Rotation
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& III. Mouvement de rotation & III.1 Table des matières 1. Approche intuitive.................................................................................................................2 2. D'abord un peu de math.........................................................................................................4 2.1 Variables angulaires ........................................................................................................4 2.2 Moment de force et produit vectoriel..............................................................................6 3. Equation de Newton pour le mouvement de rotation............................................................8 3.1 ... selon la direction tangentielle......................................................................................8 3.2 ... selon la direction radiale (ou centripète).....................................................................9 4. Statique des forces...............................................................................................................10 4.1 Equilibre de translation .................................................................................................10 4.2 Equilibre de rotation......................................................................................................11 4.3 Centre de gravité, centre de masse ................................................................................11 4.4 Je résous un problème de statique .................................................................................13 4.4.1 je fais un croquis... .................................................................................................13 4.4.2 je choisis un système d'axes de référence... ...........................................................14 4.4.3 j'écris les conditions d'équilibre... ..........................................................................14 4.4.4 je résous le système d'équations algébriques... ......................................................14 5. Et pour résumer ...................................................................................................................15 6. Et pour compléter: force centripète et pseudo-force centrifuge..........................................16 Stéphane Swillens - édition 2009 & III. Mouvement de rotation & III.2 1. Approche intuitive Je suis dans une navette spatiale en "état d'apesanteur". Dans la cabine, une bille flotte librement tout en se déplaçant devant moi. Tant que la bille n'est soumise à aucune force, sa vitesse reste constante (1ère loi de Newton!). Je lui donne une chiquenaude dans la direction et le sens de sa trajectoire initiale. La bille subit donc pendant une fraction de seconde ∆t une force dans cette direction, et l'accélération qui en résulte engendre une augmentation de sa vitesse. Je me rappelle que, par définition, r r ∆v = a∆t 1.1 et donc, la vitesse après la chiquenaude vaut r r r v après = v avant + a∆t 1.2 Le mouvement se fait à une dimension (voir fig III.1a). Dès lors, la grandeur de la vitesse vaut v après = v avant + a∆t 1.3 & Une force appliquée dans la direction du mouvement modifie la grandeur de la vitesse sans en modifier la direction. a & vavant F a∆t vaprès F b vavant a∆t vaprès F c vavant vaprès a∆t fig III.1 Stéphane Swillens - édition 2009 & III. Mouvement de rotation & III.3 Je recommence ma manip, mais cette fois en appliquant la chiquenaude obliquement par rapport à la trajectoire initiale. Je vois que la trajectoire de la bille est déviée (voir fig III.1b). Bien sûr, les équations vectorielles 1.1 et 1.2 restent valables. Par contre, le mouvement étant maintenant à 2 dimensions, la grandeur de la vitesse après la chiquenaude n'est plus donnée par l'éq 1.3: l'accélération a conduit à un changement de direction de la vitesse au détriment de l'augmentation de la grandeur de la vitesse. Je recommence une dernière fois la manip en appliquant la chiquenaude perpendiculairement à la trajectoire initiale (voir fig III.1c): la vitesse change notablement de direction, alors que sa grandeur ne varie pratiquement pas. En fait, sa grandeur ne changerait pas du tout si, pendant le temps ∆t d'application de