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Cours de maı̂trise de mathématiques :
“Théorie algébrique des nombres”
Bas Edixhoven, Université de Rennes 1
janvier 2002
Ce texte est une version (légèrement) corrigée et agrandie (d’une section sur le théorème
de Wedderburn) du polycopié de 2001. Le polycopié de 2001 était une version réorganisée du
texte qui a été distribué en mai 2000. Le texte de mai 2000 était consitué des notes de cours
que l’auteur avait écrit pour lui-même, sans avoir l’intention d’en faire un polycopié. Mais vu le
temps investi, il lui a semblé quand-même utile d’en faire une version présentable. Néanmoins,
le résultat est moins détaillé que le cours. Pour plus de détails, on pourra consulter les livres
mentionnés dans la bibliographie, et surtout [Samuel].
1
Table des matières
1 L’équation de Fermat.
2 L’anneau
3
et le théorème des deux carrés.
11
3 Anneaux des entiers dans les corps de nombres.
13
4 Les anneaux de Dedekind.
20
5 Finitude du groupe des classes d’idéaux.
32
6 Le théorème des unités.
40
7 La réciprocité quadratique.
45
8 Le théorème de Wedderburn.
51
9 Compléments et rappels.
53
10 Exercices.
55
11 Examens, partiels, etc.
64
2
1 L’équation de Fermat.
1.1
Introduction.
Nous suivrons le livre de Samuel [Samuel] d’assez près, en complétant par des références au
livre de Cohen [Cohen] pour des résultats algorithmiques. En même temps, nous essayerons de
motiver le plus possible, par des exemples simples, l’introduction des notions techniques. C’est
pour cela que nous commençons par regarder l’équation de Fermat :
Dans cette équation, est un entier, plus grand ou égal à un, et le problème qui se pose est
de
les
solutions de cette équation, c’est à dire, tous les triplets
donné, toutes
trouver,
danspour
"! tels
que
. Avant de dire quoi que ce soit sur ce problème particulier,
remarquons que ce problème garde un sens si on remplace par n’importe quel anneau (les
anneaux seront commutatifs et unitaires dans ce cours, sauf mention explicite contraire). En effet,
!
l’ensemble des solutions dans # , pour # un anneau, est simplement l’ensemble des racines du
'( .
!
polynôme %$ dans # . Plus tard aujourd’hui,
nous
allons
considérer
l’anneau
&
dans # ! une solution de l’équation
Si )+*,#.- / est un morphisme d’anneaux
et
0
0
0
) ) 1 dans / ! est également une solution
de Fermat de degré ci-dessus, alors )
de la même équation. En fait, cette dernière propriété est vraie pour tout système d’équations
polynomiales à coefficients dans .
L’équation de Fermat est homogène : tous les
monômes
y intervenant ont même degré. Une
2
!
autre façon
2de dire cela est : si # est un anneau, 3 3 4dans
3 # et 3 dans # non diviseur de zéro,
alors
est une solution si et seulement si
l’est. Géométriquement, cela s’exprimeendisant
que
l’ensemble
des
solutions
est
un
cône,
et
(au
moins
sur un corps) la propriété
2
5
6
4
6
2
pour
une solution ne dépend que de la “droite” #
, donc que de l’image de
dans led’être
“plan projectif” sur # . En général, quand on considère des systèmes d’équations
polynomiales homogènes, on a intérêt à considérer les solutions dans l’espace projectif correspondant, car cela fait baisser la dimension du problème (c’est à dire, le nombre de variables)
d’un.
L’homogénéité de l’équation de Fermat entraı̂ne également une relation entre les ensembles
?
nous
allons
maintenant
expliquer.
de solutions dans et dans 7 , que
0
=
@
A
?
D=0 @? H
2
>
?
Pour 8:9<; , un élément
de
est dit primitif
si BDCFE2G ? >>
. En
@J
I
particulier, un élément
primitif
de
est
non
nul,
et
tout
non
nul
dans
est
de
la
forme
KJ
@L
NM POQH $ HR des éléments? ,
?
avec I dans et primitif ( I est alors un pgcd des ). Le groupe
? homothéties sur l’ensemble
? 1\ NM SUT1VXW des éléments primitifs de ,
inversibles de opère par
? SZ T[VX? W
et on nous noterons Y
le quotient
. Ceci est l’analogue sur de la définition
1
\
O
R
$
usuelle de l’espace projectif Y 7
* 7
; 7 M . Avec ces définitions, on a la proposition
suivante.
?
1.1.1 Proposition.
L’inclusion de
et Y 7
.
?
SUT1V]W dans
3
7
?
$ O;R
induit une bijection entre
?
Y La vérification est laissée comme exercice? ; disons seulement que l’application inverse est
obte@
L
nue comme suite : pour non nul dans 7 @L , on prend un dénominateur
, c’est
commun
J avecI des
^ dans et
à J dire un ? I dans non nul tel que les I
sont entiers, et on écrit I _^
?
? de construire l’application inverse est de montrer que pour
primitif.
(Une autre façon
a ` dans
d
c
est un -module libre de rang un, et d’en prendre les deux
; dans 7 l’intersection 7b
générateurs ; voir la section 9.)
! de l’équation
Soit maintenant e9 H . Notons f l’ensemble des solutions primitives dans
!
g : , et h l’ensemble des solutions non nulles dans 7 de l’équation i : . Le
"M jOQH $ HFR des inversibles de opère par homothéties sur f , et, de la même façon, 7 M
groupe
\ "M et hl* h \ 7 M les quotients de ces actions. Alors la proposition
opère sur h . Soient fk* f
précédente implique que l’inclusion de f dans h induit une bijection de f vers h .
1.2
L’équation de Fermat, degré 1.
2
!
Il n’y a pas grand chose
quel anneau,
dans # est une solu à dire.
Pour # n’importe
dit,
nous
avons
une
bijection
de
tion si et seulement si 56
. Autrement
#%m vers l’ensemble
0
des solutions, qui envoie
vers
.
1.3
L’équation de Fermat, degré 2, sur n .
Ici, nous suivons [Samuel, o 1.2]. Il s’agit maintenant de l’équation :
56462
m m : m QA
Les solutions
avec , et des entiers
et
non nul, sont appelés des triplets
positifs
! est une
pythagoriciens.
Notons
que
de
toute
façon,
dans
solution si et seulement si tous
q
r
p
A
p
A
r
p
!
les triplets
sont des solutions. Il nous suffit de trouver toutes les solutions dans s .
Nous allons classifier les triplets pythagoriciens primitifs, à l’aide de la factorialité de l’anneau .
Comme l’équation quenous
considérons est Qhomogène,
c’est à dire queqp tous
les
termes
ont
même
2
A
t
`
K
X
J
A
p
6
u
J
p
v
J
!
degré, toute solution
avec
; est de la forme I
I
I , avec I
@Ju6JwJv undans
dans s non nul, et
triplet pythagoricien primitif. On procède par les étapes suivantes.
56462 un triplet pythagoricien. Les conditions suivantes sont équivalentes :
56462 jH
(a) BC@E2G
,
5
6
x
H
(b) BC@E2G
,
5
6
2
yH ,
(c) BC@E2G
462 jH .
(d) BC@E2G
56462
z
(En effet, si est
pythagoricien
et
si
par
exemple
un
nombre
premier
divise
et ,
alors z divise m m , donc m , donc .)
2 un triplet pythagoricien primitif. Alors est impair, et l’un d’entre et est
Soit
\{ sont ; et H ).
pair (pour le voir, on utilise que les carrés dans
1. Soit
2.
4
3. Soit
56462
0\@|F m 1 $ 1\@|F21 } [\@|@A
un triplet pythagoricien primitif avec pair. En écrivant
}[\@|
~5m
~ et  dans
s , }premiers
on montre
entre
eux,
tel que ;€‚~ƒ€„ , $
1\Fqu’il
| existe
[
@
\
|
1
@
\
|
$
Qm . (En effet,
et
et sont premiers entre eux car l’idéal
H
qu’ils engendrent contient et , donc , et leur produit est un carré.)| On conclut que
les
triplets pythagoriciens primitifs avec pair sont les triplets  m $ ~ m ~5  m ~ m , avec
;€‚~ƒ€‚ premier entre eux et ~5 pair.
Une autre façon de faire la liste de tous les triplets pythagoriciens est la suivante,
5que
6462 l’on
pourrait appeler “paramétrisation
rationnelle
du
cercle”.
A
un
triplet
pythagoricien
on
}
\
…
0
F
\
fait correspondre le point
du cercle † dans ‡ˆm de rayon un et de centre ; . Un élément
de † est dit rationnel si ses deux coordonnées sont rationnelles. En considérant les droites passant
par $ H ; , on montre que tout autre point rationnel de † est de la forme
'
'
[ H $ ' m [\D Hd
' m AA| ' D\ ˆH ' m [0
'
‡ notons ‰‹Š la
avec dans 7 ( étant la pente
de
la droite considérée). En effet, pour
dans
0
[
'
'
'
H
$
; et qui est' de pente , et notons
droite dans ‡ m qui passe par
le deuxième
point
' 0 ' [ l’est
‹
‰
Š
†
d’intersection
de
avec
le
cercle
.
Alors
est
rationnelle
si
et
seulement
si
' A ' 1
(si est rationnelle, ‰‹Š contient deux points rationnels, donc
sa pente
est rationnelle,
'
H
H
$
si est rationnelle, le deuxième point d’intersection est de la forme
; 3 ' avec 3 dans
et avec une racine rationnelle ;
‡ solution d’une équation de degré deux à coefficients ' rationnels
\
un petit calcul donne la formule en haut). En écrivant
~  avec ~ et  des entiers premiers
entre eux, on obtient de nouveau la classification des triplets pythagoriciens primitifs obtenue en
haut.
1.4
L’équation de Fermat, degré ŒŽ , sur ‘“’•” – .
!
En 1993, Andrew Wiles a montré qu’il n’y a pas de solutions non triviales dans . Malheureusement, la démonstration est beaucoup trop difficile pour l’expliquer dans ce cours. Pour ceux
qui veulent voir comment cela marche, voir par exemple le livre de Cornell, Silverman et Stevens [CSS], ou les deux exposés au Séminaire Bourbaki par Serre et Oesterlé, en juin 1995, ou le
numéro 22 du magazine “Quadrature”, été 1995 (Editions du choix, Argenteuil). Signalons aussi
que Kummer, au 19ème siècle, avait déjà démontré le théorème de Fermat pour de nombreux
exposants premiers.
Ce que nous pouvons faire avec les techniques à notre disposition, est résoudre ces équations
—'˜ .
dans l’anneau &
—'(
1.4.1 Théorème.Soit
™9›š entier. Si , et dans & satisfont et sont premiers
yH ), alors , et sont de degré zéro, c’est à dire, sont dans & .
entre eux (BDC@E G
Preuve. La méthode s’appelle “la descenteinfinie”.
Supposons donc qu’il existe au moins une
solution primitive non constante. Soit alors
une telle solution où le maximum des degrés
5
de , et est minimal. Notons tout d’abord que , et sont premiers entre eux deux par deux,
tous non nuls, et qu’au plus un d’entre eux est constant. On a :
$ œ $ ¡ 0 =
ž˜Ÿ Les facteurs $„¡ sont premiers entre eux, deux par deux,
car chaque pair d’entre eux forme
˜
'
une base du sous- & -espace
vectoriel de &
engendré par et (notons que ce sous-espace est
de dimension deux car et sont non nuls, premiers
entre eux et pas tous les deux constant). Par
'( , nous obtenons que les $™¡ sont
la factorialité de &
des puissances ièmes, à des inversibles
près. Mais les inversibles sont les constants non nuls, qui sont eux-mêmes des puissances ièmes.
'( tels que
Il existe donc des ž dans &
$g¡ › ž Comme les $‹¡ sont premiers
entre
eux deux par deux, les ž le sont également. En considérant
les termes dominants de et de , on voit qu’au plus un des ž est constant. Prenons maintenant
n’importe triplet , , et parmi les ž (cela est possible parce que est au moins š ). Comme
, et appartiennent au sous-espace de & '˜ engendre par et , il y a une relation linéaire
non triviale parmi eux, disons :
¢
¤£¥ §¦¨ ¢
avec , £ et ¦ dans & , ne pas tous nuls. Mais comme chaque
¢ élément de & est une puissance
ième, nous trouvons, en choisissant des racines ièmes de , £ et ¦ , une relation :
= =
=
= = = avec , et premiers entre eux deux à deux, ne pas tous constants, et de même degré que
, et , respectivement. Mais cela contredit la minimalité en termes des degrés de la solution
©
de départ.
—'(
Avant de continuer, notons que nous avons utilisé que l’anneau &
est factoriel, et que tout
(
'
v
L
¬
inversible de &
est une puissance ième. Ce sont exactement ces deux propriétés qui posent
r
un problème pour les anneaux ^ m«ª . Le défaut de non factorialité de tels anneaux, ainsi
que leurs groupes multiplicatifs, seront étudiés plus tard dans ce cours. Signalons aussi que la
L­¬ à une preuve du théorème de Fermatrn’est
méthode qui a conduit
pas
d’étudier en grand
détail
\
r
!
^
j
®
m«ª , mais plutôt des anneaux de la forme
m
, c’est à
les anneaux
dire, des courbes elliptiques.
Pour montrer que l’on sait démontrer des résultats généraux, citons le suivant, cas spécial
d’un théorème de Faltings, auparavant conjecture de Mordell (voir par exemple [Serre1]).
{
¯ ° dans 7 homogène de degré au moins
, tel que les dérivées
ne s’annulent pas en un même point de & ! $ O ; R . Alors l’ensemble
O
H ; R est fini.
7 m³² ¯
Ce qui est{ intéressant dans ce résultat est la condition sur le degré. Le fait que ce degré doit être
Y & !
1.4.2
Soit
° ¯ \ ° Théorème.
, ° ¯ \ ° et ° ¯ \
0"±
au moins correspond au fait que la variété des solutions dans
est une surface compacte
connexe et orientable dont le genre (i.e., le nombre de trous) est au moins deux.
6
1.5
L’équation de Fermat, degré ´ , sur n .
Ici nous suivons [Samuel, o 1.2]. Nous allons montrer :
Soient , et dans
tels que µU
µ¶: m . Alors 5}·
;.
`
!
Supposons donc que cet énoncé soit faux, et soit
dans s avec µ
ƒµ¶: m , 5} ; , et
minimal. Pour obtenir une contradiction, on procède par les étapes suivantes, où l’on applique
ce que nous savons déjà des triplets pythagoriciens (car m m est un tel triplet).
1. , et sont deux à deux premiers entre eux.
2. Après permutation, si nécessaire, de et , on a et impairs, pair. Il existe ~ et  dans
s , premiers entre eux, avec ~“¸‚ , tels que :
m ~ m $  m m | ~¹ · ~ m  m est impair,  est pair. La deuxième
La première équation
que = m  m ~ m ; comme
\@|F dit
m et  = m . De
m ~5 , donc il existe
s
~
équation dit que
et
dans
tels
que
la première équation on tire qu’il existe et I dans s , premiers entre eux, tels que :
º m $ I m  |F I ~ m I m I
La
de ces équations dit que m , donc
que et I sont des carrés, disons
›deuxième
^ m et I :» m avec ^ et » dans s . Comme ~ m , on a :
^ µ „» µ m µ 9 et comme m ~ et ¸¼~5m , on a ¸„~5m9
. Contradiction avec la minimalité de .
1.6
L’équation de Fermat, degré  , sur n .
Ceci n’est pas fait dans [Samuel]. Nous suivons [I-R, o 17.8]. La méthode est toujours la
même : factoriser après adjonction des racines 3èmes de l’unité, et descente infinie. Nous comr ½@ , avec ½ m ½ ›H% ; , de & .
mençons par quelques résultats sur le sous-anneau #x* º¾- induit sur # un automorphisme d’anneau.
complexe
1.6.1 Proposition. La conjugaison
¾
² ² m est multiplicative et s’appelle la norme de laM L’application ¿À*Á#- s , # de
algèbre # . L’anneau # est euclidien
pour
p H Ap ½ Ap ½ m R la fonction ¿ ; # est donc factoriel. Le3ƒ* groupe
½
O
y
H
$
ses éléments inversibles est \
, et est cyclique d’ordre 6. L’élément
de #
est premier, et le quotient # 35# est un corps à trois éléments. Une factorisation de š dans # est
½
la suivante : š $ m03m .
Preuve. Comme # est un sous-anneau de & , # est intègre. Pour voir que ¿À*#prend ses valeurs dans , faisons le calcul suivant :
& , ¾- ² ² m
¿ ¤Â ½  ½ 2  ½ m m  ½ ½ m ¤Â m m $ Âl
¤Â m 7
C’est donc vrai que ¿ prend ses valeurs dans s . Pour montrer
que # est euclidien pour la
fonction
tous et dans # avec` non nul, il existe à et 8 dans #
¿ , il faut montrer
¿ que pour
avec à 8 et ¿ 8 \F€§
.
Soient
et dans # , avec ; . Soit à alors un des éléments
de # le plus proche de
. Alors on a :
² \F $ à ²QÄ H \QÅ š€ H@
(Pour l’expliquer, faire un dessin du réseau # dans & ; ce réseau
est l’ensemble des sommets
$
d’un pavage de & par des triangles de cotés un.) Posons 8*
à . On alors :
² 8 ² ² $ à ² ² ² b ² \F $ à ² € ² ² 0
d’où ¿ 8 ² 8 ² mƀ ² ² m ¿
.
Q H
#
Soit dans # . Alors est inversible si et seulement s’il existe
dans
tel
que
M , il existe dans # tel que H“ ¿ H ¿ 0 ¿ ¿ 0 ,.
En particulier,
si
est
dans
#
ÇH . D’autre part, si est dans # et ¿ ÈH , on a HÉ , donc est dans # M
d’oùÊ ¿ =
). Les inversibles de # sont les dans # avec ¿ kH , c’est à dire, les dans
(et
l’intersection de # et le cercle
unité.
\
r '( \D ' m ' ÉH , ce qui nous donne un morphisme
Pour voir ce qu’est # 3# , notons que # '
' '
surjectif #:-ÌË ! , en envoyant vers H (en effet, l’image de m ÍH est alors ; ).\ Par construction,
l’image de 3 dans Ë ! \ est nulle, donc le morphisme
#Î- Ë ! se factorise par # 3# ce qui donne
une surjection de # 3# sur Ë ! . Le fait que ¿ 3 \ š implique que 3 est irréductible, donc
premier (car # euclidien donc factoriel). Mais alors # 3# est un corps
(c’est le quotient d’un
\# 35#Ï
- Ë!
anneau principal par un idéal premier non nul), donc le morphisme
donc un isomorphisme.
½ m yH $ | ½ ½ m yHd
½ ½ m $ š ½ $
Calculons : 35m H $
est injectif, et
š½
©
{
½
½
Faisons quelques
exemples de factorisation dans # . Factorisons par exemple š et | $ .
½
½
½
½
š m $ š ÐH:Ñ est premier, donc š est premier, ainsi que š $ .
D’abord, ¿ š { ½
Ò{ $ ½ { m { ÎHÍ | HÍ šb Ñ . On
La factorisation de $ { est plus intéressante. On a ¿
½ par un élément de norme š , par exemple H $ ½ . On trouve :
essaie alors de diviser $
{ $ ½ { $ ½ H $ ½
{ $ { ½ m $ ½ ›H
m
š ½
H $ ½ H $ ½Zb H $ ½ m
š
½ est premier, on a la factorisation { $ ½ H $ ½ 2 š ½ en éléments premiers de # .
Comme š \Ó # # \ 3 µ #
p p !
1.6.2 Lemme. Les puissances troisièmes dans #
sont ; , H , 3 .
\
Preuve.
Comme # 3# Ë ! , tout élément de # est d’une des formes H%
3 , $ HÔ
3 , 3 (avec dans # ). On calcule les puissances
de
que même les
= troisièmes
3 @J
= ces bêtes,
; H en
$ utilisant
O
F
H
R
en haut s’écrivent encore sous la forme
avec dans
(et on utilise le “petit
©
théorème de Fermat”).
!
Nous allons montrer un résultat plus fort que l’énoncé que pour tout
dans
avec
! § ! Õ ! on ait 5Ð ; ; cela est nécessaire pour faire la descente infinie. Cette fois, la
descente sera en termes de divisibilité par 3 .
8
.
1.6.3 Notation.
Soit # un anneau factoriel, dans # non nul, et z dans # premier. Nous notons
alors 0Ö
le nombre
de facteurs
J z dans la décomposition
J de # en facteurs irréductibles. Plus
précisément, on a zD×Ø ÙÛÚ[Ü , avec z ne pas divisant . (On utilise la lettre  pour valuation.)
1.6.4 Théorème. Supposons que , et sont dans # et que ~ est dans #
Alors 5Ý ; .
M
tels que ! ! ~ ! .
M
Preuve. Par contradiction.
Supposons donc que , , et ~ sont dans # , avec ~ dans # ,
! j ! ~ ! et 5 ` ; . Par l’argument habituel, nous pouvons supposer que , et sont deux à deux premiers entre eux.
Montrons que 3 ² 5} ,p et quep si 3 ² 5 , alors
que 3 ² 5 . Alors 3 ne
~ p H . Supposons donc
\
!
!
!
divise pas ~ , donc
on a H%
~ dans # 3 # . Cela veutp dire que| 3 divise ~ $ ! H ou ~ Å ƒH . Il | en
p
H . (Par exemple, on peut utiliser que ² ~ H ²Ä tandis que ² 3 ² š š³¸ .)
résulte que ~ Nous avons donc montré
que 3 ne divise
assertion.\ Montrons la première.~ Supposons
! ! !la deuxième
p| dans # \ 3 µ # . Cela
pas 5} . Alors O Rß| ÞxOQH $ HF| R dans # 3 µ # . p‚
Mais
alors
on
a
| ²QÄ š
Ó
veut dire que 3 µ divise ~ $
ou ~ . Mais H Ď² ~
tandis que ² 3 µ ² , ce qui est une
contradiction.
# J], avec
~ dans # M , Já ! ƒ ! ~ ! , et
Ceci nous ramène au cas où nous avons , , et ~ dans
w
J
w
J
­
J
3 ² . Nous allons maintenant produire un tel quadruplet ~ avec …à €…à ; c’est
ça la contradiction cherchée. Allons-y.
\
! › ! ; , donc que â
›e ; (dans
tout d’abord que dans # 3# nous avons
\# 35Notons
\
!
!
sûr). Mais alors § ; dans # 3 µ # (utiliser ce que nous savons des cubes
# , \ bien
!
dans # 3 µ # ), donc 3 µ ² ~ , donc 3 m ² . Nous écrivons maintenant :
ß
·
½ 2 ‹
½ m § ! ¤ ! ~ ! !
par ½ 3
m
Comme 3ã ² ~ , au moins un des facteurs
à
gauche
est
divisible
par
;
en
remplaçant
½
ou m si nécessaire, on a 35m ² ß
¼ (notons que ces substitutions ne changent pas , ce qui est
important pour notre argument).
½ ½ ½
Montrons qu’alors à ß
à 
m jH . Comme
l’image
de dans Ë ! est H , il est
½
½
clair
que 3 mF² ®
. Alors ®
§™äÍ
dans
3 divise Í ½ ½ et â
½ m . Supposons
\# 3 m que
\
M
# , donc ; H $ ß 3 ½ dans # 3 m # . Comme est½ dans # , cela entraı̂ne que 3 m ² 3 , ce
qui est faux. De même pour 
m : 3m ne divise pas H $ m . Nous avons donc :
…=çà = 
¤ šF…à $ | …à 
½ xH …à ‹
½ m xH@
=¹è $ 3
½ Le fait que GDå æ
montre que 
¤ # 
# 3# , et de même on trouve que
½
½
‹
, ·
et 
m ont, deux
¢ à deux, plus grand commun diviseur 3# . La factorialité de #
donne l’existence d’éléments
, £ et ¦ de # qui sont premiers à 3 et premiers entre eux deux à
=
M
deux, et d’éléments ~ , ~ et ~ ! de # , tels que :
m
¢
‹
¤ß ~ = 3 ! טé2ÙëêìÜ Ê m ! 
½ ß ~ 3 £ ! 
½ m ß ~ ! 3 ¦ ! m
½
½
La combinaison linéaire avec coefficients H , et m de ces trois équations, divisée par 3 , donne :
¢ ! ½ ! ½
Ê
=
!
!
~ £ m~ !¦ !
; ~ 3 × é ÙëêìÜ
m
9
= * 3 Ê = ¢
=
, et
× é ÙëêìÜ . Alors on a, avec î et î m dans # M
convenables :
!= î = =! î != m !
|
=
p
\
= p H
!
!
=
H

à
9
î
#
3
#
î
Comme 3 ² (car
),
on
a
dans
,
ce
qui
montre
que
(dans # ).
=
=
En replaçant par $ si nécessaire, on obtient donc :
!= ¤ =! î =! m
1
=
…à $ H .
©
avec …à = £ = * .¦
On pose maintenant * í
,
10
2 L’anneau ïñðvò4ó et le théorème des deux carrés.
2.1
Un peu d’arithmétique dans nº’ëô6– .
Le but de cette section est d’abord de comprendre comment se factorisent les nombres prer , et d’appliquer le résultat pour déterminer quels entiers sont somme de deux
miers dans
carrés. Les résultats de cette section se trouvent dans [Samuel, o 5.6], mais y sont démontrés de
façon moins élémentaire.
r
ݾ- induit sur un automorphisme d’anneau.
2.1.1 Proposition. La conjugaison
complexe
r
—
² ² m est multiplicative et s’appelle la norme de la -r s , ¾L’application ¿:*
r est donc factoriel. Le groupe
algèbre
L’anneau
est euclidien
pour
la fonction ¿ ;
p
A
p
r— M de ses .éléments
R , et est cyclique d’ordre 4.
inversibles est O H
La démonstration est analogue à celle que nous avons déjà faite pour
r ½@ .
r—
premier dans
si et seulement
2.1.2 Théorème. Soit
{ z un| nombre| premier.
2Alors
z est encore
H $ m . Un nombre premier z congru à 1
si z $ { H modulo . Pour on a : H 2 H $ $ , en deux facteurs premiers non associés. Les
modulo se factorise comme : z r
éléments
premiers
de
sont ceux dont la norme est un nombre premier
(forcément H modulo
{
|
{
ou égal à ) ou le carré d’un nombre premier qui est $ H modulo .
r
Preuve. Montrons d’abord les assertions sur la factorisation dans
¢ des nombres premiers.
r
r— tel
¢
¢ dans et non premier rdans
. Soit¢ alors
premier dans
Supposons
donc z premier
\
. Ecrivons
avec et dans .
que ² z ; notons
que ¢ z n’est
pas inversible dans
¢ z , et donc que z n’est pas $ H
² ¿ | z z m . On en conclut que ¿
Alors m { m ¿
modulo . La situation
de se vérifie par un calcul. Montrons maintenant que les premiers z qui
{
H
sont modulo
se factorisent en deux premiers non associés. Soit donc z premier,{ congru à H
{
¢
modulo . Les deux racines distinctes de m “H dans ËÖ (ce sont les éléments d’ordre
du groupe
M
r
—
ËÖ . Soit un générateur du
cyclique Ë Ö ) nous donnent deux¢ morphismes d’anneaux de
,¢ il divise zvers
noyau de l’un des\ deux. Alors est premier dans
,
et
il n’est¢ pas
¢ associé
¢ à z (par
r
—
r
—
z.
