Opérations sur les matrices, groupe symétrique et

Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et
déterminants
(Taisez-vous ! Le maître parle)
Jean-Paul Vincent

Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
1 Opérations élémentaires sur les matrices
1 Opérations élémentaires sur les matrices
1 Opérations élémentaires sur les matrices
1 Opérations élémentaires sur les matrices
1 Rang d’une matrice
1 Systèmes d’équations linéaires
1 Systèmes d’équations linéaires
1 Déterminants
Groupe symétrique
Applications multilinéaires alterenées
Déterminants
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Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Opérations sur les matrices
Soit M = (aj,k ) une matrice. Notons Ck la k-ième colonne.
Appellons opération élémentaire sur les colonnes de M les
opérations de la forme :
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Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Opérations sur les matrices
Soit M = (aj,k ) une matrice. Notons Ck la k-ième colonne.
Appellons opération élémentaire sur les colonnes de M les
opérations de la forme :
addition d’une colonne à une autre, codage : Ck ← Ck + αCm
où m 6= k
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Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Opérations sur les matrices
Soit M = (aj,k ) une matrice. Notons Ck la k-ième colonne.
Appellons opération élémentaire sur les colonnes de M les
opérations de la forme :
addition d’une colonne à une autre, codage : Ck ← Ck + αCm
où m 6= k
multiplication d’une colonne par un scalaire α non nul,
codage : Ck ← αCk
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Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Opérations sur les matrices
Soit M = (aj,k ) une matrice. Notons Ck la k-ième colonne.
Appellons opération élémentaire sur les colonnes de M les
opérations de la forme :
addition d’une colonne à une autre, codage : Ck ← Ck + αCm
où m 6= k
multiplication d’une colonne par un scalaire α non nul,
codage : Ck ← αCk
échange de deux colonnes, codage : Ck ↔ Cj
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Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Encore
a1 b 1
a2 b 2
→
a1 a1 + b1
a2 a2 + b2
Addition d’une colonne à une autre
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Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Encore
a1 b 1
a2 b 2
→
a1 λb1
a2 λb2
Multiplication d’une colonne par un scalaire
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Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Encore
a1 b 1
a2 b 2
→
b1 a1
b2 a2
Échange de deux colonnes
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Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Encore
a1 b 1
a2 b 2
→
a1 λa1 + b1
a2 λa2 + b2
En combinant un nombre quelconque d’opérations élémentaires nous obtiendrons des transformations plus complexes.
Par exemple, avec les deux premières opérations : addition
d’un multiple d’une colonne à une autre.
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Lignes et colonnes
Les opérations sur les lignes se font de la même façon que les opérations
sur les colonnes.
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Lignes et colonnes
Une opération élémentaire sur les colonnes d’une matrice s’effectue par
multiplication à droite par une matrice :
1 λ
a1 λa1 + b1
a1 b1
=
a2 λa2 + b2
a2 b2
0 1
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Lignes et colonnes
Une opération élémentaire sur les lignes d’une matrice s’effectue par
multiplication à gauche par une matrice :
a1 b1
a1
b1
1 O
=
λa1 + a2 λb1 + b2
λ 1
a2 b2
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Changements de bases
Il est donc clair que si M est la matrice d’un homomorphisme
u : source(e1 ,e2 ) → but(e10 ,e20 )
des opérations élémentaires sur les colonnes correspondent à un
changement de base à la source
u (e1 ) u (
e2 )
u (e1 ) u (λe1 + e2 )
a1 b1
a1 λa1 + b1
→
a2 b2
a2 λa2 + b2
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Changements de bases
Il est donc clair que si M est la matrice d’un homomorphisme
u : source(e1 ,e2 ) → but(e10 ,e20 )
des opérations élémentaires sur les lignes correspondent à un changement de base au but
0
0
e1
e1 + λe20
a1 b 1
a1
b1
→
0
a2 b 2
e2
λa1 + a2 λb1 + b2
e20
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Explication
a1 b1
Avec la notation : u (e1 ) u (e2 ) = e10 e20
nous
a2 b2
écrivons :
1 O
1 O
a1 b1
0
0
u (e1 ) u (e2 ) = e1 e2
−λ 1
λ 1
a2 b2
a1 λa1 + b1
= e10 e10 − λe20
a2 λa2 + b2
La base du but est maintenant (e10 , e10 − λe20 ).