la force durant lequel le mobile change progressivement de direction, la force restait à tout moment perpendiculaire à la trajectoire. & Une force appliquée à un mobile perpendiculairement à sa trajectoire modifie la direction de la vitesse sans en modifier la grandeur. & Comment pourrais-je appliquer constamment la force perpendiculairement à la trajectoire? Je pourrais par exemple attacher la bille à un fil dont je tiendrais l'autre bout. Animée par sa vitesse initiale, la bille est obligée de rester à une distance constante de ma main (puisqu'elle est retenue par le fil) et donc décrit une trajectoire circulaire. D'un point de vue physique, il y a une force qui dévie constamment la bille de la trajectoire rectiligne: c'est la force de traction du fil, qui tourne en même temps que la bille et qui reste donc toujours perpendiculaire à la trajectoire (fig III.2a). Dans le cas d'un satellite qui tourne autour de la terre, c'est la force gravitationnelle attractive qui joue le rôle du fil (fig III.2b)! a v b v satellite FG Ftraction & terre fig III.2 Je résume ce que j'ai observé: (i) pour faire tourner la bille le long d'une trajectoire circulaire, il faut constamment imposer un changement de direction à sa vitesse en lui appliquant une force perpendiculaire (ou normale) à sa trajectoire, donc selon la direction d'un rayon de la circonférence vers le centre: Stéphane Swillens - édition 2009 & III. Mouvement de rotation & III.4 c'est pourquoi cette force est appelée force radiale ou centripète. Elle engendre une accélération radiale ou centripète. (ii) pour modifier la grandeur de la vitesse, je dois appliquer une force dans la direction de la trajectoire. Si la trajectoire n'est pas rectiligne, cette force doit donc être tangentielle, tout comme l'accélération qu'elle engendre. & Enfonçons définitivement le clou: une force appliquée à un objet en mouvement (de même que l'accélération que cette force engendre) peut être décomposée, par rapport à la trajectoire, en une composante tangentielle qui modifie la grandeur de la vitesse, et une composante normale (ou radiale, ou centripète) qui modifie la direction de la vitesse. & Mettre un objet en mouvement, c'est-à-dire changer la grandeur de sa vitesse, nécessite une force tangentielle. Pour ouvrir une porte, je pousse dessus avec une certaine force, mais pas n'importe comment si je veux économiser mon effort. La porte se mettra plus facilement en mouvement de rotation autour de son axe - si la force est grande (bien sûr), - si j'exerce la poussée loin de l'axe de rotation (si je pousse la porte près de son axe, c'est vachement dur!), - si la poussée est dans la direction perpendiculaire au plan de la porte (si je pousse la porte sur sa tranche, donc vers son axe de rotation, elle ne bougera pas d'un poil!). Il faudrait donc proposer un concept mathématique qui décrit la cause de la mise en mouvement de rotation: ce sera le moment de force, qui sera défini à partir du produit vectoriel. Et puis, comme la notion d'angle est primordiale dans le mouvement de rotation, je dois d'abord me familiariser avec les variables angulaires. 2. D'abord un peu de math... 2.1 Variables angulaires Soit x la longueur de l'arc parcouru par un mobile sur une trajectoire circulaire (fig III.3). Cet arc est sous-tendu par un angle θ (thêta). Bien sûr, pour un angle θ donné, la longueur de l'arc dépend du rayon de la circonférence. Pour tenir compte de cette dépendance, j'exprimerai Stéphane Swillens - édition 2009 & III. Mouvement de rotation & III.5 l'angle comme le rapport entre la longueur de l'arc sous-tendu et le rayon: θ= x R 2.1 Dans ce cas, je dis que l'angle est exprimé en radian. Pour rappel, le rayon entre environ 3.14159 fois dans une demi-circonférence: c'est le nombre π. Un angle plat de 180° correspond donc à π rad. v atg x R θ ω α fig III.3 De même que la vitesse s'obtient en dérivant l'espace parcouru par rapport au temps, la vitesse r angulaire ω (oméga) est un vecteur dont la longueur est obtenue par dérivation de θ: r dθ 1 dx v ω= = = dt R dt R 2.2 où v est la grandeur du vecteur vitesse (toujours dirigé tangentiellement à la trajectoire). Par r convention, le vecteur ω est dirigé suivant l'axe de rotation et son sens obéit à la règle du tirebouchon: dans l'exemple de