Les aspect quantitatif de l’ORSA ORSA Épargne Marc JUILLARD Actuaire Directeur de mission [email protected] 1 Introduction Le Pilier 1 doit offrir une image fidèle de la solvabilité de l’entreprise à l’horizon 1 an. Cependant, une telle image n’a d’intérêt que si elle s’accompagne : • D’une gouvernance garantissant une gestion saine, prudente et efficace. • De dispositifs de contrôle interne garantissant la fiabilité de l’information. • D’une gestion fine des risques pris par l’organisme ne se limitant pas à un horizon d’1 an. Solvabilité II vise à un renforcement de la gouvernance et de la gestion des risques en ligne avec les best practices, et beaucoup plus complet que la réglementation actuelle……mais avant tout fondé sur des pratiques de bons sens ! L’objectif final de la Directive Solvabilité 2 est d’encourager les compagnies à mettre en place un système de gestion des risques intégrés. Cet objectif passe principalement par le pilier 2 et la mise en place d’une démarche ERM (Entreprise Risk Management). 2 Préambule L’ORSA est l’image de la complexité de l’entreprise en termes d’activités et de risques Proportionnalité applicable pour la détermination du besoin global de solvabilité • Proportionnalité extensible à tout le processus de l’ORSA • Large spectre d’outils utilisables (du stress-test simple à la modélisation fine des risques) • Dans la plupart des cas une estimation, plus qu’un calcul, est requise L’ORSA s’adresse aux administrateurs de la compagnie Élément clé du système de gestion des risques présentant une vision claire des risques pesant sur l’entreprise et du besoin global de solvabilité. Il ne s’agit pas d’un processus mécanique qui peut se standardiser : chaque compagnie doit développer son propre ORSA qui lui permettra de répondre à ses propres besoins. L’ORSA n’a pas pour objectif de faire intervenir des experts ou des débats d’experts au sein du conseil d’administration mais plutôt d’enrichir les réflexions du conseil sur la base d’une mesure des risques. 3 1. Les Grands Principes SOMMAIRE Solvabilité 2 Pilier 2 2. Les modèles envisageables 3. Exemple de modèle par stress tests 4 1. Les Grands Principes L’article 45 de la directive Solvabilité II dispose que dans le cadre de son système de gestion des risques, chaque entreprise d'assurance procède à une évaluation interne de ses risques et de sa solvabilité. Cette évaluation porte notamment sur les éléments suivants : • le besoin global de solvabilité, compte tenu du profil de risque spécifique, des limites approuvées de tolérance au risque et de la stratégie commerciale de l'entreprise ; • le respect permanent des exigences de capital. L’ORSA est donc constitué de deux composante : Une composante infra annuelle : calcul rapide la Solvabilité de la compagnie Une composante pluri annuelle : solvabilité pluri annuelle de l’assureur sur la base d’une vision incluant le plan stratégique et retenant des hypothèses de calculs adaptées aux spécificités de l’entreprise. 5 1. Les Grands Principes Quelques définitions Quelques définitions Risk capacity (capacité de risque) Montant maximal de risque que la compagnie est capable de supporter. Risk profile (profil de risque) Niveau de risque auquel est soumise la compagnie en date de calcul. Peut être appréhendé de façon qualitative et quantitative sur la base des métriques retenue pour l’appétence au risque. Risk appetite (appétit au risque) Niveau de risque agrégé qu’une entreprise accepte de prendre en vue de la poursuite de son activité et afin d’atteindre ses objectifs stratégiques. Risk tolerance (tolérance au risque) Niveau maximal de risque qui peut être pris sur un risk profile. Répartition à un niveau plus fin de l’appétence au risque. Risk limit (limite de risque) Traduction opérationnelle de la risk tolerance. Ces limites sont spécifiques au processus auquel elles participent. 6 1. Les Grands Principes Risk Capacity Principalement déterminée sur la base de l’analyse du capital économique disponible (amortisseur final dans le cas de scénarios adverses). Les composantes suivantes peuvent être retenues : la liquidité du capital et la capacité à le lever ; la qualité du capital (Tier 1/2/3); Le calcul de la capacité de prise de risque nécessite de définir : Risk capacity le profil de risque de la compagnie : ensemble des risques pesant sur la compagnie; l’évolution de l’actif net de la compagnie (a minima sur la période 01/01/N – 31/12/N) ; des contraintes fixées par le plan stratégique. Sur la base de cette analyse la compagnie peut déterminer quels sont les besoins de fonds propres Sur la basequ’elle de cette peut déterminer quelsqu’elle sont les maximum peutanalyse supporterlaetcompagnie donc les limites maximales de risque peutbesoins accepter.de fonds propres maximum qu’elle peut supporter et donc les limites maximales de risque qu’elle peut accepter. 