Une initiation à la géométrie complexe

Une initiation `a la g´eom´etrie complexe
Alain Yger
Universit´ e de Bordeaux, Talence 33405, France
E-mail address:[email protected]

R´ esum´ e. Ce cours se veut un cours de premi`ere initiation `a la g´eom´etrie com-
plexe ; il vise `a mettre l’accent sur un certain nombre de concepts inh´erents au
cadre complexe (notamment celui de positivit´e) et que le cadre r´eel n’offre pas.
On mettra certains de ces concepts en situation dans des questions de g´eom´etrie
alg´ebrique effective ou de th´eorie des nombres o`u ils s’av`erent (souvent d’ailleurs
exploit´es conjointement `a des outils relevant de l’analyse r´eelle, par exemple de la
th´eorie du potentiel), conjointement `a la boite `a outils qu’ils engendrent, souvent
d’une grande utilit´e.

Table des mati`eres
Chapitre 1. Vari´et´es analytiques complexes 1
1.1. Le cadre r´eel versus le cadre complexe 1
1.2. Vari´et´es analytiques complexes, exemples 3
1.3. Convexit´e, pluri-sousharmonicit´e, op´erateurs Hessien et ddc7
1.4. Exercices 10
Chapitre 2. L’alg`ebre lin´eaire en famille sur une vari´et´e complexe 11
2.1. Fibr´es complexes localement triviaux 11
2.2. Le fibr´e tangent et son scindage 17
2.3. Les courants dans un ouvert Ude X21
2.4. Les complexes de de Rham et de Dolbeault 22
2.5. La notion de connexion ; connexion, forme et classe de Chern 24
2.6. Exercices 27
Chapitre 3. Formule de Lelong-Poincar´e, faisceaux et courants positifs 29
3.1. Une formule d´ecortiqu´ee : la formule de Lelong-Poincar´e 29
3.2. Faisceaux d’anneaux sur une vari´et´e analytique complexe 34
3.3. Sous-ensembles analytiques ferm´es d’une vari´et´e analytique complexe 37
3.4. Espaces analytiques r´eduits de dimension n39
3.5. Courants positifs ferm´es, courants d’int´egration 41
3.6. Exercices 46
Annexe. Corrig´es des exercices faits en TD 49
Bibliographie 59
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COURS 1
Vari´et´es analytiques complexes
1.1. Le cadre r´eel versus le cadre complexe
L’Ecole Math´ematique Africaine de Ziguinchor dans le cadre de laquelle a ´et´e
dispens´e ce cours ´etant d´edi´ee tant `a la g´eom´etrie r´eelle qu’`a la g´eom´etrie complexe,
il semble important de souligner pour commencer les articulations entre ces deux
th´ematiques et pour se faire de pointer tout d’abord ce qui diff´erencie les univers Rn
et Cnet ce que le second nous apporte par rapport au premier.
Ces deux univers sont reli´es entre eux de bien des mani`eres ; on se contente ici d’en
sugg´erer deux.
— On peut envisager au dessus de Rn
x1,...,xnle tube complexe
Rn
x1,...,xn+iRn y1,...,yn;
ceci correspond `a la repr´esentation cart´esienne des n-uplets de nombres com-
plexes z=x+iy = Re z+iIm z. La projection x+iy 7→ xde Cndans Rnest
ouverte et continue, mais elle n’est pas topologiquement propre.
— On peut ´egalement envisager l’application surjective (cette fois continue et
topologiquement propre)
(z1, ..., zn)∈(C∗)n7−→ (log |z1|, ..., log |zn|)∈Rn
(correspondant `a la repr´esentation polaire (z1, ..., zn) = ex1+iθ1, ..., exn+iθn)
des n-uplets de nombres complexes non nuls).
La premi`ere distinction entre Rnet Cnconsiste en ce que le corps C, corps de base pour
la g´eom´etrie complexe, se trouve ˆetre alg´ebriquement clos (c’est d’ailleurs la clˆoture
alg´ebrique de R) alors que Rne l’est pas ; l`a se trouve une des raisons majeures
qui ont pr´esid´e `a l’apparition du calcul complexe. Le th´eor`eme des z´eros de Hilbert
assure, pour chaque n∈N∗, une correspondance bijective entre les id´eaux radicaux
de l’alg`ebre polynomiale K[X1, ..., Xn], c’est-`a-dire les id´eaux Itels que
I=√I:= {a∈I;∃qa∈N∗, aqa∈I}
et les sous-ensembles alg´ebriques de Cn, c’est-`a-dire les sous-ensembles ferm´es de Cn
d´efinis comme le lieu des z´eros communs d’un nombre fini d’´equations alg´ebriques
p= 0, o`u p∈C[X1, ..., Xn] : `a un id´eal radical I, on associe l’ensemble
V(I) = {z∈Cn;p(z)=0 ∀z∈I}
tandis qu’au sous-ensemble alg´ebrique Vde Cn, on associe l’id´eal radical IVconstitu´e
des polynˆomes p∈C[X1, ..., Xn] tels que la fonction polynomiale correspondante p
soit identiquement nulle sur V. Pareille correspondance bijective n’existe pas dans le
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