la fig III.3, comme le mobile tourne dans le sens anti-horlogique, r un tire-bouchon tournant dans ce sens sortirait de la page, et donc le vecteur ω sort du plan de la feuille: le sens "sortant" est symbolisé par un point encerclé ~, tandis que le sens "rentrant" est symbolisé par une croix encerclée ⊗. Je peux utilement remplacer le tire-bouchon par le capuchon de mon stylo ou par le bouchon de ma bouteille d'eau, au cas où j'aurais un trou de mémoire... : je tourne dans le sens horlogique = je visse = le capuchon rentre = symbole ⊗ je tourne dans le sens anti-horlogique = je dévisse = le capuchon sort = symbole ~. Si je dérive la grandeur de la vitesse par rapport au temps, j'obtiens la composante tangentielle de l'accélération atg (eh oui, dois-je le répéter? c'est l'accélération tangentielle qui est responsable de la variation de la grandeur de la vitesse!). En dérivant la vitesse angulaire par r rapport au temps, j'obtiens le vecteur accélération angulaire α (alpha) dont la longueur vaut donc r dω 1 dv a tg α= = = R dt R dt 2.3 Stéphane Swillens - édition 2009 & III. Mouvement de rotation & III.6 r Tout comme la vitesse angulaire, le vecteur accélération angulaire α est dirigé suivant l'axe de rotation. Si son sens est le même que celui de la vitesse angulaire, alors la vitesse augmente. La vitesse diminue lorsque son sens est contraire à celui de l'accélération. Dans r l'exemple de la fig III.3, comme l'accélération tangentielle a tg est dans le même sens que la r r r r vitesse v , cette dernière augmente, donc ω augmente, donc α a le même sens que ω , c'est-àdire le sens "sortant" (symbole ~). & L'accélération angulaire est définie à partir de l'accélération tangentielle. L'accélération centripète n'intervient pas dans la définition des variables angulaires. & 2.2 Moment de force et produit vectoriel La force est la notion utilisée pour décrire la cause de la mise en mouvement de translation. La cause de la mise en mouvement de rotation sera décrite par le moment de force, vecteur r symbolisé par τ (tau). Comme je l'ai constaté, la porte s'ouvre facilement si je pousse fort, loin de l'axe, et perpendiculairement au plan de la porte. Le moment de force devrait donc avoir pour grandeur r τ = R.F. sin β 2.4 où R est la distance qui sépare l'axe de rotation du point d'application de la force F, et β (bêta) est l'angle que forme la direction de la force avec la porte (le moment de force est maximum pour β=90°, et nul pour β=0° ou 180°). Si en plus, le moment de force pouvait m'indiquer la direction de l'axe de rotation et le sens de la rotation, ce serait parfait. Or, il existe dans la batterie d'outils mathématiques celui qu'il me faut: c'est le produit vectoriel! Le résultat d'un produit vectoriel de 2 vecteurs est un vecteur (contrairement au résultat d'un produit scalaire de 2 vecteurs qui est un scalaire, c'est-à-dire un simple nombre: voir chapitre r r IV). Par exemple, le produit vectoriel de deux vecteurs A et B (formant entre eux un angle β) est noté r r r C=A×B 2.5 r r où C est le vecteur résultat. Les 3 caractéristiques du vecteur résultat C sont (voir fig III.4a): - sa grandeur: C = A.B. sin β 2.6 r r r - sa direction: C est perpendiculaire au plan formé par les 2 vecteurs A et B . Stéphane Swillens - édition 2009 & III. Mouvement de rotation & III.7 - son sens: règle du tire-bouchon appliquée au sens de rotation obtenu lors du r r rabattement du premier vecteur ( A ) sur le second ( B ) par le plus court chemin, c'est-à-dire en parcourant le plus petit angle. r r r r Attention: le produit vectoriel est anti-commutatif: A × B = −B × A ! r r r Quelques exemples pour voir si j'ai compris comment déterminer C = A × B : r r r - fig III.4a: je rabats A sur B par le plus court chemin (je visse) ⇒ C est rentrant; r r r - fig III.4b: je rabats A sur B par le plus court chemin (je dévisse) ⇒ C est sortant; r r - fig III.4c: A est sortant et perpendiculaire à B ⇒ sinβ=1 ⇒ C=A.B ; r r - fig III.4d: A et B sont colinéaires ⇒ sinβ=0 ⇒ C=0 . & Pour ne pas me tromper de sens pour le vecteur résultat, je dois absolument repérer correctement le premier et le second vecteur du produit, et rabattre le premier sur le second par le plus court chemin (ou plus petit angle), sinon C = AxB a A ⊗ C ß (= -BxA) b ~ C B B A d C C=0 C=AB ~ A ß C=ABsinß C=ABsinß c ' A B B fig III.4 Pour la porte que je pousse un peu obliquement comme à la fig III.5, le moment de force est défini par r r r τ = R×F 2.7 Il a donc bien la grandeur R.F. sin β requise par l'éq 2.4, la direction de l'axe de rotation, et un r sens associé au sens de rotation: τ est sortant, car ayant placé les origines des deux vecteurs Stéphane Swillens - édition 2009 & III. Mouvement de rotation & III.8 r r r r R et F au même endroit, je peux déterminer le sens du rabattement de R sur F par le plus court chemin (anti-horlogique), qui est aussi le sens de la mise en mouvement de rotation de la porte). Porte vue du dessus F axe R ß ~ τ=RxF poignée fig III.5 3. Equation de Newton pour le mouvement de rotation... Comme le mouvement de rotation est décrit dans un plan, c'est-à-dire dans un espace à 2 dimensions, je dois envisager l'analyse du mouvement dans 2 directions de l'espace. Je choisis 2 directions privilégiées, respectivement tangentielle et normale à la trajectoire circulaire. Pour ces deux directions, je dois établir l'équation de Newton pour les composantes r correspondantes (Ftg et Fradiale) de la résultante F des forces appliquées au mobile (voir fig III.6). Ftg v Résultante de toutes les forces appliquées à m m Fradiale τ R fig III.6 3.1 ... selon la direction tangentielle Dans la direction tangentielle, l'équation de Newton s'écrit m a tg = Ftg 3.1 Or, ce qui cause la variation de la grandeur de la vitesse de rotation, c'est le moment de force r r r τ dont la grandeur vaut R.Ftg ( R et F étant perpendiculaires). En multipliant les deux membres de l'éq 3.1 par R, et en remplaçant atg par αR (voir éq 2.3), je trouve m R 2α = τ 3.2 Stéphane Swillens - édition 2009 & III. Mouvement de rotation & III.9 Je vois donc clairement apparaître la cause de la mise en mouvement (le moment de force τ), l'effet (l'accélération angulaire α), et un terme d'inertie de rotation de la masse ponctuelle, c'est-à-dire mR2, qui s'appelle le moment d'inertie et est symbolisé par I. L'équation vectorielle générale décrivant l'accélération angulaire engendrée par le moment de la force résultante est donc r r Iα = τ 3.3 r r les vecteurs α et τ étant dirigés selon l'axe de rotation. Attention: les signes des composantes α et τ dépendront du sens de ces vecteurs par rapport au sens choisi arbitrairement pour l'axe de référence qui est dans la direction de l'axe de rotation. Si l'objet n'est pas une masse ponctuelle, l'éq 3.3 reste valable mais le moment d'inertie à considérer prendra une autre forme qui dépendra de la géométrie de l'objet et de la position de l'axe de rotation (par exemple, pour un cylindre tournant autour de son axe, I=½mR2). & C'est cette éq 3.3 qu'il faudra utiliser pour résoudre les problèmes faisant intervenir les poulies et autres solides en rotation. & Tout comme pour le mouvement de translation où la masse d'inertie d'un système d'objets est égale à la somme des masses d'inertie des différents objets, pour le mouvement de rotation le moment d'inertie total est égal à la somme des moments d'inertie des différents objets: l'inertie est additive. 3.2 ... selon la direction radiale (ou centripète) Cette fois, l'équation de Newton devient m a radiale = Fradiale 3.4 Ce que la cinématique m'apprend (et qui nécessite une démonstration qui peut se faire par une approche géométrique très simple), c'est que l'accélération radiale (ou centripète) vaut TOUJOURS v2 R ou encore ω2 R 3.5 L'éq 3.4 devient donc m v2 = Fradiale R ou encore mω 2 R = Fradiale Stéphane Swillens - édition 2009 3.6 & III. Mouvement de rotation & III.10 Voyons si j'ai compris. Dans l'exemple de la fig III.2b, la lune, satellite de la terre, est attirée par la force gravitationnelle (éq 2.2 du chapitre II) qui joue le rôle de force centripète. Dès lors, je trouve à partir de l'éq 3.6 que le mouvement de la lune autour de la terre obéit à m lune ω 2 R = G m lune M terre R2 3.7 où R est la distance terre-lune (384000 km). Sachant que la vitesse angulaire ω vaut 2π/T où T est la période de révolution (c'est le temps nécessaire pour parcourir un tour, c'est-à-dire 2π), l'éq 3.7 devient T2 = 4π 2 R3 GM terre 3.8 ce qui, connaissant G (6.67 10-11 Nm2kg-2) et Mterre (5.98 1024 kg), me permet de calculer la période T de révolution de la lune autour de la terre (27 jours et des poussières). En prime, cette éq 3.8 me dit que, pour un satellite en orbite circulaire autour d'une planète, le rapport entre le carré de la période de révolution et le cube du rayon de la trajectoire est une constante qui est la même pour tous les satellites: c'est la 3ème loi de Kepler établie sur base des observations célestes de Tycho Brahé. & La force radiale ou centripète n'est rien d'autre que la composante radiale de la résultante de toutes les forces appliquées à l'objet (et n'est donc pas une force "en plus" à ajouter aux forces qui agissent sur l'objet). Elle maintient l'objet sur une trajectoire circulaire sans modifier sa vitesse angulaire. & 4. Statique des forces 4.1 Equilibre de translation Je sais que si la résultante des N forces appliquées à un objet est nulle, cet objet continuera sur sa lancée à vitesse constante puisque l'accélération est nulle (1ère loi de Newton): c'est l'équilibre de translation. Formellement, cela revient à écrire que la somme vectorielle des N forces appliquées à l'objet vaut 0: r r r 0 = F1 + F2 + ... + FN 4.1 Stéphane Swillens - édition 2009 & III. Mouvement de rotation & III.11 & Pratiquement, il faudra écrire que, pour chaque axe de référence, la somme des composantes des forces selon l'axe est nulle. Cela donnera autant d'équations qu'il y a de dimensions d'espace! & 4.2 Equilibre de rotation Par analogie, l'équilibre de rotation est obtenu si la vitesse angulaire est constante, c'est-à-dire si l'accélération angulaire est nulle. Cette fois, la condition d'équilibre est donc que la somme vectorielle des moments des N forces vaut 0 (voir éq 3.3): r r r 0 = τ1 + τ 2 + ... + τ N 4.2 & Pratiquement, il faudra définir un axe de référence dans la direction des moments de force et écrire que la somme des composantes des moments selon cet axe est nulle. Attention au signe des composantes! & 4.3 Centre de gravité, centre de masse Chaque "très petite" partie d'un solide (disons chaque atome) est attirée par la force r d'attraction terrestre: la grandeur de Fi , force gravitationnelle exercée sur l'élément i de masse mi, est donc égale à mig. Si je parvenais à suspendre ce solide par un point quelconque de celui-ci, il basculerait autour de ce point si la somme des moments de force gravitationnelle (par rapport à ce point) appliqués à chaque atome n'est pas nulle: dans ce cas, le solide n'est donc pas en équilibre de rotation. Il existe un point pour lequel cette somme, c'est-à-dire le r moment résultant τrés , est nulle quelle que soit la position du solide: c'est le centre de gravité r r (CG). Par rapport au CG, j'ai donc τrés =∑τi =0 . C'est aussi en ce point que la résultante des r Fi s'applique. Afin de pouvoir localiser le CG, je vais choisir un référentiel quelconque et exprimer que, par r rapport au centre O de ce référentiel, le moment τrés de la force gravitationnelle résultante est r r égal à la somme des moments τi des forces Fi . Et pour me faciliter la vie, je choisis un objet plat (à 2 dimensions). Je me limite donc à un référentiel Oxz à 2 dimensions, l'axe x étant horizontal et l'axe z vertical (direction du champ de pesanteur) (fig III.7): Stéphane Swillens - édition 2009 & III. Mouvement de rotation & III.12 z Ri O θi mig xi x fig III.7 r r Comme tous les moments de force ( τi ainsi que τrés ) sont parallèles entre eux et perpendiculaires au plan Oxz, j'ai τrés =∑τi 4.3 Je regarde sur la fig III.7 ce que vaut un τi pris au hasard: par définition de la grandeur du produit vectoriel (éq 2.4), j'obtiens τi = Ri mi g sinθi 4.4 Or, Ri sinθi n'est rien d'autre que la coordonnée xi de la position de la masse mi. Le raisonnement est vrai pour n'importe quel τi et aussi pour τrés. Donc, l'éq 4.3 devient x cg∑mig =∑ximig 4.5 Comme le champ de pesanteur g est homogène (il est le même pour tous les atomes), je peux simplifier par g, le centre de gravité est alors aussi le centre de masse. Dès lors, la coordonnée xcg ou xcm du centre de gravité ou de masse est: mx x cg ≡x cm = ∑ i i ∑mi 4.6 Cette équation peut être transposée pour les autres axes. Comme application pratique, je me demande où est situé le centre de masse du système terrelune (système de deux objets sphériques dont leur centre de masse est au centre de la sphère). Si l'axe Ox a son origine au centre de la terre et pointe vers la lune, alors en utilisant l'éq 4.6, je trouve: X (CM terre - lune) = m terre X terre + m lune X lune m terre + m lune 4.7 où Xterre = 0 (origine de l'axe!) et Xlune vaut la distance terre-lune. Connaissant les grandeurs en question, je trouve X(CM terre-lune) = 7.35 1022 kg* 3.84 108 m / (5.98 1024 kg + 7.35 1022 kg) = 4.66 106 m Stéphane Swillens - édition 2009 & III. Mouvement de rotation & III.13 Le centre de masse se trouve sur l'axe terre-lune à environ 4660 km du centre de la terre, donc à environ 1700 km sous la surface terrestre! 4.4 Je résous un problème de statique J'escalade une paroi et trouve un point de repos (mais je n'y resterais pas une éternité! voir fig r III.8a) en prenant appui uniquement sur mon pied gauche (force de poussée oblique p ) et en r me retenant horizontalement par la main droite (force de traction t ) (j'utilise les lettres minuscules pour les vecteurs forces qui s'exercent sur la paroi). La corde d'assurance est là, mais ne me soutient pas. Je ne bouge pas: je suis en équilibre de translation et de rotation. Je me demande ce que mon bras droit et ma jambe gauche développent comme effort (je suppose que tous les vecteurs forces sont dans un même plan vertical). b a y t 0.8 m CG β = 40° b= a = 1m T? P? W = 670N ~ p z x fig III.8 4.4.1 je fais un croquis... ... de la situation où apparaissent toutes les forces (lettres majuscules) qui s'exercent sur l'objet r à l'équilibre (c'est moi!). Je dessine donc la force T de traction qu'exerce horizontalement la r paroi sur mon bras droit et la force P de poussée oblique de la paroi sur mon pied gauche r r r r (c'est la 3ème loi de Newton qui m'a aidé pour dessiner T et P à partir de t et p ), et la r force d'attraction terrestre W qui est appliquée verticalement au niveau de mon centre de gravité (CG). Le croquis est repris dans la fig III.8b où apparaissent aussi les données numériques du problème. Stéphane Swillens - édition 2009 & III. Mouvement de rotation & III.14 4.4.2 je choisis un système d'axes de référence... - Ox et Oy pour y représenter les vecteurs forces que j'ai supposé être dans un plan vertical - Oz pour y représenter les vecteurs moments de force: Oz, perpendiculaire au plan Oxy, est choisi arbitrairement comme sortant du plan de la feuille. 4.4.3 j'écris les conditions d'équilibre... ... de translation, et donc je projette l'éq 4.1 - selon Ox (la somme des composantes des forces selon Ox est nulle): 0 = −T + Px 4.7 - selon Oy (la somme des composantes des forces selon Oy est nulle): 0 = − W + Py 4.8 ... de rotation, et donc je projette l'éq 4.2 - selon Oz (la somme des composantes des moments de forces selon Oz est nulle): 0 = a.T − b.W. sin β 4.9 J'ai bien sûr veillé à ne pas me tromper dans les signes des composantes de ces moments: r T a tendance à faire tourner le corps dans le sens anti-horlogique par rapport à O, donc son moment est sortant, dans le même sens que Oz, donc sa composante est positive ( + a.T ); r W a tendance à faire tourner le corps dans le sens horlogique par rapport à O, donc son moment est rentrant, dans le sens opposé à Oz, donc sa composante est négative ( − b.W. sin β ). 4.4.4 je résous le système d'équations algébriques... ... et je trouve: - par l'éq 4.9: T = 345 N - par l'éq 4.7: Px = 345 N - par l'éq 4.8: Py = 670 N Donc P = 753 N (voir l'éq 2.1 du chapitre I: merci Mr Pythagore!). La force de traction du bras vaut donc t = 345 N (c'est comme si je tenais une masse de 35 kg à bout de bras... et de doigts: comme point de repos, il y a mieux!) et la force de poussée du pied vaut p = 753 N. Stéphane Swillens - édition 2009 & III. Mouvement de rotation & III.15 5. Et pour résumer - La composante tangentielle d'une force engendre une accélération tangentielle, une accélération angulaire, et donc une modification de la grandeur du vecteur vitesse: le mobile va plus vite ou moins vite. - La composante radiale ou centripète d'une force engendre une accélération centripète et donc une modification de la direction du vecteur vitesse: le mobile tourne. - L'accélération centripète vaut toujours v2/R ou ω2R. - Certains types de problèmes se résolvent en faisant appel à l'équation de Newton où interviennent moment