7 1. Les Grands Principes Profil de risque Il y a lieu de se prononcer sur : Par exemple : Dépend des méthodes retenues par l’entreprise pour le calcul du SCR : o Formule Standard o USP o Modèle interne Les risques mal calibrés dans le pilier 1 ; Les risques non présents dans le pilier 1 et connus ; Risque de crédit associés aux obligations émises par les Etats Européens Les risques non présents dans le pilier 1 et non connus. Les risques émergents ; 8 1. Les Grands Principes Risk Appetite L’appétence au risque correspond au risque maximal qu’une entité accepte de prendre dans l’optique d’atteindre ses objectifs stratégiques. Les grands principes : L’appétit pour le risque découle et interagit avec la stratégie de l’entreprise. Il s’exprime à l’aide d’un indicateur « rendement – risque » macro, dont le niveau est fixé par le Conseil d’Administration. Risk appetite Doit prendre en compte l’ensemble des dimensions stratégiques (mais agrégées) de l’entreprise (en retenant pour des raison pratiques peu de dimensions). Dimensions possibles Parties prenantes Solvabilité Régulateurs / Assurés Résultat Marché Notation Agences de notation / Créanciers Image de marque Marché Valeur Marché 9 1. Les Grands Principes Risk Appetite – les dimensions Exemples de dimensions suivi par les principaux assureurs de la place Risk appetite Assureur Résultat Valeur Solvabilité Autres Assureur 1 X X X Liquidité Assureur 2 X Assureur 3 X Assureur 4 X Assureur 5 X X X X Réassureur 6 Réassureur 7 X 10 X X Critères qualitatifs divers X Critères qualitatifs divers X Anticipation catastrophe Liquidité, prime de risque 1. Les Grands Principes Risk Appetite – les mesures Une fois les dimensions définies, il est nécessaire de fixer les mesures de risque qui seront retenues afin de quantifier le risque associé à chaque dimension. Ces mesures doivent : être intelligibles par l’ensemble des parties prenantes ainsi elles doivent être le plus simple possible (pour un actionnaire le risque de déviation du résultat ou de la MCEV est un indicateur compréhensible) ; Risk appetite pouvoir se ventiler par la suite par catégorie de risque (ex : module de risque de la formule standard). Résultat Probabilité d’être en deçà d’un certain seuil ; Probabilité d’avoir un résultat inférieur de x% à la prévision. Valeur Solvabilité Probabilité de baisse de x% de la MCEV ou de l’actif net ; Probabilité d’avoir un retour sur capital inférieur à x% 11 Avoir un SCR en deçà d’une certaine valeur dans x% des cas . Notation Bénéficier d’une certaine notation cible dans x% des cas. 1. Les Grands Principes Risk Appetite – le niveau de confiance La compagnie doit définir l'horizon du risque pour chaque dimension de l'appétence au risque retenue (par exemple, pour la dimension résultat elle peut choisir un horizon plus court que le plan stratégique). Elle doit ensuite définir le niveau de confiance (ou période de retour) qu’elle juge acceptable. Ces deux notions sont in fine liée : plus on augmente l’horizon, plus l’incertitude est forte et les niveaux de confiance devront être diminués. 1= résultat non atteint 2= alerte sur les résultats pour le marché 3= perte sur l’année 4= rating sous surveillance 5= dégradation significative du rating 6= intervention du régulateur Risk appetite 12 1. Les Grands Principes Tolérance aux risques Il est nécessaire de traduire de manière effective la politique d’appétence pour le risque de l’entité. Il faut définir l’allocation de risque global sous la forme de catégories de risques. Risk tolerance L’énoncé des préférences de risque : doit être en ligne avec le plan stratégique ; met en avant les préférences des managers ; attribue une capacité de prise de risque à chaque preneur de risque. Risk appetite Risk tolerance - Marché Risk tolerance - Crédit Risk tolerance - Souscription Risk tolerance - Opérationel Les facteurs de risque à intégrer au calcul comprennent : tous les facteurs de risque significatifs de la formule standard ; le facteur de risque business (i.e. hypothèses prises dans le cadre du plan de développement). 13 1. Les Grands Principes Limites opérationnelles et suivi Une fois définie l’ensemble des tolérances aux risques, il convient de les traduire en limites opérationnelles. La capacité de prise de risque a été définie sur la base de conditions de marché vues en date de calcul amenées à évoluer (plus ou moins favorablement). Aussi, dans le cas de variation non négligeable des conditions de marché, la compagnie a tout intérêt à recalibrer son processus d’appétence au risque. Suivi de l’appétit pour le risque La fréquence de recalibrage du processus ne devra être ni trop élevée (risque de perdre toute stratégie) ni trop faible (risque de perdre une continuité dans la stratégie et ce à cause de brutales modifications de l’appétence). 14 1. Les Grands Principes Schéma de fonctionnement Le schéma global de l’appétit pour le risque est le suivant (cf. Institut des Actuaires [2010]) : Déclaration Suivi dans le temps par le contrôle et le reporting de la politique Mise en œuvre 15 1. Les Grands Principes SOMMAIRE Solvabilité 2 Pilier 2 2. Les modèles envisageables 3. Exemple de modèle par stress tests 16 2. Les modèles envisageables Notion de ruine économique On se place dans un cadre de calcul de la ruine économique (hors marge pour risque) par modèle interne. Le SCR est le montant de fonds propres minimal de façon à avoir : P FP1 0 0, 5 % r A u du FP P 0, 1 VaR P FP SCR FP0 VaR0P,5% FP1 e 0 0 1 0 ,5% 1 Aussi, les SCR futurs sont des variables aléatoires. L’objectif de l’ORSA est donc de déterminer la distribution des SCR futurs (et des ratios de couverture associés), ceci revenant à déterminer la distribution des fonds propres FPt 17 2. Les modèles envisageables Notion de ruine économique On admet l’existence d’un