Au sujet des encadrements

Au sujet des encadrements …..
On appelle encadrement de x , toute expression de la forme : a ≤
≤≤
≤ x ≤
≤≤
≤ b a et b réels
⇔
⇔⇔
⇔ x ∈
∈∈
∈ [ a ; b ] ( On peut avoir aussi des encadrements utilisant des signes stricts )
Règle n°1 : Si on multiplie un encadrement par un négatif, le sens change mais on peut
aussi échanger les bornes.
Ex : Si on a −
−−
− 3 ≤
≤≤
≤ x ≤
≤≤
≤ 2 la multiplication par − 5 donnera :
15 ≥ −5x ≥ − 10 mais on préfère écrire directement :
−
−−
− 10 ≤
≤≤
≤ −
−−
− 5x ≤
≤≤
≤ 15
Règle n°2 : On peut toujours additionner deux encadrements de même sens dans R
Ex : − 3 ≤ x ≤ 2
− 5 ≤ y ≤ 1 +
−
−−
− 8 ≤
≤≤
≤ x + y ≤
≤≤
≤ 3
Règle n°3 : On ne peut jamais soustraire deux encadrements de même sens . On doit utiliser
l’opposé et l’addition des encadrements.
Ex : − 3 ≤ x ≤ 2 − 3 ≤ x ≤ 2
− 5 ≤ y ≤ 1 − ⇔ − 1 ≤ − y ≤ 5 +
−
−−
− 4 ≤
≤≤
≤ x – y ≤
≤≤
≤ 7
Règle n°4 : On ne peut multiplier deux encadrements de même sens que dans R
+
(Si on a des encadrements contenant des négatifs et des positifs, on passe par la valeur
absolue)
Ex : − 3 ≤ x ≤ 2 On peut écrire 0 ≤ | x | ≤ 3
− 5 ≤ y ≤ 1 x et 0 ≤ | y | ≤ 5 ( mais ce n’est pas équivalent)
et alors : 0 ≤ | x | | y | ≤ 15 ⇔ − 15 ≤ x y ≤ 15
( Ce n’est pas précis car en fait, on voit que − 10 ≤ x y ≤ 15 )
Règle n°5 : On ne peut jamais diviser deux encadrements de même sens. On doit utiliser
l’inverse et la multiplication si on est dans R
+
Ex : On veut encadrer le quotient de x par y sachant que :
2 ≤ x ≤ 5 alors 2 ≤ x ≤ 5
5 ≤ y ≤ 8
5
1
y
1
8
1≤≤ et donc 1
y
x
4
1
5
5
y
x
8
2≤≤⇔≤≤
Règle n°6 : Si on fait agir une fonction croissante sur un encadrement, il ne change pas de
sens mais, si on utilise une fonction décroissante, il change de sens ( ou on inverse les bornes)
Ex : 2 ≤ x ≤ 4 alors 2x2 ≤≤ mais
2
1
x
1
4
1≤≤
Attention, si on a − 3 ≤ x ≤ 2 , on ne peut pas faire agir la fonction inverse à cause de 0
(Les encadrements interviennent beaucoup en Physique pour les calculs d’erreurs )

Pour les problème de majorations ou ne minorations, les opérations sur les encadrements ne
donnent pas en général de réponses précises :
Ex :
On veut encadrer P(x) = x
2
– 2x pour x ∈ [ 0 ; 4 ]
a ) Si on utilise les encadrements, cela donne :
0 ≤ x ≤ 4 donc 0 ≤ x
2
≤ 16 ( x donne x
2
est croissante sur R
+
)
−8 ≤ − 2x ≤ 0 et donc −8 ≤ x
2
− 2x ≤ 16
−
−−
−8 ≤
≤≤
≤ P(x) ≤
≤≤
≤ 16
(Précision ε = 16 – (−8 ) = 24 )
b) L’étude de la fonction P est plus efficace :
P’(x) = 2 x – 2 et donc :
x 0 1 4
2x – 2 − 0 +
0 8 Conclusion : Si x ∈ [ 0 ; 4 ] alors −
−−
−1 ≤
≤≤
≤ P(x) ≤
≤≤
≤ 8
P(x) (Précision ε ‘ = 8 – (−
1 ) = 9 )
−1