² ¿ z z m , on a
exemple car
est de cardinal z m ). Comme ¿
z
¿
Montrons que tout¢ premier de
est un diviseur d’un
positif
¢ de . Pour
r— soit premier.
r \ runique
¢ est premier
cela, supposons que dans
Alors
intègre (car premier), et
principal. (En fait, nous
même un corps car en plus
pas que ¢ c’est
¢ un¢ corps.)
r— \ r— ¢ . Sonn’utiliserons
noyau contient ¿
qui est
Considérons le morphisme d’anneaux non nul, et son ¢ image est intègre. Il en résulte que le noyau est
¢ engendré par un nombre premier z .
Bien sûr, \ on a ¢ ² z . D’autre part, si z est premier dans et ² z , z est un générateur du noyau de
- r— r— .
r— en termes de la norme.
¢ finir,rmontrons
¢
Pour
la classification des premiers de
Supposons
que dans
soit premier. Notons z l’unique nombre premier divisible par { . En utilisant
la
¢ H
$
¢ z en premiers dans , on voit que si¢ z n’estrpas
z , et
factorisation de
modulo ,¢ ¿ —
¢ ¿
zm . D’autre part,¢ il est clair
que sinon
si dans ¢ est tel que ¿
est premier,
que
zDm avec¢ z $ H modulo { .
alors est premier.
que
dans
est tel que ¿
¢ Supposons
¢ ¢
¢
, on a ² z . Mais comme z est premier dans r— , l’est aussi.
Comme z m ¿
©
11
2.2
Le théorème des deux carrés.
2.2.1 Théorème. Un{ nombre premier z est la somme de deux carrés si et seulement si z est
congru à H modulo
(Fermat). Soit dans s . Alors est une somme { de deux carrés si et
seulement si 0Ö est pair pour tout nombre premier z qui est $ H modulo .
r—
$ dans .
Preuve. La première assertion a été vue dans la section 2.1 : m m Montrons la deuxième assertion. Soit dans s { , non nul. Supposons d’abord que {  Ö est pair
pour
nombre premier z qui
est $ H modulo . Pour
chaque
premier
z yH mod , choisissons
Ö et tout
Ö dans
$
tels que z
où :
Ö m Ö m . Alors on a Hd
˜× õ[Ù Ü œ Ö Ö ×Ø0Ù Ü œ z ×Ø Ù Ü ¬ m Ö0ö = Ù µ Ü
Ö0ö Ê = Ù µ Ü
¢ ¢
m m avec et dans . On écrit
D’autre
supposons que alors , avec
¢ part,
. Soit z premier, avec ¢ z $ H modulo { , donc
¢ premier dans . Il existe  dans s et
£ dans r— premier à z tels que z × £ . Alors on a z × £ , et donc, avec  * Σ £ dans s :
zm × Â , avec z ne pas divisant  dans r , donc pas non plus dans . Cela montre bien que
0Ö est pair.
©
r
—
Dans le TD on verra un algorithme { efficace pour trouver une factorisation dans
d’un nombre
premier z dans s qui est H modulo . Cet algorithme est assez
simple,
et
utilise
des
particularités
r— (être engendré par une racine de l’unité d’ordre { , et être euclidien). Dans des cas plus
de
généraux, signalons qu’il existe des algorithmes efficaces pour factoriser des polynômes sur les
corps finis (algorithme de Berlekamp) et pour trouver des éléments courts dans des réseaux
(LLL : Lenstra-Lenstra-Lovász) ; pour ces algorithmes, voir [Cohen].
2.2.2 Théorème. Tout dans s est somme de quatre carrés.
Pour la preuve, que nous ne donnerons pas ici par manque de temps, voir [Samuel, o 5.7]. L’idée
r— par un
de la preuve est la même que celle du théorème des deux carrés, mais on remplace
½
sous-anneau convenable de la 7 -algèbre (non commutative) des quaternions : 7ø÷®7 ÷®7 ÷â7·ù ,
½ m ù m $ H , et w½ $ ½K ù . Cette 7 -algèbre est une algèbre à division : tout
avec m " ÷ U½ ÷ ù ne suffit car il n’est pas
élément non nul admet un inverse. Le sous-anneau ÷
“euclidien” (il est facile de vérifier qu’il n’est pas euclidien
pour la norme
euclidienne). Le sous
1
@
\
|
½
½
¶
H
anneau que l’on prend est celui engendré par , , ù et
ù . Une façon d’écrire cet
ordre est :
O ½ Iù [\@| ² 5646… I ± , I mod 2 RQ
12
3 Anneaux des entiers dans les corps de nombres.
3.1
Eléments entiers.
Maintenant que nous avons vu quelques applications non triviales de l’arithmétique dans
r et r ½@ , nous allons introduire de tels anneaux dans tous les corps de
des anneaux tels que
nombres. Par corps de nombres, on entend extension finie de 7 .
3.1.1 Définition. Soit 7Õ- ú une extension finie. Un élément de ú est dit entier sur s’il
est racine d’un polynôme
unitaire à coefficients dans . Autrement dit, dans ú est entier sur
K
L
€„ , tels que :
s’il existe ™9 H et des dans , ; Ä
=
Ê = Ê bbb = ß
Qû ; L’ensemble de tels éléments sera noté úßü . Une notation plus courante pour úßü est ýþ .
. Il est évident que 7Æü contient . Soit dans 7Æü , et
Æ
7
ü
3.1.2 Exemple.
Montrons
que
\
» dans r unitaire
? ; des
?
=
écrivons  , avec et  ¸‚
entiers
premiers
entre
eux.
Prenons
; . Ecrivons »É§ K? Ê = Ê bbb Kû . Cela donne :
tel que »
? @? = ? Ê =
?
K
û
Ž
Â
Â
;
Ê bbb
?Ê =
?
?
@
?
=
K
û
Â
y
Â
Â
Ê
Supposons qu’un nombre premier z divise . Alors z divise
bbb
, donc ,
donc , ce qui contredit que et  sont premiers entre eux. Il en résulte que ÂÿyH et que est
dans .
La définition d’intégralité est clairement une généralisation de la notion d’élément algébrique
dans une extension de corps. Nous allons montrer tout de suite que úßü est en fait un sous-anneau
de ú , contenant . Le fait que úßü contient est de toute façon évident.
3.1.3 Proposition. Soit #j
d’anneaux. Un élément de
- / un morphisme
@
L
H
# s’il existe ™9 et des dans # , ; Ä €¼ , tel que :
/
est dit entier sur
Ê ì= Ê = b bb =ì K û ; Pour dans / , les conditions suivantes sont équivalentes :
1.
est entier sur # ;
2. la sous-# -algèbre #
de / est un # -module de type fini ;
3. il existe une sous- # -algèbre † de / , contenant , et de type fini en tant que # -module ;
4. il existe
de
un sous-# -module
Þ ).
par (i.e., tel que
/
5. il existe un sous-# -module de
stable par multiplication par .
Soit /
J
/
, de type fini, contenant
H
et stable par multiplication
, de type fini, contenant un non diviseur de zéro et
l’ensemble des dans / qui sont entiers sur # . Alors /
13
J
est une sous- # -algèbre de / .
|@
0
; . Alors le sousPreuve. Montrons
que H
. Soit » dans # unitaire, tel que »
/ qui envoie vers .
anneau #
de / est l’image du morphisme de # -algèbres # » est unitaire, on peut diviser avec = reste par » dans # , ce qui montre que le # -module
Comme
D
\
= le degré de » . Il en résulte que # est
# » est libre de base H >> Ê , avec
Ê
engendré, en tant que
# -module, par H , , 2> , . Bien sûr, ceci se voit également en notant
que dans #
les
avec  9l sont combinaisons linéaires des avec ùЀ  , donc des
avecq|@ùâ
€„
.š : on peut prendre †l* # .
š {Q : on peut prendre * † .
{Q @ : on peut prendre “ * ”.
F
H Montrons finalement que
. Soit
un sous- # -module
de / , de type fini,
conte
0
=
Â
>
>
 ;
nant un non diviseur de zéro , et stable
par multiplication 4par
. Soient ñ…9l
et
L
è
L
è
è
L
è Â , avec les dans # . Notons
des générateurs de . Pour tout , Â s’écrit comme ^ la base canonique du # -module libre # , et considérons le morphisme d*¨# qui enL
L
L
^
Â
Â
voie vers . Comme les
engendrent , ce morphisme est surjectif. Nous avons alors un
diagramme commutatif :
# $ $$ - Ú $$$ #
 de , et où b est l’endomorphisme  ¾-  de # . Soit
où b est l’endomorphisme ¾
» dans # le polynôme caractéristique GDå0æ $ de . Par définition, » est unitaire, de
; dans DG # . Il
degré . Le théorème de Cayley-Hamilton
(voir ci-dessous) dit que »
0
 de est nul. En particulier, » º ; , et comme
en résulte que l’endomorphisme  ¾- »
n’est pas un diviseur de zéro, » est nul.
J
Montrons maintenant
le deuxième
énoncé. Il faut donc montrer
que / est une sous- # -algèbre
>
=
J
2
0
=
2= et è
L
de / . Soient donc et dans / . Alors la sous- # -algèbre
#
de
/
engendrée
par
=
m
; Ä m €Ï et ; Ä ½ €  si 2= etm
est
un # -module de type fini (car engendré par les m avec
sont racines de polynômes unitaires à coefficients dans # de degrés et  respectivement).
mL’équivalence
2=0 est entier
entre les conditions 1 et 3 montre alors que tout élément de #
m
©
sur # .
#
9
;
3.1.4 Théorème.
(Cayley-Hamilton)
Soit
un
anneau
commutatif,
un
entier,
et
'( le polynôme caractéristique GDå0æ ' $ } de . Alors » ;
dans # . Soit » dans #
dans # .
Preuve. C’est clair si est diagonale ; nous allons
nous ramener à ce cas. Fixons pour l’instant
l’anneau
# , mais pensons aux coefficients de comme des variables. Alors les coefficients de
» } sont des fonctions polynomiales des @L è , à coefficients dans . Il suffit donc de montrer
r O L è ² H Ä ½ Ä R , et la matrice . Plongeons # d’abord dans son
l’identité pour #P* corps des fractions ú , et ensuite dans un corps de décomposition de » ( » vu comme élément
'( ). Si le discriminant de » est non nul, a valeurs propres distinctes dans , est donc
de ú
diagonalisable sur , et le résultat est clair. Pour voir que le discriminant est non nul, il suffit de
14
le voir après un choix convenable
de
valeurs pour les
A
}
|
H
>
>
.
la matrice diagonale GV"!FC
3.2
L è . On peut prendre par exemple pour ©
Les corps quadratiques.
3.2.1 Théorème. Toute
extension de degré `2 de 7 est isomorphe à une sous-extension de 7j- p &
Å
H.
de la forme
sans facteur carré : ^ m ² I implique ^Ô
7y-<7 I pour un unique I jH dans
`
Å
x
H
Soit I
un entier sans facteur carré. Alors 7
I est une extension de degré 2 de 7 . On a :
Å
Å
Å
Å
7 I ü I si I # ` H mod 4 7 I ü r HU
I 1\@| si I # H mod 4.
Å Å I ü . Dans le deuxième cas, H 4 HU
Å I 1\@|@
Dans le premier cas, Å H I est une -base de 7
est une -base de 7
I ü.
| de 7 . Prenons dans ú tel que ú 7Ýb H ÷ñ7Ýb . Il
Preuve.
Soit
une
extension
de
degré
ú
m 
; . On pose * ø
}\F| (| est bien inversible dans
existe et dans 7 J tels que
7 ), et on a m I * m \…{ $ . On a bien\F ú 7 . On écrit
I J mI avec ` dans 7 et I dans
et sans facteur carré. En posant * Ï , on a ú 7 , avec m I ; I H car ú est de
degré deux. Ceci montre J donc l’existence. `
yH sans facteur carré, tels que les 7 -algèbres 7 Å I I
I
Supposons
que
et
sont
des
entiers
Å I J
J Å I m
7
7
I
et
soient
isomorphes.
Il
existe
alors
et
dans
tels
que
, ce quiJ donne :
|FQ ; m mAI I J ;
mAI I J
J
I . Si ; , on a m I , ce qui
et
, on a
et on a I
JI . Si
contredit le fait que n’est
pas un carré dans 7 . Ceci établit l’unicité.
`
H
Soit maintenant I
un entier sans facteur
carré. Å Soit par la théorie
de Galois, soit en
Å
Å
$
$
remarquant que m
I a deux racines distinctes I et I dans
ú * 7 I , on voit que ú
Å I $ Å I , pour tout et a un unique automorphisme non trivial $ , donné par $
dans 7 . Comme $ est un automorphisme, on a $ úøü úøü . Pour tout dans ú , on a :
; $ $ $ [ › m $ ß
$ [ 
$ 0
$ et $ avec $ et $ dans 7 . Soit dans úøü . Alors $ est dans úøü donc
Å I , avec et sont entiers sur ; comme ils sont dans 7 , ils sont dans . En écrivant É
dans 7 , cela donne :
|F®± m $ I m ± { |F dans (car I est sans
En particulier, cela implique que I m est dans . On en déduit| que est
{ , et on trouve que est
H $ H
facteur carré). Ensuite, on distingue les trois cas I y
|F, m $ etI |F0modulo
m
{
bien de la forme souhaitée (il est utile de noter que
est dans ). D’autre part, on
vérifie directement que les de cette forme sont entiers sur . Les détails sont laissées au lecteur.
©
3.3
La trace.
Notre but suivant est de montrer que pour 7P- ú une extension finie, úßü est libre de rang
GDV]W&%%ú en tant que -module. Nous allons donner deux démonstrations de cela. La première
15
sera plutôt algébrique, en utilisant une forme quadratique qui s’appelle la forme trace de ú
sur 7 . La deuxième démonstration fait appel à des résultats bien connus sur les sous-groupes
discrets de ‡ -espaces vectoriels de dimension finie. Introduisons maintenant la trace.
3.3.1 Définition. Soit # un anneau, et / une # -algèbre qui est libre de rang fini en tant que
# -module. Pour dans / on appelle trace de sur # la trace de l’endomorphisme b *¨/ - / ,
º¾- du # -module / ; c’est un élément de # que l’on notera ' T( ¬ . L’application ' T( ¬ de
/ vers # est un>=0morphisme
on l’appellera le morphisme trace de la # -algèbre / .
6 ¾- ' T de2=[ # -modules,
L’application
de
·
/
m
vers
# 2=0est * # -bilinéaire,
et est appelée la forme trace de
2
A
=
¬
m
m
¾
- )
( .
la # -algèbre / ; nous la noterons
m
m
Pour que la forme trace nous soit utile, nous avons besoin de savoir qu’elle est non dégénérée.
3.3.2 Théorème. Soit ú - une extension finie de corps. Alors la forme trace est non dégénérée si et seulement si l’extension est séparable.
soit séparable. Alors il existe des éléments primitifs pour
Preuve. Supposons que ú cette extension
; prenons en un, disons , et soit>=6» dans ú +2 son polynôme
minimalJ sur ú J-, . Soit
J
J
ú - J ú une extension qui scinde » : »º $ bbb $ dans ú J . Notons * ú þ
la ú -algèbre obtenue de ú_- par extension des scalaires de ú */.1à0Û¬ ú 0 (voir la section 9 pour la
définition du produit tensoriel
* .@¬ d’algèbres sur un corps). Alors )[b b þ est simplement
J la formeJ
bilinéaire déduite deJv +)ìb b þ par la même extension des scalaires. D’autre part, la ú -algèbre est isomorphe à ú
via :
J $ 2 J \D » 4
J + 2
$
- ú
- ú
$ 2- ú \D » 3
Maintenant on calcule directement. Une façon de dire ce qui se passe ici, est de dire que cette
extension des scalaires ne change rien auxJ matrices qui
J donnent le morphisme et la forme trace,
par rapportJ à une ú -base de , et à la ú -base de en déduite, mais qu’après cette extension
+ beaucoup mieux adaptée au problème que nous voulons résoudre :
de ú à ú , il existe une
base
v
J
la base canonique de ú
.
Nous ne montrons pas l’implication dans l’autre sens. Voir des livres d’algèbre, par exemple
©
celui de Lang (Algebra).
Nous allons maintenant montrer que pour
envoie úøü dans .
3.3.3 Lemme. Soit # 0un
anneau, et » *,/
entier sur # . Alors »
est entier sur # .
Preuve. Immédiat car »
0
ú
une extension finie de 7 , la trace
= - /
m
' T þ ¬ % *¨úÌ- 7
un morphisme de # -algèbres. Soit dans
est annulé par tout polynôme qui annule .
/ =
©
3.3.4 Proposition. Soit ú une extension finie de= 7 , et notons
Iy* GDV]W&%%ú . Il existe alors
+
>
>
exactement I morphismes de ú dans & , disons )
) . Soit dans ú , et soit » dans 7 '(
son polynôme minimal sur 7 . Alors :
1.
' $ ) = [ b bb ' $ ) …+ 1 :
»5687:9<;>=? þ
;
16
2.
3.
4.
5.
—'(
Si est dans úøü , » est dans
;
Le polynôme caractéristique de b *57 Le polynôme caractéristique de b *¹ú_¬ Si est dans úøü , ' T1þ % est dans .
-<7 »
est ;
»
5
8
6
ú est 7 9<;8=? þ
;
Preuve. Le fait qu’il existe exactement I morphismes de 7 -algèbres de ú dans & a été montré
en premier semestre. Rappelons nous le principe de la démonstration : on montre, par récurrence
sur I , l’énoncé suivant : soit úí- une extension de corps, séparable, de degré I , et soit ú une
clôture algébrique, alors=Ail existe
exactement I morphismes de ú -algèbres de dans ú .
+
>
2
) les plongements de notre ú dans & L(. Montrons
Soient maintenant )
la formule 1 en
haut. Soit donc dans ú . L’identité se voit alors en regroupant les ) qui sont égaux. Chaque
la première partie.
racine de » dans & intervient GDVXW@%
ú fois. Ceci montre
B
Ù
0
A
Ü
Soit dans úøü . On applique la première partie à 7
. En notant I * GVXW@%%7 on a :
A
ȼ ' $ ) = [ bbb ' $ ) + = [0
=0 +
L˜ sont entiers sur , donc les coeffiavec ) >> ) = les plongements de 7 dans & L˜. Les
)
cients de » , qui sont des sommes de produits de ) , sont eux aussi entiers sur . Mais comme
+ Ê = la démonstration
ils sont dans 7 , ils sont dans
de la deuxième partie.
. Ceci termine
Par rapport ła 7 -base H >> =
de 7 , la matrice de b est :
CDD
$ Qû GIHH
DD
HH
..
DD H
HH .
.
H
..
..
..
E
J
.
.
F
+
H $ =Ê=
+
L
@
L
'
'
L
L
K
+
=
º
»
= . On montre, par récurrence sur la taille de cette matrice,
où nous avons écrit
que son polynôme caractéristique est » (c’est un exercice). Une autre façon de démontrer la
'( , unitaire, de degré
troisième partie est de dire que le polynôme caractéristique de b est dans 7
I A , et, par Cayley-Hamilton, annule , donc égale » . Encore une autre façon de faire est d’étendre
les scalaires de 7 à & , et de choisir une base mieux adaptée au calcul, c’est à dire, une base où
L
b est diagonale.
=A ^ I + = I . Alors les è forment une 7 -base
a
donc
Soit >> NM une 7 -base de ú . =AOn
=A A Ê =A de ú , que l’on ordonne comme suite : 5 2> = >> . Par rapport à cette base,
m
la matrice de b est constituée de ^ blocs, chacun égal à la matrice de la partie précédente. Cela
démontre donc la quatrième partie.
La cinquième partie résulte directement des parties précédentes.
3.4
Première démonstration de la liberté de OQP .
©
Pour montrer que úøü est libre de rang GDV]W
%ú en tant que -module, nous allons montrer
que úøü contient un sous-anneau avec cette propriété. Ensuite, en utilisant la forme trace, nous
17
montrerons, par un argument de dualité, que úøü est contenu dans un sous- -module libre de
rang GDV]W&%%ú de ú . Par le résultat qui dit que tout sous-module d’un -module libre de rang est libre de rang au plus , cela implique que úøü est libre, de rang GDV]W&%%ú .
3.4.1 Proposition. Soit 7
libre de rang I³* GDVXW@%%ú
- ú
une extension finie. Alors
en tant que -module.
úøü
contient un sous-anneau qui est
Preuve. Prenons dans ú un élément primitif : ú 7 . En le remplaçant par avec
™¸‚; un entier convenable, on a entier sur . Il est clair que a les propriétés voulues. ©
3.4.2 Théorème. Soit
que -module.
ú
une extension finie de
7
. Alors
úøü
est libre de rang
GDV]W
%ú
en tant
Preuve. Soit # un sous-anneau
de¬ úøü qui est déjà du bon rang sur . Notons que pour tout *
dans úøü et dans
# , on a ) þ % dans . Cela nous donne un morphisme de -modules de
:
úøü vers RTS@Wü #
* ¬ â¾de ú
¾- ) þ % Comme # contient une 7 -base
(car # est libre
du bon rang ; appliquer la définition
*
¬
d’indépendance linéaire), et que la forme trace )[b b þ % est non
dégénérée,
ce morphisme est
injectif. Donc úßü est isomorphe à un sous-module de RUS@Wü #
, qui est lui-même libre de
rang GDV]W@%Ôú . Comme tout sous-module d’un -module libre de rang fini est libre de rang au
plus , cela nous donne que úøü est libre de rang au plus GDVXW@%%ú . Mais comme il contient # , il
est de rang GDVXW@%%ú .
©
O P.
Q
Soit ú une extension
finie de 7 , ®
I * GDV]W
%ú , et ) =A >2 ) + les plongements de
ú dans
& .
L
A
=
?
V
>
>
Nous numérotons
) , et
?VXWles
? W) L de) ?laVXWLfaçon) suivante ) : ceux qui ont image dans ‡ sont )
ensuite tel que )
, où signifie suivi de la conjugaison complexe. Nous posons :
õ
Y *¹ú -‡ ? V[Z & ? õ º¾- ) = 0 2> ) ?V\W? 1 õ
Y
Cette application , qui est un morphisme injectif de 7 -algèbres,
s’appelle le plongement canoL
nique de ú (pas si canonique,
les ) ). De ce qui précède, il résulte que si on
W? numéroter
Y =0 car il? Vfaut
a dans úøü , et >> , alors le polynôme
õ
' $ =1 bbb ' $ ?V[2 ' $ ?V-W¨=[ ' $ ?V-W? W¨=1 bbb ' $ ?V-W? ' $ ?V-W ? m õ
õ
õ
+ ]+ = ' + Ê =
D
=
K
û
@
L
@
L
'
'
, avec les dans . Même, les sont des sommes
Ê L bbb est de la forme L Y úøü est discret, et donc, par le théorème suivant,
de produits
de
et
de
.
Cela
implique
que
Y que úøü est libre de rang au plus I .
3.5.1 Théorème. Soit ^ un sous-groupe discret d’un ‡ -espace vectoriel _ de dimension finie .
Alors ^ est un -module libre de rang au plus . En plus, toute -base de ^ est une suite ‡ linéairement indépendante de _ . Si ^ est de rang , on l’appelle un réseau.
3.5
Deuxième démonstration de la liberté de
18
Preuve. Voir [Samuel, IV, Thm 1]. Mais la preuve donnée là-bas ne me plait pas trop ; elle
ne donne pas d’algorithme pour calculer une base du sous-groupe discret. Pour cette raison, je
donne une autre preuve.
Nous remplaçons _ par son sous-‡ -espace vectoriel engendré par ^ .
Soient donc _ et ^ comme dans le théorème. Nous devons montrer que ^ est libre de
rang , et que toute -base de ^ est une ‡ -base de _ . Récurrence sur
. Pour ; , c’est
*
clair. Supposons donc queû ›9 H . Choisissons un produit
scalaire )[b b sur _ , et notons `4bX` la
û
norme associée. Prenons a dans ^ non nul, avec `ba ` minimal (c’est possible
car ^ est discret,
J
û
donc d’intersection
finie avec J tout sous-ensemble borné de _ ). Notons _ l’orthogonal de ‡ca ,
û
J
et zÆ*d_j-<‡ca et z *_x- _ û les projections
c ‡ca û
c ‡ea û orthogonales.
3da û pour un 3
^
a
Montrons d’abord que a ^
. Soit a dans
.
On
a
; Ä î·€ H . Alors î<a û a $  a û est dans ^ , et `î<a û `+€f`ba û ` ,
dans ‡ . Ecrivons 3 ›Â¼
î avec
û
donc î ; , et a est dans a . J
J
Montrons maintenant que z ^ est discret (dans _ , bien û sûr). Pour Ju cela,
il faut montrer
qu’il existe _; tel que siû a est dans ^ mais pas dans ‡ea , alorsû `(z a `иíî . Soit donc
dans
a dans ^ mais pas
‡ca . En translatant par un élément de a , nous pouvons supposer
@
\
F
|
û
û ` ).
H
que `(z a ` û Ä
avec
la
bande
des
tels
,
et
la
boule
de
rayon
`ba ` (faire unJ dessin,
a
b
`
a
@
\
@
|
û
Å š`ba ` .
Comme `ba ` est minimal,
on a `(z a `%9 H
J
$ H , et toute -base de z J ^ est une ‡ -base
Par
récurrence,
est
libre,
de
rang
au
plus
z
^
J
=0 ?
de _ . Soient a û2 > =A a dans
^ tel que z JÒ a =[A >> z JÒ a ?1 soit une -base deû2z J ^ =0 . On montre
A
?
?
qu’alors aƒ* a a 2> a est une -base de ^ (exercice). Il est clair que a a >> a est
de _ . Par rapport à cette -base de ^ , toute -base de ^ est donnée par un élément
une ‡ -base
de gih , donc en particulier par un élément de gih ‡ , ce qui termine la démonstration. ©
19
4 Les anneaux de Dedekind.
Nous voulons démontrer que dans l’anneau d’entiers úøü d’un corps de nombres ú on a factorisation unique des idéaux non nuls en idéaux premiers. Cela remplacera, dans les applications,
Å $ F
la factorialité perdue. Pour voir que la factorialité est perdue, considérer le cas ú 7
.
La généralité naturelle de ce que nous voulons faire est le cadre des anneaux de Dedekind. Nous
allons suivre [Samuel, III].