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Rang d’une matrice
Definition
Le rang d’une matrice A est le rang de l’application linéaire
associée.
Soit u un homomorphisme de E , muni de la base (e ), à valeurs
dans F , muni de la base (f ). Alors
rang (u ) = rang M(e ),(f ) (u )
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Décomposition
L’homomorphisme u de E dans F , muni de leurs bases respectives
(e ) et (f ), a pour matrice Me,f . Nous savons qu’il existe des bases
(e 0 ) de E et (f 0 ) de F telles que Me 0 ,f 0 soit diagonale avec des 1
sur la diagonale. Soit r le rang de u, c’est aussi le rang des
matrices Me,f et Me 0 ,f 0 :
Ir 0
Me 0 ,f 0 =
0 0
Nous appellerons cette matrice Jr .
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Décomposition
L’homomorphisme u de E dans F , muni de leurs bases respectives
(e ) et (f ), a pour matrice Me,f . Nous savons qu’il existe des bases
(e 0 ) de E et (f 0 ) de F telles que Me 0 ,f 0 soit diagonale avec des 1
sur la diagonale. Soit r le rang de u, c’est aussi le rang des
matrices Me,f et Me 0 ,f 0 :
Ir 0
Me 0 ,f 0 =
0 0
Nous appellerons cette matrice Jr .
Soient V = Mf 0 ,f (idF ) et U = Me,e 0 (idE ), alors :
Me,f = VJr U
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Rang de la transposée
Puisque Me,f = VJr U, nous avons aussi t Me,f =
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Rang de la transposée
Puisque Me,f = VJr U, nous avons aussi t Me,f =t UJr t V . Par
conséquent une matrice et sa transposée ont le même rang.
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Rang de la transposée
Puisque Me,f = VJr U, nous avons aussi t Me,f =t UJr t V . Par
conséquent une matrice et sa transposée ont le même rang. Nous
en déduisons que nous pouvons calculer le rang d’une matrice en
effectuant des opérations sur ses colonnes et ses lignes.
Jean-Paul Vincent
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Systèmes d’équations linéaires
Soient E et F deux K-espaces vectoriels, u une application linéaire
de E dans F , b un vecteur de F , l’équation :
u (x ) = b
est dite équation linéaire associée à (u, b ).
Lorsque b = 0, on parle d’équation homogène.
Jean-Paul Vincent
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Systèmes d’équations linéaires
Soient E et F deux K-espaces vectoriels, u une application linéaire
de E dans F , b un vecteur de F , l’équation :
u (x ) = b
est dite équation linéaire associée à (u, b ).
Lorsque b = 0, on parle d’équation homogène.
L’ensemble des solutions de u (x ) = 0 est le noyau de u, il
contient au moins le vecteur nul, appelé solution triviale.
Si b 6= 0 et s’il existe une solution particulière a, l’ensemble
des solutions de u (x ) = b est S = a + ker(u ).
Nous disons que S est un espace affine de direction ker(u ).
Jean-Paul Vincent
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Équations linéaires
Cas des espaces Km : c’est le cas où l’on utilise des bases pour
résoudre un système. Soient E = Km et F = Kn munis de leurs
bases canoniques.
Soit uj l’application qui à x associe la j-ième coordonnées de u (x ).
Alors :


 u1 (x ) = b1
..
u (x ) = b ⇔
.


un (x ) = bn
Si uj 6= 0, l’ensemble Sj des solutions de uj (x ) = bj est un
hyperplan affine, S apparaît comme étant l’intersection d’un
nombre fini d’hyperplans affines.
Jean-Paul Vincent
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Équations linéaires
Le rang d’un système linéaire u (x ) = b est le rang de u.
Le théorème du rang montre que si S = {x ∈ E /u (x ) = b } n’est
pas vide, le rang r du sytème u (x ) = 0 et la dimension d de
l’espace S des solutions vérifient : r + d = dim E .
Le système u (x ) = b est appelé système de Cramer si n = m = r .
Theorem
u (x ) = b est un système de Cramer si et seulement si u est un
isomorphisme. Un système de Cramer admet une unique solution.
Jean-Paul Vincent
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Permutation et groupe symétrique
Definition
Soit n un entier supérieur à 1. Le groupe des permutations de
J1, nK est noté : Sn .
