Eléments d`algèbre générale

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Eléments d’algèbre générale
Relation d’équivalence
Exercice 1 [ 02643 ] [correction]
Soit Rune relation binaire sur un ensemble Eà la fois réflexive et transitive.
On définit les nouvelles relations Set Tpar :
xSy⇔(xRyet yRx)et xTy⇔(xRyou yRx)
Les relations Set Tsont-elles des relations d’équivalences ?
Exercice 2 [ 02644 ] [correction]
Soit Eun ensemble et Aune partie de E.
On définit une relation Rsur ℘(E)par :
XRY⇔X∪A=Y∪A
a) Montrer que Rest une relation d’équivalence
b) Décrire la classe d’équivalence de X∈℘(E)
Exercice 3 [ 02983 ] [correction]
On considère sur F(E, E)la relation binaire Rdéfinie par :
fRg⇔ ∃ϕ∈S(E)telle que f◦ϕ=ϕ◦g
a) Montrer que Rest une relation d’équivalence.
b) Décrire la classe d’équivalence d’une fonction donnée f∈S(E).
Exercice 4 [ 02984 ] [correction]
Soit Rune relation binaire réflexive et transitive.
On définit une relation Spar :
xSy⇔xRyet yRx
Montrer que Sest une relation d’équivalence et que Rpermet de définir une
relation d’ordre sur les classes d’équivalences de S.
Exercice 5 [ 02985 ] [correction]
Soit (G, ×)un groupe et Hun sous groupe de (G, ×).
On définit une relation binaire Rsur Gpar :
xRy⇔xy−1∈H
Montrer que Rest une relation d’équivalence et en décrire les classes
d’équivalence.
Exercice 6 [ 03453 ] [correction]
Soit (G, .)un groupe de cardinal 2n.
a) Justifier que l’on définit une relation d’équivalence Rsur Gen posant
xRy⇔x=you x=y−1
b) En déduire l’existence dans Gd’un élément d’ordre 2.
Exercice 7 [ 03243 ] [correction]
Soit Gun groupe multiplicatif de cardinal pαavec ppremier et α∈N?.
Montrer que
Z(G)6={1}
Groupes
Exercice 8 [ 00113 ] [correction]
Un sous-groupe d’un groupe produit est-il nécessairement produit de deux
sous-groupes ?
Exercice 9 [ 00114 ] [correction]
Soient Het Kdeux sous-groupes d’un groupe (G, ?).
A quelle condition l’ensemble H∪Kest-il un sous-groupe de (G, ?)?
Exercice 10 [ 03432 ] [correction]
Un sous-groupe Hde (G, .)est dit distingué si
∀x∈H, ∀a∈G, axa−1∈H
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a) Montrer que le noyau d’un morphisme de groupes au départ de (G, .)est
distingué.
b) Soient H, K deux sous-groupes de (G, .).
On suppose le sous-groupe Hdistingué, montrer que l’ensemble
HK ={xy/x ∈H, y ∈K}
est un sous-groupe de (G, .).
Exercice 11 [ 00115 ] [correction]
Un élément ad’un groupe (G, ?)est dit élément de torsion s’il existe n∈N?tel
que an=e.
Montrer que le sous-ensemble formé des éléments de torsion d’un groupe abélien
en est un sous-groupe.
Exercice 12 [ 00116 ] [correction]
Soient (G, ? )un groupe fini commutatif d’ordre net a∈G.
a) Justifier que l’application x7→ a?xest une permutation de G.
b) En considérant le produit des éléments de G, établir que an=e.
Exercice 13 [ 00117 ] [correction]
[Théorème de Lagrange]
Soit Hun sous-groupe d’un groupe (G, .)fini.
a) Montrer que les ensembles aH ={ax/x ∈H}avec a∈Gont tous le cardinal
de H.
b) Montrer que les ensembles aH avec a∈Gsont deux à deux confondus ou
disjoints.
c) En déduire que le cardinal de Hdivise celui de G.
d) Application : Montrer que tout élément de Gest d’ordre fini et que cet ordre
divise le cardinal de G.
