TD2

Analyse fonctionnelle A. Leclaire
ENS Cachan M1 Hadamard 2016-2017
TD2
Exercice 1 Un cas particulier du théorème de Cauchy-Lipschitz
Soient Iun intervalle de R,Eun espace de Banach et f:I×E→Eune application continue.
On suppose que pour tout compact K⊂I, il existe k>0 tel que
∀t∈K,∀y,z∈E,kf(t,y)−f(t,z)k6kky−zk.(1)
On xe t0∈Iet y0∈E. On va montrer l’existence globale et l’unicité d’une solution de l’équation
diérentielle
y0=f(t,y)
avec condition initiale y(t0)=y0.
1) Soit Kun sous-intervalle compact de Ide longueur `, contenant t0et k>0 vériant (1).
Pour y∈C(K,E), on dénit F(y)∈C(K,E)par
F(y):t7−→ y0+Zt
t0
f(s,y(s))ds .
a) Montrer que yest solution sur Ksi et seulement si F(y)=y.
b) Montrer que pour p∈N, l’itérée Fpest lipschitzienne de rapport (k`)p
p!.
c) En déduire qu’il y a existence et unicité de la solution sur K.
2) Montrer que l’équation diérentielle admet une solution unique dénie sur tout l’intervalle I.
3) Soient A:I→L(E)et b:I→Econtinues. Montrer que l’équation diérentielle
y0=A(t)y+b(t)
avec condition initiale y(t0)=y0admet une unique solution dénie sur I.
Exercice 2 Précompacité et relative compacité
Soit Eun espace métrique complet et soit A⊂E.
1) Montrer que Aest précompacte si et seulement si Aest précompacte.
2) En déduire que Aest relativement compacte si et seulement si Aest précompacte.
3) À quelle condition Aest relativement compacte dans E=Rd?
Exercice 3 Normalité des espaces compacts
Soit Eun espace topologique séparé.
1) On xe x∈E. Montrer que si K⊂Eest un compact ne contenant pas x, il existe O1,O2ouverts
disjoints de Etels que x∈O1et K⊂O2. En déduire que Kest fermé dans E.
2) Soient deux compacts disjoints K1,K2⊂E. Montrer qu’il existe O0
1,O0 2ouverts disjoints de E
tels que K1⊂O0
1et K2⊂O0 2.
3) Montrer que si Eest compact alors il est normal, c’est-à-dire que si F1,F2sont des fermés
disjoints de E, alors il existe des ouverts disjoints O1,O2tels que F1⊂O1et F2⊂O2.
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Exercice 4 Tychono dénombrable
Soit (En,dn)n∈Nune suite d’espaces métriques et E=QEnmuni de la topologie produit O.
On introduit sur Ela distance ddénie par
∀x,y∈E,d(x,y)=
+∞
X
n=0
2−ndn(xn,yn)
1+dn(xn,yn).
1) Montrer que la distance δn=dn
1+dnsur Eninduit la même topologie que dn.
2) Montrer la topologie associée à dest bien la topologie produit.
3) On suppose que pour tout n,(En,dn)est compact. Montrer que (E,d)est compact.
Exercice 5 Théorème de Dini
Soit Kun espace topologique compact.
Soient fn:K→Rune suite de fonctions continues et f:K→Rcontinue.
On suppose que fn→fsimplement et que fn6fn+1.
Montrer que fn→funiformément sur K.
Exercice 6 Preuve du Théorème de Stone-Weierstrass
On rappelle le
Théorème de Stone-Weierstrass
Soit A ⊂ C(K,R)où Kest un espace métrique compact. On suppose que Aest une sous-algèbre
unitaire de C(K,R)qui sépare les points, c’est-à-dire
∀x,y∈K,x,y⇒ ∃f∈ A,f(x),f(y).
Alors Aest dense dans C(K,R).
Dans le présent exercice, on adopte les notations du théorème.
1) On dénit une suite (Pn)de polynômes par P0=0 et
∀n∈N,Pn+1(x)=Pn(x)+1
2x−Pn(x)2.
Montrer que (Pn)converge uniformément vers x7→ √xsur [0,1]. En déduire que pour tout R>0,
x7→ |x|est limite uniforme d’une suite de polynômes sur [−R,R].
2) Soit (f,д)∈ A2. Montrer que min(f,д)et max(f,д)sont dans A.
3) Soient a,bdeux éléments de K. Soient αet βdeux réels.