processus Yt décrivant les risques impactant l’évolution du bilan de la compagnie entre deux arrêtés comptables, vérifiant : Yt est un processus markovien ; Yt est lié aux seuls risques financiers (en fonction des modèles retenus, le caractère markovien pourrait être invalidé). P A Q F 1 V1 E P A Q F 1 j X j E 1 j X j Yu , u 0,1 j 2 j 2 En pratique l’état du bilan dépend de Y et d’un nombre fini de variables d’états, que l’on notera D, également markovien. D décrit l’état des polices. V1 E P A Q F 1 j X j Y1 , D1 j 2 18 2. Les modèles envisageables Approche SDS ? En t=1, on simule des réalisations des variables d’état sur la première période puis on valorise le best estimate associé à chaque réalisation. i V1 E P A Q F i i 1 j X j Y1 , D1 j 2 Comme en 0, on estime ces termes par simulation, ce qui conduit à poser : i V1 i K1 i K1 1 K1 i 1 i ,k k 1 19 1 i K1 i ,k i ,k j X j i K1 k 1 j 2 1. Contexte Approche SdS ? La principale problématique liée à l’approche SdS se situe au niveau du volume de simulations nécessaires afin d’obtenir la convergence. Si on considère : un contrat UC dont le sous-jacent est modélisé par un processus log-normal ; un taux court modélisé par processus de Vasicek ; La convergence du « best estimate » empirique vers sa valeur théorique est lente : après 1 000 tirages, écart d’environ 1,5 % après 100 000, écart d’environ 0,15%. Il y a un effet de levier sur les fonds propres 20 20 1. Contexte Approche SdS ? Dans le cas des simulation secondaires, trois méthodologies sont applicables : retenir un très grand nombre de simulations secondaires afin d’obtenir une convergence acceptable en tout point ; ajuster le nombre de simulations Ki : • en fonction de la variance conditionnelle ; • de façon à retrouver des prix de marché d’instruments financiers présentant des caractéristiques proches de celle du passif. Il reste alors à déterminer le nombre de simulation primaires afin d’assurer la convergence du quantile empirique. Ce dernier choix est délicat dans le sens où au-delà de la volatilité des facteurs de risques, c’est l’impact de cette volatilité sur la volatilité des fonds propres qui nous intéresse. 21 21 2. Les modèles envisageables Quels méthodologies envisageables ? On observe une prise de conscience du caractère peu efficace des approches SdS : Barrie & Hibbert : http://www.barrhibb.com/products_and_services/detail/liability_proxy_generator/ Calculation of economic capital for complex life insurance liabilities requires a nested stochastic approach, but the considerable run-times associated with many asset-liability models can mean that this technique is not always practical. As a result many insurers are seeking next generation modelling solutions to give them fast and accurate results in order to manage their businesses, whilst meeting the growing burden of regulatory compliance. Dès lors il convient de proposer des approches alternatives ou complémentaires. Logique par scénarios Formule semi-analytique (simulation et formules fermées) • Portefeuilles de réplication • Curve fitting • Least Square Monte Carlo • Modèle de revalorisation analytique • Des proxies. Travailler sur la base d’une méthode de scénarios ou de sélections de trajectoires. Utilisation d’un scénario central de projection du plan de développement et de scénarios stressés Complexe mais adaptées à une utilisation intensive du modèle d’ORSA. 22 2. Les modèles envisageables Portefeuilles de réplication Principe : Construire un portefeuille d’actifs financiers dont la valeur fournit une estimation quasi immédiate des fonds propres. L’étape de valorisation du passif n’est plus nécessaire et les temps de calculs en sont réduits. Fondement Théorique : Il est principalement d’origine financière : sous de bonnes hypothèses toute variable aléatoire financière peut être répliquée par un processus adapté (on peut citer par exemple la réplication d’une option européenne introduite par Black & Scholes). La transposition de ce type d’approche aux passifs d’assurance demeure cependant délicate : la méthode ne permet pas de valoriser les éléments du passif «non couvrables» par des instruments financiers comme par exemple le risque de mortalité, de dérive des frais, etc. la méthode des portefeuilles répliquant introduit une différence notable avec la théorie financière dans le sens ou les coefficients de pondération sont ici déterministes. 23 2. Les modèles envisageables Portefeuilles de réplication Approche : Les points clés de cette méthode sont : 1. Construire l’échantillon de réalisation des fonds propres économiques à un an PV_Passifi. Il s’agit de l’étape central des approches par formules fermées. 2. Le choix des actifs candidats A1, A2, …, Ak; Défini a priori en analysant la nature des options inclues dans les passifs (et donc la convexité). Ces derniers peuvent être fictifs, la seule contrainte imposée étant de pouvoir les valoriser par des formules fermées ou par des approches numériques peu chronophages). 3. Le calcul du poids de chaque actif dans le portefeuille répliquant ; n f ( wi ) ( PV _ Passifi wi PVAi ) 2 i 1 Pour plus de détails on pourra se référer à DEVINEAU L., CHAUVIGNY M. [2011] qui présentent une méthode alternative de calibrage des portefeuilles répliquants. 