Un élément σ de Sn est noté :
1
...
σ (1) . . .
n
σ (n )
Example
Exemple Par exemple, pour n = 3 et σ1 (1) = 2, σ1 (2) = 3 et
σ1 (3) = 1 :
1 2 3
σ1 =
2 3 1
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Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
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Definition
Soient σ ∈ Sn et k ∈ J1, nK. L’orbite de k est : {σj (k )/j ≥ 0}.
Example
σ2 =
1 2 3 4
2 3 1 4
L’orbite de 1 est {1, 2, 3}, qui est aussi l’orbite de 2 et 3. L’orbite
de 4 est {4}.
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
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Theorem
Soit σ ∈ Sn . Deux orbites sont disjointes ou égales. k ∈ J1, nK est
la réunion disjointe des orbites de σ.
Definition
Un cycle est une permutation qui n’a qu’une seule orbite ayant 2
éléments ou plus, le nombre d’éléments de cette orbite est la
longueur du cycle. Un cycle de longueur 2 est une transposition.
Un cycle de longueur m est noté k σ(k ) . . . σm−1 (k ) .
Jean-Paul Vincent
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Example
Exemple σ1 et σ2 sont des cycles. Le cycle (2 4) est une
transposition.
Definition
Appelons support d’une permutation σ, l’ensemble
supp σ = {k ∈ J1, nK/σ(k ) 6= k }.
Exercice
Deux permutations de supports disjoints commutent.
Jean-Paul Vincent
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Theorem
Le groupe Sn est engendré par les transpositions.
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Theorem
Le groupe Sn est engendré par les transpositions.
Preuve.
Raisonnons par récurrence sur le cardinal du support. Le support d’une
permutation distincte de l’identité contient au moins deux éléments.
Posons m = card(supp σ ). Si m < 2, σ est l’identité qui est produit de
zéro transposition. Supposons m ≥ 2. Soit i dans supp σ, ainsi
σ(i ) 6= i. Posons
j = σ −1 (i )
Nous avons aussi σ(j ) 6= j car le support est stable par σ. Le
complémentaire du support est l’ensemble des points fixes.
Jean-Paul Vincent
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Theorem
Le groupe Sn est engendré par les transpositions.
Preuve.
Soit τ = (i j ) et σ0 = τσ. Si ` est point fixe de σ, il est différent de i et
j donc : σ0 (`) = `. De plus σ0 (i ) = i. Donc le support de σ0 est
strictement plus petit que le support de σ, d’après l’hypothèse de
récurrence σ0 est un produit de transpositions, il suit que σ = τσ0 est
aussi égal à un produit de transpositions, ce qui achève la
démonstration.
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
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Definition
La signature d’une permutation σ est le nombre ε(σ) défini par :
ε(σ) =
∏
j <k
σ (j ) − σ (k )
j −k
La permutation σ induit une permutation de l’ensemble des
couples C = {{j, k }/(j, k ) ∈ J1, nK2 ∧ (j < k )} (C = P2 (J1, nK)
est l’ensemble des parties à deux éléments de J1, nK), donc :
ε(σ) = ±1 et, plus précisément, ε(σ) = (−1)m où m est le
nombre d’inversions de σ, c’est-à-dire le nombre de couples (j, k )
tels que j < k et σ(j ) > σ(k ).
Jean-Paul Vincent
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1 2 3 4 5 6 7 8 9
Calcul pratique : soit σ =
. On
6 2 5 1 9 7 3 8 4
dresse un tableau où la première ligne contient 1, . . . , 9 et la
deuxième ligne contient, sous chaque j, le nombre d’entiers placés
avant j et plus grands que j dans la seconde ligne de l’expression
de σ sous forme matricielle :
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 1 4 5 1 0 1 1 0
Le nombre d’inversions est la somme des nombres de la seconde
ligne, soit 15, donc ε(σ) = (−1)16 = 1.
Jean-Paul Vincent
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Theorem
La signature ε définit un homomorphisme du groupe Sn sur le
groupe multiplicatif {−1, 1}.
Preuve.
