TD-No.3 bis - messinienp

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SERIE DE TD No. 3 bis
SYSTEMES TRIPHASES
A-
Exercices de rappels sur le monophasé sinusoïdal
Exercice 1
Un dipôle comportant une impédance Z = 1,25∠0° Ω est alimenté sous une tension v(t) = 100.cosωt. Donner l’expression
de i(t) et de p(t).
Exercice 2
Trois impédances complexes Z
valant respectivement (60+j0) Ω, (6+j12) Ω et (30-j30) Ω sont disposées en parallèle
1,2,3
sous une tension complexe V = 1200∠0° V. Calculer les puissances complexes au niveau de chacune de ces 3 impédances
ainsi que la puissance complexe totale.
Exercice 3
Une charge monophasée, alimentée sous V = 200∠0° V, est constituée d’une résistance R = 100 Ω en parallèle avec une
impédance Z = (10 + j20) Ω.
1. Calculer P, Q, cosϕ et l’amplitude du courant total I.
2. a) Calculer la capacité C à connecter aux bornes de la charge, c.a.d aux bornes de la source, pour relever le facteur
de puissance à 0,80 arrière.
b) Calculer la nouvelle amplitude du courant total I’.
B-
Exercices sur les systèmes triphasés équilibrés
Exercice 4
Une ligne triphasée, 3 fils, équilibrée, de tension composée (tension de ligne) U = 207,85 V a une impédance par phase Z l =
(2 + j4) Ω. Elle alimente une charge triphasée équilibrée comportant un récepteur couplé en étoile, d’impédance par phase
Z Υ = (30 + j40) Ω, disposé en parallèle avec un autre couplé en triangle et d’impédance par phase Z ∆ = (60 – j45) Ω.
1- Calculer la puissance active et réactive aux bornes de la charge triphasée (constituée des 2 récepteurs 3ph).
2- Calculer la tension de ligne aux bornes de cette charge triphasée.
3- Calculer les courants par phase au niveau du récepteur triphasé couplé en étoile et du récepteur triphasé couplé en
triangle.
4- Calculer les puissances actives et réactives au niveau du récepteur triphasé couplé en étoile et du récepteur triphasé
couplé en triangle.
5- Calculer la puissance complexe totale transportée par la ligne.
Exercice 5
Une ligne triphasée équilibrée a une impédance par phase Z l = (0,4 + j2,7) Ω. Elle alimente 2 charges triphasées équilibrées
disposées en parallèle. La première a une puissance apparente S1 = 560,1 kVA à cosϕ = 0,707 arrière. La seconde absorbe
P2 = 132 kW à cosϕ2 = 1. Aux bornes de ces 2 charges en parallèle, la tension de ligne est U = 3810,5 V. Calculer :
1. L’amplitude de la tension au départ de la ligne.
2. Les pertes de puissances en ligne.
3. Les puissances active et réactive délivrées par la ligne.
Exercice 6
Un réseau triphasé à 3 fils conducteurs de 110 V (sens direct (ou sens électrique) A, B, C) (voir Fig. e1)) alimente 03
impédances identiques de 5/45° (Ω) montées en triangle. Calculer les courants de ligne IA, IB et IC et effectuer une
représentation vectorielle.
A
I
U
CA
A
Z=5/45° Ω
U
AB
110/120°V
Z
Z
110/240°V
J
I
J
AB
B
B
Z
U
J
BC
110/0° V
I
C
C
Fig. e1
BC
CA
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Exercice 7
Un réseau triphasé de 208 V (sens direct (sens électrique) C, B, A (voir Fig. e2)) à 04 conducteurs alimente une charge
triphasée équilibrée montée en étoile et composée d'impédances identiques de 20/-30° Ω. Calculer les courants de ligne et
tracer le diagramme vectoriel du système.
A
I
A
AB
CA
Z=20/ -30° Ω
Z
U
U
Z
I
Z
B
B
U
BC
I
C
C
N
Fig. e2
Exercice 8
Un réseau triphasé à 03 conducteurs de 240 V (sens direct A, B, C Fig. e3) alimente une charge montée en triangle qui est
constituée des impédances ZAB = 10/0° Ω, ZBC = 10/30° Ω et ZCA = 15/-30° Ω. Calculer les 03 courants de ligne et tracer
le diagramme vectoriel du système.
A
I
A
CA
Z=15/-30°Ω
Z=10/0° Ω
U
U
AB
208/120°V
J
208/240°V
J
I
CA
AB
B
Z=10/30°Ω
B
U
J
BC
I
208/0° V
BC
C
C
Fig. e3
Exercice 9
Un réseau triphasé à 04 conducteurs de 208 V (sens direct C, B, A Fig. e4) alimente une charge montée en étoile dont les 03
impédances sont : ZA = 6/0° Ω, ZB = 6/30° Ω et ZC = 5/45° Ω. Calculer les trois courants de ligne ainsi que le courant de
neutre et tracer également le diagramme vectoriel du système.
A
I
A
V
Z=6/10°Ω
A
120/-90°V
Z=6/30°Ω
I
Z=5/45°Ω
B
B
V
B
I
120/30°V
C
C
V
N
C
120/150°V
Fig. e4
C-
Exercices d’application sur la transformation de Fortescue
Exercice 10
1.
Un système triphasé de courants est tel que
I 1 = 15∠30 o A, I 2 = 12∠180 o A et I 3 = 9∠150 o A. Calculer
les composantes symétriques de ce système de courants.
2.
Pour Vo
= 10∠0 o V , Vd = 220∠5 o V et Vi = 60∠45 o V calculer la puissance apparente complexe.
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Exercice 11
Le système triphasé (Figure) présente pour les séquences directe, inverse et homopolaire les impédances respectives
suivantes : j0,25 p.u., j0,15 p.u. et j0,10 p.u. Calculer les courants et les tensions réels au point de défaut
(considérer Ed = 1∠0o p.u. ).
I1
I2 = 0
I3 = 0
Exercice 12
Une charge triphasée équilibrée, couplée en triangle, est alimentée par un système triphasé équilibré de courants de ligne
I 1, 2, 3 avec I1 = 21∠0 o A. Dans le cas d’une coupure sur une ligne (Figure e5), calculer les composantes symétriques de
ces courants de ligne.
1
I1 = 21∠0° A
I2 = 0
2
I3
3
Figure e5
Exercice 13
1 1 1 
1 1 1 




