une extension de l`inegalite de markov application a l`evaluation de

UNE EXTENSION DE L'INEGALITE DE MARKOV
APPLICATION A L'EVALUATION DE LA VALUE-AT-RISK POUR
DES SINISTRALITES CATASTROPHIQUES
Pierre PETAUTON1
Institut des Actuaires
Résumé :
En assurance une variable aléatoire telle que le montant d'un sinistre peut ne pas
avoir de moment supérieur à 1. Ce cas se rencontre par exemple pour des distributions
extrêmes, modélisées par la loi de Pareto par exemple. On doit supposer pourtant que ces
variables ont une espérance mathématique afin que le risque soit assurable. La seule autre
chose dont on soit certain est que les variables sont positives. Si on veut estimer la
probabilité d'un grand écart de sinistralité en l'absence de variance, on dispose de l'inégalité
de Markov:
Soit Z une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé, et
supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors
E Z 
a  0, P Z  a  
a
L'auteur de l'article améliore cette inégalité lorsque la variable Z est une somme de 2
variables aléatoires non négatives et indépendantes. . Ensuite il utilise le résultat pour
établir une formule applicable à une somme de n variables possédant la même moyenne,
que l'on suppose être égale à 1 (il suffit de prendre la moyenne comme unité monétaire).
Cette dernière formule est améliorable et il propose une inégalité plus stricte mais non
démontrée.
Enfin, en considérant que le nombre des sinistres est régi par une loi de Poisson, il
détermine numériquement une majorante de la value-at-risk en utilisant les deux inégalités
précédentes et il établit une formule analytique simple pour le résultat.
Mots clefs : Inégalité de Markov, value-at-risk, queues de distribution
1
Membre agrégé
BULLETIN FRANÇAIS D’ACTUARIAT, Vol. 15, n° 30, juillet – décembre 2015, pp. 77 - 92
78
P. PETAUTON
Abstract:
In insurance a random variable such as the amount of a loss may not have a moment
higher than 1. This case happens for example for extreme distributions, modelled by the
law of Pareto. One must however suppose that these variables have an expectation so that
the risk is insurable. The other thing which one is certain is that the variables are positive. If
one wants to estimate the probability of a wide variation of loss ratio, when there is no
variance, one only disposes of the inequality of Markov:
If X is any nonnegative random variable and a > 0, then:
E Z 
a  0, P Z  a  
a
The author of the article improved this inequality when the variable is a sum of 2
nonnegative and independent random variables. Then he used the result to establish a
formula applicable to a sum of n variables having the same average, that one supposes
being equal to 1 (it is enough to take the average as a monetary unit). This last formula is
improvable and he proposes a more strict but not demonstrated inequality.
Lastly, by considering that the number of claims is a Poisson process, he calculates
numerically the maximum of the value-at-risk by using the two previous inequalities and he
establishes a simple analytical formula for the result.
Keywords: Inequality of Markov, value-at-risk, tails of distribution
UNE EXTENSION DE L'INEGALITE DE MARKOV : APPLICATION A L'EVALUATION DE LA
VALUE-AT-RISK POUR DES SINISTRALITES CATASTROPHIQUES
1.
79
INTRODUCTION
Le nom seul de calcul des probabilités est un paradoxe : la probabilité, opposée à la
certitude, c'est ce qu'on ne sait pas, et comment peut-on calculer ce que l'on ne connaît
pas ? Henri Poincaré (La Science et l'hypothèse)
Bien souvent en assurance, et particulièrement lorsque les prestations garanties sont
la conséquence d'événements extrêmes, les lois de probabilité sont largement inconnues.
Les risques qui peuvent rendre les assureurs ou les réassureurs insolvables peuvent ne
jamais avoir été observés. On peut d'ailleurs imaginer que les distributions de probabilité
sous-jacentes ont des queues très épaisses et que les variables aléatoires concernées ne
possèdent pas de variance. C'est par exemple le cas de la loi de Pareto utilisable pour les
y
montants de sinistres Y supérieurs à un certain seuil ymin: PY  y    min
 y