Exercice 14 [ 00119 ] [correction]
Soit n∈Ntel que n>2. Déterminer les morphismes du groupe (Sn,◦)vers
(C?,×).
Exercice 15 [ 00120 ] [correction]
Soit n∈Ntel que n>3. On considère la transposition τ=1 2 et le n-cycle
χ=1 2 . . . n .
a) Justifier que l’ensemble {τ, χ}forme une partie génératrice de (Sn,◦).
b) Existe-t-il une partie génératrice de (Sn,◦)formée d’un seul élément ?
Exercice 16 [ 00121 ] [correction]
Soit Hl’ensemble des σ∈ Snvérifiant σ(k) + σ(n+ 1 −k) = n+ 1 pour tout
k∈ {1, . . . , n}.
Montrer que Hest un sous-groupe de (Sn,◦)
Exercice 17 [ 00122 ] [correction]
Les groupes (Q,+) et (Q?,×)sont-ils isomorphes ?
Exercice 18 [ 02363 ] [correction]
Quel est le plus petit entier ntel qu’il existe un groupe non commutatif de
cardinal n?
Exercice 19 [ 02366 ] [correction]
Montrer que nx+y√3/x ∈N, y ∈Z, x2−3y2= 1o
est un sous-groupe de (R?
+,×).
Exercice 20 [ 02368 ] [correction]
Soit nun entier naturel non nul, (e1, . . . , en)la base canonique de E=Rn.
Soit Snl’ensemble des permutations de {1,2, . . . , n}. Soit ti= (1, i).
Pour s∈ Sn, on définit us(ei) = es(i).
a) Montrer que (t2, t3, . . . , tn)engendre Sn.
b) Interpréter géométriquement uslorsque sest une transposition.
c) Soit s= (1 2 . . . n −1n). On suppose que sest la composée de p
transpositions. Montrer que p>n−1.
d) Quelle est le cardinal minimal d’une famille de transpositions génératrice de
Sn?
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Exercice 21 [ 02648 ] [correction]
Soit Gun groupe, Hun sous-groupe de G,Aune partie non vide de G. On pose
AH ={ah/a ∈A, h ∈H}. Montrer que AH =Hsi, et seulement si, A⊂H.
Exercice 22 [ 02948 ] [correction]
a) Montrer que tout sous-groupe additif de Rqui n’est pas monogène est dense
dans R.
b) Soit x∈R\Q. Montrer qu’il existe une infinité de (p, q)∈Z×N?tels que
x−p
q<1 q2
c) Montrer la divergence de la suite de terme général
un=1
nsin n
Exercice 23 [ 01479 ] [correction]
Soit Gle sous-groupe de GL2(R)engendré par les deux matrices Set Tsuivantes :
S=−1 0
0 1 ,T=1
√2−1 1
1 1 
Rappelons que c’est le plus petit sous-groupe de GL2(R)contenant Set T.
a) Avec le logiciel de calcul formel, créer les matrices S, T . Expliciter les éléments
du groupe hRiengendré par la matrice R=ST et préciser le cardinal de ce
sous-groupe de G.
Quelles sont les matrices SR et R7S?
b) Montrer que tout élément de Gest soit une puissance Rkde R, soit un produit
RkS. Préciser le cardinal nde G.
Dresser la liste de tous les éléments de Get déterminer la nature géométrique des
endomorphismes canoniquement associés dans l’espace euclidien R2.
c) La transformation φS:g7→ S.g définit une permutation de l’ensemble G.
A l’aide du logiciel de calcul formel, dresser la séquence des éléments de Get de
leurs images par φS.
Quelle est la signature de la permutation de G(qu’on peut identifier à l’ensemble
{1,2, . . . , n}) ainsi définie ?
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA
Exercice 24 [ 03199 ] [correction]
Soient A(1,0) et B(0,1). Les points M0(x0, y0)et M1(x1, y1)sont donnés.
On construit le point P0par les conditions :
- les droites (P0M0)et (Ox)sont parallèles ;
-P0∈(AB).