Soient deux permutations σ et σ0 :
ε(σ0 ◦ σ) =
∏
{j,k }∈C
σ0 (σ(j )) − σ0 (σ(k ))
σ0 (σ(j )) − σ0 (σ(k ))
= ∏
j −k
σ (j ) − σ (k )
{j,k }∈C
{j,
Mais σ(C ) = C donc :
∏
{j,k }∈C
σ0 (σ (j )) − σ0 (σ(k ))
σ0 (σ(j )) − σ0 (σ(k ))
=
∏
σ (j ) − σ (k )
σ (j ) − σ (k )
{σ(j ),σ(k )}∈σ(C )
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
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(suite).
d’où :
σ0 (σ(j )) − σ0 (σ(k ))
σ 0 (j ) − σ 0 (k )
=
∏
∏
σ (j ) − σ (k )
j −k
{σ(j ),σ(k )}∈σ(C )
{j,k }∈C
Finalement :
ε(σ0 ◦ σ) = ε(σ0 )ε(σ)
Jean-Paul Vincent
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Definition
Le noyau de ε, An = {σ ∈ Sn /ε(σ) = 1} est appelé groupe
alterné.
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Applications partielles
Definition
Soit ϕ une application définie sur un produit de p ensembles,
E1 × · · · × Ep , supposons que p − 1 constantes a2 , . . . , ap aient été
affectées à p − 1 variables x2 , . . . , xp . L’application
x 7 → ϕ ( x , a2 , . . . , ap )
est appelée application partielle.
De même, pour toute permutation des indices. Il y a p telles
applications partielles.
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Applications multilinéaires alternées
Definition
Soient E1 , . . . , Ep , p K-espaces vectoriels, une application ϕ de
E1 × · · · × Ep dans K.
1
ϕ est dite p-linéaire si ses p applications partielles sont
linéaires.
On dit linéaire si p = 1, bilinéaire si p = 2 et trilinéaire si
p = 3.
2
ϕ est dite alternée si :
(j 6= k ) ∧ (xj = xk ) ⇒ ϕ(x1 , . . . , xp ) = 0
On parle de forme p-linéaire et de forme alternée lorsque les
valeurs de ϕ sont scalaires.
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Applications multilinéaires : exemples
Example
Soient x , y , z dans K.
1
(x , y , z ) 7→ x + y + 2z est
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Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Applications multilinéaires : exemples
Example
Soient x , y , z dans K.
1
2
(x , y , z ) 7→ x + y + 2z est linéaire (ou 1-linéaire) sur R3 .
((x , y , z ), (x 0 , y 0 , z 0 )) 7→ zx 0 + xy 0 + 2yz 0 est
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Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Applications multilinéaires : exemples
Example
Soient x , y , z dans K.
1
2
3
(x , y , z ) 7→ x + y + 2z est linéaire (ou 1-linéaire) sur R3 .
((x , y , z ), (x 0 , y 0 , z 0 )) 7→ zx 0 + xy 0 + 2yz 0 est bilinéaire sur
R3 .
(x , y , z ) 7→ 2xyz est
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Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Applications multilinéaires : exemples
Example
Soient x , y , z dans K.
1
2
3
(x , y , z ) 7→ x + y + 2z est linéaire (ou 1-linéaire) sur R3 .
((x , y , z ), (x 0 , y 0 , z 0 )) 7→ zx 0 + xy 0 + 2yz 0 est bilinéaire sur
R3 .
(x , y , z ) 7→ 2xyz est trilinéaire sur R.
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Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
p-linéaire alternée sur Kp
Theorem
L’ensemble des formes p-linéaires alternées sur Kp est un
espace vectoriel de dimension 1.
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Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
p-linéaire alternée sur Kp
Preuve.
On vérifie facilement que l’ensemble des formes p-linéaires
alternées sur Kp est un sous espace vectoriel de l’espace
F (Kp , K). Soient f une forme p-linéaire alternée sur Kp ,
muni de sa base canonique (e ) = (e1 , . . . , ep ) et
(x1 , . . . , xp ), p vecteurs de Kp :
∀k ∈ J1, pK : xk =
∑
xj,k ej
1≤j ≤p
Alors :
f (x1 , . . . , xp ) = f
∑
xj1 ,1 ej1 , . . . ,
1 ≤ j1 ≤ p
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
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∑
1≤jn ≤p
xjp ,p ejp
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
p-linéaire alternée sur Kp
(suite).
d’où :
∑
f (x1 , . . . , xp ) =
xj1 ,1 . . . xjp ,p f (ej1 , . . . , ejp )
1 ≤ j1 ≤ p
..