 . Lorsque le

paramètre  est inférieur ou égal à 2 il n'y a pas de variance.
Les seules certitudes ou quasi-certitudes que l'on ait pour ces variables aléatoires
dangereuses, c'est qu'elles sont non négatives et, pour qu'il y ait une prime d'assurance,
qu'elles possèdent une espérance mathématique (dans le cas Pareto  >1). Avec cette
information minimaliste, pour déterminer la probabilité qu'une variable dépasse un certain
seuil, on dispose de l'inégalité de Markov (voir BOGAERT):
Soit Z une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé, et
EZ
. L'égalité se
supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors a  0, PZ  a  
a
produit lorsque Z ne peut prendre que les valeurs 0 ou a, avec les probabilité respectives
PZ  a   1  PZ  a  et PZ  a  , de sorte que EZ  0  PZ  a   a  PZ  a  .
Si Z est une somme de variables non négatives, le cas limite précédent ne peut pas
se produire et on peut espérer améliorer l'inégalité de Markov. Dans une première partie
une nouvelle inégalité pour une somme de 2 variables non négatives sera démontrée. On
envisagera dans une deuxième partie le cas d'une somme de n variables ayant la même
espérance mathématique; une formule résultera de l'inégalité de la première partie, une
autre formule sera présentée, bien qu'il s'agisse d'une conjecture non démontrée. En
troisième partie les formules seront appliquées sur un exemple pour déterminer une
majorante de la value-at-risk.
80
2.
P. PETAUTON
L'INEGALITE POUR UNE SOMME DE 2 VARIABLES
2.1
Le résultat à démontrer
Considérons 2 variables aléatoires non négatives X et Y indépendantes.
On suppose que E(X) =1 et E(Y)= k ≥ 0 et on s'intéresse à la somme X+Y qui est
également non négative et dont l'espérance mathématique vaut 1+k.
2k  1  4k ²  1
k 1 k
pourvu que S  S min 
PX  Y  S 

S
S²
2
2.2
(F0)
Origine de la formule F0
Recherchant la probabilité P(X+Y≥ S), lorsque les variables X et Y ne prennent
chacune que les valeurs 0 ou S, on constate que l'évènement X+Y=S peut se réaliser, avec
X=0 et Y=S, ou bien X=S et Y=0. Pour respecter les hypothèses E(X)=1 et E(Y)=k, il faut
d'une part que P(X=S) = 1/S et P(X=0) =1-1/S, et d'autre part que P(Y=S) = k/S et P(Y=0)
= 1-k/S.
Dans ces conditions la probabilité d'avoir X+Y =0 est
k 1 k
 .
corrélativement PX  Y  S  1  1  1/ S1  k / S 
S
S²
1  1/ S1  k / S et
Il s'agit de montrer que cette relation est toujours valable.
2.3
Principe de la démonstration
Considérons
 X, Y   1  X  1u Y   Y  k vX  EX   1; EY   k  0
où u() et v() sont des fonctions dont l'espérance mathématique est bornée pour les valeurs
non négatives des variables. E  1
On va montrer que, si u() et v() sont convenablement choisis, X, Y   0 , et que
pour
X+Y ≥ S X, Y   K 
S²
, lorsque S ≥ Smin
k  1S  k
(F1)
Il en résulte que 1  PX  Y  S 0  PX  Y  S K et ainsi PX  Y  S  1
K
.
Un cas de figure particulier est celui où X= 1 de façon certaine et Y=S-1 avec la
probabilité k/(S-1) ou Y=0 avec la probabilité 1-k/(S-1). On a alors PX  Y  S  k
S  1
.La formule que l'on cherche à démontrer exige alors que k
S  1 
équivalent à : S²  S(2k  1)  k  0 dont la solution positive est: Smin 
1
K
ce qui est
2k  1  4k ²  1
2
UNE EXTENSION DE L'INEGALITE DE MARKOV : APPLICATION A L'EVALUATION DE LA
VALUE-AT-RISK POUR DES SINISTRALITES CATASTROPHIQUES
81
On trouvera en annexe 1 le détail de la démonstration, ainsi que la vérification des
conditions   0 ,   K dès que X  Y  S.
2.4
Illustration pour k=1 et S=3
Une représentation graphique de la fonction  X, Y  est dans la figure ci-après:
Figure 1
2.5
Exemple d'application
Considérons 2 variables de Pareto X et Y telles que
PX  S  PY  S  y 0 / Sa
avec un paramètre a =2.
Leur espérance mathématique est :
a
y0
EX   EY  
a 1
Si l'on prend cette valeur comme unité monétaire, alors y0 = 0,5
Pour a=2 on sait calculer la fonction de répartition de la somme de 2 variables telles
que celles-ci (voir annexe 2).
82
P. PETAUTON
Pour S=3, valeur proche de Smin=2,618, on trouve que PX  Y  S  10,38% , alors
que la majorante F0 vaut (pour k=1) 55,56%, valeur 5 fois plus élevée que le niveau exact.
Ainsi la majorante proposée est un "maximum maximorum" (tout comme d'ailleurs
l'inégalité de Markov), à n'utiliser qu'en désespoir de cause, lorsqu'on ne sait rien sur la
distribution des sinistres.
3.
DES INEGALITES POUR UNE SOMME DE N VARIABLES
La charge annuelle de sinistres est habituellement modélisée comme une somme de
variables aléatoires identiquement distribuées, ayant donc une moyenne commune que nous
pouvons prendre comme unité monétaire.
L'inégalité établie précédemment s'applique à une somme de 2 variables si l'on
prend k=1. Elle s'écrit alors: PX  Y  S 
3 5
2 1
 2,618
si S  S min 

