une extension de l`inegalite de markov application a l`evaluation de

BULLETIN FRANÇAIS D’ACTUARIAT, Vol. 15, n° 30, juillet – décembre 2015, pp. 77 - 92
UNE EXTENSION DE L'INEGALITE DE MARKOV
APPLICATION A L'EVALUATION DE LA VALUE-AT-RISK POUR
DES SINISTRALITES CATASTROPHIQUES
Pierre PETAUTON1
Institut des Actuaires
Résumé :
En assurance une variable aléatoire telle que le montant d'un sinistre peut ne pas
avoir de moment supérieur à 1. Ce cas se rencontre par exemple pour des distributions
extrêmes, modélisées par la loi de Pareto par exemple. On doit supposer pourtant que ces
variables ont une espérance mathématique afin que le risque soit assurable. La seule autre
chose dont on soit certain est que les variables sont positives. Si on veut estimer la
probabilité d'un grand écart de sinistralité en l'absence de variance, on dispose de l'inégalité
de Markov:
Soit Z une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé, et
supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors
a
ZE
aZP0,a 
L'auteur de l'article améliore cette inégalité lorsque la variable Z est une somme de 2
variables aléatoires non négatives et indépendantes. . Ensuite il utilise le résultat pour
établir une formule applicable à une somme de n variables possédant la même moyenne,
que l'on suppose être égale à 1 (il suffit de prendre la moyenne comme unité monétaire).
Cette dernière formule est améliorable et il propose une inégalité plus stricte mais non
démontrée.
Enfin, en considérant que le nombre des sinistres est régi par une loi de Poisson, il
détermine numériquement une majorante de la value-at-risk en utilisant les deux inégalités
précédentes et il établit une formule analytique simple pour le résultat.
Mots clefs : Inégalité de Markov, value-at-risk, queues de distribution
1 Membre agrégé

78 P. PETAUTON
Abstract:
In insurance a random variable such as the amount of a loss may not have a moment
higher than 1. This case happens for example for extreme distributions, modelled by the
law of Pareto. One must however suppose that these variables have an expectation so that
the risk is insurable. The other thing which one is certain is that the variables are positive. If
one wants to estimate the probability of a wide variation of loss ratio, when there is no
variance, one only disposes of the inequality of Markov:
If X is any nonnegative random variable and a > 0, then:
a
ZE
aZP0,a 
The author of the article improved this inequality when the variable is a sum of 2
nonnegative and independent random variables. Then he used the result to establish a
formula applicable to a sum of n variables having the same average, that one supposes
being equal to 1 (it is enough to take the average as a monetary unit). This last formula is
improvable and he proposes a more strict but not demonstrated inequality.
Lastly, by considering that the number of claims is a Poisson process, he calculates
numerically the maximum of the value-at-risk by using the two previous inequalities and he
establishes a simple analytical formula for the result.
Keywords: Inequality of Markov, value-at-risk, tails of distribution

UNE EXTENSION DE L'INEGALITE DE MARKOV : APPLICATION A L'EVALUATION DE LA
VALUE-AT-RISK POUR DES SINISTRALITES CATASTROPHI
Q
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1. INTRODUCTION
Le nom seul de calcul des probabilités est un paradoxe : la probabilité, opposée à la
certitude, c'est ce qu'on ne sait pas, et comment peut-on calculer ce que l'on ne connaît
pas ? Henri Poincaré (La Science et l'hypothèse)
Bien souvent en assurance, et particulièrement lorsque les prestations garanties sont
la conséquence d'événements extrêmes, les lois de probabilité sont largement inconnues.
Les risques qui peuvent rendre les assureurs ou les réassureurs insolvables peuvent ne
jamais avoir été observés. On peut d'ailleurs imaginer que les distributions de probabilité
sous-jacentes ont des queues très épaisses et que les variables aléatoires concernées ne
possèdent pas de variance. C'est par exemple le cas de la loi de Pareto utilisable pour les
montants de sinistres Y supérieurs à un certain seuil ymin:
 y
y
yYP min . Lorsque le
paramètre  est inférieur ou égal à 2 il n'y a pas de variance.
Les seules certitudes ou quasi-certitudes que l'on ait pour ces variables aléatoires
dangereuses, c'est qu'elles sont non négatives et, pour qu'il y ait une prime d'assurance,
qu'elles possèdent une espérance mathématique (dans le cas Pareto  >1). Avec cette
information minimaliste, pour déterminer la probabilité qu'une variable dépasse un certain
seuil, on dispose de l'inégalité de Markov (voir BOGAERT):
Soit Z une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé, et
supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors
a
ZE
aZP0,a  . L'égalité se
produit lorsque Z ne peut prendre que les valeurs 0 ou a, avec les probabilité respectives
aZP1aZP  et aZP , de sorte que aZPaaZP0ZE  .
Si Z est une somme de variables non négatives, le cas limite précédent ne peut pas
se produire et on peut espérer améliorer l'inégalité de Markov. Dans une première partie
une nouvelle inégalité pour une somme de 2 variables non négatives sera démontrée. On
envisagera dans une deuxième partie le cas d'une somme de n variables ayant la même
espérance mathématique; une formule résultera de l'inégalité de la première partie, une
autre formule sera présentée, bien qu'il s'agisse d'une conjecture non démontrée. En
troisième partie les formules seront appliquées sur un exemple pour déterminer une
majorante de la value-at-risk.