.
1≤jn ≤p
Toute application (1, . . . , p ) 7→ (j1 , . . . , jp ) définit une
permutation σ d’où :
f (x1 , . . . , xp ) =
∑
xσ(1),1 . . . xσ(p ),p f (eσ(1) , . . . , eσ(p ) )
σ ∈ Gp
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Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
p-linéaire alternée sur Kp
(suite).
f étant alternée : f (eσ(1) , . . . , eσ(p ) ) = ε(σ)f (e1 , . . . , ep ),
donc :
f (x1 , . . . , xp ) =
∑
xσ(1),1 . . . xσ(p ),p ε(σ)f (e1 , . . . , ep )
σ ∈ Gp
Donc f est colinéaire à la forme p-linéaire alternée :
(x1 , . . . , xp ) 7→
∑
ε(σ)xσ(1),1 . . . xσ(p ),p
σ ∈ Gp
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Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Déterminants
Definition
Soit E , muni d’une base ordonnée B .
On appelle déterminant sur E , l’unique forme m-linéaire
alternée égale à 1 sur la base B .
Le déterminant des vecteurs (x1 , . . . , xm ) de E dans la base B
est noté :
detB (x1 , . . . , xm )
ou det(x1 , . . . , xm ) s’il n’y a pas risque de confusion.
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Theorem
Soient (e ) et (f ) deux bases de E . Alors pour tout m-uplet x de
vecteurs de E :
det(x ) = det(x ) det(f )
(e )
(f )
(e )
Démonstration.
Par définition, il existe un scalaire λ tel que, pour tout m-uplet x
de vecteurs : det(e ) (x ) = λ det(f ) (x ). On obtient la valeur de λ
avec x = f car alors : λ = det(e ) (f ).
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Déterminants et opérations élémentaires
Theorem
Soit ϕ(x ), le m-uplet transformé de x par opération élémentaire.
xj ← xj + xk , j 6= k : det( ϕ(x )) = det(x ).
τ : xj ↔ xk (transposition τ) : det( ϕ(x )) = ε(τ ) det(x ).
xj ← αxj , α 6= 0 : det( ϕ(x )) = α det(x ).
(voir le cas général d’une application linéaire plus loin)
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Notations
Soient (x1 , . . . , xm ) tels que, dans B = (e ), pour tout k :
xk =
∑
xj,k ej
1≤j ≤m
Alors
x1,1 · · ·
..
det(x1 , . . . , xm ) = ...
.
xm,1 · · ·
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
x1,m .. . xm,m Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Indépendance et déterminants
Theorem
Soient (e ) = (e1 , . . . , em ) une base (ordonnée) de l’espace vectoriel E
et (f ) = (f1 , . . . , fm ) un m-uplet de vecteurs de E . Alors (f ) est une
base de E si et seulement si det(e ) (f1 , . . . , fm ) 6= 0.
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Indépendance et déterminants
Démonstration.
Si (f1 , . . . , fm ) est une base (f ), det(f ) est colinéaire à det(e ) , donc
det(f ) (f1 , . . . , fm ), qui est égal à 1, est un multiple de det(e ) (f1 , . . . , fm ),
qui est donc non nul. Si (f1 , . . . , fm ) est liée, par opérations
élémentaires on peut se ramener à une famille de la forme (0, . . . , fm0 ).
Or det(f ) (f1 , . . . , fm ) est nul si et seulement si det(f ) (0, . . . , fm0 ) est nul,
donc : det(f1 , . . . , fm ) = 0.
(f )
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Déterminants d’homomorphismes
Definition
Soient E et F deux espaces vectoriels de même dimension m,
munis respectivement des bases (e ) et (f ). Posons, pour u dans
L (E , F ) :
det (u ) = det(u (e1 ), . . . , u (em ))
(e ),(f )
(f )
Theorem
u dans L (E , F ) est un isomorphisme si et seulement si
det(e ),(f ) (u ) 6= 0.
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Déterminant d’une composée
Theorem
Considèrons trois espaces vectoriels E , F et G, respectivement munis
des bases (e ), (f ) et (g ). Soient u dans L (E , F ) et v dans L (E , F ) :
det (v ◦ u ) = det (v ) det (u )
(e ),(g )
(f ),(g )
(e ),(f )
Corollary
Soient u et v deux endomorphismes de E , muni de la bases (e ) :
det(v ◦ u ) = det(v ) det(v )
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Déterminant d’une composée
Preuve du théorème.