−1 1
2
2
1) Montrer que l’inverse de la matrice (F ) = 1
a a  est égale à ( F ) = 1 a a 
3


2
1 a 2 a 
1
a
a




Avec
a=e
j
2π
3
 2

2) Calculer l’inverse de ( A) =  − 2
 3

2
1
0
- 1
 0

1
4  . Réponse (à vérifier) : ( A) −1 =  4
9
0 
 −1
3

1 - 2
2 2 
0
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Rappels :
Inverse d’une matrice.
L’inverse d’une matrice carrée
( A) est notée par ( A) −1 et vérifie la condition suivante :
( A).( A) −1 = ( A) −1.( A) = ( I )
où
(I )
est la matrice unité. L’inverse de
(A)
n’existe que si son
déterminant est différent de zéro. Les déterminations du déterminant et de l’inverse d’une matrice ne sont pas simples mais
aujourd’hui ces opérations sont faciles à effectuer en utilisant directement les calculatrices (on peut également utiliser
MatLab par exemple).
Pour rappel, l’inverse
( A) −1 d’une matrice 3x3 tel que :
a b c


( A) =  d e f 
g h i


est la matrice suivante :
 e.i − f.h c.h − b.i b.f − c.e 


1
( A) −1 =
 f.g − d.i a.i − c.g c.d − a.f 
a.e.i + b. f .g + c.d .h − c.e.g − b.d .i − a. f .h 

 d.h − e.g b.g − a.h a.e − b.d 
De façon plus générale,
( A) −1 =
1
.(Cof ( A) )T
det( A)
On appelle Cofacteur (i,j) de la matrice (A) le réel Cof(A)i,j = (-1)i+j.det((A)i,j), où (A)i,j est la matrice obtenue en supprimant
la ième ligne et la jème colonne de (A). Cof(A) est dite matrice des cofacteurs.
•
•
•
(( A) −1 ) −1 = ( A)
(( A).( B)) −1 = ( B) −1.( A) −1 (Il faut faire attention lors de la permutation des matrices)
Si l’inverse de ( A) existe, on peut simplifier par exemple : ( A).( B ) = ( A).(C ) ⇒ ( B ) = (C )