80 P. PETAUTON
2. L'INEGALITE POUR UNE SOMME DE 2 VARIABLES
2.1 Le résultat à démontrer
Considérons 2 variables aléatoires non négatives X et Y indépendantes.
On suppose que E(X) =1 et E(Y)= k ≥ 0 et on s'intéresse à la somme X+Y qui est
également non négative et dont l'espérance mathématique vaut 1+k.
²S
k
S
1k
SYXP   pourvu que 2
1²k41k2
SS min
 (F0)
2.2 Origine de la formule F0
Recherchant la probabilité P(X+Y≥ S), lorsque les variables X et Y ne prennent
chacune que les valeurs 0 ou S, on constate que l'évènement X+Y=S peut se réaliser, avec
X=0 et Y=S, ou bien X=S et Y=0. Pour respecter les hypothèses E(X)=1 et E(Y)=k, il faut
d'une part que P(X=S) = 1/S et P(X=0) =1-1/S, et d'autre part que P(Y=S) = k/S et P(Y=0)
= 1-k/S.
Dans ces conditions la probabilité d'avoir X+Y =0 est
S/k1S/11  et
corrélativement
²S
k
S
1k
S/k1S/111SYXP 
 .
Il s'agit de montrer que cette relation est toujours valable.
2.3 Principe de la démonstration
Considérons
XvkYYu1X1Y,X
0kYE 1;XE 
où u() et v() sont des fonctions dont l'espérance mathématique est bornée pour les valeurs
non négatives des variables.
1E
On va montrer que, si u() et v() sont convenablement choisis,
0Y,X  , et que
pour
X+Y ≥ S
kS1k
²S
KY,X   , lorsque S ≥ Smin (F1)
Il en résulte que
KSYXP0SYXP1  et ainsi
K
1
SYXP  .
Un cas de figure particulier est celui où X= 1 de façon certaine et Y=S-1 avec la
probabilité k/(S-1) ou Y=0 avec la probabilité 1-k/(S-1). On a alors
1S
k
SYXP 
.La formule que l'on cherche à démontrer exige alors que
K
1
1S
k
 ce qui est
équivalent à : 0k)1k2(S²S 
dont la solution positive est: 2
1²k41k2
Smin

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VALUE-AT-RISK POUR DES SINISTRALITES CATASTROPHI
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On trouvera en annexe 1 le détail de la démonstration, ainsi que la vérification des
conditions 0 ,
K
 dès que .SYX 
2.4 Illustration pour k=1 et S=3
Une représentation graphique de la fonction
Y,X
est dans la figure ci-après:
Figure 1
2.5 Exemple d'application
Considérons 2 variables de Pareto X et Y telles que
a
0S/ySYPSXP  avec un paramètre a =2.
Leur espérance mathématique est :
0
y
1a
a
YEXE 
Si l'on prend cette valeur comme unité monétaire, alors y0 = 0,5
Pour a=2 on sait calculer la fonction de répartition de la somme de 2 variables telles
que celles-ci (voir annexe 2).