Soit x un m-uplet de vecteurs, par définition :
det (v ◦ u )(x ) = det (v ) det (u )(x )
(e ),(g )
(f ),(g )
(e ),(f )
d’où :
det (v ◦ u ) det(x ) = det (v ) det (u ) det(x )
(e ),(g )
(e )
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
(f ),(g )
(e ),(f )
(e )
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Invariance du déterminant
Theorem
Soient u dans LK (E ) et (e ) une base (ordonnée) de E . Le nombre
det(e ) u (e1 ), . . . , u (em ) ne dépend pas de la base (e ), il est noté
det(u ).
Definition
det(u ) est appelé déterminant de u.
Corollary
L’endomorphisme u de E est un automorphisme si et seulement si
det(u ) 6= 0.
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Invariance du déterminant
Preuve
Soient B = (e1 , . . . , en ) et B 0 = (e10 , . . . , en0 ) deux bases de E . L’unicité
du déterminant relativement à une base implique l’existence d’une
constante non nulle λ telle que, pour tous vecteurs x1 , . . . , xn :
det(x1 , . . . , xn ) = λ det0 (x1 , . . . , xn )
B
B
donc λ = detB (e1 , . . . , en ). On obtient donc :
det(u (x1 ), . . . , u (xn )) = det(e1 , . . . , en ) det0 (u (x1 ), . . . , u (xn ))
B
B
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
B
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Invariance du déterminant
(suite).
d’où :
det(u ) det(x1 , . . . , xn ) = det(e1 , . . . , en ) det0 (u ) det0 (x1 , . . . , xn )
B
B
B
B
B
En remplaçant (x1 , . . . , xn ) par (e1 , . . . , en ) on trouve :
det(u ) = det0 (u )
B
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
B
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Déterminants de matrices
Definition
Le déterminant d’une matrice carrée m × m est le déterminant de
ses vecteurs colonnes, comme éléments de Km muni de la base
canonique.
Theorem
Soient A et B des matrices carrées m × m, on a :
1 det(t A) = det(A) ;
2 det(AB ) = det(A) det(B ).
A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0.
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Déterminants de matrices
Preuve
Soit A = (aj,k ) 1≤j ≤m , alors :
1≤k ≤m
det(A) =
∑
ε(σ)xσ(1),1 . . . aσ(m),m
σ ∈ Gm
Comme σ définit une bijection sur l’ensemble des couples (j, k ), on a :
det(A) =
∑
ε(σ)xσ(1),σ(σ−1 (1)) . . . aσ(m),σ(σ−1 (m))
σ ∈ Gm
det(A) =
∑
ε(σ)x1,σ−1 (1) . . . am,σ−1 (m)
σ ∈ Gm
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Déterminants de matrices
(suite)
Enfin σ 7→ σ−1 est une permutation de Gm et ε(σ) = ε(σ−1 ), donc :
det(A) =
∑
ε(σ−1 )xσ(1),σ(σ−1 (1)) . . . aσ(m),σ(σ−1 (m))
σ − 1 ∈ Gm
det(A) =
∑
σ ∈ Gm
d’où : det(t A) = det(A).
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
ε(σ)x1,σ(1) . . . am,σ(m)
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Déterminants de matrices
(suite).
Considérant A et B comme les matrices d’endomorphismes u et v :
det(AB ) = det(u ◦ v ) = det(u ) det(v ) = det(A) det(B ).
Enfin A est la matrice d’un endomorphisme si et seulement si
det(A) = det(u ) 6= 0. La relation précédente montre que :
det(A−1 ) = det(A)−1 .
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Comatrice
Definition
Soit A une matrice m × m de vecteurs-colonnes (a1 , . . . , am ). On
considère l’endomorphisme κ de Km qui à tout vecteur x de Km
associe :
det(x , a2 , . . . , am ) det(a1 , x , . . . , am ) · · · det(a1 , a2 , . . . , x )
La transposée de la matrice de cet endomorphisme est appelée
comatrice de A et est notée : comat(A).
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Comatrices et inverses
Theorem
A étant une matrice carrée : t comat(A)A = det(A)Im .
Corollary
Si A est inversible : A−1 = (det(A)−1 t comat(A).