24 2. Les modèles envisageables Least Square Monte Carlo Principe : La méthode Least Square Monte Carlo part du principe qu’en retenant un certain nombre de « bons » facteurs de risques (valeur de marché de l’actif, valeur de rachat, niveau des taux, …), il est possible de prédire la dynamique des fonds propres économiques et ce grâce à un polynôme. Fondement théorique de la méthode (1/2) : La méthode LSMC a été introduite en 2001 par LONGSTAFF et SCHWARTZ dans le cadre de la valorisation d’options bermudiennes (ex : put américain). Les temps d’arrêt de l’option sont alors 2 évalués en considérant que les espérances conditionnelles associées sont dans L , Y , P (variance fini ou carré intégrable). L’espace L2 munit de son produit scalaire est un espace de Hilbert (Cf. Royden [1968]) les espérances conditionnelles peuvent alors être exprimées sur la base de leur coordonnées : E Y X i ei X iI où ei X est un élément de la base engendrée par l’espace engendré par X. 25 2. Les modèles envisageables Least Square Monte Carlo Fondement théorique de la méthode (2/2) : Cette expression est ensuite dégradée en retenant nombre finie de bases indépendantes . n E Y X i ei X i ei X iI i 1 Les cordonnées sous cette « sous base » sont calculées en minimisant l’écart quadratique avec l’approximation obtenue par une simulation de Monte Carlo (ceci constituant une deuxième approximation). N M i 1 k 1 ˆ N arg min Yi k ek X i 2 Il est à noter que ce cadre est relativement éloigné de l’approche assurantielle qui fait intervenir un nombre plus important de sources de risques dépendantes. À ce titre, les formes de polynômes retenues en finance ne sont pas adaptées au cadre assurantiel. 26 2. Les modèles envisageables Least Square Monte Carlo Espérance conditionnelle et régression linéaire : Soit deux variables aléatoires X et Y. Par définition E Y X correspond à régression linéaire de Y 2 sur X qui soit la meilleure possible au sens de l’erreur quadratique moyenne E Y f X Partant de ce point et sous l’hypothèse de connaître parfaitement les risques impactant la valeur économique des fonds propres à un an la dynamique de l’ANR peut donc être approximée sur le base d’un polynôme f. ANR1 E P A Q F 1 j X j Yu , u 0,1 f Yu j 2 Attention : cette égalité n’est plus vrai dès lors que les aléas impactant la valeur de l’ANR ne sont plus une chaine de Markov. 27 2. Les modèles envisageables Least Square Monte Carlo 1. Simulation des facteurs de risques retenus a priori Le choix a priori des facteurs de risques consiste à isoler les aléas expliquant au mieux la volatilité de l’Actif Net Réévalué et contribuant au besoin de fonds propres. Un objectif d’une dizaine de facteurs de risques est un bon objectif. Les éléments suivants étant la plupart du temps retenu : • aléa impactant le niveau des actions, de l’immobilier • aléa impactant la volatilité des actions • 3 aléas sur les taux (court, moyen, long termes) représentant le niveau, la convexité et la pente (ceci conduisant à modéliser plus de 99% de la volatilité de la structure par termes des taux d’intérêt). • aléas sur les spread et la liquidité • rachat, mortalité ? In fine cette étape est conditionnée par le modèle qui sera retenu afin de construire l’échantillon d’ajustement. 28 2. Les modèles envisageables Least Square Monte Carlo 2. Calcul de la valeur actuelle des flux de trésorerie futurs La méthode Least Square Monte Carlo réplique la valeur actuelle des flux futurs. Aussi chaque simulation primaire historique est prolongée par une unique simulation secondaire, permettant ainsi de simuler la valeur actuelle des flux de trésorerie futurs : 29 2. Les modèles envisageables Least Square Monte Carlo 2. Calcul de la valeur actuelle des flux de trésorerie futurs Cette étape nécessite de définir le nombre de simulations primaires qui devront être lancées afin que l’échantillon d’ajustement couvre correctement le spectre des situations possibles à 1 an. Deux méthodologies sont envisageables : • Lancer un très grand nombre de simulations primaires en retenant des points de convergence avec le « vrai » calcul (type espérance ou variance). • Retenir une norme permettant de définir les trajectoires primaires se situant au niveau de la zone d’intérêt (quantile à 95% de l’ANR à 1 an par exemple). Elle aura pour objectif d’affecter à chaque vecteur d’aléas standardisés une valeur traduisant la « dangerosité de la situation ». Une norme basée sur la sensibilité du quantile à 95% de l’ANR aux différents aléa pourra par exemple être retenue : 1 , ..., n n i , j 1 30 i i j j 2. Les modèles envisageables Least Square Monte Carlo 2. Calcul de la valeur actuelle des flux de trésorerie futurs A titre d’exemple, on retient une norme basée sur la contribution du facteur de risque au SCR. On retient de plus les postulats suivants : • 3 aléas seulement (action, taux immobilier) • on ignore les facteurs croisés (cette hypothèse n’est acceptable qu’en première approche) A , T , I sT T2 sI I2 s A A2 Nous avons représenté sur le graphique suivant, les valeurs de la norme correspondant aux 50 réalisations des fonds propres les plus faibles Les points correspondants aux situations les plus adverses se situent bien en périphérie du nuage. La norme nous permet de bien capter les situations les plus à risque pour l’assureur. 