GDMAT114 Algèbre, géométrie et calcul infinitésimal

GDMAT114
Algèbre, géométrie et calcul infinitésimal élémentaires
Responsable : Agnes Coquio
Coordonnées : [email protected], tél : 0476634255
Gestionnaire de scolarité : Evelyne Zorzettig
Coordonnées : [email protected], tél : 0476514388
Pré-requis :
Programme du lycée
UE obligatoire dans les parcours :
INF,MIN,MAT
Compétences visées :
Logique et langage mathématique: Renforcement des connaissances relative aux règles de la logique. Les exemples
sont fournis par les nombres entiers, réels ou complexes introduits au collège et lycée.
Parties B,C,D: apprentissage des notions de base de la géometrie et du calcul infinitésimal indispensables pour les
cours de Physique.
Le cours ne doit cependant pas être fait seulement dans un esprit utilitaire.
L'autre objectif du cours est que l'étudiant apprenne à utiliser et à manipuler des définitions abstraites pour construire
des raisonnements.
ECTS : 6
Horaires :
Travaux Dirigés (TD)
24 h
CM et TD intégrés
42 h
Heures encadrées
66 h
Travail personnel estimé
54 h
Le détail de la nature des épreuves de controle continu et des épreuves terminales de première et de deuxième session
sera communiqué au début du semestre.
Programme résumé :
A- Le langage mathématique : prise de contact
Eléments de logique :
- Vocabulaire de la théorie naïve des ensembles , élément, ensemble, appartenance, complémentaire, intersection,
réunion, inclusion, égalité.
- Exemples de raisonnements : raisonnement direct, raisonnement par l'absurde, par disjonction des cas, raisonnement
par récurrence.
B- Géométrie du plan et de l'espace
-Géométrie vectorielle et affine : vecteurs, addition, multiplication par un scalaire, vecteurs colinéaires, vecteurs
indépendants, représentation des vecteurs en coordonnées cartésiennes, représentations paramétriques et implicites
de droites et de plans,
- Eléments de géométrie euclidienne : le produit scalaire et sa représentation en coordonnées cartésiennes, cosinus
d'un angle de deux vecteurs, bases orthonormées directes ou indirectes, produit vectoriel et sa représentation en
coordonnées cartésiennes, définition du produit mixte.
- Détermination des coordonnées d'un point ou d'un vecteur dans un repère orthonormé. Projection d'un point et d'un
vecteur de l'espace sur un plan, d'un vecteur du plan sur une droite.
C- Les bases du calcul algébrique dans R et C
-Manipulation des symboles $sum$ et $prod$ illustrée par les formules à connaître : identités remarquables, formule du
binôme de Newton, somme des premiers termes d'une suite arithmétique ou géométrique. Preuve d'identités par
récurrence.
- Les nombres complexes : forme algébrique, addition, multiplication, conjugaison, norme, forme trigonométrique,
interprétation géométrique des nombres complexes, les formules d'Euler et de Moivre ( formules d'addition pour cos et
sin), racines carrées d'un nombre complexe, équation du second degré à coefficients complexes, représentation
complexe des homothéties, translations, rotations, symétries dans le plan complexe.
D- Dérivées et Primitives
- Fonctions et applications : domaine de départ et d'arrivée, domaine de définition, image directe, image réciproque,
restriction, composition, injections, surjections, bijections.
-Parité, imparité, périodicité pour les fonctions d'une variable réelle.
- Limites : limite finie d'une fonction en 0, comportement par somme, produit, quotient.
- Notion de fonction continue. Somme, produit, quotient, composition.
- Dérivation: définition du nombre dérivée en un point de l'intervalle de définition. Notion de fonction dérivable.
Somme, produit, quotient, fonctions composées. Formules admises pour la fonction composée et le quotient. Dérivable
implique continue.
Techniques de calcul. Signe de la dérivée et monotonie, tableaux de variation: rappels du lycéee.
-Fonctions spéciales: fonctions trigonométriques (cosinus, sinus, tangente, cotangente), exponentielle, logarithme,
puissance réelle d'un nombre réel, cosinus et sinus hyperbolique. Dérivées de ces fonctions spéciales.
-Intégration: Notion de primitive. Théorème admis: toute fonction continue a une primitive. Interprétation géométrique
admise de l'intégrale comme aire algébrique de la région contenue entre l'axe des abscisses et le graphe.
-Intégration, techniques de calcul: Primitives usuelles, intégration par parties et formule de changement de variable.
-Techniques spécifiques d'intégration à introduire en TD par des exemples sans traitement systématique: linéarisation
de polynômes trigonométriques et application au calcul de leurs primitives, décomposition des fractions
rationnelles en éléments simples (exemple: $x\mapsto \frac{1}{(x-a)(x-b)}$ ).
-Equations différentielles linéaires d'ordre 1 avec second membre.
-Equations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants avec usage des nombres complexes.
Epreuves de Contrôle Continu :
Type
Nature
Coefficient
CC1
Epreuve écrite
0.60
CC2
Autres
0.60
Nature de l'épreuve
Coefficient
Durée
Epreuve écrite
0.80
2h
Epreuve Terminale 1ère session (ET) :
Type
ET
NB : En cas de désaccord, ce sont les coefficients portés sur le règlement d'examen de la Licence qui prévalent.
La note finale de l'UE est une moyenne pondérée des notes de contrôle continu (CC1 et CC2) et de la note d'examen
terminal (ET), calculée selon la règle suivante.
Calcul de la note d'UE :
Règle 2 : la meilleure entre la note d'examen et la moyenne pondérée des trois notes CC1, CC2 et ET avec leurs
coefficients.
NF = Max{ET, (noteCC1*coeffCC1+noteCC2*coeffCC2+noteET*coeffET)}
Si l'étudiant se présente en session 2, la note obtenue remplace la note d'examen terminal (ET) de session 1, sinon la
note (ET) de session 1 est reportée en session 2. Les notes de contrôle continu sont reportées.
Commentaires :
La note de CC1 sera la note d'un partiel de 2h commun à tous les groupes de TD.
La note de CC2 sera obtenue à l'aide de DS faits dans chaque groupe de TD et éventuellement d'une note d'oral.