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Comatrices et inverses
En effet, on vérifie que la matrice K de l’endomorphisme κ vérifie
KA = det(A)Im
car κ (ak ) = (0, . . . , det(a1 , . . . , am ), . . . , 0), toutes les coordonnées sont
nulles sauf la k e qui vaut det(A) ; autrement dit : la j e ligne de KA =
t comat(A)a est : 0 si j 6 = k et det(A) si j = k.
k
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Mineurs et comatrice
Expression de la comatrice. Soit (e1 , . . . , em ) la base canonique et calculons le coefficient κj (ek ) : κj (ek ) = det(a1 , . . . , ek , . . . , am ). où ek est
à la j e position :
a1,1 · · ·
a
0
a
·
·
·
a
1,j
−
1
1,j
+
1
1,m
..
..
..
..
..
..
.. .
.
.
.
.
.
.
ak −1,1 · · · ak −1,j −1 0 ak −1,j +1 · · · ak −1,m ak,j −1 1 ak,j +1 · · ·
ak,m κj (ek ) = ak,1 · · ·
ak +1,1 · · · ak +1,j −1 0 ak +1,j +1 · · · ak +1,m ..
..
..
..
..
..
.. .
.
.
.
.
.
. am,1 · · · am,j −1 0 am,j +1 · · · am,m Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Mineurs et comatrice
Effectuons les opérations suivantes :
Plaçons ek en première position (j − 1 inversions).
Pour tout q, q 6= j : Lq ← Lq − ak,q Lj . Le déterminant est
inchangé.
Plaçons la k e colonne en première position (k − 1 inversions).
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Mineurs et comatrice
1
0
0 a1,1
..
..
.
.
j +k κj (ek ) = (−1)
0 ak −1,1
0 ak +1,1
..
0
.
0 am,1
···
···
..
.
···
···
..
.
···
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
0
0
a1,j −1
..
.
a1,j +1
..
.
···
···
..
.
ak −1,j −1 ak −1,j +1 · · ·
ak +1,j −1 ak +1,j +1 · · ·
..
..
..
.
.
.
am,j −1
am,j +1 · · ·
a1,m .. . ak −1,m ak +1,m .. . am,m 0
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Mineurs et comatrice
On appelle mineur de ak,j le déterminant obtenu en supprimant la k e
ligne et la j e colonne de A, il est noté : Mk,j . Alors
a1,1 · · ·
a1,j −1
a1,j +1 · · ·
a1,m ..
..
..
..
..
.. .
.
.
. .
.
a
· · · ak −1,j −1 ak −1,j +1 · · · ak −1,m κj (ek ) = (−1)j +k k −1,1
= (−
ak +1,1 · · · ak +1,j −1 ak +1,j +1 · · · ak +1,m ..
..
..
..
..
.. .
.
.
.
.
. am,1 · · · am,j −1
am,j +1 · · · am,m Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Mineurs et comatrice
Le cofacteur de ak,j est : Ak,j = (−1)j +k Mk,j , de sorte que la comatrice
de A est :
comat(A) = (Aj,k ) 1≤j ≤m
1≤k ≤m
L’égalité : (t comat(A)A)j,j = ∑1≤k ≤m Aj,k aj,k = det(A) (et l’égalité
analogue avec t A) justifie la définition suivante.
Definition
Le développement de det(A) suivant la j e ligne est :
det(A) =
∑
Aj,k aj,k
1≤k ≤m
(respectivement k e colonne et det(A) = ∑1≤j ≤m Aj,k aj,k .
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Déterminants par blocks
Theorem
Soient A1 , A2 , B1 et B2 des matrices :
A1 B1
A1 0
det
= det
= det(A1 ) det(A2 )
0 A2
B2 A2
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants
Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérati
Formules de Cramer
Soit AX = B un système de Cramer, i.e. la matrice A est inversible
de type n × n, X est la matrice colonne de (x1 , . . . , xn ) et B la
matrice de (b1 , . . . , bn ). Alors xj est égal à la fraction dont le
dénominateur est le déterminant de A et le numérateur est le
déterminant de la matrice obtenue en remplaçant dans A la j e
colonne par B. En effet :
AX = B t comat(A)AX = det(A)X = t comat(A)B
d’où :
X =
1 t
comat(A)B
det(A)
Jean-Paul Vincent
Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants