞
La suite de Cauchy (an )n≥1 , ayant une sous-suite convergente est convergente telle que
lim an = a. Il vient que A(b) est complet.
n→+∞
•
-(ii)- Supposons donc b irréductible. On peut considérer que b est de la forme b =
X
= p` +
bn X n = p` + X ν c, ` ≥ 1, où p est un nombre premier. Alors, l’anneau quotient
n≥ν
A(b) est un corps.
-(a)-
Ou bien le corps A(b) est de caractéristique p 6= 0. Dans ces conditions, p est un
10
élément de l’idéal maximal J (b) = b · ZZ((X)). Ce qui équivaut au fait que J (b) = p · ZZ((X)).
D’où l’on déduit ` = 1, p|c et A(b) = IFp ((X)).
Ou bien le corps A(b) est de caractéristique 0.
T
Ainsi b = p` + X ν c, p 6 |c. De plus ZZ J (b) = (0).
X
T
En effet, considérons α ∈ ZZ J (b), alors on a α = (p` + X ν c)
dn X n et α = p` d0 , d0
-(b)-
n≥0
entier.
Supposons α 6= 0. Soit s le plus grand entier positif tel que α = ps` β, β entier. Comme J (b)
est maximal et puisque A(b) est de caractéristique 0, on a d’une part p 6∈ J (b). D’autre part,
β ∈ J (b), d’où β = p` δ0 et p(s+1)` divise α. Ce qui contredit la définition de s. Donc α = 0 et l’on
a une injection canonique de ZZ dans A(b).
ν
ν
Dans A(b), on a p` = −X · c. Ainsi kp` k ≤ kX k · kck ≤ |X|ν et pour n entier positif, on a
nν
k · kcn k ≤ |X|nν . Il vient que lim kpn` k = 0. Ecrivant tout entier n ≥ 0 sous la
n→+∞
hni
et 0 ≤ s(n) ≤ ` − 1, on obient kpn k ≤ kpm(n)` kkps(n) k ≤
forme n = m(n)` + s(n), où m(n) =
`
kpn` k ≤ kX
kpm(n)` k, on a donc aussi lim kpn k = 0.
n→+∞
Puisque la norme sur A(b) est ultramétrique, on a d’une part, pour α ∈ ZZ, kαk ≤ 1 et d’autre
X
part si (αn )n≥0 est une suite d’entiers, la série
αn pn converge dans A(b).
n≥0
On en déduit aussitôt que l’adhérence, dans le corps A(b), de l’anneau ZZ est égale à Λp =
X
{a =
αn pn , 0 ≤ αn ≤ p − 1}. C’est un anneau que l’on peut identifier à l’anneau des entiers
n≥0
p-adiques ZZp . Egalement, on peut identifier le corps des fractions de Λp au corps des nombres
p-adiques Q
l p.
Lemme 5 :
Soit b =
X
bn X n ∈ ZZ((X)), non inversible tel que b0 ≥ 2. Considérons pour a ∈ ZZ((X)),
n≥0
non nul, la division euclidienne a = bq + r de a par b, telle que r = X vX (r)
X
n≥0
b0 − 1, r0 6= 0; alors on a
kak = inf |r − c| = |r|.
c∈J (b)
n
De plus pour tout entier n, on a kX k = |X|n .
Démonstration :
Il est clair que pour a = bq + r, on a kak = krk. Soit c ∈ J (b).
(a)
Si |r| < |c|, on a |r − c| = |c| > |r| ≥ krk.
11
rn X n , 0 ≤ rn ≤
(b)
Si |c| < |r|, on a |r − c| = |r|.
Supposons |c| = |r|, comme c = bd et |b| = 1, on a |c| = |d|.
X
X
Posant m = vX (r) = vX (c) = vX (d), on a r = X m
rn X n , d = X m
dn X n et
(c)
n≥0
r − c = Xm
X
n≥0
X X
X
X
rn X n −
(
bi dj )X n = X m r0 − b0 d0 +
(rn −
bi dj )X n .
n≥0 i+j=n
n≥0
n≥1
i+j=n
Puisque r0 6= 0, on a 1 ≤ r0 ≤ b0 − 1; ainsi r0 − b0 d0 6= 0, sinon, on aurait r0 = b0 d0 ≥ b0 , ce qui
est absurde. Il vient que |r − c| = ρvX (r−c) = ρvX (r) = |r|.