S S²
2
Cette inégalité ne peut être améliorée, sauf peut-être en tenant compte de l'identité
des distributions de X et Y.
Si on s'intéresse à une somme de n variables aléatoires n (n>2), à la fois positives,
indépendantes, et d'espérances mathématiques égales à 1 nous établirons une inégalité
approximative en utilisant le résultat de la première partie, et nous avancerons la conjecture
d'une formule exacte.
3.1
La première inégalité approximative
Si on applique la formule (F0) en prenant pour Y une somme n-1, on a
k  EY  n  1 et ainsi la formule retenue pour n>2 est:
n n 1
dès que S ≥ Smin
(F2)
Pr ob n  S   M n  
S
S²
On peut observer que la formule est aussi valable pour n=1, puisque c'est l'inégalité
de Markov.
On doit observer qu'il s'agit maintenant d'une inégalité stricte car pour n-1>1 on ne
peut pas avoir Y=k.
La valeur minimale de S est telle que Mn = (n-1)/(S-1) avec S > n et:
2n  1  4n  1 ²  1
S  S min 
2
(F3)
UNE EXTENSION DE L'INEGALITE DE MARKOV : APPLICATION A L'EVALUATION DE LA
VALUE-AT-RISK POUR DES SINISTRALITES CATASTROPHIQUES
3.2
83
Une inégalité conjecturale (non démontrée)
n
Si  n 
X
i
et que i, X i  0 ou S avec les probabilités respectives (1-1/S) et
1
1/S,  n  S uniquement si i, X i  0 avec la probabilité 1 1 / Sn . De là la probabilité
P( n  S)  1  1  1 / Sn .
La conjecture est que si EX i   1 on a P n  S  M n  1  1  1 / Sn
S  S min
dès que
(F4)
La valeur minimale Smin correspond au cas où i  n , X i  1 avec la probabilité 1 et
X n  0 ou (S-n+1) avec les probabilités 1-1/(S-n+1) et 1/(S-n+1), c'est-à-dire lorsque
M n  1 S  n  1 .
On trouvera dans la figure 4 quelques comparaisons chiffrées des 3 inégalités; plus n
est petit, plus les nouvelles formules s'éloignent de l'inégalité de Markov.
Figure 4 : Comparaison des 3 formules
Dans la figure 5 on a les valeurs des Smin; en dessous de ces valeurs on peut utiliser
l'inégalité de Markov.
84
P. PETAUTON
Figure5: Valeurs minimales de S
4.
APPLICATION A LA DETERMINATION D'UNE VALUE-AT-RISK
Nous considérons ici un contrat d'assurances, qui peut être un contrat collectif, où
les montants de sinistres ont tous la même espérance mathématique que l'on prendra
comme unité monétaire.
Nous faisons de plus l'hypothèse que le nombre annuel des sinistres est régi par une
loi de Poisson de paramètre f.
Enfin on se borne à considérer les grandes valeurs des sinistres.
4.1
Calcul numérique - Un exemple
Si X est la charge annuelle de sinistres, on a:
PX  S 
 ef .f n / n!.G n* S
, en désignant par G n * S la probabilité pour qu'une
n 1
somme de n variables d'espérance mathématique égale à 1 soit supérieure à S (voir
UNE EXTENSION DE L'INEGALITE DE MARKOV : APPLICATION A L'EVALUATION DE LA
VALUE-AT-RISK POUR DES SINISTRALITES CATASTROPHIQUES
85
BESSON&PARTRAT). Si on remplace dans la formule précédente les G n * S par les
majorantes Mn décrites par les inégalités F2 et F4, on obtient l'inégalité suivante:
PX  S 
 ef .f n / n!.M n
(F5)
n 1
Une difficulté théorique est que les inégalités ne sont vraies que pour des valeurs de
S supérieures à un minimum, et que pour n suffisamment grand ce minimum n'est pas
atteint.
Dans la pratique (voir l'annexe 3 à titre d'exemple), les probabilités e f .f n / n!
deviennent négligeables pour n supérieur à une valeur relativement faible (dans l'exemple
au-delà de 10), et la valeur de Mn , qui de toute façon est inférieure à 1, n'a plus
d'importance. La valeur de S ici utilisée (100) est égale à 50 fois la prime pure (2).
Bien souvent on constate que les résultats sont très proches en employant les
inégalités F2 ou F4.
4.2
Formules analytiques
Compte tenu de la remarque précédente sur le peu d'importance des valeurs des
Smin pour les grandes valeurs de n, on est en droit de considérer que les formules F2 ou F4
sont applicables quel que soit n. La série du second membre de la formule F5 s'exprime
alors par une formule plus simple.
Cas où Mn résulte de la formule F4 (inégalité conjecturale):
e
f
n 1
Ainsi
n
n
. f n / n!. 1  1  1 / S     e  f . f n / n!   e  f .  f 1  1 / S   / n!  1  e  f   e  f / S 1  e  f  f / S 