4.1 Définition. Un anneau # est dit de Dedekind si :
1. il est intègre ;
2. noethérien : tout idéal est de type fini ;
3. intégralement clos : tout élément du corps de fractions qui est entier sur l’anneau, est dans
l’anneau ;
4. tout idéal premier non nul est maximal (la dimension de Krull est au plus un).
4.2
Les OQP sont de Dedekind.
Avec ce que nous avons déjà vu, il est clair que tout anneau principal est de Dedekind. Le
but de cette section est de montrer que les anneaux d’entiers des corps de nombres sont de
Dedekind. Par définition, ces anneaux sont intègres. Le fait qu’ils sont libres de rang fini en tant
que -modules entraı̂ne qu’ils sont noethériens : tout idéal est un sous-module d’un -module
libre de rang fini, donc libre de rang fini, donc engendré, même en tant que -module, par un
nombre fini d’éléments. Reste donc à voir qu’ils sont intégralement clos, et que tout idéal premier
non nul est maximal.
4.2.1 Proposition. Soit ú
est maximal.
un corps de nombres. Soit z un idéal premier non nul de úßü . Alors z
Preuve. Soit dans z non nul (existe car z non nul). Comme úßü est intègre, l’application
úøüº- z , ƒ¾- 5 , est injective.
Cela montre que z est libre de même rang que úßü en tant que
\
-module, donc que úßü z est fini. Comme un anneau intègre fini est un corps, z est un idéal
©
maximal.
4.2.2 Lemme. Soit #x- /ä- † des morphismes d’anneaux, avec / entier sur # : tout dans
/ est entier sur # . Soit dans † , entier sur / . Alors est entier sur # .
Preuve. Prenons une relation de dépendance intégrale pour sur /
:
=
Ê = Ê b bb û ; 6L
L kû j # Aû L Ÿm>l >= V L Ê = de † est de type fini en tant
avec les dans / . Notons que la sous- # -algèbre
que # -module, car engendré par des monômes
bbb Ê Ÿ avec tous les exposants bornés. Le
critère d’intégralité du cours 3 implique que est entier sur # .
©
20
4.2.3 Proposition. Soit ú
un corps de nombres. Alors úßü est intégralement clos.
Preuve. Il n’y a qu’à appliquer le lemme précédent dans le cas
4.3
- úßü·- ú
©
.
Autres exemples d’anneaux de Dedekind.
Les anneaux de Dedekind ne se manifestent pas uniquement en théorie des nombres, mais
également en géométrie algébrique, comme le montre l’exemple suivant.
» dans ù irréductible, tel que » et ses dérivés partiels »
4.3.1 Exemple. Soit ù un corps,
\D » est de Dedekind. EnA
et »on engendrent l’idéal ù de ù . Alors l’anneau #ä* ù termes géométriques : l’anneau de coordonnées d’une courbe algébrique affine non singulière est
être
non factoriel,
donc le fait qu’il soit encore de Dedekind
de Dedekind. Un tel anneau # peut
D
\
›
H
$
m
m
est important. Par exemple, ‡
n’est pas factoriel. Ce dernier fait n’est pas
difficile à démontrer. Par exemple, les éléments et $ H n’admettent pas de pgcd.
4.4
Généralités noethériennes.
Nous suivons [Samuel, III].
4.4.1 Proposition. Soit
valentes :
#
un anneau, et
un
#
-module. Les conditions suivantes sont équi-
élément maximal, c’est à dire, si
1. toute famille non vide de sous-modules de
p est un ensemble non vide et, pour tout danspossède
p , L ununsous-module
de , è alors il existe
dans p tel que pour tout ½ dans p , L n’est pas contenu strictement dans
;
2. toute suite croissante de sous-modules
L de
suite de sous-modules de , on a
3. tout sous-module de
est de type fini.
= Þ
Þ bbb
stationnaire : si
LqW¨= estpour
m
tout assez grand ;
q|@ q|F est une
q|@
H š et š Preuve. Les
implications
,
sont claires. Montrons, pour
q
@
|
H . Cela se fait par contradiction : supposons que toute suite croissante de
finir, que
L
p
sous-modules de
est stationnaire, et que , pour dans , soit une famille non vide de J sousmodules de
# , qui n’admet pas d’élément L maximal. Alors, pour tout dans p , il existe un dans
p avec L 0 strictement
plus grand que
. Mais alors il existe une suite strictement croissante
Lrj Þ LV bbb , ce qui contredit
que toute suite croissante est stationnaire.
©
4.4.2 Définition. Soit # un anneau. Un # -module
est noethérien si tout sous-module de
est de type fini. L’anneau # est dit noethérien s’il l’est en tant que # -module, c’est à dire, si tout
idéal est de type fini.
4.4.3 Exemples. L’anneau est noethérien, ainsi que les úßü pour les extensions finies ú de 7 .
Tout corps est noethérien, par manque d’idéaux. Si # est noethérien, alors # l’est aussi
r = ; voir
un livre d’algèbre pour ce résultat fondamental (nous ne l’utiliserons pas). L’anneau >>
m
21
de polynômes en un nombre infini de variables n’est pas noethérien, ainsi que la clôture intégrale
de dans 7 .
J
4.4.4 Proposition. Soit # un anneau et ;®# -modules. Alors est noethérien si et seulement si
J
J—J
J-
et
J—J - ;
J—J
une suite exacte courte de
le sont.
J
Preuve. Si
est noethérien, alors
le sont, car tout sous-module de
est un sousJ—etJ
module de , et tout sous-module de
J
J—est
J l’image d’un sous-module de , donc tous de typeJ
fini. Supposons maintenant
que
et
sont noethériens.
Soit
J
J—J
J
J ¿ J—J un sous-module de , ¿
son intersectionJ avec J et ¿ J—J son image
. Alors
J= >> ¿ ?J et ¿ sont de type
J fini. Prenons
= 2> ? et = >> Js J de ¿ dans
des
éléments
tels
que
engendrent
images de
¿
J = J >> Js J dans J—J engendrent ¿ J J . Alors J= >> ?J et J—= J >> Js J engendrent, et¿ les
.
©
=0
Z
Z Soit # un anneau. Si >> sont des # -modules noethériens, alors leur
4.4.5 Corollaire.
=
produit
bbb
est noethérien. Si # est noethérien, alors tout # -module de type fini est
noethérien.
4.5
Produits d’idéaux.
4.5.1 Définition. Soit # un anneau, et et des idéaux
de # . On définit alors le produit
5 , avec dans et dans . Ce produit Q est l’ensemble
comme étant l’idéal engendré
par
les
L
L
L L L
des sommes finis , avec dans et dans .
Le lemme suivant dit que, pour cette multiplication, les idéaux premiers se comportent comme
des éléments premiers.
4.5.2DLemme.
Soit # un@anneau,
z un idéal premier, et
=
L
zut bbb . Alors zvt pour un convenable.
Preuve. Sinon,
pour tout , il existe =
est dans bbb , et pas dans z .
L
dans
@L
tel que L
=A >2 des idéaux. Supposons que
n’est pas dans z ; mais alors = bbb ©
4.5.3 Lemme. Soit # un anneau noethérien. Alors tout idéal de # contient un produit d’idéaux
premiers. Et aussi : tout idéal non nul de # différent de # contient un produit d’idéaux premiers
non nuls.
Preuve. La preuve est un exemple typique de l’utilisation, assez magique, de l’hypothèse noeY
thérienne. Montrons par exemple le deuxième énoncé. Soit la famille des idéaux non nuls de #
Y
différents de # qui ne contiennent
pas de produit d’idéaux premiers non nuls. Supposons
que
Y
soit non vide.
Soit alors dans maximal. Certainement, n’est pas premier,
car t
. Donc
F
\
5
(comme #
est non
nul et non intègre) il existe et dans # , non dans , tel que
soit dans .
Comme
strictement plus grands que , il existent des idéaux premiers non
=z A 2> # z ? et à =0 >># à sont
s , tels que # tgz = bbbz ? et # t§Ã = bbb1à s . Mais alors :
nuls
et
t # 2 # tz = bbbÒz ? Ã = bbb[Ã s Y
ce qui est une contradiction. Donc est bien vide.
22
©
4.6
Idéaux fractionnaires.
4.6.1 Définition. Soit # un anneau
intègre, et #- ú son corps de fractions. Un idéal fractionnaire de # est un sous-# -module de ú tel qu’il existe I dans # non nul avec I Þ # . Si # est
intègre
et noethérien, les idéaux fractionnaires sontQ les sous-# -modules de type fini de ú . Si et
sont des idéaux fractionnaires de # , leur produit est le sous- # -module de ú engendré par les
5 avec dans et dans ; c’est encore un idéal fractionnaire de # , et, si et sont des idéaux
de # , c’est le produit
défini précédemment. De même, si et sont des idéaux fractionnaires de
# , leur somme est un idéal fractionnaire de # .
p 4.6.2 Lemme. Soit # un anneau intègre. L’ensemble # des idéaux fractionnaires non nuls
de # est un monoı̈de pour la multiplication, c’est à dire, cette multiplication est associative, et
admet un élément neutre (c’est # ).
Bien qu’on a deux opérations sur l’ensemble des idéaux
fractionnaires
d’un anneau intègre # , à
¹
Q
savoir le produit et la somme, et que l’on a même
, cet ensemble ne devient
pas un anneau, car il manque l’inverse pour l’addition.
4.6.3 Théorème. Soit # un anneau
de Dedekind. Alors tout idéal maximal non nul de
p inversible dans le monoı̈de # d’idéaux fractionnaires non nul de # .
Â
est
#Õ- ú le corps de fractions de # .
 J * jO ± ú ² 5ÂíÞ # RQ
J
J Þ #
 J est un
Alors  est un sous-# -module de ú . Pour tout dans  J on a Â
, donc
 J t # , on a
idéal fractionnaire
de # . Il J suffit donc de J montrer que   # . Comme
J
J
Â_Þñ Â_Þ # , donc soit   # , soit  Âÿ§Â . Supposons que  Âÿ›Â .
J
Soit dans  . Alors  est un sous- # -module de ú , de type fini, stable par multiplication
par , et contenant un non diviseur de ; . Par notre J critère d’intégralité, est entier sur # , donc
dans # , car # est intégralement clos. On a donc  # . Ceci va contredire que tout les idéaux
premiers non nuls de # sont maximaux.
=0 Soit dans  = non nul. Soient i9 H entier et z >> z des idéaux
premiers non nuls
=
L de #
tels que # tÎz bbbz , avec minimal.= Comme  tP# tÎz = bbbz , on a  tÎz pour un
ŽH . Mais  et z sont maximaux, donc z j . Posons * z bbbz .
certain , disons pour
`
m
Â
=
=
=
t
t par minimalité de . Prenons
Alors onÊ a ± ` #
et #
J alors dans , non dans # . Alors
# , et Ê Â_Þ # , autrement dit : Q Ê ± Â . Contradiction.
©
on a Q
Preuve. Soit
Posons :
un idéal maximal non nul de
#
#
. Notons
4.6.4 Remarque. Je trouve que la preuve donnée ci-dessus n’est pas conceptuelle du tout. On
peut suivre ligne par ligne que cela marche, mais comprendre ce qui se passe, c’est bien autre
chose. Si on dispose de l’outil de localisation, on peut faire une
par
û
J \ preuve plus
conceptuelle,
\
Â
exemple, comme Serre
dans son livre [Serre3]. Tout d’abord,
, le plus grand
# est ú #
\ # annulé
 . Ensuite, dans le cas local, on a pour tout non nul dans  ,
=
sous-module
de
par
ú
Ê ú (le seul idéal premier de # qui est contenu dans # est ; ). Il en résulte que
que # \
tout élément de ú # est annulé par une puissance de . Comme  est de type fini, il en résulte
23
\
que tout élément
de ú # est annulé par une puissance de  . Mais\ en prenant un sous-module
\
Já\ #
minimal de ú # (ou d’un sous-module non nul de type fini de ú # ), on trouve que Â
est
non nul.
(Pour
l’existence
d’un
sous-module
minimal,
on
utilise
qu’un
sous-module
de
type
fini
\
de ú # est artinien.)
= sans localisation.
Pour finir cette remarque, notons qu’on peut même faire cet argument
Voici
û
=Ê de\ voir que\ Ê # \ # w ` ; . Mais la
comment on fait : soit dans  non nul. Il suffit
multiplication par induit un isomorphisme de # # vers # # . Ce dernier est un anneau
noethérien où tous les idéaux premiers sont maximaux, et donc minimaux. Or, dans
un anneau
A
=
ÿ
Â
Â
>
> Â ? les
noethérien, les idéaux premiers
minimaux sont en nombre fini. Soient donc
\
idéaux premiers de /k* # # . Comme dans tout anneau, l’intersection des idéaux premiers
est l’idéal des nilpotents (c’est vrai, pour montrer
=5c bbceci,
cb  il? est commode de localiser par rapport à
Â
un élément de cette intersection). Comme
est de type fini, c’est un idéal\ nilpotent.
/ä- x L / Â L est un
On conclut que / est artinien, et que, pour assez grand, le morphisme
\
 : un tel sous-module
isomorphisme. On termine en prenant
un sous-module minimal
û ` de /
\
Â
;.
est nécessairement isomorphe à /
, ce qui montre que /
Dans les exercices on trouvera une version plus élémentaire des arguments ci-dessus, adaptée
spécialement au cas des úßü .
4.7
Factorisation unique des idéaux fractionnaires.
Dans cette section et la suivante, nous allons démontrer certains résultats concernant les anneaux de Dedekind, et en même temps pour un certain type d’anneaux a priori plus généraux dont
nous verrons plus tard que ce sont eux aussi des anneaux de Dedekind. La raison de procéder
comme ceci est que cela nous permet de démontrer plus loin un critère pratique pour savoir si un
sous-anneau d’un anneau d’entiers dans un corps de nombre est égal à l’anneau des entiers, sans
avoir à refaire les démonstrations des résultats de ces deux sections.
4.7.1 Théorème. Soit # un un anneau de Dedekind, ou un anneau intègre, noethérien dont tout
p
idéal premier non nul est maximal et inversible dans # . Soit y l’ensemble des idéaux premiers
non nuls de # . Alors tout idéal fractionnaire non nul de # s’écrit de façon unique sous la forme :
œ z ×Ø ÙëÚ[Ü Ö{z{|
, presque tous nuls. Si est un idéal non nul de #
}
avec les  Ö
dans
, on a 0Ö
9§; pour tout
z dans y .
p Le monoı̈de # est un groupe : tout idéal fractionnaire non nul de # admet un inverse
pour la multiplication d’idéaux fractionnaires. Nous avons donc un isomorphisme de groupes :
$ 2- }
d* p # 3
Preuve. Soit
d’éléments de
y
Y
|
Ù| Ü ¾- z ¾<
- 0Ö 1 l’ensemble des idéaux
non nuls
de # qui ne sont pas produit d’unnombre
fini
`
`
Y
Y

~
. Supposons que
. Soit un élément maximal de . Alors
# , car #
24
y tel que Þ z (prendre z maximal
est le produit de zéro éléments de y . Donc il existe z dans
J
parmi les idéaux différents de # et contenant ). Soit z l’inverse de z . On a :
J
Þ z J Þ z@z J # J
Si z , on a z # (comme dans la preuve du théorème précédent
etJ
J si # est de Dedekind,
Y
en utilisant le lemme 4.11.2
J sous
= l’autre hypothèse
L sur # ). Donc z n’est pas dans . Donc z
s’écrit sous la forme z z bbbz , avec les z dans y . Mais alors on a :
# z J z z = bbbz z Y
ce qui est une contradiction. Donc est bien vide, et tout idéal non nul de # est un produit
d’éléments
de y .
* I Þ =#
=
#
I
#
Soit un= idéal fractionnaire
non
nul
de
.
Soit
non
nul
dans
tel
que
Ê . Ecri
=
L
è
=
Ê
=
à bbbìà et z bbbz avec les z et à dans y . Alors on a z bbbÒz à bbb1à ,
vons IK#
ce qui montre que tout
p idéal fractionnaire non nul est un produit de puissances d’éléments de y .
Le fait que # est un groupe commutatif, engendré par y , est maintenant clair. Montrons
l’unicité de la factorisation. Cela équivaut à ce que y soit libre. Supposons qu’il existe une
relation non triviale x Ö z Ø # . En séparant les exposants positifs et négatifs, on obtient une
relation non triviale de la forme :
V
V
z = bbbz ?{€ à = bbb1à s‚ V
‚
L
è
=
=
s
avec les exposantsL ¸ ; et les z et à tous distincts.
Mais
alors
contient
, donc
z
Ã
b
b
1
b
Ã
L
contient l’un des à , et est donc égal à l’un des à , ce qui est une contradiction.
©
Pour pouvoir travailler avec cette factorisation des idéaux fractionnaires, nous avons besoin
d’en traduire les propriétés les plus importantes en termes de cette factorisation. D’où le formulaire suivant.
4.7.2 Théorème. Soit # un un anneau de Dedekind, ou un anneau intègre, noethérien dont tout
p
idéal premier non nul est
maximal
et inversible dans # . Soit y l’ensemble des idéaux premiers
non nuls de # . Soient et des idéaux fractionnaires non nuls de # .
1.
2.
3.
4.
5.
Pour tout z
On a Þ
On a Þ #
Pour tout z
Pour tout z
0
0
0Ö 0Ö .
dans y :  Ö
9ñ0Ö 0 pour tout z dans y .
si et seulement si 0Ö
9§; pour tout z dans y .
si et seulement si 0Ö
0 WøV 0Ö 0  Ö [
dans y :  Ö
.
Ô
“
c
0
0
0
1
Wƒ!1„ 0Ö  Ö .
dans y :  Ö
= (1) résulte directement du théorème précédent. Pour (2), on note que Þ
Preuve. L’énoncé
Ê
Þ # . Donc avec (1), (2) résulte de (3). Montrons (3). Si les 0Ö sont tous 9§; ,
équivaut
à
est un produit d’idéaux, donc un idéal. Si Þ # , tous les
0Ö sont 9_; par le théorème
précédent. Montrons (4). Cela
estle
résulte de (2) plus le fait que
c plus
petit idéal fractionnaire de # qui contient et . L’énoncé
(5)
correspond
au
fait
que
est le plus grand idéal
©
fractionnaire de # contenu dans et .
25
4.8
Valuations sur les anneaux de Dedekind.
En pratique, on travaille plutôt directement avec les éléments du corps de fractions d’un
anneau de Dedekind qu’avec les idéaux fractionnaires. Pour cela, il est commode d’introduire
les valuations induites par les idéaux premiers non nuls.
4.8.1 Définition. Soit # un un anneau de Dedekind, ou un anneau intègre, noethérien dont tout
p
idéal premier non nul est maximal et inversible dans # . Soit ú son corps de fractions, et y
l’ensemble de ses idéaux premiers non nuls. Pour tout z dans y , la valuation sur ú en z est
l’application :
0Ö *5ú_- †… ON‡R â¾- 0Ö # si ` ; , ; ¾- ‡ .
4.8.2 Proposition. Dans la situation de la définition précédente, les applications
ˆ… ON‡R ont les propriétés suivantes :
0Ö
de
ú
vers
est un
0Ö 5 0Ö  Ö pour tous et dans ú M ; autrement dit : 0Ö¥* ú M morphisme de groupes ;
0 1
` 2. 0Ö ‹
¤ 9ñW³V  Ö 0Ö , avec égalité si 0Ö 0Ö .
Preuve. La première égalité résulte directement de ce que # 5› # # . Montrons (2). Si
; , ou y ; , ou ™
jn j ; , c’est clair. Supposons donc les trois non nuls. Ecrivons
# g zD×Ø Ù‰A0Ü et # zD×Ø0Ù Ü . Supposons que  Ö Ä  Ö . Alors 0Ö } ;  Ö 0 . Nous
1.
avons :
n
n
# º z × Ø0ÙBA0Ü Þ z ×Ø0ىA0Ü A #  z ×Ø0Ù Ü Þ z ×Ø0Ù Ü 0 Þ z ×Ø2ىA0Ü 0 0 . Le Théorème 4.7.2 dit que 0Ö 0 ; , ce qui donne
Il en résulte que # N
# ß z ×Ø ÙBA0Ü bien
0Ö ß
 Ö # ß
¤ 1 W¨9ñ=  Ö # ß
# 0Ö 0 , car sinon serait dans z W¨= 0 ,
Si 0Ö ¸„0Ö , alors U
³ n’est pas dans z ×Ø0ىA0Ü
×Ø ÙBA0Ü
ce qui n’est pas le cas.
©
Ces propriétés justifient le nom de valuation pour les 0Ö . Nous ne donnerons pas ici la définition
générale de ce qu’est une valuation, mais nous voulons plutôt insister sur l’analogie avec l’ordre
d’une fonction méromorphe en une variable en un point. `
Considérons par exemple l’anneau & . Alors,
pour » ; dans le corps des fractions & ,
et dans & , on a bien que l’ordre de » en est l’exposant de $
dans la factorisation en
irréductibles de » .
Pour
manipuler facilement les  Ö , il est commode de penser à comme une fonction, et à
0Ö comme l’ordre de en z . A vrai dire, en géométrie algébrique on dispose de ce qu’il faut
pour rendre tout ceci rigoureux. En particulier, si # est l’anneau des fonctions régulières sur une
courbe algébrique affine non singulière, cette interprétation est tout à fait correcte.
Le résultat suivant est l’analogue de ce qu’une fonction rationnelle sans pôle est régulière.
26
4.8.3 Proposition. Soit # un un anneau de Dedekind, ou
intègre, noethérien dont tout
# un anneau
p
idéal premier non nul est maximal et inversible dans
. Soit ú son corps de fractions, et y
dans ú et dans p # . Pour que soit dans
l’ensemble
de
ses
idéaux
premiers
non
nuls.
Soit
il faut et il suffit que 0Ö 9:0Ö pour tout z dans y . En particulier, pour que soit dans #
il faut et il suffit que  Ö 9§; pour tout z .
Preuve. Ceci résulte directement de la définition de
Théorème 4.7.2.
4.9
 Ö¥*,ú M -
et des parties (2) et (3) du
©
Groupe des unités et groupe de classes d’idéaux.
de fractions, et y l’ensemble de ses idéaux
Soit # un anneau de Dedekind, ú son
# corps
p
premiers non nuls. Rappelons nous que 2 est le groupe des idéaux
fractionnaires non nuls,
p
|
x Ö z ×Ø0 ÙëÚ1Ü . Rappelons nous
et que nous avons un isomorphisme ˆ* # par M -Ù Ü donné
aussi que nous avons défini des valuations  Ö¥*5ú
, par  Ö  Ö # .
Un idéal
fractionnaire de # est dit principal s’il est principal, c’est à dire, s’il existe dans
ú tel que ú . Nous avons un morphisme de groupes :
ú M $ - p # A
â¾- # ¥
L’image de ce
est le sous-groupe y # des idéaux fractionnaires principaux.
Le
# 1\ y morphisme
# p
quotient
est appelé le groupe de classes d’idéaux de # , et est noté † # . Avec ces
définitions, il est clair que nous avons une suite exacte :
Ù| Ü $ - † # $ - ; ; $ -<# M $ - ú M $ ×-
Une façon d’interpréter cette suite
exacte
est de dire que les seules obstructions contre ce que
M
 *dyÎ- dans Ù | Ü . Alors  est
 soit un isomorphisme sont # et † # . Plus exactement, soit
= si l’image
dans l’image
de  si et seulement
de  dans † # est nulle. Si tel est le cas, et si dans
Ê
M
M
ú avec  Â , alors  O4ÂaRr # . Dans le cas où # est
l’anneau de fonctions régulières
sur une courbe algébrique affine non singulière, le groupe † # est l’obstruction quand on veut
construire de telles fonctions avec des ordres de pôles et de zéros donnés en tous les points, et
on l’appelle le groupe de Picard de la courbe. Une autre raison d’être de † # est la proposition
suivante.
4.9.1 Proposition. Soit # un anneau de Dedekind. Alors # est factoriel si et seulement si †
est trivial.
# Preuve. Si † # est
trivial, tout idéal premier non nul estL principal, donc tout non nul dans
=
# s’écrit comme ~Kz bbbz , avec ~ dans # M , ¤9y; et les z premiers. Donc, dans ce cas, # est
factoriel.
= bbbz
K
~
z
Supposons que # est factoriel.
Alors tout non nul dans # s’écrit
sous
la forme
,
L
[
=
M
bbb #dz , c’est à dire,
avec ~ dans # , t9§; et les z premiers, et donc #
s’écrit comme #dz
comme un produit d’idéaux premiers principaux. L’unicité de la factorisation des idéaux non
nuls en idéaux premiers non nuls implique donc que tous les idéaux premiers qui interviennent
27
dans la factorisation d’un tel # sont principaux. Pour montrer que † # est nul, il suffit donc
de montrer que tout idéal premier z non nul intervient dans la factorisation d’un # . Soit z un
idéal premier non nul.
Prenons dans
z , non dans z m (c’est possible, car zˆt‚z m et par l’unicité
`
des factorisations, z
z m ). Alors  Ö jH .
©
M
Dans la résolution de systèmes d’équations polynomiales, les groupes † #
et #
sont des
groupes qui nous embêtent, et pour cette raison, il est important de les comprendre un peu mieux,
dans le cas des anneaux d’entiers
les corps de nombres. Pour ú un corps de nombres,
est fini,dans
M est, à des racines de l’unité près, libre de rang
nous
montrerons
que
et
que
†
ø
ú
ü
ú
ü
8 = 8 m $ H , où 8 = est le nombre de plongements réels de ú dans & , et | 8 m le nombre de plongements non réels. Voilà les deux résultats principaux de ce cours.
4.10
Quelques conditions équivalentes.
Pour que toute la théorie des anneaux d’entiers dans les corps de nombres soit utile, il faut
disposer de critères pratiques pour qu’un sous-anneau de l’anneau des entiers d’un corps de
nombres soit égal á l’anneau des entiers. Voilà pourquoi on considère le résultat suivant.
4.10.1 Théorème. Soit # un anneau intègre noethérien, dont tout idéal premier non nul est maximal. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
1.
#
3.
pour tout idéal premier non nul Â
est de Dedekind ;
2. tout idéal premier non nul Â
un.
de # est inversible dans
\
de # , le # Â
p # ;
-espace vectoriel Â
\Â m
est de dimension
Preuve. Le fait que (1) implique (2) est le théorème 4.6.3.
 -  \  m . L’apMontrons que (2) implique (3). Considérons
le
morphisme
quotient
Æ
z
*
\
plication qui à un sous- # -module de   m associe\ son image réciproque dans  est une bijection entre l’ensemble des sous # -modules de   m et l’ensemble des sous # -modules de
 qui contiennent  m . Par le Théorème 4.7.2, partie (2), les seuls sous # -modules de  qui
dans
contiennent  m sont  et  m , et ces deux ne sont pas égaux par\ l’unicité de la factorisation
\
le Théorème 4.7.1. Comme en plus les sous \ # -modules de   m sont les sous #  -espaces
vectoriels, on constate que la dimension de   m est bien un.