On déduit de ce qui précède que krk = inf |r − c| = |r|.
u
t
c∈J (b)
|c|≤|r|
Théorème 1 :
Soit b ∈ ZZ((X)) irréductible de la forme b = p +
X
bn X n . Alors la norme kak = inf |a − c|
c∈J (b)
n≥ν
sur le corps quotient A(b) est une valeur absolue.
Démonstration :
Supposons donc b irréductible, de la forme b = p +
X
bn X n . Soient a et a0 dans ZZ((X))
n≥ν
0
0
de décompositions euclidiennes a = bα + r et a = bα + u. Alors aa0 ≡ ru ( mod. J (b) ).
X
X
Posant vX (r) = m , vX (u) = s, r = X m
rn X n , u = X s
un X n , où 0 ≤ rn , un ≤ p − 1,
n≥0

n≥0

on a ru = X m+s r0 u0 +
X X
(
ri uj )X n , avec 1 ≤ r0 , u0 ≤ p − 1. Soit uv = bδ + v, la
n≥1 i+j=n
division euclidienne de uv par b, on a v = X m+s
X
vn X n , avec 0 ≤ v0 ≤ p − 1 et r0 u0 ≡ v0
n≥0
( mod. p ); ainsi v0 6= 0. Comme aa0 = bβ + v et aa0 = a · a0 , on déduit du Lemme 5 que
ka · a0 k = kaa0 k = |v| = ρm+s = |r||u| = kakka0 k et k k est une valeur absolue du corps A(b).
u
t
Considérons à présent le cas simple où b = p − X = Π1 .
Pour tout a =
X
an X n ∈ ZZ[[X]], on a a = Π1 · q + r = (p − X)
n≥0
pq0 + r0 +
X
X
n≥0
qn X n +
X
rn X n =
n≥0
(pqn − qn−1 + rn )X n . D’où l’on déduit a0 = pq0 + r0 et an = pqn − qn−1 + rn , ∀n ≥ 1.
n≥1
Alors q0 = [ ap0 ], qn = [ an +qp n−1 ], ∀n ≥ 1 et r0 = a0 − p[ ap0 ], rn = an − pqn + qn−1 , ∀n ≥ 1.
X
De façon générale pour a = X n(a)
an X n ∈ ZZ((X)), on a a = Π1 · q + r, où
n≥0
12
vX (q) ≥ n(a), vX (r) ≥ n(a) et les cœfficients de q et r sont calculés comme ci-dessus.
Remarque 4 :
(i)
X
−1 = −Π1 ·
X n + (p − 1)
n≥0
(ii)
X
Xn
n≥0
Soit m un entier ≥ 1, de développement en base p, m =
t
X
αn pn , 0 ≤ αn ≤ p − 1.
n=0
On a m = Π1 ·
t−1
X
n
qn X +
n=0
t
X
n
αn X , avec qn =
n=0
t
X
α` p`−n−1 .
`=n+1
Démonstration :
Soit α ∈ ZZ, avec les notations ci-dessus, a0 = α, an = 0, ∀n ≥ 1, on obtient q0 = [ αp ], qn =
[ qn−1
p ], ∀n ≥ 1 et r0 = α − pq0 , rn = qn−1 − pqn .
qn−1
• En particulier pour a = −1, on a q0 = [ −1
p ] = −1, qn = [ p ], ∀n ≥ 1. Supposant, par
récurrence que qn−1 = −1, on a qn = [ −1
p ] = −1. Il vient que r0 = −1 + p et rn = −1 + p, ∀n ≥ 1.