 n 1
n 1
P X  S   1  e f / S
(F6)
Cas où Mn résulte de la formule F2:
e
f
n 1
Donc
1 1
1
1 1
1
 n n  1
f
n 1
f
n
f
. f n / n!.  
  f ( S  S ² ) e . f / (n  1)!  S ²  e . f / n !  f ( S  S ² )  S ² 1  e 
S
S
²


n 1
n 1
1 1
1
PX  S   f (  )  1  e f 

S S² S² 
(F7)
Les 2 formules donnent des résultats très proches, comme on peut le voir dans les
tableaux suivants, du moins pour des valeurs élevées de S.
86
P. PETAUTON
Figure 6 : Comparaison des formules F6 et F7
4.3
Les value-at-risk
La Value-at-Risk de niveau   0,1 est VaR X;    S; PX  S  1   .
Si on remplace 1- par une majorante on obtient pour S une valeur majorante qu'on
pourrait qualifier de quasi Value-at risk.
S
Avec la formule F6 cela donne:

f
ln  
(F8)

1 1
1
Avec la formule F7 il faut résoudre f (  )  1  e  f  1   pour avoir la quasi
S S² S²
Value-at risk, ce qui est équivalent à
1   S ²  fS  f  e f
1  0
dont on retiendra la racine supérieure à f/(1-).
Exemples
Pour =0,95 et f=10 les 2 formules donnent respectivement 195 et 199;
pour =0,99 et f=50 les 2 formules donnent respectivement 4975 et 4999.
(F9)
UNE EXTENSION DE L'INEGALITE DE MARKOV : APPLICATION A L'EVALUATION DE LA
VALUE-AT-RISK POUR DES SINISTRALITES CATASTROPHIQUES
5.
87
CONCLUSIONS
Les probabilités de dépassement de seuil peuvent être estimée par la Théorie des
valeurs extrêmes mais celle-ci nécessite un nombre d’observations relativement élevé et les
estimations sont souvent entachées d’une très grand variance. L’inégalité démontrée pour
les grandes valeurs des variables permet d’obtenir une borne pour ces probabilités avec des
hypothèses minimales (variables positives possédant une espérance mathématique). Nous
avons énoncé concurremment l'hypothèse d'une meilleure inégalité, mais qui n'a pas été
démontrée. Dans la pratique les résultats obtenus avec les deux inégalités sont très proches.
Il semble possible de les utiliser pour le calcul des value-at-risk pour des distributions de
sinistres à queues épaisses dont on ignore les caractéristiques précises.
6.
REFERENCES
BESSON J.L., PARTRAT C.: Assurance non-vie. (2005). Economica
BOGAERT P. (2005): Probabilités pour scientifiques et ingénieurs. De Boeck
7.
7.1
ANNEXE 1 - DEMONSTRATION DE LA 1ERE FORMULE
Définition des zones et des fonctions u() et v():
Une zone est un rectangle défini par un intervalle de X et un intervalle de Y.
Dans une telle zone les fonctions u(Y) et v(X) sont telles que:
v(X) = λ + a(X -1) pour un intervalle de X
u(Y) = λ+ a'(Y-k) dans un intervalle de Y
D'où : =1+λ(X+Y-k-1)+(a+a')( X-1)(Y-k)
Dans chacune des zones la fonction  est linéaire par rapport à X ou Y.
88
P. PETAUTON
Figure 2: les zones
7.2
Valeur de  dans chaque zone
Dans les zones B et B', si X, Y   1  X  Y  k  1 , on aura pour X  Y  S ,
  K lorsque  
K 1
. Il restera à vérifier que dans ces zones   0 .
S  k 1
Nous prendrons les valeurs suivantes pour les fonctions u() et v():