Montrons que (3) impliqueJ (2). Soit± donc  un idéal premier Jnon nul de # . Notons ú le corps
ú ² 5Â_Þ # R . Alors  J est un idéal fractionnaire : c’est
de fractions de # , et posons  * ÎO
unJ sous # -module de ú , et pour tout I non nul dans  on a I Â Þ # . Nous allons montrer
que
 Â. # , ce qui montre bien que  est inversible dans p # . Par construction on a  J ÂÈÞ # .
J
J
J
J
Comme Â
tÈJ # , on a Â Þ Â Â . Donc on a   Â ou  '  # , et il nous suffit de
montrer que   contient un élément qui n’est pas=0 dans  . Soit
dans  et non dans  m . Par
?
le Lemme 4.5.3 il existe
89 H ? un entier, et    m >>  des idéaux maximaux distincts
0
=
>
2
, tel que :
de # , et des entiers '# t  = V b bb  ? € 28
 L
L
è
` ½
# si . En prenant des puissances, on a
sont maximaux,
on a  ›Â
` ½
si
. Le théorème Chinois donne un isomorphisme :
 {L Š ¤
Â è‹ #
V
V Z
Z
» *# \  = bbb  ? € $ 2 - # \  = bbb # \  ? € º¾- =0 >> ?0
L
= de modulo J  LIŠ . Prenons ~ dans # tel que ~ =A >> ~ ?6 ' Ê = H ; 2> ; .
où est la classe
Ê
'
~ ± ' dans # .
Montrons que Ê = ~ est
dans  , c’est à dire, que
pour tout dans  on a
±
±
'
'
V ~ ? # est équivalente à ~ # , et encore équivalente=%à±ñ~ ' =ì # , avec
La condition
\
=
Â
Â
»
{
€
# # \ V bbb . Via
l’isomorphisme , la dernière condition
devient : dans l’an\
'
 et non dans  m , et que   m est de dimension un, il existeW¨= =
neau # Â . Comme
est
dans
= ' ¤
 \  W¨= ,
Ð9 H W¨, = ' engendre
dans tel que É
, avec dans  m . Ensuite,
pour tout
@
L
=
¨
W
=
m
m
'
'
º V
bbb Рavec dans  .
ce qui fait qu’il existe
des dans # tels que
=
\
= dans # Â J on a l’identité Ð'(' Ê = = ' bbb J ' , donc que
En
‚9Ï on obtient' Ê que
= ßprenant
±j ' =1 . On
sait donc= que
alors ~ ~ est dans  . Mais
~ est dans   . Comme ~
J
n’est pas dans  (car ~ yH ) on conclut que  Âÿ # .
Montrons que (2) implique (1). Par définition, il nous faut montrer que # est intégralement
@L
clos. Soit donc dans ú et supposons que soit entier sur # . Alors il existe ›9 H et des
=
dans # tel que :
Ê = Ê bbb Kû ; ;
Vu la Proposition 4.8.3, pour montrer que est dans # , il suffit de montrer que  9À
pour
tout idéal premier non nul  de # . Supposons donc que  soit un tel idéal et que  €y; .
Alors on a, par les propriétés de  :
=
=
 , €¼ Ê Ä  Ê = Ê bbb KûA0
=
=
Ê
bbb Qû .
$
ce qui contredit que
©
Ê
Comme les
4.11
Quelques critères pour que ŒŽO
P
.
Pour que les beaux résultats que l’on vient de voir, et ceux que nous verrons, soient exploitables, il faudra aussi avoir un moyen de calculer, pour un ú donné, l’anneau des entiers úßü .
Bien qu’on n’a pas (et on ne s’attend pas à l’avoir un jour) d’algorithme polynômial pour faire
un tel calcul (en fait, il faudrait d’abord expliciter les données de départ, et le format dans lequel
on aimerait la réponse), il est utile d’avoir quelques critères
pour voir si un sous-anneau # de úßü
\
est égal à úøü , ou pour voir quels premiers divisent ² úøü # ² .
Commençons par une propriété du discriminant, qui est défini dans le lemme 5.5.5 et la
définition 5.5.6.
4.11.1 Proposition.
Soit ú un \ corps de nombres, et # un sous-anneau d’indice fini de úøü . Alors
z ² GDV[E2T # si et seulement si # z# n’est pas réduit.
Preuve. En effet, si ù est un corps, et # une ù -algèbre de dimension finie en tant que ù -espace
vectoriel, on a GDV 1E2T # ; si # n’est pas réduit, car la forme trace est alors dégénérée. D’autre
part, si ù est parfait, comme ËÖ par exemple, une ù -algèbre de dimension finie et réduite est un
produit fini d’extensions séparables de ù , donc telle que la forme trace est non dégénérée.
©
29
4.11.2 Proposition. (Lemme de Nakayama) Soit # un anneau, Â dans # un idéal maximal,
et
Â
un # -module de type fini. Supposons que
. Alors il existe un élément de # qui
;.
n’est pas dans  tel que
 0= > >  des générateurs de . Soit » *Á# ^ Lu  L . Par hypothèse, il existe des L è dans  tels quele :morphisme de #  L ’‘ è L è  è Alors on voit, comme dans la preuve de la Proposition 3.1.3, que
est annulé par GDå0æ H $ ,
qui n’est pas dans  .
©
4.11.3 Théorème. Soit ú un corps de nombres, et # Þ úßü un sous-anneau d’indice fini. Alors
Preuve. Soient
modules tel que »
les conditions suivantes sont équivalentes :
1.
# úßü
;
2. pour tout idéal maximal Â
3. pour tout idéal maximal Â
\ ¬ Â Â m yH ;
¬ \ , on a GDV]W& Â Â m Ä H ;
# , et pour tout tout idéal maximal Â Þ #
divise
D
G
V
1

2
E
T
m Ä H ;
de # , on a GDV]W
de #
4. pour tout premier z tel¬ que
contenant z , on a GDV]W@ Â
z\ m
Â
Preuve. Le Théorème 4.10.1 montre que (1) et (2) sont équivalentes. Il est clair
(2) im` Â quepour
 m Õ
plique (3) et que (3) implique (4). D’après la Proposition
précédente,
on
a
tout
\
\
¬
¬
Â
Â
Â
H
Â
Â
í
H
idéal maximal de # , donc les conditions GDV]W sont
m Ä et GDV]W m
équivalentes. Il ne reste donc qu’à montrer que (4) implique (3). pas
GD V 1E T # et soit  un idéal\ maximal
Soit donc z un nombre premier tel que zDm ne divise
¬
\
Â
Â
GDV]W@ m Ä H . Posons ¼* ² úøü # ² . Alors
de # contenant z . Nous devons montrer que
on montre dans les exercices que GDV[E2T # ,mGDV 1E T úßü . On voit donc que z ne divise pas .
Il en résulte que la réduction modulo zm induit un isomorphisme d’anneaux :
# \ z m # $ 2 - úßü \ z m úøü On en déduit\ que les idéaux maximaux de # qui contiennent z sont en bijection avec ceux de úßü ,
©
et que les   m sont de dimension un.
=
¬
| ! 7 \D » , avec »Ž ! $ | .
=
¬
4.11.4 Exemple. Traitons par exemple
le cas de ú 7
|
! pour úßü , et appliquons le critère. Il y a deux façons de
Prenons notre candidat #Ì* calculer le discriminant de # : on peut le faire avec la définition, c’est à dire, en calculant le
déterminant de la forme trace de # , ou en calculant de discriminant de » (en TD on verra que les
deux sont égaux). Pour calculer le discriminant, on peut utiliser
des algorithmes
pour le calcul
|
!
$
$
š bk“} \DbB“ ! mš . Les premiers
de résultants. De toute façon, dans ce cas on trouve GV1\@E T| #
Ë m , il n’y a qu’un seul
dont nous nous méfions sont donc
2 et 3. Comme|}# #
|
 *
, mais celui-là est engendré par tout
idéal maximal de # qui| contient , à savoir
\
\Â
m
!
Â
seul, car dans # on a , donc Â
m mm est de dimension au plus un sur # m . Comme
30
# ! \ Fš # | Ë
$ ›
H ³
:H ! sur Ë ! , on pose Éy³
ÀH , et l’on calcule :
!! \D ! :H et que ! À
$ š m š $ š , donc # r \D ! $ š m š $ š , (polynôme d’Eisenstein !) et on
voit qu’il n’y a qu’un seul idéal maximal de # \ qui contient 3, à savoir  ! š . Ici\ encore,
 ! est principal, car engendré par , donc  !  m! est de dimension au plus un sur #  ! . On
conclut que # úøü .
31
5 Finitude du groupe des classes d’idéaux.
Pour ú une extension
finie
de
7 , nous avons défini le groupe de classes d’idéaux
† úøü
[
\
p
comme le quotient úøü y úøü . Le but est maintenant
montrer que les † úßü sont
úßde
est
definis.
Pour le faire, nous allons montrer que
tout
élément
de
†
ü
représenté
par
un
idéal
úßü
F
\
\
qui est “petit” dans le sens que úßü
est petit. Le cardinal de úøü
sera appelé la norme de .
5.1
La norme.
5.1.1 Définition. Soit # un anneau, et / une # -algèbre
qui est libre de rang fini en tant que
# -module. Pour dans / on appelle norme de sur # le déterminant de l’endomorphisme
¬ . Pour tous
;
c’est
un
élément
de
que
l’on
notera
b2= *¹/j - / , â¾- du ¬ # -module
/
#
”
(
2=[ ”•( ¬ >=ì ”•( ¬ .
et dans / on a ”T( m
m
m
¬ * /- # est donné par un polynôme
5.1.2 Remarque. Par rapport
à une # -base
de / , ”T( %
homogène de degré T–!<DC / en T!NDC / variables.
= +
Soit maintenant ú une extension finie de 7 , I son degré, et ) >> ) les I plongements de ú
dans & .
= +… ¬ 5.1.3 Proposition.
1. Pour tout dans ú on a : ' T þ % ) bbb ) .
¬ = +… 2. Pour tout dans ú on a : ”%þ % ) bbb6) .
¬ ¬ 3. Pour tout dans úøü , ' T1þ % et ”%þ % sont dans .
M ¬ 4. Pour tout dans ú ü , ” þ % est H ou $ H .
`
\
¬ 5. Pour ; dans úøü , on a ² úßü úßü ² ² ” þ % ² .
Preuve. On utilise la proposition 3.3.4 pour les parties 1 et 2. La partie 3 résulte des propriétés
d’intégralité. La partie 4 résulte de 3. La dernière partie a déjà été vue en TD (c’est à dire, figure
parmi les exercices).
©
5.1.4
Définition.
Pour
F
\
¬
” þ % * ² úßü ² .
Pour dans úøü on a donc :
úßü
un idéal non nul de
² ” ² ” úßü .
, nous définissons sa norme
Q0
”%þ ¬ % par :
0
” ” . En parti5.1.5 Proposition.
Si et sont des idéaux non nuls de úßü , on a ”
}
x Ö ” z ×Ø ÙÛÚ[Ü , où z parcourt l’ensemble des idéaux maximaux de úßü .
culier, on a ”
Preuve. Il suffit de le montrer dans le cas où est un idéal maximal
suite exacte de úøü -modules :
; $ - \F Â
\F Â est un úøü
Ensuite, on utilise que
Â
. Dans ce cas, on a une
$ - úßü \F Â $ - úøü \F $ - ; \ Â -espace vectoriel de dimension un.
32
©
›†œž .
Å $ F comme sous-anneau de & , en envoyant Å $ vers Å . L’anneau
Nous considérons
7
F
Å $ est r Å $ , de -base H Å $ @ .
des entiers
de
7
Å $ . Essayons de trouver un élément ` ; de tel que ² ²
Soit un idéal non nul de
soit petit, et± de voir après à quoi cela peut bien servir. Pour 8i¸ ; réel, notons / 8 la boule
& ²¹² ²Ä 8 R . Nous considérons, pour 89§; , les morphismes suivants :
fermée O…
/ 8 Ÿ - & $ - & \F
de groupes additifs ( n’est pas un idéal dans & !). On a :
S¢¡ / 8 1 ¤£ 8 m S¢¡ & \ r Å $ Å } S¢¡ & \F ” Å 5.2
Le cas de —™˜Iš
Pour la dernière égalité, utiliser la suite exacte :
; $ - r Å $ \F $ - & F\ $ - & \ r Å $ $ - ; est réunion disjointe de ” ou raisonner en termes de
domaines fondamentaux (celui pour
r Å $ ). Prenons maintenant 8 tel que S¢¡ / 8 1 ¸ S¢¡ & \F , c’est à dire :
copies de celui de
=¬
}
Å
m û
”
¦
¥
8‹¸¼8
£ §
\F n’est pas injective, donc il existe et dans / 8 ,
Alors l’application ci-dessus de / 8 vers &
` ; dans avec ² ²Ä | 8 .
distincts, tel que * $ û est dans . Nous
avons
donc
obtenu
un
q| 8 sont compactes, les / q| 8 c„ $ O ; R le sont
Ceci vaut pour tout 8t¸P8 . Comme les /
û
aussi, donc leur intersection, prise sur tous les 8i¸P8 , n’est pas vide
intersection
` (car aucune
| û
finie n’est vide). Donc, en fait, nous avons montré l’existence d’un ; dans avec ² ²}Ä 8 .
Considérons maintenant la suite d’inclusions d’idéaux :
r Å $ t t Å $ â Q =
Ê
où la dernière égalité est la définition de . Cela montre que
est égal à
dans †
r Å $ , et
” 0 ” r Å $ 1\ ” ” 1\ ” ² ² m \ ” Ä {}Å F\ £ €ñš r Å $ est représenté par un idéal de norme au plus
Nous
en
concluons
que
tout
élément
de
†
| r Å $ |
r Š$ et  * q| HU
Å $ @ , ce
de
. Mais les seuls
idéaux de | norme au plus sont
m
r Å $ a au plus éléments. Comme  n’est pas principal
qui
(la norme de
montre
Å $ que m † m
@
\
|
m
Å
$ est
), on conclut que †
.
r Å $ \@|
5.2.1 Théorème. †
.
que :
33
5.3
Application.
5.3.1 Théorème. L’équation m § ! $ n’a pas de solution dans .
Preuve. Par contradiction.
Supposons que et sont dans , tel que r
Å
$ :
avons, dans
Å K Å K
!
m Î ! $ . Alors nous
›
m Ô
$ $ $ Å $ } $ Å $ K contient q| Å $ @  m ©¨ . Notons y l’ensemble
Notons que l’idéal Í
Å m ©¨ R , au plus l’un d’entre
des idéaux @maximaux
de @ $ . Alors, si z est dans y $ O4Â
m
0Ö ø
Å $ et 0Ö $ Å $ est ¸í; , et donc tous ces  Ö ø
Å $ Å K @et 0Ö $ Å $ @Å sont
 P et ©¨‹ä©¨ , donc  ·
$  $ $ F ,
divisibles par š . D’autre
part,
õ même argumentõ montre que
Å @ et  $ m Å $ @m sont divisibles par š . Le
donc  ³
F $
@
õ
õ
Å
Å
divisibles
par
.
On
en
conclut
qu’il
existe
un
idéal
 «ª r³Å $ et  ‚ ª $ Å F$ sont
š
$ ! . Comme † r Å $ est d’ordre | , est principal, dide $ tel que ³
sons ~Å . Mais alors, quitte à remplacer ~ par $ ~ , on a ~ ! â
Å $ . En écrivant
~ ¤Â $ , ceci donne rapidement une contradiction.
©
On peut voir, mais ce n’est pas facile, qu’il n’y a pas d’obstruction de signe ni de congruence
qui
\
permet de montrer ce résultat (en effet, il y a des solutions dans ‡ , et dans tous les z
avec
z premier et ™9 H ).
5.4
Le cas des corps quadratiques réels.
Soit Ii¸ H un entier sans facteur carré.
Notons ú
r H5
Å I [\@| si I #
entiers.
Rappelons-nous
que
#
plongements de ú dans ‡ , et )+*¹úÈ) = et ) m les= deux
) ) A ) 1 . Nous observons d’abord que
m
anneau des
* 7 Å I { et #_* rúøÅ ü son
H modulo , et # I sinon. Notons
‡ m le morphisme d’anneaux donné par
Å
I [ ­
¬¬ DG å0æ[® HH $ Å I ¬¬ | Å I IL¯ ¬¬
¬¬
Å I si I # H modulo { , et | Å I Å { I sinon. D’autre
de # . Par définition, c’est le déterminant de la matrice
de la forme trace par rapport à n’importe quelle
-base de # (cela ne dépend pas du choix
p
car le déterminant d’un élément de g°
est H , et la matrice en question change û par
h
¾- Š  ). Par rapport à la -base H Å I m de r Å I , la matrice de la forme trace est ûm + ,
{
m
donc de déterminant I . Il en résulte que :
{
I
si I # ` H modulo ,{
²
±
{
GDV 1E2T #
I si I # H modulo .
On conclut que :
S¢¡ ‡ m \ ) # 1 ² GDV[E2T # ² =¬ m Soit maintenant Þ # un idéal non nul. On a alors :
S¢¡ ‡ m \ ) }[ ¿ S¢¡ ‡ m \ ) # [ ¿ ² GV1E T # ² =¬ m m \ ) r Å
# 1 part, calculons le discriminant GDV[E2T #
S¢¡ ‡
\
On en conclut que S<¡ ‡ m )
34
Comme dans le cas imaginaire, nous allons nous servir d’une norme `4b-` sur le ‡ -espace vectoriel
dans lequel nous travaillons
tout le monde, d’ailleurs, la
: ici c’est ‡ˆm . Nous prenons, comme
norme donnée par ` ` ² ² ² ² . La raison de ce choix
devient
claire
dans un dessin, où
±
l
…
O
l’on voit que ce choix maximise le volume de la “boule”
/ `4b-` 8 *
‡ mͲ ` ` Ä 8 R sous
³
±
O
5
F
H
R
la condition que cette boule
soit¢ contenue dans ¢
¢ ‡ m¼²N² ²UÄ . (Notons qu’en fait
` ² ² £ ² ² avec £ xH , ¸ñ; et £ ¸„; sont aussi bonnes.)
toutes les métriques
`
{
L’identité ‹
¼ m $ 5 $ m montre que pour tout dans ú on a :
² ¿ ² ² ) = ) m ²QÄ H \{Q ` ) ` m Å | 8 , on a :
Comme / `4b-` 8 est un carré de côté
S¢¡ / `4b-` 8 1 | 8 m û
| û S¢¡ ‡ˆm \ ) 1 , donc :
Prenons maintenant 8 tel que 8…m =¬ = ¬
² GDV 1| E T # ² m m 8û ® ¿
¯
` ;
=¬
² GDV 1| E2T # ² m ² ¿ ²}Ä H \ {Q ` ) ` m Ä H \{Kì{ 8 ûm ¿
Par le même
argument que dans le cas imaginaire, on voit qu’il existe un
` ` Ä | 8 û . Prenons un tel . On a alors :
dans , tel que
D’autre part, on a la suite d’inclusions d’idéaux de # :
#³t ñ
t # º Q
où la dernière égalité est la définition de . Pour ce :
= ¬
¿ 0 ² ¿¿ } ² Ä ² GDV[E2T | # ² m On en conclut le résultat suivant.
=
=¬
de classes
5.4.1 Théorème.
Soit ú un corps quadratique réel. Alors tout élément du| Ê groupe
² GDV 1E T úøü ² m .
d’idéaux † úßü a un représentant qui est un idéal de úßü de norme au plus
r Å Ñ est principal. En effet, il suffit de voir que tout idéal de norme au plus
5.4.2 Exemple.
Å Ñ €§š est principal. Comme
r Å Ñ \Dq|F Ë \D m §H , il suffit de voir que |} Hd
Å Ñ est
Å Ñ š m $ Ñr | m
, c’est le cas.
principal. Comme ¿ š 35
5.5
Bornes dans le cas général.
= >> ) + les plongements distincts de ú
Ä 8 = , et ) ?V\WL ) ?V\W? WL si H Ä Ä 8 .
m
õ
m
=¬ ! =¬ !
|
|
! $ | , ses trois
=| ¬ ! Prenons
=| ¬ ! ½ ú
=| ¬ * ! ½ 7
=
¬
=
¬
=¬ racines
=¬
5.5.1 Exemple.
. Le polynôme
minimal
de
est
¬ ! | =,¬ ! ½ , et
dans & | =sont
m . On a donc ) = q| ! | ! , et on peut prendre ) m | ! | ! ½
et ) !
m.
?V Z ?
& õ en utilisant les ) L :
Nous plongeons ú dans ‡
?V[Z ? )*5ú -‡
& õ º¾- ) * ) = A >> ) ?V\W? õ [ Cette application ) est un morphisme de 7 -algèbres. Dans la suite, nous utilisons la ‡ -base H
? également
?
de & pour passer de & à ‡ m . Par exemple, nous noterons
) l’application suivante,
obtenue en composant le ) en haut par l’isomorphisme & õ -<‡ˆm õ :
+
)+*¹ú_-< ‡ =0 0 ?VA 0´ ?V\W¨= 1A ?V\W¨= 10 ´ ?V\W? [0 ?V\W? 1[
º¾- ) >> ) å )
W )
>> å )
W )
õ
õ
?V Z ?
& õ . Ceci est d’autant
Pour simplifier la notation dans ce qui va suivre, nous posons ú
µÉ* , ‡
%®ú - ú
µ est
plus justifié par le fait que le morphisme naturel de ‡ -algèbres ‡
un isomorD
\
(
'
» , avec »
phisme (cela se voit en prenant un élément primitif de ú , et en écrivant ú , 7
%‹ú que dans ú@µ ,
le polynôme minimal de ). En fait, il est plus naturel
de plonger ú dans ‡
L
car cela évite le choix d’une numérotation des ) .
Nous avons vu que pour tout dans ú , on a :
” þ ¬ % ² ) =0 ² bbb ² ) ?V0 ² b ² ) ?V¶W¨=2 ² m bbb ² ) ?V¶W? õ ² m et )
Soit ú une extension finie de 7 , I sonL degré,
) L si H Ä
dans & , numérotés
de
la
façon
suivante
:
)
= |
On a donc I 8 8 .
Cela donne donc un diagramme commutatif :
ú $$·$ - @
ú µ
=
?V =
?
¸¹Lº 9
¸ ”“* ¾- ² ² bbb ² ² b ² ² m bbb ² õ ² m 7 $$» $ » - ‡
|
Remarquons que l’apparition des exposants au coordonnées qui correspondent aux facteurs
& n’a rien de surprenant, car la norme est le déterminant de la multiplication par l’élément en
question (et donc sa valeur absolue mesure le facteur par lequel changent les volumes).
Comme dans le cas des corps quadratiques réels, il faudra choisir une norme sur le ‡ -espace
vectoriel ú@µ . Pour rendre optimal les résultats qui suivent, on fait le choix suivant :
V
` Ô` * ² = ² bbb ² ? ² | ² = ² bbb | ² ? õ ² 36
5.5.2 Remarque. Dans [Samuel], on ne voit pas de norme qui apparaı̂t, mais plutôt le choix
d’une partie intégrable, convexe et symétrique par rapport à l’origine de ú@µ . Cela revient au
même (sauf peut-être si on voulait utiliser de telles parties assez sauvages pour
qu’elles
ne pro
H
viennent pas d’une norme). Si `4b-` est une norme, on lui associe la partie / `4b\`
, la “boule”
fermée de rayon un.
5.5.3 Lemme. Pour tout
dans ú
µ on a :
=¬¼+ ` `
²”
² Ä
I
Preuve. C’est l’inégalité “moyenne géométrique” Ä “moyenne arithmétique”.
Elle résulte de
€ , le segment de ¡SFC [ à ¡SFC 1
la convexité du logarithme.
En
effet,
si
Î
;
€
Ð
¡SFC 1 avec 9 ; , 9 ; et H , d’où
est
¡ S@Cl’ensemble
¡ S@C des
Ä ¡ S@C 
¡S@C .
©
V
?
?
+
[ | £ \@|@ õ 8 \ I¾½ .
5.5.4 Lemme. Pour 8‹9§; , on a S¢¡ / `4b\` 8
=
=
Preuve. Par récurrence sur 8 et 8 . Si 8 ¸ñ; , on a :
m
?
?
?
w
V
?
1
?
V
w
=
?
[
|
S¢¡ /
À¿ ? S¢¡ / Ê 8 $ ² ² I â ¿ û S¢¡ / ?V Ê =w ? 8 $ 1 I º
8õ
õ
A| Ê ? | ?V Ê =ÂÁ £ ? õ $ ?V Ê =-W ? A
¿ û
|ÄÃ õ 88 = $ H¶
| 8 m õ ½ I â bbb
m
A
Si 8
= ;
et 8
m ¸ñ;
, on a :
S¢¡ / –û ? 8 [ ¿ ?˜¬ S¢¡ / û– ? Ê =2 8 $
õ
õ
»| ê » Å ?˜m¬ m û– ? =0
£ ¿ û S¢¡ / Ê 8 $
õ
Æ Ç^L .
où nous avons écrit ݛ‹
ø
·
| ² ² [
|NÇ[
I Iß
I Ç b bb ©
\
ú ü .Rappelons que nous
La chose suivante que nous voulons est une expression pour S¢¡ ú@µ ø
avons déjà vu que úßü est discret dans ú@µ (ce qui est d’autant plus clair après, la remarque que le
üdúøü . Nous allons
plongement de úßü dans ú@µ est, à un isomorphisme près, celui de úßü dans ‡
voir qu’en effet ce volume s’exprime naturellement en termes du déterminant d’une matrice de
la forme trace de úøü .
* Z
- une forme bilinéaire.
un -module libre
0 de rang fini, et
, notons Wƒ!æ M
la matrice de par rapport à ^ . Alors les déterminants
5.5.5 Lemme. Soit
Pour ^ une
base
de
0
1
M
, avec ^ une base de
GDå0æ Wƒ0! æ
GDV 1E2T , comme étant cet entier.
, sont tous égaux, et on définit le discriminant de , noté
37
5.5.6 Définition. Pour ú un corps de nombres on définit le discriminant de úøü comme le discriminant de la forme trace sur úøü . De même pour des sous-anneaux d’indice fini dans úøü .
5.5.7 Proposition. Soit ú ? un corps de=nombres.
¬
\
|
Ê
1. S¢¡ ú
µ úøü
õ ² GDV 1E T úßü ² m . 2. Pour tout idéal non nul de úøü , on a S¢¡ ú@µ
\F | Ê ? ² GDV[E2T úøü ² = ¬ Èm ” .
õ
0= + Preuve. Bien sûr, le deuxième énoncé résulte directement du premier. Soit * > > une -base de úßü . Alors :
CD
GIHH
) = =1
bbb
) = + ¬¬ DD
H ¬¬
.
.
¬¬
..
S<¡ ú@µ \ úøü ¬¬ GDå0æ ´ ?VXW.. ? =[1
´
?