D’où (i)
• Soit m =
t
X
αj pj , le développement en base p de l’entier m ≥ 1. On a q0 = [ m
p] =
j=0
t
X
αn pn−1 et r0 = m − pq0 = α0 . Comme q1 = [ qp0 ], on a q1 =
t
X
αn pn−2 et r1 = q0 − pq1 = α1 .
n=2
n=1
Supposons par récurrence que q`−1 =
t
X
αn pn−` , alors q` = [ q`−1
p ] =
n=`
t
X
αn pn−`−1 et r` =
n=`+1
q`−1 − pq` = α` .
Continuant le processus, on a pour ` ≥ t, q` = 0 et r` = 0 .
Ce qui achève la démonstration de (ii).
u
t
T
On sait que ZZ Π1 · ZZ((X)) = {0}. Ce qui se voit directement ici en remarquant que si
X
T
α ∈ ZZ Π1 · ZZ((X)), on a α = (p − X) ·
qn X n ⇐⇒ α = pq0 , pqn = qn−1 , ∀n ≥ 1. Il vient
n≥0
que α = p
n+1
qn ∈ p
n+1
ZZ, ∀n ≥ 0; d’où α = 0. t
u
On identifie donc ZZ à son image canonique dans A(Π1 ) et l’on a modulo Π1 , p = X. De plus
Q
l s’identifie à un sous-corps de A(Π1 ).
13
Théorème 2 : Faltin et al [ 2 ].
Le corps valué ultramétrique complet A(Π1 ) = ZZ((X))
J (Π1 )
est égal au corps des nombres
p-adiques Q
l p.
L’anneau de valuation de A(Π1 ) est égal à ZZ[[X]]
Π1 ·ZZ[[X]]
et s’indentifie à l’anneau des
entiers p-adiques ZZp .
Démonstration:
Rappelons que pour tout a = X n(a)
X
an X n ∈ ZZ((X)), où n(a) = vX (a), on a la décomposition
n≥0
euclidienne a = Π1 · q + r, avec r =
X
rn X n , 0 ≤ rn ≤ p − 1 et n(r) ≥ n(a). De plus, on a
n≥n(r)
kak = |r| = ρ
n(r)
. En particulier, comme p = p − X + X, on a kpk = |X| = ρ.
X
Ainsi on a dans A(Π1 ) la série convergente a =
rn pn .
n≥n(r)
Soit m ∈ IN, m =
t
X
αn pn le développement de m dans la base p. On sait que la division
n=0
euclidienne de m par Π1 est donnée par m = Π1 · q +
t
X
αn X n . Il vient que dans A(Π1 ), on a
n=0
m=
t
X
n
αn X =
t
X
αn pn .
n=0
n=0
n
X
Avec la division euclidienne ci-dessus de tout a ∈ ZZ((X)), on a a = lim
n→+∞
r` p` . Il vient
`=n(r)
que
[
p−n IN est dense dans A(Π1 ) et Q
l est aussi dense dans A(Π1 ).
n≥0
Comme kpk = ρ < 1, on déduit du théorème d’Ostrowski que la restriction à Q
l de la valeur
absolue k k est équivalente à la valeur absolue p-adique usuelle sur Q
l définie par |x|p = p−vp (x) .
On a donc l’identification A(Π1 ) = Q
l p.
D’autre part, on a kak = |r| ≤ 1 si et seulement si vX (r) = n(r) ≥ 0, en d’autres termes
X
si et seulement si r ∈ ZZ[[X]]. Ce qui équivaut à a =
rn pn ∈ ZZ[[X]] Π ·ZZ[[X]] , c’est-à-dire
1
n≥0
ZZ[[X]]
Π1 ·ZZ[[X]]
=
ZZp .
N.B. 6 :
Le sous-ensemble Rp = { r =
X
rn X n , 0 ≤ rn ≤ p − 1 } de ZZ((X)) est un système de
n≥n(r)
représentants de A(Π1 ) dans ZZ((X)) tel que Rp
T
14
J (Π1 ) = {0}.
u
t
Considérons pour tout entier ν ≥ 2, l’élément irréductible Πν = p − X ν de ZZ((X)).
Théorème 3 :
Le corps valué ultramétrique complet A(Πν ) est une extension valuée, totalement ramifiée de
1
Q
l p isomorphe à l’extension algébrique Q
l p [p ν ].
Démonstration :
T
Sachant que ZZ J (Πν ) = {0}, ce que l’on peut aussi vérifier directement, l’anneau ZZ
s’indentifie à son image canonique dans le corps valué complet A(Πν ); d’où une identification
canonique de Q
l à un sous-corps de A(Πν ).
Puisque dans A(Πν ) on a kpk = |X ν | = ρν < 1, on voit que la restriction de k k à Q
l est
équivalente à la valeur absolue p-adique usuelle de Q.
l L’adhérence de Q
l dans A(Πν ) s’identifie
donc canoniquement au corps des nombres p-adiques Q
l p.
X
Soit a = Πν · q +
rn X n , 0 ≤ rn ≤ p − 1, la division euclidienne par Πν de l’élément a de
n≥n(r)
ZZ((X)).
X
Posant X = πν , on a a =
rn πν n . De plus, comme πν ν = p, posant `(r) = [ n(r)
ν ], on a
n≥n(r)
a=
ν−1
X
j=0
πν
j
X
n≥`(r)
rnν+j πν
nν
=
ν−1
X
αj πν j , où αj =
j=0
X
rnν+j pn ∈ Q
l p.
n≥`(r)
1
Il vient que A(Πν ) est une extension finie de Q
l p de degré ν et est égal à Q
l p [p ν ].
X
Tout élément x de l’anneau des entiers de A(Πν ) s’écrit sous la forme x =
r n πν n ,
n≥0
0 ≤ rn ≤ p − 1. On en déduit aussitôt que le corps résiduel de A(Πν ) est égal à IFp et donc
A(Πν ) est une extension totalement ramifiée de Q
l p , d’uniformisante πν .
Scholie :
-I-(i)- Pour tout élément non inversible b de ZZ((X)), on a kA(b) \ {0}k = ρZZ .
X
Soit b un élément irréductible de ZZ((X)) de la forme b = p +
bn X n = p + X ν c. On déduit
n≥ν
de la division euclidienne que le corps résiduel du corps valué A(b) est égal à IFp . Dans le cas où
p 6 |c, le corps A(b) est une extension totalement ramifiée de Q
l p.
-(ii)-
Disons que deux éléments a et a0 non nuls de ZZ((X)) sont équivalents, a div. a0 , s’il
existe une unité u de ZZ((X)) telle que a = ua0 . On obtient ainsi une relation d’équivalence. Il
serait intéressant d’avoir un système de représentants des classes de cette relation d’équivalence.
15
-(iii)-
Les éléments irréductibles Π1 = p − X et Π01 = p + X ne sont pas div.-équivalents
mais les corps A(Π1 ) et A(Π01 ) sont tous deux égaux à Q
l p.
Considérant b = p +
X
, ( resp. b = p2 ± X), on voit également que A(b) = Q
l p.
(1 − X)2
A quelle(s) condition(s) deux éléments irréductibles non div.-équivalents définissent-ils le même
corps?
-IIPrenant à la place de ZZ, un anneau euclidien quelconque Λ, on peut construire comme cidessus des corps normés ultramétriques complets associés aux éléments irréductibles de Λ((X)). Il
serait intéressant d’étudier plus en avant l’exemple des anneaux des entiers des extensions quadratiques de Q
l qui sont des anneaux euclidiens.
Références
[1] F. DRESS, Stathmes euclidiens et séries formelles, Acta Arihmetica, XIX (1971), 261265.
[2]
F. FALTIN, N. METROPOLIS, B. ROSS and G.-C. ROTA, The real numbers as a
wreath product, Advances in Mathematics, 16 (1975), 278-304.
[3]
A. ROBERT, A course in p-adic analysis, GTM 198, Springer, New York, Berlin, 2000
[4]
P. SAMUEL, About euclidean rings, Jour. of Algebra, 19 (1971), 282-301.
LABORATOIRE DE MATHÉMATIQUES PURES
Université Blaise Pascal
Complexe Scientifique des Cézeaux
63177 AUBIÈRE Cedex
-
FRANCE
e-mail : [email protected]
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