GDMAT114 Algèbre, géométrie et calcul infinitésimal

GDMAT114
Algèbre, géométrie et calcul infinitésimal élémentaires
Responsable : Agnes Coquio
Coordonnées : [email protected], tél : [phone]
Gestionnaire de scolarité : Evelyne Zorzettig
Coordonnées : [email protected], tél : [phone]
Pré-requis :
Programme du lycée
UE obligatoire dans les parcours :
INF,MIN,MAT
Compétences visées :
Logique et langage mathématique: Renforcement des connaissances relative aux règles de la logique. Les exemples
sont fournis par les nombres entiers, réels ou complexes introduits au collège et lycée.
Parties B,C,D: apprentissage des notions de base de la géometrie et du calcul infinitésimal indispensables pour les
cours de Physique.
Le cours ne doit cependant pas être fait seulement dans un esprit utilitaire.
L'autre objectif du cours est que l'étudiant apprenne à utiliser et à manipuler des définitions abstraites pour construire
des raisonnements.
ECTS : 6
Horaires :
Travaux Dirigés (TD) 24 h
CM et TD intégrés 42 h
Heures encadrées 66 h
Travail personnel estimé 54 h
Le détail de la nature des épreuves de controle continu et des épreuves terminales de première et de deuxième session
sera communiqué au début du semestre.
Programme résumé :
A- Le langage mathématique : prise de contact
Eléments de logique :
- Vocabulaire de la théorie naïve des ensembles , élément, ensemble, appartenance, complémentaire, intersection,
réunion, inclusion, égalité.
- Exemples de raisonnements : raisonnement direct, raisonnement par l'absurde, par disjonction des cas, raisonnement
par récurrence.
B- Géométrie du plan et de l'espace
-Géométrie vectorielle et affine : vecteurs, addition, multiplication par un scalaire, vecteurs colinéaires, vecteurs
indépendants, représentation des vecteurs en coordonnées cartésiennes, représentations paramétriques et implicites
de droites et de plans,
- Eléments de géométrie euclidienne : le produit scalaire et sa représentation en coordonnées cartésiennes, cosinus
d'un angle de deux vecteurs, bases orthonormées directes ou indirectes, produit vectoriel et sa représentation en
coordonnées cartésiennes, définition du produit mixte.

- Détermination des coordonnées d'un point ou d'un vecteur dans un repère orthonormé. Projection d'un point et d'un
vecteur de l'espace sur un plan, d'un vecteur du plan sur une droite.
C- Les bases du calcul algébrique dans R et C
-Manipulation des symboles $sum$ et $prod$ illustrée par les formules à connaître : identités remarquables, formule du
binôme de Newton, somme des premiers termes d'une suite arithmétique ou géométrique. Preuve d'identités par
récurrence.
- Les nombres complexes : forme algébrique, addition, multiplication, conjugaison, norme, forme trigonométrique,
interprétation géométrique des nombres complexes, les formules d'Euler et de Moivre ( formules d'addition pour cos et
sin), racines carrées d'un nombre complexe, équation du second degré à coefficients complexes, représentation
complexe des homothéties, translations, rotations, symétries dans le plan complexe.
D- Dérivées et Primitives
- Fonctions et applications : domaine de départ et d'arrivée, domaine de définition, image directe, image réciproque,
restriction, composition, injections, surjections, bijections.
-Parité, imparité, périodicité pour les fonctions d'une variable réelle.
- Limites : limite finie d'une fonction en 0, comportement par somme, produit, quotient.
- Notion de fonction continue. Somme, produit, quotient, composition.
- Dérivation: définition du nombre dérivée en un point de l'intervalle de définition. Notion de fonction dérivable.
Somme, produit, quotient, fonctions composées. Formules admises pour la fonction composée et le quotient. Dérivable
implique continue.
Techniques de calcul. Signe de la dérivée et monotonie, tableaux de variation: rappels du lycéee.
-Fonctions spéciales: fonctions trigonométriques (cosinus, sinus, tangente, cotangente), exponentielle, logarithme,
puissance réelle d'un nombre réel, cosinus et sinus hyperbolique. Dérivées de ces fonctions spéciales.
-Intégration: Notion de primitive. Théorème admis: toute fonction continue a une primitive. Interprétation géométrique
admise de l'intégrale comme aire algébrique de la région contenue entre l'axe des abscisses et le graphe.
-Intégration, techniques de calcul: Primitives usuelles, intégration par parties et formule de changement de variable.
-Techniques spécifiques d'intégration à introduire en TD par des exemples sans traitement systématique: linéarisation
de polynômes trigonométriques et application au calcul de leurs primitives, décomposition des fractions
rationnelles en éléments simples (exemple: $x\mapsto \frac{1}{(x-a)(x-b)}$ ).
-Equations différentielles linéaires d'ordre 1 avec second membre.
-Equations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants avec usage des nombres complexes.
Epreuves de Contrôle Continu :
Type Nature Coefficient
CC1 Epreuve écrite 0.60
CC2 Autres 0.60
Epreuve Terminale 1ère session (ET) :
Type Nature de l'épreuve Coefficient Durée
ET Epreuve écrite 0.80 2h
NB : En cas de désaccord, ce sont les coefficients portés sur le règlement d'examen de la Licence qui prévalent.
La note finale de l'UE est une moyenne pondérée des notes de contrôle continu (CC1 et CC2) et de la note d'examen
terminal (ET), calculée selon la règle suivante.
Calcul de la note d'UE :
Règle 2 : la meilleure entre la note d'examen et la moyenne pondérée des trois notes CC1, CC2 et ET avec leurs

coefficients.
NF = Max{ET, (noteCC1*coeffCC1+noteCC2*coeffCC2+noteET*coeffET)}
Si l'étudiant se présente en session 2, la note obtenue remplace la note d'examen terminal (ET) de session 1, sinon la
note (ET) de session 1 est reportée en session 2. Les notes de contrôle continu sont reportées.
Commentaires :
La note de CC1 sera la note d'un partiel de 2h commun à tous les groupes de TD.
La note de CC2 sera obtenue à l'aide de DS faits dans chaque groupe de TD et éventuellement d'une note d'oral.