\
V
W
?
2
+
[
¬¬ E å )
bbb å ) ?V\W? õ + [ J ¬¬
?
\
V
W
?
1
=
1
õ
W )
¬¬
¬¬
bbb W ) õ õ
¬
= + G HH ¬
CDD ) =2 =[
b
b
b
)
¬¬ D
HH ¬¬
..
¬¬ DD ?V\W¨...= =1
.=2 +0 H ¬¬
?
\
V
¨
W
D
? ¬¬ D ?) V\W? W¨= =1 bbb ?) V-W? W¨= +2 HH ¬¬
Ê
|
õ ¬¬ GDå æ DD ) õ bbb) õ HH ¬¬
..
..
¬¬
¬¬
. =1
. +2
V
V
?
W
?
?
W
?
¬¬ E )
J ¬
?) V-W ? õ =1 bbbbbb ) ) ?V\W ? õ + ¬¬
¬¬
¬¬
?
m õ @L è L( è m õ
| Ê õ ² ¬ GDå æ ² avec
)
.
Vient maintenant l’astuce :
Š }(L è ‘ Š ˜L è ‘ Lu è ‘ ) LÒ ) è ' T6þ ¬ % L è On en conclut que
GDå0æ m GDå æ DG å æ GDå0æ Š DG å0æ G å æ Š }[ GDV 1E2T úßü =
©
5.5.8 Théorème. Soit ú un corps de nombres, I son degré, 8 et 8 le nombre de facteurs ‡ et
m
& dans ú
µ .
1. Soit un idéal non nul de úßü . Alors il existe
un non nul dans tel que :
?
2.
{ õ I¾½
=¬ +
Ä3® £ ¯ I ² GDV[E2T úøü ² m ” ”
ú ü Tout élément de † ß
est représenté par? un idéal de úßü tel que :
{ õ I¾½
=¬
}
+
Ä ® £ ¯ I ² GDV 1E2T úßü ² m ”
38
3.
† úßü est fini.
Preuve. On procède
comme on l’a déjà fait dans le cas des corps quadratiques réels. Pour la
finitude de † úøü , notons simplement qu’un idéal \ de úßü d’indice contient , donc est
l’image réciproque de son image dans l’anneau fini úßü ,úøü .
©
Nous terminons cette section avec un exemple amusant.
Å
$ H “@š est factoriel. Les nombres
5.5.9 Théorème. { L’anneau des
entiers de 7
{
H
$
avec entier et
;߀„t€ sont tous des nombres premiers.
m $ {H
Preuve. On vérifie
que H “@š est premier, et que $ H “Fš est congru
à 1 modulo 4. L’anneau des
[
@
\
|
r
Å
Å
H
Æ
H
H
$
$
“@š . Le polynôme minimal de ~
entiers # de 7
{ H “@š est# donc
r ~ ~ , avec
r \D~ » .
est » * › m $ 
, donc Montrons que # est factoriel. Comme il est de Dedekind, cela revient à montrer que son
groupe de classes d’idéaux est| Å trivial.\ Le théorème précédent donne
qu’il suffit de vérifier que
H “@š £ sont principaux (GV1E T # $ H “Fš ). Il suffit donc de
les idéaux de norme au plus
| vérifier que les idéaux maximaux contenant , š , ou Ñ sont principaux. Cela résulte de ce que »
est irréductible dans ËÖ pour tous les z dans cette liste. On a donc montré que # est factoriel.
Pour montrer le deuxième énoncé
sans
vérifier
cela{ cas
par cas, 0on
utilise
une propriété
de la
Q
@
\
@
|
{
\
Q
{
[
H
H
H
$
norme.
Un calcul montre que ¿
~ m
‹` m
m ~ 9 { H . m , pour
et dans 7 . On voit donc que pour et dans avec ; , on a ¿
Soit z un nombre premier et supposons que » est réductible dans ËÖ . Alors # { a un idéal
si zɀ H .
de norme z , donc un élément de norme z . Donc » est irréductible
dans
Ë
Ö
,m $ { H , alors » a une racine
Si z est premier et divise un nombre de la forme
dans ËÖ . On
{
{
H
H
$
en déduit que si z { est premier
et divise ¨m pour un dans , alors zƒ9
. On en conclut
H ² € { H m , alors ,m $ { H est premier. Pour finir : on a ² ¨m $ ² € { H m $ { H
que si ² ¨m $ {
{H
©
si et seulement si $ ;߀‚™€
.
39
6 Le théorème des unités.
6.1 Théorème. Soit ú un corps de nombres.
± ú M ”%þ ¬ % p H
1. Pour dans úøü on a .
üÊÉ
¼
Ë
w
Ì
Í
Î
w
Ë
ÌwÍÎ 3Ï ú * ú Ë M ÌwÍÎ , le groupe des
M
M
2. Le groupe ú ü
est cyclique et fini ; on a ú ü
racines de l’unité dans ú .
= 8 $ H , où 8 = (resp. 8 ) est le nombre de facteurs
M\ 3. Le quotient ú ü Ï ú est libre
de
rang
8
,
m
m
‡ (resp. & ) dans ú@µ ‡ %ú .
= = Ê
Ê
M
®
H
H
dans úßü . Si est dans
ú ü , alors
”
”
”
” , avec
p
H , alors b *¹úøü‹- úøü est un isomorphisme de -modules
dans . Si ” gíH . Les autres assertions
(car de déterminant inversible), donc il existe dans úßü tel que
L
prendront plus de temps. Nous numérotons
les plongements ) *¹úí- & comme avant, ainsi que
)+*5ú_- ú
µ . Notons I³* GDVXW
% ú . Nous considérons le morphisme
suivant :
ÌwÓ de?V/groupes
Z
?
V
?
?
\
V
W
?
W
?
õ
ß*¹ú M $ ·- ú µ M = ‡ M & M õ ?$ V\W» - » ? ‡ MÐ û õÒ$ Ñ - ‡
º-¾ ¡ S@C ² ) ² >2 ¡S@C ² )
² õ
=0 + M
Comme pour tout dans ú ü on a H+ ² ” ² ² ) bbb1) ² , on constate que :
ú M Þ ^È* ÎO ± ‡ ? Ê =-W? õ ² = bbb ?V | ?V-W¨= bbb | ?V-W? ; RQ
ü
õ
±
˜
L
M
O
R
²QÄ? 8 est fini. ?
ú ü ²IÔ * ² 6.1.1 Lemme. Pour tout 8‹9§; , l’ensemble
˜
L
Ê Äl² ) L« ²Ä ^ . Cela donne
Preuve. Pour un tel , on a, pour tout : ² ¡ S@C ² ) ²X²QÄ 8 , d’où ^
des bornes sur les coefficients du polynôme minimal » de sur 7 ; bornes en termes de I et 8
A
seulement. Mais » est à coefficients dans , ce qui implique qu’il n’y a qu’un nombre fini de
A
©
possibilités pour » , donc pour .
A
?
/
V
W
?
M
6.1.2 Corollaire. Le noyau de ² þÖ Õ *¨ú ü -<‡
õ est fini, et ú ü M est discret dans ^ .
ú M wË ÌwÍÎ
6.1.3 Lemme. ×å2T ² þÖ Õ ØÏ ú
ü .
est dans Ï ú , est entier
Preuve. L’inclusion “×Få2T ² þÖ Õ Þ³Ï ú ” vient
du
corollaire.
Si
L« sur (car racine d’un $ H avec ™9 H , et ² ) ² yH pour tout ).
©
ú M =
M
H
8 m $ . Pour terminer,
Comme
de rang au plus 8
ü est discret dans ^ M , ú ü est= libre
H
$
8m
il suffit donc de montrer que ú ü contient 8
éléments ‡ -linéairement indépendants.
Donc,
nous montrons quelque chose plus fort que ce qui est demandé dans le théorème :
ú M enestfait,
+ ce= qui suit, nous ne traiterons que
un réseau = dans ^ . Pour simplifier la= notation dans
ü
H
=¬ a alors : I 8 , ú@µ ‡ ` , et 8 8 m $ H% I $ H . Nous notons
le cas où 8 ; (et 8 ¸ ). On
m
IQþñ* ² GDV 1E2T ú ² et Ù * ¡S@C I þ m (on a IQþñ¸ H car ú 7 ; voir les exercices).
L
M
6.1.4 Proposition. Pour tout €„I il existe un ~ dans ú ü tel que :
² ~ LÒLw˜è L ² ¸ I $ |@` Ù ² ~ ²}Ä Ù si ½ €ñI = Soit Preuve.
Ê
” et ” 40
=10
+ =[
>2 ~ Ê sont ‡ -linéAdmettons pour l’instant cette+ proposition,
et montrons
que ~
@
L
è
Ò
L
è
H Ä ½ €I . Donc est dans
* ~ pour
airement
indépendants
dans ‡ . Notons
+
2
=
= ØÚ
8 , avec Ú la partie diagonale de , et 8 la partie hors diagonale. Pour
` Ê ‡ . On+ écrit
Ê
on a alors :
;  dans ‡
d’où
` Ú Û` Î ÜÝ ¸ I $ @| Ù `AÞ` Î ÜÝ@ `A8Þ` ÎÜ–Ý Ä I $ F| Ù `AÞ` ÎÜÝ
 ` ;
. Il ne reste maintenant qu’à prouver la proposition.
Preuve. (De la proposition.) Par symétrie, on peut supposer que
nous définissons :
Comme /%à
ß
+ L
ß
±
j
O
/%à *
‡ ²² ²Ä H
si
I $ H . Pour 3ƒ¸ñ;
et Ï
¸„;
,
€‚I $ H , ² + Ê = ² Ä 3 , ² + Q² Ä Ï RQ
est un produit d’intervalles, le calcul de son volume est immédiat, et donne :
S¢¡ %/ à ßF | + 3 Ï = ß@ 9 S¢¡ ‡ + \ ) úßü [ , alors /+à ß contient
L’argument de Minkowski dit que si S¢¡ /+à
=¬ un
+ \ 1
m
) úßü
I þ m , et
de úøü . Par les calculs déjà faits, on sait que S<=¡ ¬ ‡
élément
ßF nul
S¢¡ = /%à non
Ï3 . Nous prendrons donc toujours 3 et Ï tel que 3 σ I þ m , et nous noterons /%à ß
m
simplement par /%à . Nous prendrons
en fait des 3 de plus en plus grand.
c
Pour non nul dans /%à
úßü on sait :
=¬
H Äl² ” ² ² ) = =¬ bbb6) +… ²Ä 3 σ I þ m Ê
² ) L« ² 9§I þ m = si €‚I =$ ¬ H Ê
Ê
² ) + Ê = ² 9 Ï 35I þ m ¸ñ;
9§I Ù + Ê = Ü ¬ m
=3 * I =¬ µ
Prenons
assez
suffira, par exemple).
On prend
þ , par exemple.
= grand/%(à Vc úøüþ
=
Cela nous donne dans
. On prend 3 ¸ 3 . Cela nous donne . On prend =3 ¬ ! ¸ 3 ,
m
m
m
=A L
etc. Cela nous donne une suite >> dans úßü , avec, pour tout , ² ” ²+Ä I þ m . Mais,
m
pour tout /Ǹy; , l’ensemble des idéaux de úøü d’indice au \ plus / est fini (un idéal d’indice € ½ tel que
ß
ú
ü
ø
ú
ü
ø
ú
ü
contient
,
donc
provient
d’un
idéal
du
quotient
fini
).
Nous
prenons
úøü L úøü è . Mais alors ~ƒ* § è2\ L est dans ú ü M . Vérifions que ce ~ satisfait aux conditions de
la proposition. On sait :
=¬ Ê =¬ m
2
è
[
\
Ò
L
0
2
è
[
\
L
H
$
²)
pour ùº€„I
*¨) ~
)
)
I þ Äl
) =¬ ²QÄ I þ m
=
¬
Ê
Ê
² ) + Ê =2 ~ ² ² ) + Ê =0 è 1\ ) + Ê =0 LÒ ² 9›3 è I þ m \ 3 L ¸ I þ m On a donc :
² + ~ ˜= L ²QÄ Ù 2si €ñI $ H ² ~ Ê ² 9à¡ S@C $ Ù +Ê =
@
|
$
$
On veut : ¡ S@C
Ùç9 I
Ù , ce qui équivaut à 9¤Ù .
41
©
©
= | , 8 ; est bien plus facile, et déjà bien intéressant.
=m … ON‡R . Si on enlève 8 points de cette sphère,
Comparer à la sphère de Riemann Y & &
Z ? Ê = sur la sphère
l’anneau # des fonctions méromorphes
M
M et holomorphe en dehors des points
?Ê =
enlevés est isomorphe
à &
, le facteur & correspond aux fonctions constantes,
= les pôles et zéros. Il paraı̂t donc que les corps de nombres se
et le facteur
mesure
comportent comme Y & : si, en 8 points, on n’impose pas de condition, alors l’anneau
qui résulte a comme groupe des unités, modulo les unités triviales, rang 8 $ H .
6.1.5 Remarques.
2.
1. Le cas 8
3. L’analogue du théorème des unités est vrai pour les courbes algébriques non singulières et
projectives.
# Þ ø
ú ü est un sous-anneau d’indice fini, alors # M \ Ï # 8 8 m $ H (sans preuve).
4. Si=
est encore libre de rang
5. Avec les outils dont on dispose maintenant, on peut résoudre certaines équations, par
exemple
effet, on montre que l’anneau des entiers
l’équation
r de Fermat en degré 5. En
=Ê d’idéaux de r ¡ ¨ est trivial, et que r ¡ ¨ XM est
de 7 ¡ ¨ est ¡ ¨ , que le groupe des classes
engendré par $%¡ ¨ et le nombre d’or ¡ ¨ç
¡ ¨ . Ensuite, on regarde dans [Swin].
6.2
Les corps quadratiques réels.
H sans facteur carré, úÌ* 7 Å I . Nous rappelons que úßü r Å I si I # ` H mod
I
Í
¸
{
r H Å I [\@| si I # H mod { . Comme tout corps qui admet un plongement
Z
dans ‡ ,
Ï ú jOQH $ HFR . Le théorème des unités dit donc que ú ü M est isomorphe à \F|
.
M
6.2.1 Définition. On appelle unité fondamentale
de úßü un élément de ú ü qui, ensemble avec
{
M
$ H = , engendre
$
Ê~ et $ ~ Ê = . ú ü . Il y a donc exactement de telles unités : si ~ en est un, les autres sont ~ ,
À³
¼ Å I ` p H
= procéder pour trouver les
=
=
Voici comment on peut
unités Ê fondamentales.
Si
~
Ê
M
(avec et dans
s’il le faut) est dans ú ü , $ ~ , ~
et $ ~ = sont des
= unités, et ce sont
p
p
Ê
Ê
Å
m
$
$
les quatre= éléments
I . Exactement un d’entre ~ , ~ , ~ et ~ , appelons le  , est
H
¸_; et ¸_; . Pour
= le “plongement”
=
logarithmique
tel que )  ¸ ; c’est celui avec
Ê
Ê
M
H
H
Þ
$
$
$
$
ß*¨ú ü - ‡b Å
‡ˆm M , on a ~
~ , et ~
~
~ . Il en résulte
‹
¤ Å I est
que ~ §‹
¤ I dans ú Å ü avec ¸ñ; et ¸„; est fondamentale
si
et
seulement
si
Å ± úøü et ~5m $ IKm p H .
minimal parmi les ~ Å  | I avec ~ƒ¸ñ; et ͸‚; tels que ~ Å  | I
r
, et H
Å @[\@| est une unité
Par exemple, H est
une
unité
fondamentale
de
r HF
Å @1\F| . Il y a une façon intéressante de calculer des unités fondamentales
fondamentale de
p H , ² \ $ Å I ² est
avec des fractions continues, ce qui n’est pas surprenant, car si m $ I m Soit
, et úøü
petit ; voir la section suivante
pour quelques détails.
Å
M
r
Pour comparer ú ü à
I XM , démontrons la proposition suivante.
`
r Å XM
M
I ú ü . Si I\@|
6.2.2 Proposition. Si I # $ š mod á ,Å alors
M
M
r
H ou š dans ú ü . Dans tous les cas, I est isomorphe à
42
# $Z š
mod á ,
.
r Å I w M
est d’indice
`
{
r Å {
r Å wM
M
I . 1Supposons
Preuve. Si I # H mod , úøü Å [\@| I , donc ú ü donc
que I # H mod .
@
\
|
\
{
'
'
I sur 7 1\…est
m $ # $ I $ H . Donc úßü úßZ ü est isomorphe,
Le polynôme minimal de \DH Q
{
(
'
'
'
H
H mod á cela donne Ë Ë , et si I # $ š
$
$
$
m
en tant qu’anneau, à Ë
. Si I
I
m
m m
mod á cela donne Ë µ .
@
\
|
|
Å I est d’indice
» *¹úøü®- úßü úßü la réduction modulo
=
D’autre
part,
notons
.
Comme
| dans úøü , r Å I contient | úøü , et on a donc r Å I l» Ê » r Å I , et » r Å I est d’indice
| dans úøü \@| úøü . Comme » Å I est une Ë -sous-algèbre de úøü \@| úøü , » r =Å I contient Ë ,
|
r Å m I Ë . On a donc r Å I :» Ê Ë . (Bien sûr, onm
qui est déjà d’indice ; on conclut que »
m
m
peut démontrer ceci également par un calcul.) Considérons maintenant la suite de morphismes
de groupes :
Å M
\@| M
M
I $ - ú $ - úßü úøü ü
Å
w
M
M
r
Il est
que
I - ú ü est injectif.
Montrons que cette suite est exacte. Soit dans
@
\
|
r Å I wclair
M ; alors
M
dans úßü úø= ü est dans Ë M , donc H . Soit dans = ú ü M avec image
l’image
de
H dans úßü \@| úøü M ; alorsZ est dans » Ê Ë r Å I ,m et de même pour Ê , ce qui donne
± r Å I XM . Comme Ë Ë M est trivial, etm Ë µM d’ordre š , on obtient ce qu’il faut.
©
m m
Å
Å
r I on peut procéder comme pour 7 I ü , mais en
Pour trouver une unité fondamentale de
fait, c’est plus
simple. Comme dans le cas précédent, on voit qu’il existe une unité fondamentale
Å
:
ß
¼
~
I avec Å ¸§; et ¸; ( et entiers, maintenant). Mais on constate alors que si on
y
‚ I , alors ¸ pour ¼¸ H . Il en résulte que pour trouver ~ on teste pour
écrit ~ A|}
™ÕH 2> si I m p H est un carré, et on arrête si tel est le cas, avec disons m $ I m p H .
Å
Alors ß
I est une unité fondamentale.
Nous sommes maintenant en mesure de dire quelque chose sur l’équation de Pell (ou de PellFermat, en France). Cette équation est la suivante : m $ I m :^ , avec
I comme en haut (I®¸ H ,
^
sans facteur carré) et dans donné. L’ensemble des solutions
dans ‡ m est un hyperbole.
S’il y a une solution dans 7Æm , on obtient toutes les solutions dans 7Æm en intersectant avec des
droites passant par la solution de départ. Ce qui nous intéresse
des solutions
ici,™est
± l’ensemble
avec m $ I m ^ ,
dans Å m . Commençons par une remarqueÅ immédiate. Pour m
ß
I est un élément de norme ^ de I , et l’application :
O ¶±
m ² m $ I m :^FR $ - O… ± Å I ² ” ^FR ¾- ‹
¤ Å I
est une bijection.
6.2.3 Théorème. Soit ~ une unité fondamentale de
1. Les solutions
p ~ ± de l’équation
aux
,
.
`
m $ Im p H
r Å I .
correspondent alors, via la bijection ci-dessus,
± r Å r Å M
p
2. Pour ^ ; dans = ,
I opère librement sur l’ensemble O…
I ² ” ^FR .
Deux
ensemble sont dans la même orbite si et seulement si
= Å I et. Ainsi,
m de cet
r Å I éléments
l’ensemble
des orbites de cette action est en bijection avec
Å
m
l’ensemble des idéaux de
I qui sont d’indice ² ^ ² et principaux.
43
Z
@
\
|
est isomorphe à Å
. En
pratique, pour trouver une unité fondamentale, on utilise le développement de I en fraction
6.3
Fractions continues.
Soit I„¸ H
r Å I X M
sans facteur carré. Nous avons vu que
continue. Ici, je veux juste donner quelques indications et un exemple de comment cela marche.
Pour des détails, on est invité à consulter les livres [HW] et [Hua].
6.3.1 Définition. Soient
sociée est la fraction :
À9ÿ;
un entier, et
Kû >2 Kû=0 >2 * K û = 6.3.2 Lemme. Avec ces notations, on a :
des variables. La fraction continue as-
H
H
H
H
m !
H
.. . Kû>=0 2> K û ® ; H = bbb ® ; H = Ê = Kû ® ; H = bbb ® ; H ; H ¯
H Ê ¯ H ¯
H ¯
+

[\D ß
I où les matrices opèrent par homographies : Ú â º
.
6.3.3 Définition. Soit
réel\Dnon
rationnel.
Le développement
de= en
fraction contiKû * unãX¾nombre
=
K
A
û
=
=
D
\
ä , * .H $ , * ãX ä , * .H $ D=1 , etc. Si est
nue est défini par :
m
rationnel, on applique le même algorithme, mais on s’arrête quand est entier.
réel et irrationnel. Soit Kû=A >> la suite associée à par la définition
6.3.4 Proposition. Soit
Kû=A >> z \ à . Alors ² z \ à $ ² € H \ Åm . Si z et Á¸‚; sont des
précédente. Ecrivons
\² z à $ ² € H \@ | Åm
à W z à . La
entiersKûpremiers
entre
eux
et
,
alors
il
existe
tel
que
=A >2 devient périodique (dans le sens qu’il existe ¿ et  9 H telsz que
si
suite
Å
¸Î¿ ) si et seulement si est algébrique etp de degré deux sur 7 . Si t I avec Iƒ¸ H sans
facteur carrés,
il existe
tel que z m $ IKÃ m H , et le premier tel donne une unité fondamentale
Å
Å
r
z à I de I .
44
7 La réciprocité quadratique.
7.1
Décomposition des nombres premiers.
\
Soit ú un corps de nombres, et z un nombre
premier. L’anneau # * úßü z5úßü est alors
une ËÖ -algèbre de dimension I“* GDVXW@% ú =A . Nous
 ? avons vu dans un exercice que # n’a qu’un
Â
>
2
nombre fini d’idéaux maximaux, disons
, et que le morphisme canonique
+= Z
Z \ ?+
\
Â
#- #
b bb # Â
L ¸ñ;
est un isomorphisme
de
-algèbres.
Définissons
des
entiers
Ë
Ö
L
L
\ L
Notons  å l’image inverse de  dans úøü via úøü‹-<#:-<#  .
W¨=
Ê = §
`
L
L
L
{
Š
{
Š
{
Š
Â
Â
§
Â
par :
.
7.1.1 Proposition. Avec ces notations, on a l’égalité suivante d’idéaux de úøü :
V
=
Â
zV úøü å bbbN å ? € = bbbN å ? € Þ z5úßü . En effet, comme
Preuve. Montrons d’abord que  å
V
V
 = bbb  ? €  = c bbb c  ? € ;
V
=
? {€ dans # est nulle. D’où l’inclusion. Il ne+ reste qu’à montrer
Â
V
dans # , l’image
de å ? bbbNÂ å
=
 å bbbN å {€ ont même norme. La norme de zúøü estW¨= ² # ² z . Notons ù L le corps
que
5
z
ø
ú
ü
et
# \ Â L úßü \ Âå L
t9›;  å L \ Âå L ùL
. Alors, pour tout , et pour tout
,
est un
dimension un. Le théorème Chinois dit que l’application canonique :
-espace vectoriel de
V
V Z
Z \ ?
\
=
?
\
=
€
Â
Â
Â
$
ú ü å b bb1å
ß
- úøü å
bbb úøü Â å €
\ L
\ L
est un isomorphisme. Il suffit doncL de montrer que úßü  å {Š est de même cardinal que #  {Š .
Mais les deux sont de cardinal ² ù ² IŠ : pour le premier, cela
est même vrai pour tout exposant,
L
Â
pour le deuxième, il faut utiliser que les inclusions #æt
tÎbbbt  L{Š sont strictes.
©
7.1.2 Proposition. Avec les mêmes notations, les conditions suivantes sont équivalentes :
1.
2.
z
#
ne divise pas GDV 1E2T
úßü ;
est réduit, i.e., ; est le seul nilpotent de # ;
3. tous les L
sont H .
Preuve. L’équivalence des conditions 1 et 2 a déjà été notée
\#  L{Š dans la proposition
LÒ\  L{Š 4.11.1. MonÂ
trons l’équivalence
des deux dernières. Tout
élément de
qui est dans
est nilpotent.
\#  LIŠ
L x
\
L
I
Š
H
Â
Donc
est réduit si et seulement
si
. Comme # est le produit des #
, # est réduit
\ L
©
si et seulement si tous les #  {Š les sont.
7.1.3 Définition. On dit que z est ramifié dans
pas réduite.
ú
, ou dans
Dans la section suivante, nous utiliserons le résultat suivant.
45
úßü
, si la
ËÖ
-algèbre
úøü \ z5úøü
n’est
7.1.4 Proposition. Soient 7Pramifié dans ú , il l’est dans .
úk- des extensions finies, et z un nombre premier. Si z est
Preuve. Supposons que z soit non\ ramifié dans . Il nous faut montrer que z est non
ramifié
\
dans ú . Nous savons donc que ü z ü est réduit, et il nous faut montrer que úßü z5úßü l’est
également. Alors, le morphisme ú_- induit
un morphisme úßü·- ü . Supposons que dans
\
úøü soit dans le noyau de úøüa- ü - ü z \ ü . Cela veut dire que l’image de dans ü est
de la forme z , avec dans ü . Mais alors z est entier \ sur , donc\ est dans z5úßü . Il en
résulte
que le morphisme úßüß- ü induit une injection úøü z5úøü- ü z ü . Cela montre que
úøü \ z5úßü est réduit.
©
7.1.5 Définition. Soit ú une extension
de degré deux de 7 , et soit z un nombre premier. On dit
\
que z est inerte dans ú si úøü z5úøü est un corps, ou, ce qui \ revient au même, si z estZ premier
ËÖ , ou,
dans úøü . On dit que z est scindé, ou décomposé
dans ú si úøü z5úßü est isomorphe à ËÖ
=
Â
Â
Â
Â
ce qui revient au même, si z5úøü
avec
et
deux idéaux maximaux distincts de úßü .
m
m
m
`
H un entier sans facteur carré, et ú 7 Å I . On a úßü r \D » ,
7.1.6 Proposition. Soit` I j
{
[\{ si I .H mod { . Notons »
avec »gŽ m $ I si I ÕH mod , et avec »Ž m $ $ I $ H
l’image de » dans ËÖ . Alors :
1. z est décomposé dans ú si et seulement si » a deux racines distinctes dans ËÖ ;
2. z est inerte dans ú si et seulement si » n’a pas de racine dans ËÖ ;
3. z est ramifié dans ú si et seulement si » a exactement une racine dans ËÖ .