On construit le point Q0par les conditions :
- les droites (P0Q0)et (M1B)sont parallèles ;
-Q0∈(AM1).
Soit le point M2(x2, y2)tel que le quadrilatère (M0P0Q0M2)soit un
parallélogramme.
On pose
M2=M0? M1
a) Démontrer x2
y2!= x0+x1y0 y0y1!
b) Démontrer que la loi ?est associative, admet un élément neutre et que, si
y06= 0, le point M0admet un inverse.
c) On définit une suite de points (Mn)n∈Npar la donnée de M0, de M1et de la
relation de récurrence valable pour tout entier n>2
Mn=Mn−1? Mn−2
Déterminer ynen fonction de y0et de y1.
Exercice 25 [ 03256 ] [correction]
Soit Hun sous-groupe strict d’un groupe (G, ?). Déterminer le groupe engendré
par le complémentaire de Hdans G.
Exercice 26 [ 03292 ] [correction]
Soient aet bdeux éléments d’ordre respectifs pet qd’un groupe abélien (G, ?).
a) On suppose que pet qsont premiers entre eux.
Montrer que l’élément ab est d’ordre pq.
b) On ne suppose plus pet qpremiers entre eux.
L’élément ab est-il nécessairement d’ordre ppcm(p, q)?
Exercice 27 [ 03332 ] [correction]
Soient aet bdeux éléments d’ordre respectifs pet qd’un groupe abélien (G, ?).
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a) On suppose dans cette question seulement que pet qsont premiers entre eux.
Montrer que l’élément ab est d’ordre pq.
b) Soit dun diviseur de p. Montrer qu’il existe un élément d’ordre ddans (G, ?).
c) Existe-t-il dans Gun élément d’ordre m=ppcm(p, q)?
Exercice 28 [ 03368 ] [correction]
Soit ϕun morphisme d’un groupe fini (G, ?)vers (C?,×).
On suppose que ϕn’est pas une application constante. Calculer
X
x∈G
ϕ(x)
Groupe cyclique
Exercice 29 [ 03364 ] [correction]
Soit xest un élément d’un groupe cyclique de cardinal n. Calculer xn.
Exercice 30 [ 00123 ] [correction]
On désire établir que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est lui-même cyclique.
On introduit (G, ? )un groupe cyclique de générateur aet Hun sous-groupe de
(G, ? ).
a) Justifier l’existence d’un plus petit entier naturel non nul tel que an∈H.
b) Etablir qu’alors Hest le groupe engendré par an.
Exercice 31 [ 00124 ] [correction]
Soit Gun groupe cyclique de cardinal n.
Montrer, que pour tout diviseur d∈N?de n,Gpossède un et un seul sous-groupe
de cardinal d.
Exercice 32 [ 00125 ] [correction]
Soient Het Kdeux groupes notés multiplicativement.
a) Montrer que si hest un élément d’ordre pde Het kun élément d’ordre qde K
alors (h, k)est un élément d’ordre ppcm(p, q)de H×K.
b) On suppose Het Kcycliques. Montrer que le groupe produit H×Kest
cyclique si, et seulement si, les ordres de Het Ksont premiers entre eux.
Exercice 33 [ 02365 ] [correction]
[Groupe quasi-cyclique de Prüfer]
Soit pun nombre premier. On pose
Gp=nz∈C;∃k∈N, zpk= 1o
a) Montrer que Gpest un sous-groupe de (C?,×).
b) Montrer que les sous-groupes propres de Gpsont cycliques et qu’aucun d’eux
n’est maximal pour l’inclusion.
c) Montrer que Gpn’est pas engendré par un système fini d’éléments.
Exercice 34 [ 03444 ] [correction]
Soit nun entier >3.
a) Montrer que pour tout entier impair a, on a
a2n−2≡1 [2n]
b) Le groupe ((Z/2nZ)?,×)est-il cyclique ?
Exercice 35 [ 02505 ] [correction]
Soit
M=
0 1 (0)
......
