Au sujet des encadrements

Au sujet des encadrements …..
On appelle encadrement de x , toute expression de la forme : a ≤ x ≤ b a et b réels
⇔ x ∈ [ a ; b ] ( On peut avoir aussi des encadrements utilisant des signes stricts )
Règle n°1 : Si on multiplie un encadrement par un négatif, le sens change mais on peut
aussi échanger les bornes.
Ex : Si on a − 3 ≤ x ≤ 2
la multiplication par − 5 donnera :
15 ≥ −5x ≥ − 10
mais on préfère écrire directement :
− 10 ≤ − 5x ≤ 15
Règle n°2 : On peut toujours additionner deux encadrements de même sens dans R
Ex : − 3 ≤ x ≤ 2
−5 ≤y ≤1 +
−8 ≤ x+y ≤3
Règle n°3 : On ne peut jamais soustraire deux encadrements de même sens . On doit utiliser
l’opposé et l’addition des encadrements.
Ex : − 3 ≤ x ≤ 2
−3 ≤ x ≤ 2
−5 ≤y ≤1 − ⇔
−1 ≤ −y ≤5 +
−4 ≤ x–y ≤ 7
+
Règle n°4 : On ne peut multiplier deux encadrements de même sens que dans R
(Si on a des encadrements contenant des négatifs et des positifs, on passe par la valeur
absolue)
Ex : − 3 ≤ x ≤ 2
On peut écrire 0 ≤ | x | ≤ 3
−5 ≤y ≤1 x
et 0 ≤ | y | ≤ 5
( mais ce n’est pas équivalent)
et alors :
0 ≤ | x | | y | ≤ 15
⇔ − 15 ≤ x y ≤ 15
( Ce n’est pas précis car en fait, on voit que − 10 ≤ x y ≤ 15 )
Règle n°5 : On ne peut jamais diviser deux encadrements de même sens. On doit utiliser
+
l’inverse et la multiplication si on est dans R
Ex : On veut encadrer le quotient de x par y sachant que :
2 ≤ x ≤ 5 alors 2 ≤ x ≤ 5
1 1 1
2 x 5
1 x
5 ≤y ≤8
≤ ≤
et donc
≤ ≤
⇔ ≤ ≤1
8 y 5
8 y 5
4 y
Règle n°6 : Si on fait agir une fonction croissante sur un encadrement, il ne change pas de
sens mais, si on utilise une fonction décroissante, il change de sens ( ou on inverse les bornes)
1 1 1
Ex : 2 ≤ x ≤ 4 alors
2≤ x ≤2
mais
≤ ≤
4 x 2
Attention, si on a − 3 ≤ x ≤ 2 , on ne peut pas faire agir la fonction inverse à cause de 0
(Les encadrements interviennent beaucoup en Physique pour les calculs d’erreurs )
Pour les problème de majorations ou ne minorations, les opérations sur les encadrements ne
donnent pas en général de réponses précises :
Ex :
On veut encadrer P(x) = x2 – 2x
pour x ∈ [ 0 ; 4 ]
a ) Si on utilise les encadrements, cela donne :
0 ≤ x ≤ 4 donc
0 ≤ x2 ≤ 16
( x donne x2 est croissante sur R+ )
−8 ≤ − 2x ≤ 0 et donc −8 ≤ x 2 − 2x ≤ 16
−8 ≤ P(x) ≤ 16
(Précision ε = 16 – (−8 ) = 24 )
b) L’étude de la fonction P est plus efficace :
P’(x) = 2 x – 2
x
0
1
2x – 2
−
0
0
P(x)
et donc :
4
+
8
−1
Conclusion :
Si x ∈ [ 0 ; 4 ] alors −1 ≤ P(x) ≤ 8
(Précision ε ‘ = 8 – (− 1 ) = 9 )