de force et accélération angulaire ( Iα = τ ): problèmes de solides tournant autour d'un axe (poulies, meules...) et soumis à des forces tangentielles. - D'autres types de problèmes se résolvent en faisant appel à l'équation de Newton projetée dans la direction radiale ( m v2 = Fradiale ): problèmes de mobiles soumis à une force R centripète (traction dans un fil, attraction gravitationnelle, force de frottement latéral d'un pneu) qui place le mobile sur une trajectoire circulaire. - Un problème de statique se résout en exprimant que la somme vectorielle des forces est nulle (équilibre de translation) et que la somme vectorielle des moments de force est nulle (équilibre de rotation). Ces deux équations vectorielles sont ensuite décomposées suivant les directions des différents axes de référence. Stéphane Swillens - édition 2009 & III. Mouvement de rotation & III.16 6. Et pour compléter: force centripète et pseudo-force centrifuge Je me trouve dans une station spatiale de forme torique (c'est la forme d'une chambre à air d'un pneu de vélo) de rayon R, et qui tourne sur elle-même à une vitesse angulaire ω comme indiqué à la fig III.9 (axe de rotation passant par le centre O et perpendiculaire au plan du tore). ω N R O fig III.9 Je suis donc entraîné dans un mouvement circulaire par le "plancher" de la station sur lequel je me tiens debout (je me convainc par la réflexion que cela est tout à fait possible grâce à la direction de la force centripète). Par rapport à un référentiel d'inertie (donc non-associé à la station!), mon mouvement obéit à la loi de Newton exprimée dans la direction radiale (éq 3.6): mω²R = N 6.1 où m est ma masse et N est la grandeur de la force radiale ou centripète exercée sur moi par le plancher pour me faire tourner avec la station autour de son axe. Un pèse-personne placé entre le plancher et mes pieds m'indique une valeur correspondant à mon poids effectif: ce poids effectif, qui vaut N en grandeur (voir le paragraphe 4.2 du chapitre II), est bien sûr la conséquence de l'accélération (ici centripète) qui m'est communiquée. Je choisis maintenant un autre référentiel que j'associe au plancher de la station qui tourne: ce référentiel est donc non-inertiel. Je subis toujours la force N (telle que me l'indique le pèsepersonne) exercée par le plancher, mais comme je suis immobile par rapport à ce référentiel non-inertiel, mon accélération doit être nulle dans ce référentiel, et je dois donc introduire une force fictive d'inertie qui compense la force N (voir paragraphe 5.2 du chapitre II). Cette Stéphane Swillens - édition 2009 & III. Mouvement de rotation & III.17 force fictive s'appelle la pseudo-force centrifuge: 0 = N – "pseudo-force centrifuge" 6.2 & La "force centrifuge" n'est pas une force réelle, mais bien une force fictive nécessaire pour pouvoir écrire la loi de Newton dans un référentiel en rotation! & En grandeur, cette pseudo-force centrifuge est égale à mω²R comme exigé par l'éq 6.1. Ce qui est remarquable, c'est que, si l'accélération centripète ω²R est égale en grandeur au champ de pesanteur terrestre g (9.81 m/s²), j'aurai l'impression de pouvoir me mouvoir exactement comme si j'étais sur terre (la force N exercée par le sol de la station sur moi est alors la même que celle exercée par le sol à la surface terrestre): pour une station torique de 500 m de rayon, je peux calculer qu'il faut la faire tourner à raison d'un tour toutes les 45 s afin d'engendrer une pseudo-force centrifuge identique à mon poids réel sur terre. Voilà une façon bien pratique pour vivre dans l'espace comme si j'étais dans le champ de la pesanteur terrestre. Je peux étendre cette analyse à tout système du type "centrifugeuse". Dans une centrifugeuse, l'accélération centripète ω²R peut être assimilée à un champ de pesanteur effectif (mais fictif!) geff, responsable du poids effectif (Weff = mgeff) de l'objet soumis à cette centrifugation. La centrifugation est donc un bel exemple illustrant le principe d'équivalence entre masse d'inertie et masse gravitationnelle évoqué au chapitre II! Une ultra-centrifugeuse de laboratoire de biochimie peut tourner à une vitesse telle que le geff produit est 200000 (deux cent mille!) fois plus grand que le champ de pesanteur terrestre g. Stéphane Swillens - édition 2009