(0) ...1
1 (0) 0
∈ Mn(C)
a) Calculer le polynôme caractéristique de M. La matrice Mest-elle
diagonalisable ? est-elle inversible ?
b) Soit G=Mk/k ∈Z. Montrer que Gest une groupe cyclique et préciser son
cardinal.
Exercice 36 [ 03715 ] [correction]
Soit (G, ?)un groupe cyclique à nélément engendré par a.
Pour r∈N?, on introduit l’application f:G→Gdéfinie par
∀x∈G, f(x) = xr
a) Vérifier que fest un endomorphisme de (G, ?).
b) Déterminer le noyau f.
c) Montrer que l’image de fest le sous-groupe engendré par adavec
d=pgcd(n, r).
d) Pour y∈G, combien l’équation xr=ypossède-t-elle de solutions ?
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Exercice 37 [ 03845 ] [correction]
Montrer que les sous-groupes finis du groupe (SO(2), ×) des rotations du plan
sont cycliques.
Anneaux
Exercice 38 [ 00126 ] [correction]
Soit f:C→Cun morphisme d’anneaux tel que
∀x∈R, f(x) = x
Montrer que fest l’identité ou la conjugaison complexe.
Exercice 39 [ 00127 ] [correction]
Soit aun élément d’un ensemble X.
Montrer l’application Ea:F(X, R)→Rdéfinie par Ea(f) = f(a)est un
morphisme d’anneaux.
Exercice 40 [ 00128 ] [correction]
Pour d∈N, on note
Ad=(x, y)∈Z2/d divise (y−x)
a) Montrer que Adest un sous anneau (Z2,+,×).
b) Inversement, soit Aun sous anneau de (Z2,+,×).
Montrer que H={x∈Z/(x, 0) ∈A}est un sous groupe de (Z,+).
c) En déduire qu’il existe d∈Ntel que H=dZet A=Ad.
Exercice 41 [ 01221 ] [correction]
Soient aet bdeux éléments d’un anneau (A, +,×). Montrer que si 1−ab est
inversible alors 1−ba l’est aussi.
Exercice 42 [ 03376 ] [correction]
Un anneau Aest dit régulier si
∀x∈A, ∃y∈A, xyx =x
On considère un tel anneau Aet l’on introduit
Z={x∈A/∀a∈A, ax =xa}
a) Montrer que Zest un sous-anneau de A.
b) Vérifier que Zest régulier.
Exercice 43 [ 03856 ] [correction]
On note Pl’ensemble des nombres premiers. On se propose d’établir l’existence
d’une correspondance bijective entre l’ensemble des sous-anneaux de l’anneau
(Q,+,×)et l’ensemble des parties de P.
Pour Aun sous-anneau de (Q,+,×), on note
P(A) = p∈ P/1
p∈A
a) Soient Aet Bsont deux sous-anneaux de (Q,+,×). Etablir
P(A) = P(B)⇒A=B
b) Soit Pun sous-ensemble de P. Déterminer un sous-anneau Ade (Q,+,×)
vérifiant P(A) = P.
c) Conclure.
Corps
Exercice 44 [ 00129 ] [correction]
Soit Aun anneau intègre fini. Montrer que Aest un corps.
(indice : on pourra introduire l’application x7→ ax pour a∈A, a 6= 0A)
Exercice 45 [ 00130 ] [correction]
Soit Kun corps fini commutatif. Calculer
Y
x∈K?
x
Exercice 46 [ 00132 ] [correction]
Soient K,Ldeux corps et fun morphisme d’anneaux entre Ket L.
a) Montrer que f(x)est inversible pour tout x∈Knon nul et déterminer f(x)−1.
b) En déduire que tout morphisme de corps est injectif.
Exercice 47 [ 00133 ] [correction]
a) Montrer que si pest nombre premier alors
∀k∈ {1, . . . , p −1}, p divise p
k!
b) En déduire que si Kest un corps de caractéristique p6= 0 alors
∀a, b ∈K,(a+b)p=ap+bp
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