31 2. Les modèles envisageables Least Square Monte Carlo 3. Ajustement et validation de la forme paramétrique Si la littérature financière se réfère aux polynômes de Laguerre, aux polynômes de Legendre ou aux formes trigonométriques (ces formes ayant été introduites dans l’optique de répondre à des problématiques de valorisation d’instruments financiers), de simple polynômes fournissent de très bons résultats et présente l’avantage de conduire à une forme plus interprétable. Ces derniers seront donc à privilégier. Plusieurs modèles sont envisageables et ce à cause entre autre : • Du choix des variables explicatives (X1, X2, … Xn) • Transformations applicables aux variables explicatives (X1, ln(X1), exp(X1). Il est donc nécessaire de définir des critères permettant de comparer les différent modèles envisageables afin de conserver le meilleur (et de valider ses qualités prédictives). 32 2. Les modèles envisageables Least Square Monte Carlo 3. Ajustement et validation de la forme paramétrique Graphique : • QQ plot ; • PP plot ; • Densité; • etc… Tests d’hypothèses : Ces tests (significativité des coefficients, autocorrélation, d’hétérocedasticité, etc.) ne permettant de comparer que des modèles emboités (retraits petit à petit de variables explicatives) ils seront à employer en dernière étape d’ajustement (quand on cherchera à analyser l’intérêt de retirer certains variables peu explicatives). 33 2. Les modèles envisageables Least Square Monte Carlo 3. Ajustement et validation de la forme paramétrique • Application d’un critère permettant de mesurer la qualité de réplication de la forme paramétrique. • R² : pourcentage de la variabilité de la variable d’intérêt expliquée par la courbe de régression retenue. Présente l’inconvénient d’être une fonction non décroissante du nombre de variables explicatives De plus, le R² est sensible aux points aberrants. • R² ajusté : il s’agit du R² ajusté du nombre de variables explicatives. • Critères de vraisemblance pénalisée : BIC ou AIC (pénalise le sur-pamétrage) . On retiendra le modèle présentant le plus petit critère. • − AIC 2 ln L 2 k − BIC 2 ln L k ln n - L correspond à la vraisemblance maximisée. - k correspond au nombre de variables explicatives. - n correspond au nombre d’observations. Critère basée sur une estimation de l’erreur quadratique moyenne : Cp de Mallows. On retiendra parmi les modèles celui présentant une valeur de Cp proche de p. 34 2. Les modèles envisageables Les constats Les méthodes présentées ci-avant présentent un inconvénient : le choix des régresseurs. Bauer et al. [2010] On propose par la suite une méthode alternative contournant cette problématique en se focalisant sur une vision analytique du modèle ALM. 35 2. Taux de revalorisation analytique Principe sous-jacent On considère un contrat d’épargne dont la valeur de rachat est donnée par : t VR t VR 0 exp rs u du 0 Par définition, on a : BEL T E PQ E Q BELF T BELF T VR t S t t t dt T S T VR T 0 On pose alors : t t Q Q Q E VR t t VR 0 E exp rs u r u du VR 0 E exp u du 0 0 36 2. Taux de revalorisation analytique Principe sous-jacent Dans le cas d’un contrat d’épargne, le point le plus chronophage se situe au niveau du module ALM. Or dans l’optique de minimiser le volume des rachats conjoncturels, la revalorisation appliquée est Générateur de scénarios économiques Evaluation des provisions mathématiques avant revalorisation et des provisions financières S1 Calcul de la participation aux bénéfices souvent calée sur le taux court nominal. Revalorisation des provisions mathématiques Partant de ce constat, Planchet et al. [2012] proposent des approximations analytiques du best estimate obtenues en considérant que l’écart entre le taux de revalorisation continu et le taux court suit un processus d’Ornstein-Uhlenbeck : d t k t dt dB t 37 2. Taux de revalorisation analytique , Description du modèle En tant qu’exponentielle de l’intégrale d’un brownien : t v t Q E exp rs u r u du t exp m t 2 0 avec : m t t 0 v t 2 2k 3 1 e kt 2 1 e kt k 2 1 e kt 2 t k k On retient par la suite la discrétisation suivante : T T lt 1 l BEL T VR 0 S t t t dt S T T VR 0 qt 1 t T T l0 t 1 l0 0 38 2. Taux de revalorisation analytique Description du modèle Afin de prendre en compte l’ensemble des options du contrats, on introduit les rachats conjoncturels en s’appuyant alors sur la formule (assez) générale : u s u c u s u u On obtient alors : T E P F S t t t dt S T T 0 t T S s t s t t exp 1 u du dt S s T exp 1 u du 0 0 0 T T S s t s t 1 t 2 t dt S s T 1 1 T 0 39 2. Taux de revalorisation analytique Description du modèle On obtient des formes analytiques simples pour les différents coefficients. v t d 1 d 2 1 t exp 1 m t 1 v t 1 t 2 t m t 2 dt 2 dt 40 2. Taux de revalorisation analytique Description du modèle En synthèse ce modèle analytique présente les caractéristiques suivantes : un modèle basé sur le principe de faibles opportunités d’arbitrage ; un best estimate principalement soumis à des risques financiers ; un modèle présentant un paramétrage simple (vitesse de retour à la moyenne, tendance à long termes et volatilité du bruit blanc) ; permet d’obtenir une valorisation du best estimate instantanée pouvant donc être retenue dans une logique d’ORSA. On notera de plus que la contrainte liée à la dynamique de retour à la moyenne peut facilement être contournée en retenant une simple dynamique auto régressive (dans le cas d’un marché financier particulièrement volatile). 41 2. Taux de revalorisation analytique Mise en œuvre 1 • Ajustement d’un jeu de paramètres à chaque pas de projection historique • Validation de la qualité du modèle (minimisation de l’écart quadratique). 2 • Analyse des facteurs de risque Yi expliquant l’évolution des jeux de paramètres. On cherchera à exprimer ces facteurs sur la base de grandeurs issues des comptes statutaires. 3 • Projection de N valeurs de marché de l’actif, de la valeur de rachat et des facteurs de risque. • Estimation de N de jeux de paramètres du modèle 4 • Transformation des N valeurs de rachat en best estimate; • Calculs des métriques d’appétit pour le risque (quantile empirique du ratio de couverture, ….) 42 2. Taux de revalorisation analytique Mise en œuvre Il reste à introduire une modélisation de l’actif du bilan (sous la probabilité historique) afin de décrire la dynamique des fonds propres. La dynamique retenue afin de projeter les variables financières est un processus de Vasicek pour les taux courts, un modèle de Black & Scholes pour l’actif de la compagnie : dr t kr r r t dt r dBr t drA t Adt AdBr t 1 2 AdBA t On retient un modèle de Hull & White pour la projection risque neutre. d t k t dt s ,a 1 43 2 dB A t 1 s2,a 2 1 2 dB t 2. Taux de revalorisation analytique Mise en œuvre On déduit alors aisément une équation d’évolution des fonds propres : A t e A r t A r t 1 1 2 A A t 1 r t r t t FPt 1 e PM t e 1 1 qs t e PM t e1 t 1 qs t t 1, T , t 1 qui conduit à une expression (relativement) explicite du SCR de l’année : A t e A r t A r t 1 1 2 A A t 1 r t t SCRt FPt VaRt PM t e 1 1 qs t e PM t e1 t 1 qS t t 1, T , t 1 44 2. Taux de revalorisation analytique Mise en œuvre Sur cette base la projection des variables d’intérêt est effectuée sur les 5 prochaines années. Ces variables sont : la valeur de la provision mathématique ; les flux de prestation ; la valeur de marché de l’actif ; la réalisation des variables financières. Ceci nous permet de projeter une évolution sur les 5 ans à venir de l’ANR : 45 2. Taux de revalorisation analytique Mise en œuvre Sur la base de la distribution du bilan de la compagnie sur les 5 prochaines années, on met en place un processus d’ORSA basé sur le quantile annuel à 5 % (i.e. pour la jème année on se positionnera sur le quantile de niveau 1-0,95j). Pour chaque année de projection, le processus est mené en deux étapes : Sur la base de la connaissance de la distribution du bilan relative à la jème année, on sélectionne la trajectoire correspondant au quantile empirique à 1-0,95j ; Conditionnellement à l’information relative à la trajectoire sélectionnée, on calcule empiriquement le quantile à 0,5 % de l’ANR relatif à l’année j+1. 46 2. Taux de revalorisation analytique Mise en oeuvre Le fait de retenir un quantile basé sur la seule valeur de l’ANR conduit à des résultats instables. En effet dans la problématique qui nous intéresse, l’ANR est la synthèse imparfaite des deux principales variables d’intérêt à savoir l’actif et le passif. De ce fait, les deux étapes présentées ci-avant sont réalisées cent fois, puis on retient in fine la moyenne empirique des différents quantiles simulés. On trouve alors l’évolution des ratios de couverture suivante : En 0 A 1 an A 2 ans A 3 ans A 4 ans A 5 ans 176% 146 % 152 % 47 158 % 166 % 174 % 1. Les Grands Principes SOMMAIRE Solvabilité 2 Pilier 2 2. Les modèles envisageables 3. Exemple de modèle par stress tests 48 3. Exemple de mise en œuvre par stress tests Au-delà de la mise en place du modèle probabiliste, l’ORSA doit vérifier les principes suivants : Être compréhensible par le plus grand nombre possible ; Permettre d’allouer le capital risque par facteur de risque. In fine les modèles totalement intégré ne répondent pas forcément le mieux au problème lié à l’ORSA. On propose une synthèse d’un modèle d’ORSA permettant de répondre à ces deux besoins tout en tirant partie de la puissance des modèles par formules fermées : travailler sur une sélection de trajectoires défavorables. 49 3. Exemple de mise en œuvre par stress tests Principe du modèle Les interactions actifs-passifs ainsi que les nombreux facteurs de risques (aléa financiers, TMG, rachats conjoncturels, écarts de duration et de convexité) empêchent de déterminer avec exactitude les scénarios adverses au-delà de 1 an. Aussi, une méthodologie mélangeant simulations dans les simulations et sélection de trajectoire pourra être retenue : 1. projeter un grand nombre de valeurs du bilan en normes françaises (ainsi que la valeur de marché de l’actif ) sur la durée du plan stratégique ; 2. sélectionner, via des indicateurs de risques, les trajectoires défavorables ; 3. calcul des ratios de couverture relatifs à ces trajectoires défavorables. 50 3. Exemple de mise en œuvre par stress tests Principe du modèle Projection sous l’univers historique 1. 2. Sélection des trajectoires défavorables 110 110 108 108 106 106 104 104 102 102 100 100 98 98 96 96 94 94 92 92 90 90 0 1 2 3. 3 0 4 1 Calcul du ratio de couverture à chaque point d’intérêt 110 Projection en monde réel Projection en monde risque neutre sur la base des réalisations de la trajectoire simulée entre 0 et 1 108 106 104 102 100 98 96 94 92 90 0 1 2 51 3 4 2 3 4 3. Exemple de mise en œuvre par stress tests L’exemple retenu Une société fictive commercialisant un contrat en Euros sans taux garantis, bénéficiant de réserves financières importantes, avec un ratio prudentiel évalué à : 250 % sous Solvabilité 1 ; 202 % sous Solvabilité 2. 37% Mise en œuvre concrète focalisée sur le risque 37% de marché 5% 2% 29% 5% 2% 29% 7% 7% 20% 20% Son profil de risque initial : Une consommation de capital principalement financière (spread, taux et actions) Dimension stratégique Solvabilité SCR Risque Action SCR Risque Immobilier SCR Risque de Spread SCR Risque Rachat SCR Risque Frais SCR Risque de Taux SCR Risque Action SCR Risque Immobilier SCR Risque de Spread SCR Risque Rachat SCR Risque Frais Formulation de l’appétence Indicateur Ratio de couverture Solvabilité 2 SCR Risque de Taux Le ratio dans un scénario stressé reste supérieur à X% du taux de couverture cible sur la durée du Plan Moyen Terme (PMT) 52 3. Exemple de mise en œuvre par stress tests L’exemple retenu Lien appétence objectif Objectif stratégique Préserver l’encours (principale source de marge) servir un taux concurrentiel ; accepter, si nécessaire, de puiser dans les fonds propres. Stratégie (appétence) Compagnie Formulation de l’appétence Le ratio de couverture Solvabilité 2 reste supérieur à : 130 % sur la durée du PMT 180 % la 1ère année avec un niveau de confiance de 95 %. Pilotage (tolérance) Limites de risque Gestion Opérationnelle Limite opérationnelle sur les classes d’actifs : Test de différentes allocations Mesure de l’impact sur le risk profile Vérification que : risk profile < tolérance (limite de risque) 53 Périmètre plus restreint 2. Méthode déterministe : à dire d’expert 1. Méthode stochastique : à dire de modèle Sélection d’indicateurs (KRI) sur les facteurs de risque Projection des réalisations de la valeur de marché de l’actif et du bilan statuaire Identification des facteurs de risque majeurs Calcul de sensibilités à ces risques majeurs Sélection trajectoires dont le quantile d’un indicateur = quantile du ratio couverture Calcul des quantiles associés aux indicateurs de risques (KRI) Construction des scénarios combinant plusieurs risques majeurs avec les chocs associés Détermination des chocs marginaux pour ces risques majeurs Pour chaque risque majeur, un indicateur (KRI) de suivi est défini et une dynamique lui est associée. Evaluation du comportement du bilan pour un scénario de stress donné (crise européenne , …). Choix d’indicateurs compréhensibles par un tiers. Scénarios appréhendables à tous les niveaux du management (communication). Les indicateurs (KRI) décrivent le scénario quantile et permettent de combiner des scénarios difficilement envisageables a priori du fait de la complexité des interactions actif passif. Détermination des seuils, dans le cadre l’appétence au risque, plus simple à fixer. 3. L’approche complémentaire : Objectif : mettre en évidence les différences majeures par une analyse comparative effectuée entre les deux lots de trajectoires fabriqués (1. et 2.) Cette approche permet de : Diminuer la fragilité croissante des scénarios à dire d’experts au fur et à mesure de l’allongement de la prédiction Fournir une estimation de l’incertitude des approches à dire d’experts. 54 Les grands principes Modélisation des règles du management Passage d’une logique Pilier 1 à une logique Pilier 2 Spécificités : Politique de revalorisation : servir un taux concurrentiel Si production financière insuffisante alors : reprise de la Provision de Participations aux Bénéfices réalisation des éventuelles PVL R 332.20 consommation de fonds propres dans une limite déterminée risque business (ajout des affaires nouvelles) risque souverain 2 probabilités : historique + risque neutre Le risque souverain non réduit à une question de modèle Politique financière Il relève davantage d’une modélisation économique et politique que d’une modélisation financière réplicable dans un modèle. grille d’allocation fixe sur la durée de projection réinvestissements obligataires à maturité constante Rachats conjoncturels : application de la loi ACP (ONC) Modélisation des risques Gestion de la prime de risque Les modèles retenus pour le GSE global sont résumés dans le tableau ci-dessous : l’objectif est de lier d’une manière cohérente les probabilités risque neutre et historique. partant des modèles retenus sous le GSE risque neutre en sont déduits les modèles pour le GSE historique. Gestion du GSE Taux t le GSE global est construit dans l’optique d’être Market Consistent, calé sur les taux swaps, en présentant un compromis « volatilité vs pragmatisme ». Action t Dynamique du GSE sous Q Immo t L’ORSA conduisant à valoriser des best estimate sur la durée du PMT, il est nécessaire de trouver un compromis entre dynamique du GSE et complexité des modèles. 55 k b bt action rt action Immo rt Immo Typologie Facteurs de risque Impact des risques Indicateurs (KRI) Risque examiné Description Hausse des taux Une hausse des taux sur plusieurs années Somme des taux courts entre 0 et t Baisse action Une baisse du portefeuille action (actif le plus volatile) Performance de l’indice action capitalisé Rendement global Une baisse du portefeuille obligations, immobilier) Evolution de la marché des actifs proxy ANR Richesse globale de la compagnie global (actions, valeur de Proxy de l’ANR Inadéquation du PMT initial avec l’appétence 350 Ci-contre le PMT avec un ratio au niveau de confiance 95 % 250% 202% 300 200% 169% 148% 127% 250 Non conforme à l’appétence : 169 % < 180 % en t = 1 127% < 130 % en t = 3 125% < 130 % en t = 4 200 ANR : 333 ANR : 284 ANR : 258 150 125% 150% 100% ANR : 216 ANR : 220 t= 3 t= 4 100 50% 0% t= 0 t= 1 t= 2 ANR 56 Ratio de couverture t =1 t= 2 t= 3 t= 4 Déformation par facteur de risque : Proxy ANR 169% 150% 129% 129% le risque action relativement faible ; Hausse des taux 191% 185% 138% 125% Baisse action 195% 172% 191% 159% à court terme, le principal facteur de risque est la rentabilité globale du portefeuille ; Rendement global 171% 148% 127% 139% Minimum du ratio de couverture 169% 148% 127% 125% Ci-contre les trajectoires de taux (KRI Taux) au quantile 95 % sur la durée du PMT. Enveloppe des taux forwards à 95% à moyen terme, le risque de hausse des taux devient prépondérant. KRI à 1 an KRI à 2 an KRI à 3 an KRI à 4 an Taux forward 9,0% 8,0% 7,0% Chacun des indicateurs (KRI) sélectionnés s’est avéré pertinent. 6,0% 5,0% Permet d’appréhender le ratio de couverture avec : 4,0% des indicateurs adaptés à un suivi 3,0% régulier (communication, tableau de bord) 2,0% un faible nombre de simulations (4 KRI x 4 années = 16 simulations) : gain opérationnel et réactivité accrue 1,0% 0,0% 0 1 57 2 3 4 Année de projection du PMT Dans notre exemple, l’entreprise a décidé que la mise en cohérence du risk profile avec l’appétence est à réaliser : [A] sur le périmètre de l’allocation d’actifs, [B] en conservant les pondérations du risk profile financier Étape [A] : Détermination de l’ajustement nécessaire du ratio cible avant diversification : 12,7 % à gagner sur le risk profile financier Étape [B] : Cet ajustement à 12,7 % est réparti en fonction des pondérations du profil de risque financier (établi sur la base des résultats Pilier 1) de la manière suivante : Obligations Actions Immobiliers Total 72% 21% 7% 100,00% Evolution du ratio de couverture 9,06% 2,71% 0,90% 12,67% Evolution allocation -4,00% -0,39% -0,83% -5,22% Profil de risque financier 58 De par la complexité des interactions actif-passif : pas de formule fermée permettant de relier directement la tolérance aux limites opérationnelles. Le calcul a été mené sur la base d’un abaque indiquant l’évolution du ratio de couverture dans le cas d’une évolution, par pas de 1 %, de l’allocation stratégique : Actions Immobiliers Obligations Monétaires Ratio de couverture Evolution 10 % 5% 70 % 15 % 169 % s.o. -1% 9% 5% 70 % 16 % 176 % 7,0 % 9% -1% 4% 70 % 17 % 177 % 1,1 % 9% 4% 18 % 179 % 2,3 % -1% 69 % Diminuer l’allocation action de 1 % au profit de l’allocation monétaire équivaut à augmenter le ratio de couverture de 7 % => la cible de 2,71 % relative aux actions conduit à diminuer l’allocation action de 0,39 %. En résumé, les évolutions à apporter à l’allocation d’actifs du PMT sont les suivantes : Obligations Actions Immobiliers Total 72% 21% 7% 100,00% Evolution du ratio de couverture 9,06% 2,71% 0,90% 12,67% Evolution allocation -4,00% -0,39% -0,83% -5,22% Profil de risque financier 59 L’allocation financière ajustée sur la durée du PMT induit un ratio de couverture qui, désormais, est cohérent avec l’appétence au risque de la compagnie. 350 300 250 250% 202% 181% 202% 169% 200 200% 167% 145% 148% 150 127% 134% 150% 125% 100% 100 50% 50 - 0% t= 0 t= 1 t= 2 ANR ANR old t= 3 RC t= 4 RC old La mise en place du processus d’ORSA présenté ci-avant a permis : d’ajuster le plan stratégique afin de respecter l’appétence au risque (que ce soit pour la contrainte à un an ou sur toute la durée du plan à moyen terme) ; de compléter les situations à risque définies « à dire d’expert » en isolant les risques à moyen terme et à long terme. 60 Références AGENOS X. [2010] Appétit pour le risque et gestion stratégique d’une société d’assurance non-vie, Mémoire d’actuaire CEA CEIOPS [2010] Draft proposal for Level 3 Guidelines on Own Risk and Solvency Assessment, Consultation Paper CEIOPS [2009] Advice for Level 2 Implementing Measures on Solvency II: SCR standard formula - Article 111 (f) Operational Risk CEIOPS [2010] Advice for L2 Implementing Measures on SII: Calibration of Non-life Underwriting Risk CEIOPS [2008] Own Risk and Solvency Assessment, Issues Paper ACP [2011] « Piliers II et III de Solvabilité 2, points de vue de l’Autorité de Contrôle Prudentiel » , Université d’été IA 2011 GUIBERT Q., JUILLARD M., PLANCHET F. [2010] « Un cadre de référence pour un modèle interne partiel en assurance de personnes », Bulletin Français d’Actuariat, vol. 10, n°20. PLANCHET F., JUILLARD M. [2010] « Le Pilier 2 : du calcul de l'exigence de marge au pilotage d'un profil de risques. », la Tribune de l’Assurance (rubrique « le mot de l’actuaire »), n°153 du 01/12/2010. GUIBERT Q., JUILLARD M., PLANCHET F. [2011] « Mesure de l'incertitude sur le taux de couverture des engagements dans un cadre ORSA », Les cahiers de recherche de l’ISFA, WP2142 BONNIN F, JUILLARD M., PLANCHET F. [2012] «Calculs de best estimate de contrats d'épargne par des formules fermées Application à l'ORSA», Les cahiers de recherche de l’ISFA, WP2012.5 PLANCHET F., THÉROND P.E., JUILLARD M. [2011] Modèles financiers en assurance, seconde édition, Paris : Économisa. PORTAIT R., PONCET .P [2009] Finance de marché, seconde édition, Pairs : Dalloz http://www.ressources-actuarielles.net 61