Montrer qu’il existe f∈ A telle que f(a)=αet f(b)=β.
4) Soit f∈C(K,R). Soit ε>0.
a) Soit x∈K. Montrer qu’il existe дx∈ A telle que
дx(x)=f(x)et ∀y∈K,дx(y)6f(y)+ε.
b) Montrer qu’il existe h∈ A telle que f−ε6h6f+ε. Conclure.
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Exercice 7 Autour de l’équicontinuité
Soient E,Fdes espaces métriques et A ⊂ C(E,F).
1) Montrer que si Aest nie, alors elle est équicontinue en tout point.
2) Montrer que si Ane contient que des fonctions k-lipschitziennes (avec k>0 xé), alors A
est uniformément équicontinue.
3) On suppose que Eest compact et que Aest équicontinue en tout point. Montrer qu’alors A
est uniformément équicontinue.
Exercice 8 Sur les hypothèses du théorème d’Arzela-Ascoli
En donnant des contre-exemples, on illustrera la nécessité des diérentes hypothèses du théo-
rème d’Arzela-Ascoli :
1) A(x)relativement compacte.
2) Aéquicontinue en tout point de K.
3) Kcompact.
Exercice 9 Locale Compacité, Compactication d’Alexandrov
On dit qu’un espace topologique est localement compact si tout point admet un système
fondamental de voisinages compacts.
1) Montrer qu’un espace compact Kest localement compact.
2) Montrer qu’un espace topologique Eest localement compact si et seulement si tout point admet
au moins un voisinage compact.
3) Soit (E,O)un espace topologique séparé.
On suppose que Eest localement compact mais pas compact.
On introduit un élément ∞<E, et on pose ˆ E=Et {∞}. On dénit alors ˆ O=O ∪ O∞où
O∞={ˆ E\K,Kcompact de E}.
a) Montrer que ˆ Oest une topologie sur ˆ E.
Montrer que la topologie induite par ˆ Osur Eest O.
b) Montrer que (ˆ E,ˆ O)est compact.
c) Montrer que ∞est un point d’accumulation de ˆ E.
d) Soit f:E→Rune fonction. Montrer que f(x)admet pour limite `quand x→ ∞ dans ˆ E
si et seulement si pour tout ε>0 il existe un compact Kde Etel que x∈E\K⇒ |f(x)−`|<ε.
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Correction :
Exercice 1 Un cas particulier du théorème de Cauchy-Lipschitz
1) a) Si yest solution de l’équation diérentielle, alors en particulier yest C1sur Ket, par le
théorème fondamental du calcul intégral,
y(t)−y(t0)=Zt
t0
y0(s)ds =Zt
t0
f(s,y(s))ds .
d’où F(y)=y.
Réciproquement, si F(y)=y, alors pour tout t∈K,y(t)=y0+Zt
t0
f(s,y(s))ds .Prenant
t=t0, on obtient déjà y(t0)=y0. De plus, comme fet ysont continues, s7→ f(s,y(s)) est aussi
continue et donc on obtient que yest C1sur Ket que pour tout t∈K,
y0(t)=f(t,y(t)) ,
ce qui donne que yest solution de l’équation diérentielle.
Remarque : Le lecteur attentif aura remarqué qu’on a utilisé ici des intégrales de fonctions conti-
nues sur un segment de R, à valeurs dans un espace de Banach. On peut construire ces intégrales
par prolongement continu de l’intégrale des fonctions réglées (c’est-à-dire des fonctions qui sont
limites uniformes de fonctions en escalier).
b) Fixons y,z∈C(K,E). Montrons par récurrence que pour tout p∈N,
∀t∈K,kFp(y)(t)−Fp(z)(t)k6(k|t−t0|)p
p!ky−zk∞.(1)
Pour p=0, c’est évident.
Supposons que pour un certain p, on ait la proposition (1). Notons Y=Fp(y)et Z=Fp(z).
Par commodité, supposons t>t0(le cas t6t0étant similaire). Par dénition,
Fp+1(y)(t)−Fp+1(z)(t)=F(Y)(t)−F(Z)(t)=Zt
t0f(s,Y(s)) −f(s,Z(s))ds
d’où, en utilisant l’hypothèse sur f, puis l’hypothèse de récurrence,
kFp+1(y)(t)−Fp+1(z)(t)k6Zt
t0kf(s,Y(s)) −f(s,Z(s))kds
6kZt
t0kY(s)−Z(s)kds
6kkp
p!ky−zk∞Zt
t0
(s−t0)pds =kp+1(t−t0)p+1
(p+1)!ky−zk∞.
