TD-No.3 bis - messinienp

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SERIE DE TD No. 3 bis
SYSTEMES TRIPHASES
A- Exercices de rappels sur le monophasé sinusoïdal
Exercice 1
Un dipôle comportant une impédance
°
∠
=
025,1Z
Ω est alimenté sous une tension v
(t)
= 100.cosωt. Donner l’expression
de i(t) et de p(t).
Exercice 2
Trois impédances complexes
3,2,1
Z
valant respectivement (60+j0) Ω, (6+j12) Ω et (30-j30) Ω sont disposées en parallèle
sous une tension complexe
°
∠
=
0
1200
V
V. Calculer les puissances complexes au niveau de chacune de ces 3 impédances
ainsi que la puissance complexe totale.
Exercice 3
Une charge monophasée, alimentée sous
°
∠
=
0
200
V
V, est constituée d’une résistance R = 100 Ω en parallèle avec une
impédance
Z
= (10 + j20) Ω.
1. Calculer P, Q, cosϕ et l’amplitude du courant total I.
2. a) Calculer la capacité C à connecter aux bornes de la charge, c.a.d aux bornes de la source, pour relever le facteur
de puissance à 0,80 arrière.
b) Calculer la nouvelle amplitude du courant total I’.
B- Exercices sur les systèmes triphasés équilibrés
Exercice 4
Une ligne triphasée, 3 fils, équilibrée, de tension composée (tension de ligne) U = 207,85 V a une impédance par phase
l
Z
=
(2 + j4) Ω. Elle alimente une charge triphasée équilibrée comportant un récepteur couplé en étoile, d’impédance par phase
Υ
Z
= (30 + j40) Ω, disposé en parallèle avec un autre couplé en triangle et d’impédance par phase
∆
Z
= (60 – j45) Ω.
1- Calculer la puissance active et réactive aux bornes de la charge triphasée (constituée des 2 récepteurs 3ph).
2- Calculer la tension de ligne aux bornes de cette charge triphasée.
3- Calculer les courants par phase au niveau du récepteur triphasé couplé en étoile et du récepteur triphasé couplé en
triangle.
4- Calculer les puissances actives et réactives au niveau du récepteur triphasé couplé en étoile et du récepteur triphasé
couplé en triangle.
5- Calculer la puissance complexe totale transportée par la ligne.
Exercice 5
Une ligne triphasée équilibrée a une impédance par phase
l
Z
= (0,4 + j2,7) Ω. Elle alimente 2 charges triphasées équilibrées
disposées en parallèle. La première a une puissance apparente S
1
= 560,1 kVA à cosϕ = 0,707 arrière. La seconde absorbe
P
2
= 132 kW à cosϕ
2
= 1. Aux bornes de ces 2 charges en parallèle, la tension de ligne est U = 3810,5 V. Calculer :
1. L’amplitude de la tension au départ de la ligne.
2. Les pertes de puissances en ligne.
3. Les puissances active et réactive délivrées par la ligne.
Exercice 6
Un réseau triphasé à 3 fils conducteurs de 110 V (sens direct (ou sens électrique) A, B, C) (voir Fig. e1)) alimente 03
impédances identiques de 5/45° (Ω) montées en triangle. Calculer les courants de ligne I
A
, I
B
et I
C
et effectuer une
représentation vectorielle.
Z=5/45° Ω
A
U
CA
110/120°V
B
C
U
AB
U
BC
110/240°V
110/0° V
I
A
I
B
I
C
J
BC
J
AB
J
CA
Z
Z
Z
Fig. e1