A l’aide de la réciprocité quadratique nous pourrons montrer que la condition que z soit scindé,
inerte ou ramifié ne dépend que de la classe de z modulo le discriminant de ú .
7.2
Quel est le sous-corps quadratique de —瘖èIéê ?
Pour la preuve de la réciprocité quadratique que nous allons donner dans la section suivante,
il nous faut un renseignement dont nous nous occupons dans cette section.
7.2.1 Proposition. Soit z un nombre premier. Soit 7 ¡ Ö l’extension de 7 engendrée par une
racine de
d’ordre z (dans & , par exemple). Alors le polynôme minimal de ¡ Ö sur 7 est
Y Öº* Ö l’unité
$ H 1\D $ H . L’extension 7ÿ- 7 ¡ Ö est galoisienne, et on a un isomorphisme de
groupes
[\ M
» * g°!N¡ 7 ¡ Ö 7 $ -Ë Ö
1\ tel que, pour tout $ dans g°!<¡ 7 ¡ Ö 7 ,
$ ¡ Ö ¡LÖ ë ÙBì2Ü Ö
Preuve. Notons 7ÿ- ú une extension de décomposition de $ H , et ¡ Ö une de ses racines.
Y
Ö
Comme les racines de $ H sont des puissances de ¡ Ö , on a ú 7 ¡ Ö . Le polynôme Ö
Y
est irréductible par le critère d’Eisenstein (on applique ce critère à Ö ³
:H et z ). L’extension
46
í
est donc de degré z $ H . Notons í le groupe
de
Galois de ú sur 7 . Tout élément
de
±
M
Ö
Ï
x
…
O
j
F
H
R
Ï
*
ú ²
induit un automorphisme du sous-groupe Ö ú
de ú . Comme Ö ú est
d’ordre z , c’est un espace vectoriel de dimension un sur ËÖ , donc son groupe d’automorphismes
M
M
est Ë Ö . Nous avons donc un morphisme de groupes » *íÕ- Ë Ö tel que pour tout $ dans í , et
tout dans Ï Ö ú : $ › ë Ùkì Ü . Il reste à montrer que » est un isomorphisme. Comme les deux
sont d’ordre z $ H , il suffit de montrer que » est injectif.
Mais cela est clair, car comme ú est©
engendré par ¡ Ö , tout $ dans í est déterminé par $ ¡ Ö .
7Ï- ú
r ¡ Ö 7.2.2 Théorème.
Soit z un nombre premier et 7 ¡ Ö comme en haut. Alors l’inclusion de
¡
dans 7 Ö ü est une égalité. Tout nombre premier différent de z est non ramifié dans 7 ¡ Ö .
r = 4.11.3. Comme ¡ Ö est entier sur , ¡ Ö Þ 7 ¡ Ö ü . Le
Preuve. Nous allons appliquer le critère
Ê
Ö
Ö
H
fait que la dérivée de $
soit z
implique que dans n’importe quel corps de caractéristique
Y
Ö
différente de z , $ H n’a pas de racines multiples. Il en résulte que le discriminant de Ö est, à
un signe
près,
une puissance de z . Par ce que nous avons vu dans les exercices, cela implique
que
r
¡
¡
est,
à
un
signe
près,
une
puissance
de
,
et
que
par
conséquent,
est,
GDV 1E2T Ö
z
GV1E T 7 Ö ü à
un signe près, une puissance de z . Donc tout premier différent de z est non ramifié dans 7 ¡ Ö .
r Pour
finir,
il nous faut montrer que pour tout
idéal
maximal  de ¡ Ö contenant z , on a
\
\
¬
r
r
Y
GDV]W r  \ r m Ä H . Ecrivons ¡ Ö \D Ö Ê = Ö (avec s’envoyantvers ¡ Ö ). Cela montre
¡ Ö est isomorphe à ËÖ $ H , et on en déduit que ¡ Ö a un unique idéal
que ¡ Ö z
Â
maximal contenant z , et qu’on a  z ¡ Ö $ H . Posons § $ H . Alors on a :
Y Ö Ö $ H Ô
›H Ö $ H › Ö Ê = z Ö Ê m bbb z $ H
qui est\ un polynôme d’Eisenstein pour le premier z . On voit que z est dans  m , ce qui implique
que   m est engendré par , donc de dimension au plus un.
©
` | un nombre premier. Alors 7 ¡ Ö contient un unique extension
7.2.3 Proposition. Soit z Å z si z jH mod { , et ú 7 Å $ z si z $ H mod { .
quadratique ú de 7 . On a ú 7
7 ¡ Ö [\ 7 M
i
g
<
!
¡
Preuve.
Le
groupe
est isomorphe
à Ë Ö , qui est cyclique d’ordre z $ H . | Comme
`
|
1
\
z , z $ H est pair. Par conséquent,
gi!<¡ 7 ¡ Ö 7 a un unique sous-groupe d’indice . Par la
correspondance de Galois, 7 ¡ Ö a un unique sous-corps ú de degré` 2 sur 7 .
Les extensions quadratiques
de 7 correspondent aux entiers I ÕH sans facteur carré. Pour
Å
voir pour quel I on a ú î 7
I , nous allons utiliser un argument de ramification. Dans les
exercices on verra une autre méthode (sommes de Gauss) pour résoudre ce problème.
Par la proposition
7.1.4 et le théorème 7.2.2, ú est non ramifié
en tous{ les premiers différents
`
{I,
y
H
de z . Donc GDV 1E2T { ú
est, à signe
près, une puissance de z . Si I
mod , on a GDV 1E2T ú
I.
et si I jH mod , on a GV1E T ú
©
47
7.3
Réciprocité quadratique.
`
|
g± Ë M R est
M
Soit z
un nombre premier. Le sous-groupe Ë Ö m * _O m ²
7.3.1 Proposition.
Ö
1
@
\
|
d’ordre z $ H
. Pour dans KË Ö , on définit :
®
±
M
H
si ËÖ m,
ð>ñï
®z ¯ *
; si ; , $ H si a± ` Ë Ö M m .
La fonction Ö *DËց- O $ H ; HR·Þ
s’appelle le symbole de Legendre. Pour dans ËÖ on a :
ÊÙ = Ü ¬ m
Ö
® z ¯
dans ËÖ .
M "M , ¾- Ú est un morphisme de groupes.
L’application Ë Ö Ö
» *DË Ö M - Ë Ö M , ¾- m . Son noyau est OQH $ HFR ,
Preuve. Considérons
le
morphisme
de
groupes
| ( H ` $ H car z ` | ). L’image de » est Ë Ö M m , qui"M est donc d’indice | . Le quodonc d’ordre
\
M
M
tient Ë Ö Ë Ö m est donc = isomorphe,
et cela de manière unique, à . Considérons le morphisme
¬
z $ H 1\@| , donc son image d’ordre | et égale à
=
est
d’ordre
d* Ë Ö M -ÌË Ö M , ¾- Ù Ö Ê M Ü m . Son noyau
OQH $ HFR . Pour dans Ë Ö , on a m Ö Ê äH . On a donc Ë Ö M m Þ ×å2T , et même égalité car
M même cardinal. Pour conclure : pour dans Ë Ö M on a H si et seulement si les deux ont
est dans Ë Ö m .
©
7.3.2 Théorème.
| (Réciprocité quadratique, Gauss.) Soient z et à deux nombres premiers,
différents de et distincts. Alors on a :
® zà ¯ b ® zà ¯
z $ H Ã $ H {
$ H
Preuve. D’après
la Proposition 7.2.3, l’unique sous-corps quadratique de
M Ê ò = Ã . Nous
avec à avons donc un diagramme commutatif :
7 ¡mò est
7 Å Ã M,
7 ô b¡ ò ó D$ $…$ r \Dô Y ò $…$$ - ËÖ ô \D Y ò 7 Å ô à M uó D$ $…$ r ô D\ » $…$$ - ËÖ ô \D » ó $D$…$
$…$$ 7
ËÖ
M 1\{
\D » vers ËÖ \D Y Ö est une inclusion par
avec »º› m $ $ à $ H
. L’application de ËÖ un argument
nous
» déjà utilisé dans la preuve de la proposition 7.1.4 (nous utilisons ici
r \D Y Ö que
r \Davons
que
et
sont les anneaux d’entiers dans leurs corps de fractions).
48
[\ M
Par
la Proposition
7.2.1, g°!<¡ 7 ¡bò 7 s’identifie, via l’isomorphisme » , à Ë ò . D’autre part,
1
\
M
Å
gi!<¡ 7 Ã 7 admet un unique isomorphisme avec NM . Ceci nous donne un diagramme commutatif :
g°!N¡ 7 b¡ ò [\ 7 $…$2 ë$ - Ë òM
ò
ž
Ù{õ Ü
1
\
2
ö
g°!<¡ 7 Å Ã M 7 $…$$ [\ M . Alors $KÖ induit
ò
z
Ë
Notons $KÖ l’élément de g°!<¡ 7 ¡bò 7 qui
correspond
à
l’image
de
dans
\D Y ò , car $KÖ Ö (modulo Y ò ). Donc $KÖ induit le
l’endomorphisme de
Frobenius
de ËÖ D
\
» . Notons maintenant que $KÖ Å Ã M est soit égal à Å Ã M , soit à $ Å Ã M . On a
Frobenius de ËÖ alors les équivalences :
Donc :
Ö ò yHø÷ $KÖ VXG ÷ z
r \ » ÷ ò Õ est scindé dans Ö
V lV
Êò= òÊ = ¬
M
H
$
l
Ã
ú
ù
z®
A
m
Ã
Ù
Ü
® à ¦¥
H
$ õ Øõ
®
¯
ï
z ¯
z §
z
yH@
® zà ¯ ©
Pour calculer des symboles de Legendre, il est utile de compléter le théorème ci-dessus par les
deux résultats suivants, qui ont été montrés dans le cours et les exercices.
7.3.3 Proposition. Pour z
` |
un nombre premier on a :
$ H
$ H $ Hz | ® z ¯
|
et
®z ¯
zm $ H
$ H á Concrètement, la réciprocité quadratique se résume en le résultat suivant, qui n’est que la
combinaison des deux résultats qui précèdent.
7.3.4 Proposition.
1. Si z
` |
et Ã
` |
sont premiers, on a :
® zà ¯ ® zà ¯
$ ® Ã
z ¯
si z
# H Ò{Q
sinon.
49
ou Ã
# H {Q
;
2. Si z
` |
est premier, on a :
Áz
H¢û
|Ã j
|
H
®z ¯ j
$ H
$ H jH
® z ¯
$ H
50
# p H á ;
p š á si z #
{K ;
si z # H
Ò{Q
si z # $ H
si z
;
;
8 Le théorème de Wedderburn.
Le théorème en question n’est pas tellement un théorème concernant la théorie des nombres,
mais plutôt la théorie des corps finis. La preuve que nous donnons ne nécessite qu’un petit peu de
théorie sur les groupes opérant sur des ensembles, un peu “d’algèbre linéaire non commutative”
Y
(que nous faisons dans un lemme), et le fait que les polynômes cyclotomiques ont coefficients
dans (nous n’avons pas besoin de leur irréductibilité). Donc si l’on veut, ce théorème pourrait
être traité au début du cours.
Dans cette section, on ne suppose pas que les anneaux sont commutatifs ; les anneaux sont
encore suppposés
unitaires. Nous rappelons qu’un corps est par hypothèse un anneau commutatif
`
H
élément non nul est inversible. Un anneau (non nécessairement
avec
; dans lequel tout
`
H
commutatif) dans avec
; dans lequel tout élément non nul est inversible est appelé une
algèbre à division. Un exemple d’une algèbre à division non commutative est donné par les
quaternions (sur 7 ou sur ‡ ). Les 7 -algèbres à division de dimension finie en tant que 7 -espace
vectoriel jouent un rôle important en théorie des nombres.
8.1 Théorème. Soit # un anneau fini intègre (non nécessairement commutatif). Alors # est
commutatif, et donc un corps. De façon équivalente : toutes les algèbres à division de dimension
finie sur un corps fini sont des corps.
Preuve. Soit # donc un anneau fini intègre. Soit ù le centre de # : ù est l’ensemble des dans
# tel que 5›Ì pour tout dans # . Alors ù est fermé pour l’addition, la multiplication,
inversion et opposition (ñ¾- $ ). Donc ù est un corps fini, disons de cardinal à (qui est une
puissance d’un nombre premier), et # est une ù -algèbre de dimension finie. Notons GDV]W # .
On a donc ² # ² Ã .
M
Notons í # le groupe multiplicatif des éléments non nul de # ; donc í Ê = est un groupe
de cardinal à Ô$ H . On fait agir í par conjugaison sur lui-même : ¾- 5Q . Considérons
la décomposition de í en orbites pour cette action. Ces orbites sont les classes de conjugaison
dans í . Les orbites à un éléments sont exactement les OÁR avec dans ù . Soit ü un système
$ ù M ). Pour chaque dans í , notons
=Ê pour
de représentants
les
orbites
restantes
(celles
dans
í
† A ÏO45 ² ± í R sa classe de conjugaison et\ † ÏO4 ± í ² 5®Ê Î= ÁR son centralisateur dans í . Pour dans í , on a une bijection : í † - † , ¾- Q5 . On a alors :
A
ý † ² í ² à $ Hd
‘ à $ H zA {þ A
zA oþ ² † ²
± # ² Qº§55R le centralisateur de dans # . Alors # est
Pour dans # , notons # jO4
# M . Notons
une
sousù
-algèbre
de
#
,
et
est
donc
lui
aussi
une
algèbre
à
division
et
†
GDVXW # , on a donc ² # ² à ىA0Ü , et ² † ² à ىA0 Ü $ H .
La multiplication à gauche sur # par des éléments
de # induit une structure de # #
#
# í ù Mdý
module sur . Montrons que
est libre en tant que
8.2 Lemme. Soit # une algèbre à division et
-module.
un # -module de type fini. Alors
51
est libre.
=A
>> Â un système de générateurs de , avec minimal. Il suffit de
Preuve. Soit ÂÕ Â
= =
montrer que ce système est libre. Supposons que ce n’est
pas le cas, et ` soit 3 Â bbb 3 Â ;
L
une relation non triviale. Quitte à renuméroter les  nous avons 3 ; , donc :
=
 $ 3 Ê 3 =  = bbb 3 Ê = Â Ê =ì =A > > Â Ê =[ est un système générateur de , donc contredit la minimalité
Ceci implique que Â
de .
©
Pour dans # , notons 8
T–!<DC ىA0Ü # . On a alors :
?
?
?
Ã Ý ² # ² ² # ÙBA0Ü ² ² # ² ÙBA0Ü Ã Ù‰A0Ü Ù‰A0Ü Ã Ù‰A0Ü Ù‰A0Ü ce qui montre
que les
autre
façon de voir que ² est de noter que
â divisent
. (Une
5
6
, en regardant l’algoritme d’Euclide.)
BDC@E G Ã Ú $ H Ã $ H Ã $ H si BDCFE2G
—'( , nous avons
Nous entrons maintenant dans la dernière étape de la preuve. Dans 7
' $ H+ œ Y +F ' 0
+
»
+
Y
avec
le polynôme unitaire dont les racines (dans & disons) sont les racines d’unité d’ordre I .
Y '
—'( , et comme les racines de
Par la théorie de Galois, on sait que les sont en effet dans 7
Y ' sont dans —'( .
l’unité sont entiers sur , on
voit
que les `
Pour dans ü , on a , car n’est pas dans le centre ù de # . Pour tout entier  ¸„; ,
nous avons :
à $ H+ œ+ Y +F à »
En appliquant ceci à l’identité :
à $ Ê H = zA þ à ÙBA0Ü
{
à $ H% à $ H¶
‘
Y à divise à $ H , car Y à divise tous les autres termes. En particulier, on
à ²QÄ Ã $ H . Mais on a :
L ¬
Y² à ² œ
^
² m«ª Ú $ H ² ¬
Ú z Ù ü {ÿÿ Ü Õ
Si ™¸ H , tout facteur dans ce produit est plus grand que à $ H (faire un dessin de l’axe des réels
©
et le cercle unité dans & ). Donc jH , et # ù .
" ÷ U½ ÷ ù la -algèbre des quaternions standard ( m ½ m $ H ,
÷
8.3 Exercice. Soit # w½ $ ½K ù ). Pour z ` | premier il est clair que # \ z# n’est pas commutatif, donc ne
peut pas être intègre par le théorème de Wedderburn.
\ Pour autant de z que vous voulez, trouvez
explicitement des diviseurs de zéro non nuls dans # z# .
on obtient que Y
trouve que ² 52
9 Compléments et rappels.
9.1
Produit tensoriel d’algèbres sur un corps.
Le produit tensoriel de modules sur un anneau a été défini dans le cours Algèbre 3, en premier
semestre. Le résultat est simplement que pour # un anneau et
et ¿ des # -modules, il existe
une forme # -bilinéaire universelle :
Z
¿ $-
,
,
,
¿  ¾-  # J -algèbres, alors / , ß2† J , a une
Si / J et † sont des
J structure
J , naturelle
J de # -algèbre (pour tous
A
0
et dans / et et dans † , on a
),, et a la propriété universelle
,
¾- , H
suivante
:
les
morphismes
de
-modules
et
donnés
par
#
l
/
/
ø
†
y
†
/
ø
†
H , sont des morphismes de # -algèbres, et si ‰ est une # -algèbre et » *Á/ - ‰
et ¾et d*,†í- , ‰ sont des morphismes de # -algèbres, alors il existe un unique morphisme de # algèbres /
߆Î- ‰ qui fait commuter le diagramme que l’on devine.
Avec cette propriété universelle, on voit
que pour # un anneau et / , une # -algèbre, il existe
, 
.
un unique morphisme de / -algèbres # /y- / qui envoie H vers
D
\
» , â/ est la
De même façon, on
voit,
en utilisant des propriétés universelles, que # D
\
» . Nous utiliserons ceci si #- / est une extension de corps.
même chose que / 9.1.1 Théorème. Soit ú - une extension de corps, et » dans ú = irréductible,
tels que »
+
»
>
>
8 ses racines dans
soit scindé
sur , avec des racines simples. Notons I le degré de , 8
, et ) =A >2 ) + les plongements correspondants de ú \D » dans . Alors le morphisme de
+ ,
ú -algèbres :
,
\D =0 0 +… [
·¾- ) >2 ) þ™ú » $ - est un isomorphisme de -algèbres.
=A En
particulier, si úÈ- est galoisienne, de groupe í , et si
on note le cardinal de í , et >2 ses éléments, on a un isomorphisme de -algèbres :
,
,
þ $ - ß¾- =2 0 >> 1 +
,
D
\
D
\
»
»
þ™ú
Preuve. Commençons par remarquer que et sont tous les deux
de dimension I en tant que -espace vectoriels. Il suffit donc de montrer que le morphisme en
question est soit injectif, soit surjectif. En fait, les deux sont assez faciles. La surjectivité
résulte
- + est l’intersection
de l’interpolation
de
Lagrange,
et
l’injectivité
du
fait
que
le
noyau
de
LÒ
des $ 8 , donc » .
Le deuxième énoncé s’obtient du premier en choisissant un élément primitif de sur ú . ©
9.2
Modules de type fini sur les anneaux principaux.
Ceci se trouve dans [Samuel, o 1.5], mais expliqué d’une façon plus abstraite. D’autre part,
cette théorie est dans le programme du cours d’algèbre du semestre précédent. Pour ces raisons,
nous irons assez vite.
53
9.2.1 Théorème. Soit # un anneau principal et soit À9ÿ; . Tout sous-module de=0 # est
libre
^
>
>
^
de rang au plus . En fait, si
est un sous-module de=A # , il ? existe une base =
de
>2 I de # tels que I ² I ² bbb ² I ? et
Ä
Ä
tel
que
et
des
éléments
# = , =0un entier
8
;
8
I
m la suite
I ^ >> I ?= ^ ?0 soit une base de? . La suite des I L n’est pas forcément unique, mais
des idéaux I #³t§I #³tÎbbb t§I # l’est.
m
Preuve. Nous montrons d’abord, par récurrence sur , que
est libre de rang au plus .
H
; rien à faire. Supposons 9 . Considérer zÆ*¹# - # , projection sur la dernière
Pour = ; comme # est principal, est
coordonnée. L’image zd est un sous-module de # , donc un idéal
Ê
H
libre de rang ; ou . Si c’est ; ,
est en fait contenu
dans #
et on a terminé par récurrence.
H
Â
Â
Supposons donc que zd est de rang , de base z
pour un dans
convenable. Alors la
suite exacte
$È
$- ;
; $ - × å2T z ² $ - z
¾- Â
 =
z
z
est scindée par le morphisme z ,z Â
(comme
est
une
base
de
, il
c
Ê
Â
#
÷ # , et on a terminé
§
suffit de donner l’image de z
). Donc
est isomorphe à
par récurrence.
et de # comme dans l’énoncé, on choisit un
Pour montrer l’existence des bases de
nombre fini de générateurs de , que l’on exprime en termes de la base usuelle de # . Ensuite,
on fait des opérations élémentaires
sur les lignes
et les colonnes de la matrice obtenue, pour la
A
=
=
'(
>
>
avec I ² I ² bbb . Dans le cas de # ËÖ , on trouve dans
rendre de la forme GDV!FC I I
m
m
Maple une fonction “Smith” qui fait le calcul (et qui est d’ailleurs au programme pour l’option
, Maple a la fonction “ismith”.
©
modélisation de l’oral de l’agreg). Dans le cas # Avec ce théorème, on démontre facilement la classification des modules de type fini sur un anneau principal.
54
10
Exercices.
1. Donner toutes les solutions dans
et dans 7 des équations :
m | m “ m $ 5r
m $ H m m ÀÑ m | m :Ñ m $ “ m $ HF
Indications : congruences modulo des puissances de deux ; paramétrisation de courbes de
degré deux avec un point rationnel.
2.
\{
(a) Soit
un triplet pythagoricien
primitif.
En|@considérant
les carrés dans
,
q
@
|
@
|
#
#
#
H
H
montrer que,
et , on a
,
. Montrer
; et
quitte
0à2échanger
0 , et que
$ 0 yH . (Indication : l’idéal de
qu’alors m $ B
@
C
2
E
G
contient |F et |F .) En déduire qu’il existe des entiers ~ et
engendré par $
et  avec ;߀„~ƒ€‚ , impairs, premier entre eux, tels que $ ~5m et m .
2
(b) Conclure
que
tout triplet
pythagoricien
primitif
avec pair s’écrit sous la
4
[
@
\
}
|
4
1
@
\
@
|
$
forme ~5 m
~5m
m ~¹m , avec ;ƒ€x~g€x dans s premier entre eux et
impairs.
(c) Montrer que pour ~ et  dans s premier entre eux, impairs et tel que ~“€„ :
~5 4  m $ ~ m 1\F|}4  m ~ m [\@|@
est un triplet pythagoricien primitif.
Conclure
que les triplets
pythagoriciens primitifs
4
[
@
\
}
|
4
1
@
\
@
|
$
avec pair sont les triplets ~5  m
~m
 m ~ m , avec ~ €‚ premier entre
eux et ~5 impair.
3. Montrer que l’anneau
r
est euclidien pour la fonction IZ*
r— - s , ‹
¾- .
4. (Plus difficile.) Soit ú un corps, et un entier plus grand ou égal à 3 et inversible dans ú .
'( de l’équation :
Montrer que toutes les solutions dans ú
avec , et premiers entre eux, sont en fait des solutions dans ú . Indication : étendre la
méthode donnée en cours, donc : par contradiction
; considérer une solution non constante
avec le maximum des degrés de et et minimal parmi toutes les solutions pour tous les
corps ú . (Il faudra donc peut-être changer de corps pendant la démonstration.) Question :
l’hypothèse que soit inversible dans ú est-elle nécessaire ? Plus précisément : en fonction de la caractéristique de ú , donner la liste des pour lesquels il existe des solutions
non triviales.
5. Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers z qui sont
$ H
{
modulo .
ÎH a une racine dans ËÖ si et seulement si z
6. Soit z un nombre premier. Montrer
{ que m
M
H
$
n’est pas congru à
modulo (indication : le groupe Ë Ö est cyclique, et d’ordre z $ H { ).
Montrer que pour dans , tout premier impair qui divise ¨m H est congru
à H modulo .
{
H
Montrer qu’il y a une infinité de nombres premiers qui sont modulo .
7. (Pour ceux qui veulent.) Variante des deux questions précédentes, mais pour les classes
modulo š .
55
8. Factoriser en irréductibles : ÑÆ
dans
r— , et ½
dans
½@ .
9. Cherchez un nombre premier z qui est congru à 1 modulo 4 et raisonnablement grand
(disons au moins 1000), et écrivez le comme somme de deux carrés.
10. Comme la définition de la notion d’anneau euclidien n’est pas la même dans tous les textes,
nous donnons une définition ici, et montrons qu’elle est équivalente à une autre que l’on
rencontre souvent. Voici donc la définition.
» est dite eucliSoit # un anneau intègre, et » *,#_une fonction. Alors
5
6
dans # m avec
dienne
si
son
image
est
borné
inférieurement
et
si
pour
tout
ß ` ; il existe à et 8 dans # avec à 8 et » 8 € » 0 . Un anneau est dit
euclidien s’il existe une fonction euclidienne sur # .
(a) (Juste pour mémoire.) Montrer qu’un anneau euclidien est principal.
a ` ;
¸ » ; dans # on a »
.
»
¾
- , - ² ² , est euclidienne.
(c) Montrer que la fonction *
» *5ú - , ¾-<GDå C est euclidienne.
la
fonction
(d) Soit ú un corps. Montrer que
Ici on convient que GDå C ; $ H . Si on veut que Gå2C ; $ ‡ , on pourrait intro… O $ ‡R , et la notion de fonction euclidienne à valeurs
duire l’ensemble ordonné
ˆ…
O $ ‡R .
dans
une fonction.
Montrer
que » est euclidienne
(e) Soit # un anneau intègre, et » *¹#Î
ø
»
§
H
¾
»
›
H
si et seulement si
(la fonction donnée par ) l’est.
et )+* #Ì
(f) (Plus difficile.) Soit # un anneau intègre
- ` une± fonction euclidienne.
»
¾
O
² ; x # R , est euclidienne,
Montrer que la fonction *5#j, Q- 0 W³V ) et a la propriété supplémentaire que »
9 » pour tous et avec non nul.
Å | Å š dans 7 Å |} Å š est entier sur . Montrer aussi que
Montrer
que
\H F| dansdirectement
7 n’est pas entier sur . Montrer aussi que H \@| dans =\ ¬ H ;@; H est entier sur .
q| ! Calculer le morphisme trace et la forme trace pour 7 - 7
, disons
en termes de
½ .
matrices par rapport à une base que vous avez choisie. Pareil pour 7y- 7
et 7j- 7
—'˜ \D ' m .