On en déduit que la proposition est vraie au rang p+1.
Finalement, on obtient l’inégalité (1) pour tout p∈N. A fortiori,
∀y,z∈C(K,E),kFp(y)−Fp(z)k∞6(kl)p
p!ky−zk∞,
ce qui prouve que Fpest lipschitzienne de rapport (kl )p
p!.
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c) Comme (kl )p
p!→0 quand p→ ∞, on peut choisir ptel que (kl )p p!<1. On en déduit que
Fadmet une itérée qui est contractante. Puisque C(K,E)est complet, le théorème du point xe
assure que Fpadmet un point xe unique que l’on notera φ∈C(K,E). On a en fait
Fp(F(φ)) =F(Fp(φ)) =F(φ)
donc F(φ)est point xe de Fp, et donc par unicité, il vient F(φ)=φ, c’est-à-dire que φest point
xe de F(qui est aussi unique car un point xe de Fest point xe de Fp). Ainsi, on a bien montré
l’existence et l’unicité d’une solution sur Kà l’équation diérentielle.
2) On peut introduire une suite Kn=[an,bn] croissante d’intervalles compacts dont la réunion
est I. Alors, sur chaque Knon vient de voir que l’équation diérentielle admettait une unique
solution φn. En particulier, si q>p, la restriction de φqàKpest égale à φp. Ainsi, les φnse
prolongent entre elles, et dénissent une fonction φ:I→E.
Si t∈˚ I, alors nécessairement, il existe ntel que t∈]an,bn[ ; dans ce cas, φcoïncide avec φn
sur ]an,bn[, donc en particulier est C1au voisinage de tet vérie φ0(t)=f(t,φ(t)). Maintenant, si
t∈I\˚ I, c’est-à-dire que test une des deux extrémités de I(notez que Ine contient pas forcément
ses extrémités et dans ce cas il n’y a plus rien à faire). Si par exemple, c’est l’extrémité gauche, il
existe donc ntel que t=an. Alors, φcoïncide avec φnsur [an,bn] et en particulier est C1à droite
en tet vérie φ0(t)=f(t,φ(t)). Il en résulte que la solution φconstruite par prolongement est
bien C1sur tout l’intervalle Iet y vérie l’équation diérentielle.
Enn, si ψest une autre solution sur I, sa restriction Knest solution sur Kn, donc coïncide
avec φnsur Kn, donc coïncide avec φsur Kn. Par conséquent ψcoïncide avec φsur Itout entier.
3) Il sut de considérer l’application f(t,y)=A(t)y+b(t). Elle est continue par continuité de A
et b. De plus, si K⊂Iest compact, alors pour tous t∈K, et y,z∈E
kf(t,y)−f(t,z)k=kA(t)(y−z)k6sup
s∈KkA(s)kky−zk,
où kA(s)kest la norme de A(s)dans L(E)subordonnée à k · k. En particulier, fvérie bien l’hy-
pothèse donnée dans l’énoncé, et les questions précédentes montrent que l’équation diérentielle
y0=A(t)y+b(t)admet une unique solution sur Ivériant y(t0)=y0.
Exercice 2 Précompacité et relative compacité
Rappelons que Aest précompacte si et seulement si pour tout ε>0, il existe x1, . . . ,xn∈E
tels que A⊂
n
[
i=1
B(xi,ε). Après une petite vérication, on voit que l’on ne change pas la dénition
s’il on impose aux xid’être dans A.
1) Comme A⊂A, si Apeut être recouvert par un nombre ni de boules de rayons ε, alors il en
est de même de A. Donc la précompacité de Aentraîne celle de A.
Réciproquement, supposons Aprécompacte et soit ε>0. Il existe donc x1, . . . ,xn∈Etels
que les boules B(xi,ε
2)recouvrent A. Mais alors, les boules B(xi,ε)recouvrent A: si y∈A, il
existe x∈Aà distance < ε
2de ypuis il existe i tel que x∈B(xi,ε 2)ce qui donne avec l’inégalité
triangulaire que y∈B(xi,ε).
2) Comme Aest fermée dans Ecomplet, Aest complète et donc sa compacité équivaut à sa pré-
compacité (car d’après le cours, compact équivaut à précompact+complet). Ainsi Aest relative-
ment compacte si et seulement si Aest précompacte ce qui revient à dire que Aest précompacte
d’après la question précédente.
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