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Exercice 7
Un réseau triphasé de 208 V (sens direct (sens électrique) C, B, A (voir Fig. e2)) à 04 conducteurs alimente une charge
triphasée équilibrée montée en étoile et composée d'impédances identiques de 20/-30° Ω. Calculer les courants de ligne et
tracer le diagramme vectoriel du système.
Z=20/-30° Ω
A
U
CA
B
C
U
AB
U
BC
I
A
I
B
I
C
Z
Z
Z
N
Fig. e2
Exercice 8
Un réseau triphasé à 03 conducteurs de 240 V (sens direct A, B, C Fig. e3) alimente une charge montée en triangle qui est
constituée des impédances Z
AB
= 10/0° Ω, Z
BC
= 10/30° Ω et Z
CA
= 15/-30° Ω. Calculer les 03 courants de ligne et tracer
le diagramme vectoriel du système.
Z=15/-30°Ω
A
U
CA
208/120°V
B
C
U
AB
U
BC
208/240°V
208/0° V
I
A
I
B
I
C
J
BC
J
AB
J
CA
Z=10/30°Ω
Z=10/0° Ω
Fig. e3
Exercice 9
Un réseau triphasé à 04 conducteurs de 208 V (sens direct C, B, A Fig. e4) alimente une charge montée en étoile dont les 03
impédances sont : Z
A
= 6/0° Ω, Z
B
= 6/30° Ω et Z
C
= 5/45° Ω. Calculer les trois courants de ligne ainsi que le courant de
neutre et tracer également le diagramme vectoriel du système.
120/-90°V
A
V
A
B
CV
C
V
B
I
A
I
B
I
C
N
120/30°
Z=6/10°Ω
Z=5/45°Ω
V
120/150°V
Z=6/30°Ω
Fig. e4
C- Exercices d’application sur la transformation de Fortescue
Exercice 10
1. Un système triphasé de courants est tel que
o
I3015
1
∠= A,
o
I18012
2
∠= A et
o
I1509
3
∠= A. Calculer
les composantes symétriques de ce système de courants.
2. Pour
VV
o
o
010∠= , VV
o
d
5220∠= et VV
o
i
4560∠= calculer la puissance apparente complexe.

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Exercice 11
Le système triphasé (Figure) présente pour les séquences directe, inverse et homopolaire les impédances respectives
suivantes : j0,25 p.u., j0,15 p.u. et j0,10 p.u. Calculer les courants et les tensions réels au point de défaut
(considérer
..01 upE
o
d
∠=
).
Exercice 12
Une charge triphasée équilibrée, couplée en triangle, est alimentée par un système triphasé équilibré de courants de ligne
3 ,2 ,1
I avec
.021
1
AI
o
∠=
Dans le cas d’une coupure sur une ligne (Figure e5), calculer les composantes symétriques de
ces courants de ligne.
Figure e5
Exercice 13
1) Montrer que l’inverse de la matrice
=
2
2
a a 1
a a 1
1 1 1
)(F
est égale à
=
−
a a 1
a a 1
1 1 1
3
1
)(
2
21
F
Avec
3
2
π
j
e
a
=
2) Calculer l’inverse de
−= 0 0 3 4 1 2
1- 2 2
)(A
. Réponse (à vérifier) :
−
=
−
2 2 1
2- 1 4
3 0 0
9
1
)(
1
A
1
I
0
2
=I
0
3
=I
AI
°
∠
=
021
1
3
I
2
1
3
0
2
=
I

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Rappels :
Inverse d’une matrice.
L’inverse d’une matrice carrée
)
(
A
est notée par
1
)(
−
A et vérifie la condition suivante :
)().()()).((
11
IAAAA ==
−
−
où
)
(
I
est la matrice unité. L’inverse de
)
(
A
n’existe que si son
déterminant est différent de zéro. Les déterminations du déterminant et de l’inverse d’une matrice ne sont pas simples mais
aujourd’hui ces opérations sont faciles à effectuer en utilisant directement les calculatrices (on peut également utiliser
MatLab par exemple).
Pour rappel, l’inverse
1
)(
−
A d’une matrice 3x3 tel que :
=ih f e
c b
)(
g
d
a
A
est la matrice suivante :
−−− −−−
−
−
−
−−−++
=
−
b.da.h a.ee.g b.gd.h
a.fdc.g c.d.i a.if.g
c.efb.i b.f.h c.he.i
hfaidbgechdcgfbiea
A............ 1 )(
1
De façon plus générale,
( )
T
ACof
A
A)(.
)det(
1
)(
1
=
−
On appelle Cofacteur (i,j) de la matrice (A) le réel Cof(A)
i,j
= (-1)
i+j
.det((A)
i,j
), où (A)
i,j
est la matrice obtenue en supprimant
la ième ligne et la jème colonne de (A). Cof(A) est dite matrice des cofacteurs.
• )())((
11
AA =
−
−
•
111
).()())).(((
−
−
−
=ABBA (Il faut faire attention lors de la permutation des matrices)
• Si l’inverse de
)
(
A
existe, on peut simplifier par exemple :
)
(
)
(
)
).(
(
)
).(
(
C
B
C
A
B
A
=
⇒
=