Calculer le morphisme trace et la forme trace pour 7j- 7
\D ! $ m $ ‹
ñH . Cette forme bilinéaire est-elle
Calculer la forme trace pour 7j- 7 !
non dégénérée ? Le déduire aussi de la décomposition de $ m $ “
lH en facteurs
(b) Montrer que pour tout
11.
12.
13.
14.
irréductibles.
15. Le but de cet exercice est de montrer qu’il y a un algorithme efficace
pour trouver,
pour
un
m m . Soit
nombre premier z qui est congru à 1 modulo 4, des entiers et tels que z
donc z premier, et 1 mod 4.
|
|
M  avec  impair (notez que x9 ). Pour dans Ë Ö , est
(a) Ecrivons z $ Hƒ |
M
d’ordre divisant . On peut donc espérer trouver un élément d’ordre 4 dans Ë Ö en
M , * ¢ , et ensuite les 6L * m Š Lm Ê = ,
Ë
calculant, pour pris au hasard
dans
Ö
9›; , jusqu’à ce que p H . En effet, si ùâ¸ñ; , alors $ H et Ê = est d’ordre 4.
‹` p H .
Calculez la probabilité que 56
(b) Expliquez-vous
pour 6L à vous-même que pour calculer,
|
¡ S@C m
ensuite les , ne prend au plus qu’environ tions dans ËÖ , si on s’y prend intelligemment.
16.
Â
dans
ËÖ donné,
[
* ¢
, et
ý ¡ S@C z multiplicam
, $ , , \ ) dans ËÖ se
(c) Expliquez-vous à vous-même
que
les
opérations
élémentaires
(
[ [ ! opérations binaires
font en au plus ý ¡S@C z , ý ¡SFC z , ý ¡SFC z m et ý ¡S@C z
(c’est à dire, sur des ; et H ), respectivement. En fait, il existe | des méthodes plus
peut se faire en
efficaces
: par exemple,
la multiplication de deux nombres Ä
1
[
ý ¡ S@C ¡S@C ¡ S@C opérations binaires (voir [Cohen]).
\F|
M soit d’ordre { , et notons » * r— - ËÖ le
Ë
(d) Soit dans , ² ² €„z , tel
que
dans
Ö
. Montrez que z et $ engendrent le noyau de » , en tant
morphisme tel que »
r— à z et $ , on trouve
que -module. En appliquant
l’algorithme
d’Euclide
dans
un générateur de ×Få2T » .
!.
(e) L’algorithme obtenu est probabiliste, et le temps moyen qu’il prend est ý ¡ S@C z
(Le nombre moyen de à essayer est au plus 2, et le nombre
d’étapes dans l’algo
1
à effectuer est au plus ý ¡ S@C z .)
rithme d’Euclide dans
=
= et I , respectiveet
deux
-espaces
vectoriels,
de
dimensions
Soit ú un corps,
_
_
ú
I
=
=
m
m
ment. Soient ~ et ~ des endomorphismes de _ et _ .
m
m=
~
et ~ déterminent celui de l’endo(a) Montrer que les
polynômes
caractéristiques
de
=~ , ~
=_ , þ _
m extension de ú sur laquelle
morphisme
de
. Indication
:
utiliser
une
m
m =
les polynômes caractéristiques de ~ et ~ sont scindés.
m
|
(b) Donner des
formules
explicites
en
termes
des coefficients dans les deux cas où I =
|
m
et H Ä I Ä .
17. Le produit tensoriel est bien utile pour montrer le fait que deux corps de décomposition
pour un polynôme sur un corps sont isomorphes (de façon
non unique). En effet, soit ú
un corps, et » dans ú non nul. Soient ú ú = et ú - ú m deux extensions de
décomposition, c’est à dire, sur chacune, » est scindé, et chacune est engendrée par les
racines de » .
=,
(a) Montrer que ú
þ"ú m est une ú -algèbre non nulle, et qu’elle a des idéaux maximaux
(sans utiliser le lemme de Zorn, si vous le connaissez).
=, ™
þ ú m est engendrée par des racines de » .
= , þ¤ú
(c) Soit ú ! un quotient de ú
qui est un corps. Montrer que ú - = ú ! est un
m
- ú ! et
corps de décomposition, et que les deux morphismes de ú = -algèbres ú
ú m - ú ! sont des isomorphismes. Cela montre donc que ú et ú m sont isomorphes
en tant que ú -algèbres.
=
Soit ú un corps, ú - une extension de dimension finie, et úÈ= - ú et úÈ- ú deux
m
sous-extensions. Soit ú ! la sous-extension de engendrée par ú et ú .
m
=
(a) Supposons que= , GDVXWøþâú ! GDV]Wøþâú GDVXWß þâ, ú . Montrer que le morphisme de ú þtú m - , donné par » m ñ5 , est injectif, et d’image ú ! .
algèbres » *5ú
»
(b) Montrer que la ú -algèbre ú
18.
(b) Donner un exemple où le morphisme
57
n’est pas injectif.
19. Lesquels des anneaux suivants sont des corps :
(a)
(b)
(c)
(d)
&
,
µÝ&
Å
7 @| 7 Å |@
,
& %&
,
,
%·7 Å š ,
,
,
% 7 Å $ @| %·7 Å $ H ,
·
.
r— \D
20. “Calculer” les
en tant que -module,
pour des
votre choix. Par exemple, pour ceux avec ² ²QÄ š , ² ²QÄ š .
21. Soit
Å
7
(
et dans ) de
Å |@
$|@ l’automorphisme
7
non
trivial
de
. Evidemment, $ préserve le sous-anneau
ü r Å | . Soit IZ* r Å | - s la fonction donnée par : I ² $ ² . Montrer
que I est une fonction euclidienne. Pour ceux qui veulent : quels sont les corps quadratiques dont l’anneau des entiers est euclidien pour la norme ainsi définie ?
Å | Å | ¾- Å |} $ Å |F ,
H pour la norme : ² 5 ² .H . Faire
22. Dessiner
l’image
de
dans ‡ m par l’application
avec et dans .Å Dessiner
@ ü . aussi la courbe de niveau
l’analogue pour 7
23. Soit ú
un corps, GDå0æ
9›;
E
D
CDD '
DD
D $ H
Kû 2> Ê = dans ú . Montrer que :
Kû G HH
HH
..
HH ' = ' Ê =
.
..
Ê bbb Q û .
'
..
. = J
'
H
$
Ê
un entier, et
'
$ H
..
.
..
.
Indication : on peut procéder de deux façons au moins. Développer suivant la première
@L
ligne et faire récurrence sur , ou dire qu’il s’agit d’une identité polynomiale en les que
l’on démontre
@L en notant que le polynôme en question annule l’endomorphisme en question
et que si les sont des variables, alors le polynôme en question est irréductible.
24. Soit}Ç
` 9
GDå0æ
25.
26.
27.
;
;
entier, et dans . Montrer
que
F
\
² ² GDå æ
, et que, dans ce cas, on a ²
\ ²
.
est fini si et seulement si
`
Soit ú un corps de nombres. Soit ; dans úøü , et considérons l’endomorphisme b du
-module libre úøü donné par ¾- 5 . Montrer que :
¬¼+ \
K
û
þ
9
–
5
8
6
7
Ü
² úøü úøü ² ² GDå æ b ² ² ² Ù
Kû
où I et sont le degré et le terme constant du polynôme minimal de sur 7 .
=0 +
L
\
@L
Soit I9 H . Montrer que si >2 dans & satisfont à ² ² € H I , alors les définis
par :
' $ =ì bbb ' $ +0 ' + ]+ Ê = ' + Ê = bbb = ' Kû
@L
satisfont à ² ² € H .
Soit # un anneau factoriel (donc intègre). Montrer que # est intégralement clos.
58
28. Donner un exemple d’un anneau intègre non intégralement clos.
29. Montrer les implications non démontrées en cours dans la proposition qui donne les conditions équivalentes pour qu’un module soit noethérien.
r =6 30. Montrer que l’anneau >> de polynômes en un nombre infini de variables n’est
m
pas noethérien. Pareil pour la clôture intégrale de dans 7 .
31. Un sous-anneau d’un anneau noethérien, est-il nécessairement noethérien ? Et un quotient ?
Et un sous-module d’un module noethérien ?
Q
ßce
Þ
32. Soit # un anneau, et des idéaux. Montrer que
. A-t-on toujours égalité ?
(Pour ceux qui veulent : quels sont les anneaux où c’est toujours vrai ?)
=0
L
33. Soit ù un corps, ñ9 H , et #ÿ* ù \ + >> . Soit  l’idéal de # , engendré par les .
W + Êtant
= que ù -espace vectoMontrer que pour chaque IÍ9›; , #  est de dimension finie en
riel. Montrez que cette dimension est le coefficient binomial
.
34.
Est-ce que l’anneau 7 est de Dedekind ?
35. Montrez que tout anneau principal est de Dedekind.
36. Soit ù un corps, et # une ù -algèbre de dimension finie en tant que ù -espace vectoriel.
ZÂ
(a) Montrer que le nombre d’idéaux maximaux de # est au plus \ . (Si
=
Â
des idéaux maximaux distincts, alors le morphisme # - #
surjectif, par le théorème Chinois.)
û
tÊ
(b) Montrer qu’il
existe
une suite de sous- # -modules # 2
è
\
–
è
¨
W
=
½
que les
avec ; Ä
€ soient simples, et qu’alors Ä
(c)
0= > > Â ?
Soient Â
0= >Z 2 Â ? sont
bbb # \ Â ? est
= bbbžtÊ s ;
tel
.
les idéaux maximaux
distincts de # . Montrer que tout # -module
\
L
Â
simple est isomorphe à l’un des #
.
=0
 L . Montrer que = bbb ; . Indication :
dans
l’intersection
des
= b bb L # Þ L
Z . Z \ ?
\
=
bbb # Â est un isomorphisme.
(e) Montrer que #›- #  Notez
que les résultats de cet exercice s’appliquent au sous- ù -algèbres commutatives des
ù , donc généralisent la décomposition en sous-espaces caractéristiques pour un en(d) Soient >>
montrer que domorphisme au cas d’endomorphismes commutant entre eux, et sans que les polynômes
caractéristiques soient scindés.
de úøü . Soit z la caractéristique
37. Soit ú \ une extension finie de 7 . Soit  un idéal maximal
J
Â
Â
de úøü
(rappelons que ce dernier est fini). Soit
l’ensemble des\ dans ú tels que
5Â Þ úßü . En appliquant l’exercice précédent à la ËQÖ -algèbre úøü z5úø= ü , montrer que
 J ` úßü . Indication : il suffit de voir qu’il existe un élément non nul de z Ê úø= ü \ úøü annulé
Ê \
par \ Â . La multiplication par z induit un isomorphisme de úøü -modules de z úøü úøü vers
úßü z5úßü . Ceci donne donc une démonstration plus directe que celle du cours du fait que
les idéaux maximaux de úßü sont inversibles dans le monoı̈de des idéaux fractionnaires.
r Å
$
38. Dans cet exercice
nous nous intéressons aux idéaux de l’anneau des entiers #y* @
Å
$ . Nous avons déjà vu que cet anneau n’est pas factoriel (“ se factorise
de ú * 7
59
|
@ Å
Å
@
$ H $ $ ). La première chose à étudier est
comme bëš , mais aussi comme H%
comment se factorisent les idéaux z# avec z dans s premier. Nous allons regarder en
détail d’où vient le problème avec les deux factorisations en irréductibles
de “ . En même
temps, nous anticipons la suite de ce cours : borne pour le groupe † # , et réciprocité
r quadratique. Notons » * › m , dans .
Z
\
(a) Soit z dans s premier.
Montrer que la Ë Ö -algèbre # z# est isomorphe
à ËÖ
ËQÖ ,
\
(
'
'
»
m suivant le cas où se décompose dans rËÖ \D en deux facteurs
à Ë Ö õ ou à ËÖ
» .
distincts, est irréductible, ou un carré. Indication : considérer |
(b) Montrer que le discriminant de » est $ ; . Conclure
que le dernier des trois cas de
|
et z .
l’exercice précédent se produit seulement pour z
(c) Calculer aussi le déterminant de la matrice donnant la forme trace de ú sur 7 , par
rapport à une
-base de # . Le résultat n’est pas une coı̈ncidence, et montre que ce
|
$
nombre
; est un invariant important de # , comme illustre l’exercice suivant.
|
(d) Soit z dans s premier, différent de et de . La réciprocité quadratique, que nous
montrerons plus tard, dit que la\@condition
“ $ est un carré dans ËÖ ” dépend unique|
M
ment de l’image
\@| ; de z M - dansOQH $ HFR ; . Même plus fort, il z existe
ÌH un morphisme $ de
groupes d*
tel que la condition “
” équivaut à “
est un carré dans Ë= Ö ”. Calculez ce , et vérifiez ce résultat
dans quelques cas
(i.e.,
@
\
|
$
prendre quelques
= z et z m avec même image dans ; , et vérifiez que est un
carré modulo z si et seulement s’il est un carré modulo z ).
m
\@| # , montrer qu’il existe un unique idéal
(e) En regardant
#
maximal Â
de # qui
|
}
|
K
|
m
Å
Â
ˆ
H
›
Â
$
contient . Montrer que
, et que #
mm .
m
 ! * š $ H¹
Å $ F
#
š
qui
contiennent
sont
(f) Montrer que
les
idéaux
maximaux
de
Å $ @ . Vérifiez que šF# ›Â !  ! .
et  ! š $ H $
(g) Donner la factorisation de l’idéal “F# en idéaux maximaux de # . Montrer que  ,
 ! et  ! ne sont pas principaux, mais que   ! et   ! le sont, ainsi que  m etm
m de “ . m
m
 !  ! . Ceci explique les différentes factorisations
(h) Calculer des -basesÓ de tous les idéaux maximaux de # qui contiennent un premier
z dans s avec z Ä H . Lesquels sont principaux ? Montrer que si deux d’entre eux ne
sont pas principaux, alors leur produit l’est, en calculant cas par cas. Comment cela
pourrait s’expliquer en termes du groupe † # ?
39. Soit Iƒ¸Î; un entier sans facteur carré, et
correspondant.
ú 7 Å $ I \
le corps quadratique imaginaire
{
(a) Calculer le volume de & úøü . Indication
: quelque soit I modulo , il est recommandé
\
Å
r
$ I , et de faire ensuite le nécessaire pour
de calculer d’abord le volume
\& úøü de &
obtenir le volume de
. (Bien sûr, on peut aussi calculer directement avec une
-base de úßü .)
(b) Calculer le discriminant GDV 1E2T úßü de ú (par définition, c’est le déterminant de la
matrice de la forme trace par rapport à n’importe quelle -base de úßü ). Indication :
60
comme dans la partie précédente : il est plus simple de faire d’abord le calcul pour
Å $ I .
= | Ê = que tout
=¬ non1nul
=¬ de úßü
(c) Avec la méthode que vous avez vue en cours,| montrer
idéal
Ê
£
² GDV 1E T úßü ² mȔ
contient un élément non nul tel que ² ²}Ä
m.
= tout élément
=¬ de
(d) Montrer
| Ê que
² GDV 1E T úßü ² m .
plus £
Å
† úøü est représenté par un idéal de
úßü
de norme au
ÓK
$ H ü . Montrer que # est principal. Indication : utiliser l’exercice
40. Notons # * 7
précédent pour trouver un entier tel qu’il suffit de montrer que les idéaux de norme au
plus sont principaux ; ensuite, calculer tous les idéaux de norme au plus .
¤`
M
41. Soit # un anneau intègre
tel que # a au plus deux éléments, et tel que tout idéal #
{
est d’indice au moins . Montrer que # n’est pas euclidien. Indication : supposer que
)+*# $ O ; R -<s soit une fonction euclidienne ; soit dans # \F non nul et non inversible tel
que )
soit minimal pour de tels éléments ; montrer que #
# consiste des classes de ; ,
H et $ H , car H et $ H sont les seuls inversibles de # ; contradiction.
Å
ÓK ü
n’est pas euclidien. Indication : montrer que pour tout idéal
F
\
² # ² ¸ñš ; utiliser l’exercice précédent.
Å
est directement
Pour ceux qui veulent : montrer que #j* 7 { $ H “@š ü est principal. Ceci
»
.
É
H
»
$
m
lié Ó au fait que{ le polynôme *
a la propriété que est premier pour
$ š Ä Ä ; . (On sait, depuis le début des années 70, que les seuls corps quadratiques
Å $ I avec I parmi 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67,
imaginaires ú avec úøü principal sont les 7
et 163. Voir par exemple le livre [Serre1].)
¨ Montrer que l’équation m › $
n’a pas de solution dans .
Soit ú une extension finie de 7 . Notons e* GDVXW
% ú
son degré et IÉ* GDV[E2T úøü son
$ H
42. Montrer
# que #x* 7 #
de différent de on a
43.
44.
45.
discriminant. Montrer que l’on a :
=
£š Ê ²I ² 9 š ® { ¯
£
Indication : utiliser la borne
dans le cours pour l’existence de “petits” représentants
donnée
pour les éléments de † úøü . Conclure que si ›¸ H , alors ² I ² 9 š . Donner un exemple
d’un ú avec ² I ² š . En existe-t-il d’autres ? (En fait, pour chaque entier ¿ , il n’existe
(à
isomorphisme près) qu’un nombre fini d’extensions finies ú de 7 avec ² GDV 1E T úøü ²QÄ ¿ ;
c’est le théorème d’Hermite ; voir [Samuel, IV, Thm. 3].)
46. Soit » dans unitaire, disons
=0 >2 de  degré
? . Notons
dans & , avec multiplicités Â
.
0= > > ?
les racines distinctes de
»
\D » sur & est non dégénérée si et seulement si
(a) Montrer
que la forme trace de & L
L
les sont des racines simples (c’est à dire, si  yH pour tout ).
(b) Supposons à partir de maintenant que les racines
de » sont
simples.
On rappelle que
L
2
è
L
K
è
»
»
$
le discriminant de est défini par : GDV[E2T
x
m Montrer qu’en effet
ce dernier produit ne dépend pas de la numérotation des racines.
61
r \D r \ » . Indication : GDV[E2T » est le détermi(c) Montrer que : GDV[E2T » GDV 1E2T
= de la forme trace de la & -algèbre & \ » , par rapport
nant
à la & -base
H de2>la matrice
Ê
; le théorème Chinois donne= un isomorphisme de & \ » vers & ;
Ê avec la base canonique.
comparer l’image de la base H >> 47. Soit ú un
corps\ de nombres,
# Þ / deux sous-anneaux d’indice fini de úßü . Montrer que
GDV 1E T # ² / # ² m GDV[E2T / . Indication : # et / sont des -modules libres de même rang
fini ; utiliser ce que vous avez appris.
r » ² 9§š
² jH .
?
!=¬ ˜ est l’anneau des entiers de 7 š =¬ ! .
! ,{ Ä Ä Ó .
48. Soit » dans unitaire, irréductible, et de degré au moins 2. Montrer que ² GDV 1E2 T
Pouvez-vous donner des exemples de » unitaires de=¬ degré 2, 3, etc. avec ² GDV 1E T »
49. Avec la méthode donnée en cours, montrer que
Donner des -bases des anneaux d’entiers des 7
50. Soit ú
51.
52.
un corps de nombres. Montrer que ú
`
Soit ^ ;
M
r š
n’est pas de type fini.
dans .
|
m $ m x^ | a des
solutions dans si et seulement si, pour
^ jH mod , | est un carré dans ËÖ .
| est un carré dans ËÖ ? (Pensez aux
(b) Pouvez vous conjecturer quels sont les z tel
que
F
|
Å
congruences modulo=¬ le discriminant de 7
.)
=¬ ! |
q
|
r
!
Admettons que #x*
soit l’anneau desZ entiers de 7
.
\@|
M
(a) Montrer que # est isomorphe à
.
(b) Trouver une unité fondamentale dans # .
(a) Montrer que l’équation tout premier z tel que 0Ö
(c) Quelle équation sait-on maintenant résoudre ?
53. Donner une= preuve du théorème des unités dans le cas où 8
veulent : 8 ; et 8 quelconque.
54. Soit z premier, zƒ¸
55.
56.
|m
.
= ;
et 8
m
| . Pour ceux qui
'
'
(a) Montrer que µ iH est scindé sur Ë |Ö õ . (Indication : les racines de µ iH dans un corps
ú de caractéristique différente de sont les éléments d’ordre á de ú M .)
\
\
'
(b) Soit une racine de µQ
“H dans Ë Ö õ . Montrer que , $ , H et $ H sont des racines
'
distinctes de µ ›H .
\ |
(c) Montrer que 
§H m .
ƒ
ÏH \ est dans ËÖ si et seulement si z p H mod á . (Indication :
(d) Montrer
que

›H \ ± ËÖ équivaut à 
›H \ Ö §
§H \ .)
= les symboles
Calculer
de Legendre
¨ = suivants, par exemple en utilisant la réciprocité quadra
!
tique :
m (m | , m(mm , m(m , m(m .
`
M
Soit z
en nombre premier, ú un corps, et ¡ Ö d’ordre z dans ú . Notons la somme
de Gauss :
® z ¯ ¡ ÖA A z ØÕ
É* ­‘
62
57.
58.
59.
60.
61.
Ê=
Montrer que m
Ö z . Vérifiez ce résultat à la main pour z š , , et Ñ . Ceci ¡ donne
donc une
démonstration très explicite du fait que le corps quadratique dans 7 Ö est
=
Ê
7 Ö z .
Soit ú un corps quadratique. Montrer que les conditions qu’un premier z soit décomposé,
inerte ou ramifié dans ú sont données par des congruences modulo GDV 1E T ú .
Calculer les premiers trois ou quatre approximations rationnelles de £ données par la fraction continue associée à £ .
\
Soient et  des entiers. Constatez que le développement en fraction continue de Â
reproduit ce que l’on trouve avec l’algorithme d’Euclide pour calculer le pgcd de et de  .
Soit un réel irrationnel tel que la fraction continue associée à devient périodique, dans
le sens du cours. Montrez que est quadratique sur 7 .
r Å H { , avec la méthode des fractions continues.
Calculer une unité fondamentale de
63
11
Examens, partiels, etc.
Exemple d’un partiel (printemps 2000).
Durée : 2 heures. Documents autorisés : aucun. Calculettes non autorisées. Les résultats du cours
et des feuilles de TD peuvent être utilisés. Justifiez vos réponses.
1.
(b)
(c)
2.
m | m $ H , avec ¸.; et ¸Õ;
m | m $ m , avec , et dans ,
Donner 5 solutions différentes de l’équation
avec ¸‚; , ¸ñ; , ¸ñ; , ¸ et BDC@E2G jH .
|m $ H
L’ensemble des solutions dans de m est-il fini ?
r Å $ Ñ de & . La fonction ¿À* #k- s , x¾- ² ² m est-elle
Soit # le sous-anneau
(a) Donner 5 solutions différentes de l’équation
dans 7 .
(a)
euclidienne ?
(b) Est-ce que l’anneau # est euclidien ?
(c) Est-ce que l’anneau /ä* r HZ
Å $ Ñ 1\@| H , et congru à H modulo { . Posons
I un Å entier
sans
facteurs
carrés,
différent
de
ú* 7 I .
(a) Donner une -base de l’anneau des entiers úßü de ú .
¬ (b) Donner la matrice, par rapport à votre base, de la forme trace : ¾- ' T1þ % 5 .
=
=
de dimension finie, ~ et ~ des enSoit ù un corps, _ = et _ des ù -espaces vectoriels
=
m
m
domorphismes de _ = , et _ , respectivement.
Si
et
sont
diagonalisables,
est-ce
que
~
~
, =
m
m
l’endomorphisme ~
~ m de _
_ m l’est ?
3. Soit
4.
est euclidien ?
64
Partiel du cours “théorie algébrique des nombres”, 17/03/2000.
Durée : 2 heures. Documents autorisés : aucun. Calculettes non autorisées. Les résultats du cours
et des feuilles de TD peuvent être utilisés. Justifiez vos réponses.
1.
2.
m= mm š .
=
(b) Existe-t-il un dans 7 tel que l’équation m e m e m! admet des solutions dans
m
‡ , mais pas dans 7 ?
=¬ !ì
=¬ ! |
q
|
r
Soit # le sous-anneau
du sous-corps
de & .
=¬ ! úk* 7
|
(a) Donner le polynôme minimal de
sur 7 .
(b) Donner une -base de # .
=¬ ! =
ß
?
`
D
\
|
H
$
bbb ² I
; \ tels
š
# est isomorphe, en tant
(c) Calculer 8®9Î; , €:
que #
\ I I = ² ÷
?
bbb÷ I
(a) Donner toutes les solutions dans 7 de l’équation que -module, à
(d) Calculer la forme trace de ú
.
sur 7 par rapport à votre base.
(e) Donner une majoration du cardinal du -module úøü
\#
.
'
3. Soit \Dz un nombre
ù Ö $ ' . premier, ù un corps de caractéristique z , et dans ù . Soit ú
la ù -algèbre
'
(a) Supposons que est une puissance z ème dans ù . Montrer alors que la forme trace de
ú sur ù est nulle.
J
'
(b) Supposons seulement que est une puissance z ème dans une extension ù de ù . Montrer alors que la forme trace de ú sur ù est nulle.
'
(c) Ne supposons plus rien sur . Montrer que la forme trace de ú
sur ù est nulle.
(d) Existe-t-il une extension finie de corps telle que sa forme trace soit nulle ?
65
Corrigé du partiel du 17/03/2000.
1.
=A =
\F
0\F
dans 7m soit une solution. Ecrivons et \{ (a) Supposons
que
m
m les
l
H
avec , et dans et BDC@E2G .
On
a
:
.
Mais
dans
m
m
š
m
\{ , ce qui contredit
seuls carrés
sont ; et H , donc m , m et m ont image zéro dans
5
6
4
6
2
jH .
BC@E2G
dans ‡ . Pour voir
(b) Oui, on peut prendre ÕÑ . Comme Ñ 9 ; , il y a des solutions
qu’il n’y
en
a pas dans 7 , il suffit
de voir qu’il n’y a pas de , , et I dans avec
5
6
4
6
…
y
H
BC@E2G \
I
m m ÀÑ IKm . Cela se voit en notant que les seuls carrés
et { m
dans á sont ; , H et .
2.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
=¬ !
|
|
|
!
$
Le polynôme
dans 7
annule
et est irréductible (Eisenstein avec z ,
=¬est
ou noter qu’il
de degré trois et n’a pas de racine dans 7 ) ; c’est donc le polynôme
|
!
minimal de
sur 7 =.¬
¬!
|
A
|
!
H
On peut prendre
m .
| =¬ ! #
On calcule la matrice de la multiplication par $ š sur par rapport à la base
que l’on a, et\F|¢on
fait des opérations élémentaires sur les lignes et les
colonnes,
ce
D
\
@
|
!
