Cosinus d`un angle aigu

1
Cosinus d’un angle aigu
Chapitre G4 du livre
I. Le cosinus d’un angle aigu :
1.) Côté adjacent
a. Définition
Le côté adjacent à un angle aigu dans un triangle rectangle est le côté qui forme cet angle avec
l’hypoténuse.
Dans le triangle OAB rectangle en A
[OB] est l’hypoténuse
[OA] est le côté adjacent à l’angle 
b. Constatation :

2
c. Propriété
Pour un même angle aigu dans un triangle rectangle il y a proportionnalité entre
le côté adjacent à cet angle aigu et l'hypoténuse.
Remarque : Le coefficient de proportionnalité dépend de la valeur de l’angle.
L’application du théorème de Thalès à cette configuration permet de démontrer
cette propriété. En effet, (AA’), (BB’), (CC’)… sont parallèles donc :
2.) Cosinus d'un angle
a. Définition
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient du côté adjacent à
cet angle par l’hypoténuse.
Remarque Le cosinus est le coefficient de proportionnalité entre le côté adjacent et
l’hypoténuse
b. Notation et exemple :
Dans le triangle ABC rectangle en A :
L’hypoténuse est le côté [BC].
Le côté adjacent à l’angle 
 est le côté [AB].
Le côté adjacent à l’angle 
 est le côté [AC].
Le cosinus de l’angle 
 se note   et est
égal à :
Le cosinus de l’angle 
 se note   et est
égal à :

3
c. Utilisation de la calculatrice
Attention : Vérifier que la calculatrice est bien réglée en degré
 Pour obtenir la valeur du cosinus d’un angle, il faut taper sur la touche
puis la valeur de l’angle.
Exemple :
Le cosinus de 50 ° :
Résultat :   
Remarque : Le plus souvent, on obtient des valeurs approchées
 Pour obtenir la valeur d’un angle à partir de son cosinus, il faut
taper puis la valeur du cosinus ou du calcul qui permet de le calculer
Exemple :
L’angle dont le cosinus est 0,75 :
Résultat :  
3.) A quoi sert le cosinus d’un angle aigu
Le cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle, sert à calculer une longueur (quand on
connait un angle) ou à calculer un angle aigu (quand on connait des longueurs).
4.) Conditions à satisfaire pour l’utiliser
a. Pour calculer une longueur
Il faut :
 un triangle rectangle
 la longueur d’un côté et la mesure de l’angle aigu formé par ces deux côtés.
b. Pour calculer la mesure d’un angle aigu :
Il faut :
 un triangle rectangle
 les longueurs des deux côtes formant cet angle.
2nde
COS
COS
5
0
2nde
COS
0
.
7
5
COS

4
II. Applications
1.) Calcul de la longueur d’un segment
Pour calculer la longueur d’un côté de l’angle droit dans un triangle rectangle, il est
nécessaire de connaître la mesure d’un angle aigu et la longueur de l’hypoténuse.
Exemple 1 :
Le triangle ROI est rectangle en I, 
Calculer la longueur du segment [IO].
On sait que, ROI est un triangle rectangle en I tel que
  .
Or, dans un triangle rectangle le cosinus d’un angle
aigu est égal au quotient du côté adjacent à cet angle
par l’hypoténuse.
D’où,   
La longueur du segment [OI] est égal à 3,5cm.
Exemple 2 :
MOT est un triangle rectangle en O tel que 
Calculer la longueur de l’hypoténuse du triangle MOT.
On sait que, MOT est un triangle rectangle en O tel que
 et OT=5,6cm.
Or, dans un triangle rectangle le cosinus d’un angle aigu
est égal au quotient du côté adjacent à cet angle par
l’hypoténuse.
D’où

5
La longueur du segment [MT] est à peu près égale à
7,5 cm valeur approchée au dixième près par défaut.
2.) Calcul de la mesure d’un angle
Pour calculer la mesure d’un angle aigu dans un triangle rectangle, il est nécessaire de
connaître la longueur du côté adjacent à cet angle et la longueur de l’hypoténuse.
Exemple : LAC est un triangle rectangle en C tel que LA = 5 cm et CA = 3 cm.
Calculer les mesures des deux angles aigus du triangle LAC.
 Calcul de la mesure de l’angle 
.
On sait que, LAC est un triangle rectangle en C tel que
   et   .
Or, dans un triangle rectangle le cosinus d’un angle aigu est
égal au quotient du côté adjacent à cet angle par l’hypoténuse.
La mesure de l’angle aigu 
 est d’environ 53°, valeur
arrondie au degré près par défaut.
 Calcul de la mesure de l’angle
.
On sait que, LAC est un triangle rectangle en C tel que 
.
Or, dans un triangle rectangle les angles aigus sont complémentaires.
Par conséquent,
La mesure de l’angle aigu 
 est d’environ 37°, valeur arrondie au degré près par excès.