Figure 3: Valeurs des fonctions u(Y) et v(X)
89
UNE EXTENSION DE L'INEGALITE DE MARKOV : APPLICATION A L'EVALUATION DE LA
VALUE-AT-RISK POUR DES SINISTRALITES CATASTROPHIQUES
7.3
Vérification des conditions pour  dans chaque zone
Il faut vérifier que   0 , ainsi que   K dès que X  Y  S. La linéarité par
rapport à X ou Y fait qu'il suffit de vérifier cela aux 4 sommets de chaque zone.
- zones Bet B'
Dans ces zones  est de la forme 1  X  Y  k  1 et sa valeur est minimale pour X+Y
minimum.
Il faut vérifier que  reste positif. La valeur minimale correspond pour le zone B à X=S-k
et Y=0, soit 1+λ(S-2k-1), ce qui est bien vérifié pour S ≥ 2k+1. Il peut y avoir une
incertitude pour S < 2k+1, mais pour
S = Smin ,  est égal à K-1 qui est une valeur positive.
Pour le zone B' la valeur minimale est atteinte avec X=0 et Y=k. C'est 1+λ(k-k-1)=1-λ .
Comme K≤(S-1)/k, on a K-1≤(S-k-1)/k et λ=(K-1)/(S-k-1)≤1/k≤1. 1-λ est non-négatif.
- zone A
u(Y) est identique à la valeur retenue pour B, soit u(Y) = λ + a(Y-k) et v(X) est identique à
la valeur retenue pour B', soit v(X)= λ+ a(X-1). Il en résulte que  = 1 + λ(X+Y-k-1) + g(
X-1)(Y-k) avec g=2a
Afin que (0,0)=0 on devra poser
g
k  1  1
k
(A1)
(0,k)= 1-λ est ≥ 0, comme on l'a vu plus haut
(S-k,0)=(S-k)(1-kλ)≥0
(S-k,k)= 1  X  Y  k  1 = K
- zone C
u(Y) est identique à la valeur retenue pour B', soit u(Y) = λ - a(Y-k) et v(X) est identique à
la valeur retenue pour B, soit v(X)= λ- a(X-1). Il en résulte que  = 1 + λ(X+Y-k-1) - g(
X-1)(Y-k) avec g=2a=-2a'
On peut vérifier que (S,S) = K et ainsi
g
S
S  1S  k 
(A2)
(S-k,k) = 1+ λ(S-k-1) = K
(S-k,S) = 1+ λ(S-2k-1) -g(S-k-1)(S-k) et S  k, S  K  S  k (  gS  k  1
Compte tenu de la formule (A2) la différence précédente est S  k, S  K 
(S,k)= 1 + λ(S-1)= K+λk
Il en résulte que dans le zone  ≥ K.
k
>0
S  1
90
P. PETAUTON
- zone D
Pour X >S prenons v(X)=v(S)= λ-a(S-1)
Donc
X, Y   1  X  1u Y   Y  1vS et comme S, Y   1  S  1u Y   Y  1vS , la
différence est:
X, Y    S, Y   X  Su Y  ; elle est positive en même temps que u(Y). La valeur
minimale
de
u(Y)
est
u(S)=λ-a(S-k)
u S    a S  k  
S, Y   K , X, Y   K .
S  2
0.
2S  1
Comme
- zone D'
Pour Y>S on prendra u(Y)=u(S)= λ-a(S-k).
X, Y    X, S  Y  SvX  qui est positif en même temps que v(X). Or la valeur
S  2k 
. Or nous savons que pour S≥ Smin,
2S  k 
S>2k+½. Comme précédemment on en déduit que X, Y   K .
minimale de v(X) est vS    a S  1 
- zone E
X, Y   1  X  1u S  Y  1vS et comme  S, S  1  S  1u S  S  1vS  K ,
X, Y   K  X  Su S  Y  SvS  0
8.
ANNEXE 2 - FONCTION DE REPARTITION D'UNE SOMME DE 2
VARIABLES DE PARETO PARTICULIERES
8.1
Le cas particulier
On considère des variables Y telles que pour y>0,5 on a PY  y   0,5 y 2 , dont
l'espérance mathématique est égale à 1 et dont la variance est infinie. Il y a une densité de
probabilité f(y) = 2
0,52 au-delà de y=0,5
y3
Pour 2 variables Y1 et Y2 de ce type, indépendantes entre elles:
PY1  Y2  S 
S 0,5