$
qui
donne =¬
. Une autre façon de faire dans ce cas : #
, donc
# \D $ š | ! # r \D ! $ |} $ š \D š ! $ |@ .
Calcul standard.
=¬ ! | ¬ !
0
|
º
m avec , et dans 7 . Alors ' T þ ¬ % ,
=
¬
¬
Soit ¬ dans
ø
ú
ü
.
Ecrivons
' Tþ % q| ! et ' T1þ ¬ % \ | m ! sont dans , ce qui donne š º± , “ ݱ et “ ± .
On en conclut que ² úøü # ²QÄ š}bk“b‰“ xH ;¢á . Notons que cette méthode est la même par
úøü
GDVXW@% ú laquelle nous avons montré que les
3.
'
Ö
sont des -modules libres de rang
\D Ö
Ö
\D[
J
J D\ Ö
.
Ö ù L $
ù . Alors ú ù $
(a) On a donc pour un \dans
,
Ö
ce qui est isomorphe à ù
. La trace de la multiplication par , avec ¸ÿ; ,
est nulle, car est nilpotent, donc ses valeurs propres sont nulles. La trace de la
multiplication par H est l’élément z de ù , qui est nul car ù est de caractéristique z .
'
$ sur
=
(b) Nous
vu en cours que
la matrice
de la forme trace de ú * ù Jù par avons
Ê
Ö
= la même de celle de la forme trace de ú
rapport à la base H > > Ê est
Ö
H
>
>
sur ù par rapport à la base
. Par la première partie, cette matrice est
nulle.
Ö
'
(c) Il suffit de remarquer que $
admet une racine dans une extension convenable de
ù (une clôture algébrique, ou un corps de décompositionL ou de rupture, par exemple).
=
Une autre
méthode
est
de calculer les matrices des b , ; Ä
€:z , par rapport à la
Ê
Ö
H
>
>
base
; cela donne en un seul coup les trois premières parties de cet
exercice.
(d) Oui, par exemple Ë
' -Ë ' \D m $ ' .
m
m
66
Quelques remarques sur la correction.
1. Le correcteur a été surpris par la longueur de certaines copies. Il conseille vivement de
faire une version brouillon avant de rédiger la version finale.
2. Le correcteur
à préciser que
{ { ; tient
;.
que
H"
ÀH \ { :
H \…{
š @\ | ÿ
, que
“ ¢\ HÆ
{K\@|¢ ÀH \F|¢ , et
3. C’est vrai qu’une -base de # est une 7 -base de ú , mais il n’est pas vrai que toute 7 -base
de ú est une -base de # .
4. Remarque importante : s’il s’agit de faire des opérations élémentaires sur les lignes et
û= lignes ou
les colonnes qui doivent être inversibles sur , il faut surtout pas multiplier des
ˆ
û
= = non inversible. Plus précisément : la matrice m n’est pas
des colonnes par un entier
ˆ
û
inversible sur , mais m l’est.
² úßü \ # ²KĎ² ú \ # ² ne semble pas très utile.
Si # Þ / est une inclusion de -modules, avec # et / isomorphes (par exemple, les deux
libre de même rang), on n’a pas nécessairement # / .
Une puissance z ème n’est pas la même chose qu’une puissance de z .
5. La majoration
6.
7.
8. Remarque importante : il existe des extensions finies de corps qui ne sont pas séparables.
9. Le barème appliqué pendant la correction est : 1 : 3+3, 2 : 2+1+2+1+2, 3 : 1+2+1+2. Ce
barème a été choisi avant la correction, en observant que les parties 1a, 2a, 2b, 2c, et 2d
donnent déjà 9 points, et n’a pas été modifié depuis.
10. La répartition des notes est comme suite :
;| H | š { {“ Ñ á {Ó H { ; @H { H H { | H š H { { H H “ 4H Ñ H á H Ó | ;
H ; ; ; ; ;
; ; H ; H
“ “
La moyenne des notes est 9,26.
67
Exemple d’un examen.
Durée : 3 heures. Documents autorisés : tous. Calculettes non autorisées. Les résultats du cours
et des feuilles de TD peuvent être utilisés. Justifiez vos réponses.
1. Soit ú un corps de nombres, et  un+ idéal maximal de son anneau des entiers úøü . Montrer
que la norme de  est de la forme z avec z un nombre premier, et I Ä GVXW
% ú un entier.
(Indication : utilisez ce que vous savez de úøü en tant que -module.)
2. Donner des exemples d’entiers I tels que l’anneau
D\ m $ I soit :
(a) non réduit ;
(b) intègre, mais non intégralement clos ;
(c) euclidien, et avec groupe multiplicatif infini ;
(d) euclidien, et avec groupe multiplicatif fini.
3. Notons # le sous-anneau
r Å H ; de ‡ .
(a) Combien d’idéaux de norme 2 y a-t-il dans # ?
(b) Combien d’idéaux de norme 3 y a-t-il dans # ?
(c) Combien d’idéaux de norme 6 y a-t-il dans # ? (Indication : les questions précédentes
peuvent être utiles.)
p|
} p š . Et avec ” p “ ?
(e) Calculer l’ordre du groupe de classes d’idéaux † # .
(f) Donner les quatre unités fondamentales de # .
(g) Donner trois solutions de l’équation m $ H ; m “ , avec et des entiers positifs.
\@| š Ó
\@|Ó@Ó
Est-ce que š@; est un carré dans
? Et dans
?
(d) Existe-t-il dans # avec ”
? Avec ”
(Indication : la réduction modulo 5 peut être utile.)
4.
68
Examen “théorie algébrique des nombres”, 22/05/2000.
Durée : 3 heures. Documents autorisés : tous. Calculettes non autorisées. Les résultats du cours
et des feuilles de TD peuvent être utilisés. Justifiez vos réponses.
2.
H
\@|< H ?
\D m $ I Donner des exemples d’entiers I tels que l’anneau 1. Est-ce que
est un carré dans
\@|{ Ñ
? Et dans
soit :
(a) réduit, mais non intègre ;
(b) de Dedekind, mais non principal.
3.
(a) Soit # le sous-anneau
euclidienne ?
(b) Soit / le sous-anneau
euclidienne ?
(c) Est-ce que l’anneau /
4.
r Å $ | de
r Å $ š de
(b) Existe-t-il un corps de nombres ú
dans úøü ?
(a) Donner une
. La fonction
¾¿À* #k- s , x
² ²m
est-elle
. La fonction
¾¿À* #- s , x
² ²m
est-elle
&
est euclidien ?
(a) Existe-t-il un corps de nombres
soit un cube dans úøü ?
5. Notons # l’anneau
&
ú
de degré au moins
|
š
tel que tout élément de
de degré tel que tout élément de ú
ü
M
ú üM
soit un cube
\D ¨ $ H .
-base de # .
(b) Calculer la matrice de la forme trace de # sur , et son déterminant, qui est donc le
discriminant de # .
r \D %$ H .
=
D
\
Ê
Ö
b bb ‹
›H .
Pour z premier, calculer le discriminant de l’anneau
(c) Pour dans s , calculer le discriminant de l’anneau
(d)
69
Corrigé de l’examen du 22/05/2000.
|…{
|¢
|{
Ó
1. Tout
d’abord, on décompose Ñ et H en facteurs premiers. Cela donne : ÑÍ H šb H ,
¢
|
H
et
est premier car non divisible par tout premier € H “ .
H est un carré dans \@|{ Ñ si et seulement si H est un carré
Par le théorème
Chinois,
\ H š et dans \ H Ó . Comme H est égal à | dans \ H š , et que H š n’est pas p H
dans
modulo\@|á {, on sait que H n’est pas un carré modulo H š . Conclusion : H n’est pas un carré
Ñ .
dans
\@|¢ H =
=
Pour voir si H est un carré dans
, on¨ considère
le¨ symbole
En utilisant
Ê de= Legendre.
2
!
=
=
=
yH@
$
¨
¨
¨
¨
la réciprocité quadratique, on voit que :
!
2. Pour la première partie on peut prendre I
3.
m
m
m
jH , et pour la deuxième I $ .
(a) Oui, le calcul standard le montre.
(b) Non, car dans (c) on montre que l’anneau en question n’est pas euclidien.
HU
Å $ š [\@| ).
M
Le théorème des unités de Dirichlet implique que le groupe ú ü se surjecte sur .
Dans , la multiplication par š n’est pas surjective, donc l’élévation à la puissance š
M
dans ú ü ne l’est pas non plus.
.
Oui, par exemple : 7
(c) Non, car il n’est pas intégralement clos (sa clôture intégrale est
4.
(a)
(b)
5.
(b)
(c)
(d)
H m ! µ
.
L
Pour dans , la multiplication par de # vers # agit sur notre base par un 5-cycle
est multiple de 5. Donc la trace de
si L n’est pas multiple
de
5,
et
par
l’indentité
si
b est zéro si º` ² et est 5 si ² . La matrice de la forme trace par rapport à notre base
est donc :
CDD GIHH
;
;
;
;
DD
H
; ; ; ; H
; ; ;
;
E ; ; ; ; J
;
; ; ;
¨
On calcule que le déterminant de cette matrice est $
.
= Ê argument
¬
En reprenant
que dans la partie précédente, on voit que ce discri $ leH même
Ê
minant est
Ù ÜwÙ m Ü m0 .
Ceci est plus compliqué. Nous
exercices de TD que pour » dans
1 GDvuV 1E2dans
T » .les
unitaire, on a GDV[E2T r \D » avons
Donc :
Ê = ÜuÙ Ö Ê m Ü ¬ m Ö Ö
Ö
H
H
$
$
Ù
GV1E T
z
(a) On peut prendre
70
Ö
Ecrivons $ H‹ $ H . La définition
du discriminant
en termes de différences
?
Ö
H
H
$
$
GDV 1E2T x
8 m , où 8 parcourt l’ende racines donne que GDV 1E T
Ȥ x ? = $ 8  dans & , on a
semble
de
racines
de
(dans
,
disons).
Comme
&
x ? H $ 8 H z . On trouve donc : GDV 1E2T $ H Ù Ö Ê ÜuÙ Ö Ê m Ü m z Ö Ê m . Ici, nous
n’avons pas utilisé que z soit premier ; la formule est vraie pour z“9 H .
La répartition des notes est comme suite :
;| H | š {| { “| Ñ| á Ó| H ; @H { H H | | H š H { H H | “ 4H | Ñ H á H Ó | ;
Ñ
; š š
š
š H
; ; ;
Ó
La moyenne de ces notes est environ á .
71
Examen “théorie algébrique des nombres”, 11/09/2000.
Durée : 3 heures. Documents autorisés : tous. Calculettes non autorisées. Les résultats du cours
et des feuilles de TD peuvent être utilisés. Justifiez vos réponses.
yH @; ;F; Ñ soit premier. Est-ce que š est un carré modulo z ?
b H šb H4Ñ b |FÓ . Combien de couples 0 dans existe-t-il tel que m m ?
Notons m
r Å H de ‡ . C’est l’anneau des entiers de 7 Å H F .
Notons # le sous-anneau
(a) Combien d’idéaux de norme 2 y a-t-il dans # ?
(b) Combien d’idéaux de norme 3 y a-t-il dans # ?
(c) Combien d’idéaux de norme 6 y a-t-il dans # ? (Indication : les questions précédentes
peuvent être utiles.)
² ” ² |
² ” } ² š
² ” ² “
#
1. Admettons que z
2.
3.
(d) Existe-t-il dans
avec
? Avec
(Indication : la réduction modulo 5 peut être utile.)
# (e) Calculer l’ordre du groupe de classes d’idéaux †
. Et avec
.
(f) Donner un exemple d’une factorisation en irréductibles dans
à des unités près.
(g) Donner les quatre unités fondamentales de # .
(h) Donner trois solutions de l’équation m $ Hm $ “
#
?
qui n’est pas unique
, avec et des entiers positifs.
|
4. Soit z un nombre premier, i9
un entier, et ËÖø- Ë une extension de corps de degré .
On sait qu’une telleŸ extension est unique à isomorphisme près, car c’est un corps de
Ö $ .
décomposition de (a) Quel est le cardinal de Ë ?
(b) Quelle est la dimension de la ËÖ -algèbre Ë
(c) Soit í le groupe d’automorphismes de la
clique ?
(d) Est-ce que Ë
,
Ø
Ë
est un corps ?
(e) Quel est le cardinal de í ?
72
,
ËÖ
Ø
Ë
?
-algèbre
Ë
,
Ø
Ë
. Est-ce que
í
est cy-
Corrigé de l’examen du 11/09/2000.
1. Comme z est premier, on peut appliquer la réciprocité quadratique. On calcule :
2.
| {
Ñ
š
® H ;@;@; Ñ ¯ ® H @; ;F; Ñ ¯ ® H ;@;@; Ñ ¯ ® ¯ b $ H b® Ñ ¯ jHF
Donc š est un carré modulo z .
¢
¢ ¢
F
|
Ó
r
—
H
4
H
Ñ
Pour z parmi , š ,
et , prenons Ö premier
¢ dans rtel
que z
¢ Ö ¢ Ö (noter que z
— avec
est 1 modulo 4). La question est combien de on
a
dans
. En regardant
¢
|
{
{
r
—
µ
¢ dans¢
“ de tels (pour chaque z il faut
la factorisation
de , on voit qu’il y a
choisir entre Ö et Ö , et tout produit ainsi obtenu peut encore être multiplié par H , , $ H
ou $ ).
3. Comme dans “l’exemple d’un examen” à la page 68.
4.
(a) Comme Ë est isomorphe à Ë
Ö
²Ë ² z en tant que ËÖ -espace vectoriel,
.
(b) La dimension du produit tensoriel de , deux espaces vectoriels est le produit des deux
dimensions. Donc la dimension de Ë
Ë est ¨m .
Ø
Ö
(c) Notons $ l’endomorphisme de Frobenius
de Ë , donc $ , j pour
, tout dans Ë .
|
V]G et V]G $ dans í , qui
Alors $ n’est pas l’identité car 9
. Mais alors on a $
sont tous les deux d’ordre , mais qui ne sont pas puissances l’un de l’autre. Cela
implique que í n’est pas cyclique.
(d) Non, car si c’était un corps, son groupe d’automorphismes serait
, cyclique, donc aussi
son sous-groupe í . Il y a bien d’autres
de voir que Ë
pas un corps
Ø Ë n’est
Ö Ÿ $ f façons
(trop de
racines
du
polynôme
,
par
exemple,
ou
le
résultat
du
cours
qui dit
f
,
que Ë
Ë est isomorphe, en tant que Ë -algèbre, à Ë .
Ø
(e) Utilisant que Ë
,
Ø Ë
est isomorphe, en tant qu’anneau, à Ë
La répartition des notes est comme suite :
, on voit que
² í ² b낽 .
; H | š { “ Ñ á Ó H | ; @H H H | H š H { H H “ 4H Ñ H á H Ó | ;
H H ; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; H ; ; š H ;
73
Partiel du cours “théorie algébrique des nombres”, 26/03/2001.
Durée : 2 heures. Documents autorisés : tous. Calculettes autorisées. Les résultats du cours et des
feuilles de TD peuvent être utilisés. Justifiez vos réponses. Les exercices avec un astérisque sont
probablement plus difficiles. Bonne chance !
Rappel : un élément
d’un anneau # est dit premier si l’idéal qu’il engendre est premier.
|FÓ , š H et š „Ñ de r— .
r \D » . Notons ~ la classe de dans # .
r !
Posons » * § 
›H dans , et #Î* (a) Donner une -base de # , calculer la matrice de la forme trace par rapport à cette base,
et le discriminant de # .
(b) Calculer la matrice de la multiplication
sur # par ~ m \D
~ $ H par rapport à votre base,
=
et\ calculer
positifs I ² I ² I ! tels que #
~ m ~ $ H # soit isomorphe à
=I ÷ les
\ I entiers
\
m
m
÷ $ H I ! en tant que -module.
(c)* L’élément ~5m
~
de # est-il premier ?
(d)* Est-ce que # est intégralement clos ?
Å $ “ et #j* r Å $ “ son anneau des entiers.
Soit ú* 7
|
(a) Donner des générateurs pour les idéaux maximaux de # contenant .
(b) Donner des générateurs pour les idéaux maximaux de # contenant š .
Å $ “ .
(c) Donner la factorisation en idéaux maximaux de l’idéal
(d) Donner un exemple d’un élément irréductible non premier dans # .
(e) Donner
un exemple d’un élément de # et de deux factorisations non équivalentes
1. Factoriser en irréductibles les éléments
2.
3.
de ce
en irréductibles.
74
Corrigé du partiel du 11/04/2001.
|Ó
{Q
|Ó
jH et est premier dans , la théorie dit que se factorise en deux facteurs
1. Comme
r , et, en effet, on a |FÓ m | m | 2 $ | . Comme š H est
premiers dans
{
r— . La norme
premier dans et $ | H |FÓ modulo , | š H est premier
(et donc irréductible) dans
á 2 - b | . Comme $ Hç
m , š ÐÑ est divisible par Hç
, et on trouve
de š ÐÑ est
.
š „Ñ Hd
2. (a) Comme -base on peut prendre H ~ ~5m . En écrivant les matrices
de la multiplication
|
par ~ et ~5m par rapport à cette base on trouve que ' T ~ ; et ' T ~¹m $ . En
!
! $ š et ' T ~ µ | .
utilisant que ~ $ ~ $ H et ~ µ $ ~ m $ ~ , on obtient : ' T ~
Le déterminant de la matrice de la forme trace est $ š H .
(b) Le calcul de = la matrice est directe, et les opérations
élémentaires
sur lignes\ et colonnes
D
\
\š
j
H
H
$
!
m
donnent : I
,I
I
š
. Donc #
~
~
#
est isomorphe à š ÷
m
en tant que -module.
\D ~5m ~ $ H #
š annule
#
(par la partie précédente), on sait que š est dans
H
$
~m ~
# . Donc :
# \D ~ m ~ $ H # # \D š ~ m ~ $ H Ë ! \ m º $ H » Ë ! \D m É $ H 0
2
la dernière égalité résultant du fait que »É\ $ H m i $ H dans Ë ! Ó . Comme
m i $ H est irréductible dans Ë ! , # ~5m ~ $ H # est un corps (à éléments),
et ~5m ~ $ H est donc premier dans # .
(d)* Comme pour aucun premier z on a z m ² GDV 1E2T # , # est intégralement clos par un
(c)* Comme
théorème du cours.
3.
\@|
r \D|}
\D m “ Ë m . Par la correspondance des idéaux d’un
# (a) On a #
|
m
anneau et d’un quotient, le seul idéal maximal de # contenant est Â
* q|} Å $ “ .
m
r \D š m “ Ë ! \D m . Le seul idéal maximal de
# contenant
! * š Å $ “ .
| Å $ “ š Å $ “ $ “ Å $ “ .
On calcule :   ! “
m Å | , š ou a
pas
d’élément
de
norme
Comme ” À $ “ ¨m “  m , il n’y
ö yOQH $ HFR . Comme ” Å $ “ “ | bëš , Å $ “ est irréductible. Par la
dans # , et #
\
(b) On a # šF#
š est donc Â
(c)
(d)
partie précédente, il n’est par premier.
|
Å
(e) On a bëš “ $ H b $ “ m . Les 4 facteurs sont bien irréductibles, et les deux factorisations non équivalentes.
Quelques remarques sur la correction.
\D ~ $ H #
~5m
1. Dans le 2(c), on veut connaı̂tre la structure d’anneau de #
se réaliser que 2(b) ne donne que la structure de -module.
75
, mais il faut bien
2. Quand on demande des exemples, donner le plus simple possible. C’est plus agréable pour
Å
le correcteur. Exemple : dans le 3(d), on peut prendre $ “ , et dans 3(e), deux factorisations de 6.
3. En faisant des opérations sur lignes et colonnes d’une matrice, n’écrivez pas de signes
“=”entre les matrices, car elles ne sont pas égales. La prochaine fois cela coûtera des
points !
4. Dans un anneau quelconque, un élément premier non nul est irréductible ; c’est dans l’autre
sens qu’il faut utiliser que l’anneau en question est factoriel.
5. Pour des erreurs énormes (résultat non entier quand il doit être entier, ou argument qui
marche dans des cas où l’on sait que la conclusion est fausse) j’ai attribué quelques points
négatifs (des $ H ).
6. Le barème appliqué pendant la correction est : 1 : 4, 2 : 2+2+2+2, 3 : 1+1+2+2+2. Ce
barème avait été choisi avant la correction, et n’a pas été modifié depuis.
7. La répartition des notes est comme suite :
; H | š { “ Ñ á Ó| H ; @H H H | H | š H { { H H { “ 4H | Ñ H á H Ó | ;
H ; ; H š ; H H
H
š H H;
; ; ;
La moyenne des notes est H ; á .
76
Examen “théorie algébrique des nombres”, 21/05/2001.
Durée : 3 heures. Documents autorisés : tous. Calculettes autorisées. Les résultats du cours
peuvent être utilisés sans démonstration. Justifiez vos réponses. Bonne chance !
1. Factoriser en irréductibles Ñ ,
2.
3.
{ $ ½
et
|FÓ
dans
r ½@
(avec
½ $ Hd
Å š 1\F|
).
Å FH H ü .
(b) Donner deux solutions dans de l’équation m $ @H H2 m jH avec ¸„; et ¸ H .
\
Å
(c) Calculer à la main les quatre premières approximations z à de H@H données par
développement en fraction continue.
Å
Kû=A ! 2> , en indiquant la
(d) Écrire la fraction continue de HF H Wsous la forme
m
périodicité ( ¸‚; et ¿ tels que si ™9§¿ ).
r \ ! $ @ , et notons ~ la classe de dans # . Notons ú le corps des
Soit # l’anneau fractions de # .
(a) Calculer le discriminant de # .
(b) Donner des générateurs pour les idéaux maximaux de # contenant š .
(c) Donner des générateurs pour les idéaux maximaux de # contenant .
: pour traiter les idéaux maximaux contenant š ,
(d) Montrer que # úßü . (Indication
|
faites la substitution º›
.)
(e) Montrer que tout élément du groupe de classes d’idéaux † # est représenté par un
idéal de norme au plus Ñ .
(f) Donner une majoration de ² † # ² .
! F ! |¢F ! $ H FQA jH a des solutions dans , autres que
(g) Est-ce
H ; ; que
? l’équation
(a) Calculer une unité fondamentale de 7
4. Soit ú
le corps 7
Å H š .
(a) Montrer que la condition qu’un nombre premier z soit décomposé dans ú
que de la classe de z modulo H š .
(b) Donner la liste des éléments
de
\H
posé dans ú d’image dans
š
\Hš
.
La répartition des notes était comme suite :
ne dépend
tel qu’il existe un nombre premier z décom-
; H | š { “ Ñ á Ó H ; H@H H | H š H { H | H “ 4H Ñ H á H Ó | ;
@H H
Ñ “
š H H H ; H H H H H
; ; ; ; ;
La moyenne des notes est H ; H .
77
Examen “théorie algébrique des nombres”, 13/09/2001.
Durée : 3 heures. Documents autorisés : tous. Calculettes autorisées. Les résultats du cours
peuvent être utilisés sans démonstration. Justifiez vos réponses. Bonne chance !
1. On admet que z yH ;@;Fš
est un carré modulo z ?
2.
Ó
est premier. Est-ce que š
Ó
est un carré modulo z ? Est-ce que š
r Å H .
Donner trois solutions dans de l’équation m $ H m jH avec ¸ñ; et ¸ñ; .
Y a-t-il des solutions dans de l’équation m $ H m $ H ?
Y a-t-il des solutions dans 7 de l’équation m $ H m $ H ?
Å Kû=0 ! >> ,
forme
Calculer de façon exacte la fraction continue de H W sous la
si ™9§¿ ). m
en indiquant la périodicité ( ¸„; et ¿ tels que Å {
\
H
Calculez, pour Ä Ä
, les approximations z à de H obtenues par le dé-
(a) Calculer une unité fondamentale de
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
veloppement en fraction continue (l’utilisation d’homographies est conseillée).
r \D µ $ $ H , et notons ~
3. Soit # l’anneau intègre
corps des fractions de # .
la classe de dans # . Notons ú
le
(a) Calculer le discriminant de # et vérifiez que, à un signe près, il est premier.
(b) Montrer que #
úßü
\D µ $ $ H soit isomorphe
‡
m
# est représenté par un
Montrer que tout élément
du
groupe
des
classes
d’idéaux
†
|
idéal de norme au plus .
?V Z les
? entiers 8
(c) Calculez
& õ.
à ‡
(d)
.
=
et 8
tels que la ‡ -algèbre
(e) Montrer que # est principal.
(f) Vérifiez
que $ š divise µ $ $ H dans Ë . Est-ce qu’il existe dans # tel que
}
² ¿ ² jÑ , où ¿À*5ú- 7 est
? Et si oui, y en a-t-il une infinité, et est-ce
} lanorme
Ñ ?
qu’il y a un dans # avec ¿
=0 2> z ?
4. Soient 8‹9 H entier,
et z
# l’anneau \ z = bbbz ? .
|
des nombres premiers distincts et différents de . Notons
(a) Combien de y a-t-il dans # tel que ?
(b)
?
(c)
m xH
Combien de y a-t-il dans # tel que m ñ
J
\ zDm= bbbzD?m .
Mêmes questions pour # * Les notes étaient : 5, 8, 11 et 12.
78
Références
[Cohen]
H. Cohen. A course in computational algebraic number theory. Graduate Texts in
Mathematics, 138. Springer-Verlag, Berlin, 1993.
[CSS]
Modular Forms and Fermat’s Last Theorem. G. Cornell, J. Silverman and Glenn
Stevens, editors. Springer-Verlag, 1997.
[HW]
G.H. Hardy and E.M. Wright. An introduction to the theory of numbers. Fifth
edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979.
[Hua]
L.K. Hua. Introduction to number theory. Springer-Verlag, Berlin–New York, 1982.
[I-R]
K. Ireland and M. Rosen. A classical introduction to modern number theory. 2nd
edition. Graduate Texts in Mathematics 84, 1990.
[KKS]
K. Kato, N. Kurokawa, T. Saito. Number Theory I, Fermat’s dream. Translations
of Mathematical Monographs. AMS, 2000.
[Samuel]
P. Samuel. Théorie algébrique des nombres. Hermann, Paris, deuxième édition,
1971.
[Serre1]
J-P. Serre. Lectures on the Mordell-Weil theorem. Apects of Mathematics, E15,
Vieweg, 1990 (2nd edition).
[Serre2]
J-P. Serre. Cours d’arithmétique. Deuxième édition revue et corrigée. Le mathématicien, No. 2. Presses Universitaires de France, Paris, 1977.
[Serre3]
J-P. Serre. Corps Locaux. Troisième édition. Publications de l’université de Nancago, No. VIII, Hermann, Paris, 1968.
[Swin]
H.P.F. Swinnerton-Dyer. A Brief guide to algebraic number theory. London Mathematical Society Student Texts, 50. Cambridge University Press, Cambridge, 2001.
79