0,5
0,5 S  t 2 .2 0,53
2
t
dt  0,5 S  0,52 pour S>0,5
(F21)
UNE EXTENSION DE L'INEGALITE DE MARKOV : APPLICATION A L'EVALUATION DE LA
VALUE-AT-RISK POUR DES SINISTRALITES CATASTROPHIQUES
8.2
Calcul de l'intégrale premier terme de F21
Posons =0,5/S et faisons le changement de variable t=S.u qui implique dt=S.du.
PY1  Y2  S  (0,5 S) 4 I  0,5 S  0,52 avec
1
I


1/ 2
2
1  u 2 u 3
du 


2
1  u 2 u 3

du 
2

1  u 2 u 3
1/ 2
du
1/ 2
En changeant dans la 2ème intégrale u en (1-u) ce terme devient


1/ 2
Ainsi I 


2
1  u 3 u 3
2
1  u 3 u 2
du
du .
On peut vérifier en dérivant qu'une primitive de
2
1  u 3 u 3
est:
1
1
1
 1
, expression qui est nulle pour u=1/2.
12 ln u 1  u   6
 

2
 1  u u  1  u 
u2
On en déduit que
2

2
S  S²  S  
 S

 S
P Y1  Y2  S   (0,5 S ) 4 12 ln 
 1  6 





    0,5  S  0,5  
 0,5 
 0,5 S  0,5  0,5²  S  0,5  

91
92
9.
P. PETAUTON
ANNEXE 3
Exemple d'utilisation de la formule F5