Agrégation Externe Séries formelles Ce probl`eme est en relation

Agr´egation Externe
S´eries formelles
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Ce probl`eme est en relation avec les le¸cons d’oral suivantes :
– 124 Anneau des s´erie formelles. Applications
– 190 M´ethodes combinatoires, probl`emes de d´enombrement.
On pourra consulter les ouvrages suivants.
–J. Calais. ´ El´ements de th´eorie des anneaux. Ellipses (2006).
–H. Cartan. Th´eorie ´el´ementaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables com-
plexes. Hermann (1961).
–S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas. Oraux X-ENS. Alg`ebre 2. Cassini (2009).
–D. Perrin. Cours d’alg`ebre. Ellipses (1996).
–R. P. Stanley. Enumerative combinatorics. Vol. 1. Cambridge University Press. (2012)
–P. Tauvel. Math´ematiques g´en´erales pour l’agr´egation. Masson (1993).
–H. Wilf. Generatingfunctionology. S. R. C. Press. (2005).
1. Le 25/11/2014
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A[resp. K] d´esigne un anneau commutatif unitaire [resp. un corps commutatif].
Une s´erie formelle `a coefficients dans Aest une suite (an)n∈Nd’´el´ements de A.
On note S(X) = 
n∈N
anXn(ou S=
n∈N
anXn) une telle s´erie formelle et A[[X]] l’ensemble de ces
s´eries formelles.
On dit que la s´erie formelle 
n∈N
anXnest la s´erie g´en´eratrice de la suite (an)n∈N.
On d´efinit une addition, une multiplication externe et une multiplication interne sur A[[X]] par :
n∈N
anXn+
n∈N
bnXn=
n∈N
(an+bn)Xn
λ
n∈N
anXn=
n∈N
λanXn
n∈N
anXn
n∈N
bnXn=
n∈N
cnXn
o`u :
∀n∈N, cn=
n
k=0
akbn−k
A[[X]] est une A-alg`ebre commutative qui contient A[X] et Acomme sous-anneaux.
La valuation d’une s´erie formelle S(X) = 
n∈N
anXnest d´efinie par :
val (S) = +∞si S= 0
min {n∈N|an̸= 0}si S̸= 0
La d´eriv´ee de la s´erie formelle S=
n∈N
anXnest la s´erie formelle :
D(S) = 
n∈N
(n+ 1) an+1Xn
On note aussi S′pour D(S).
On peut it´erer cet op´erateur de d´erivation, ce qui donne, pour tout entier p≥1,l’op´erateur Dp
d´efini par :
Dp
n∈N
anXn=
n∈N
(n+p)···(n+ 1) an+pXn
– I – G´en´eralit´es sur l’anneau K[[X]] des s´eries formelles `a coefficients dans K
1. Montrer que les assertions suivantes sont ´equivalentes :
(a) l’anneau A[[X]] est int`egre ;
(b) l’anneau Aest int`egre ;
(c) pour toutes s´eries formelles S, T dans A[[X]] ,on a :
val (ST ) = val (S) + val (T)
En particulier K[[X]] est int`egre.
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2. Soient S=
n∈N
anXnet T=
n∈N
bnXndeux s´eries formelles avec val (T) = 0 (soit b0̸= 0).
Montrer que, pour tout entier naturel n, il existe un unique couple (Qn, Rn)∈Kn[X]×K[[X]]
tel que S=T Qn+Xn+1Rn.
Dans le cas o`u Set Tsont des polynˆomes, avec T(0) ̸= 0,on retrouve le th´eor`eme de division
suivant les puissances croissantes dans K[X].
3. Montrer qu’une s´erie formelle est inversible si, et seulement si, val (S) = 0.
Pour S∈K[[X]] inversible, on note S−1ou 1
Sl’inverse de S.
4. Montrer que, pour tout scalaire λ∈K\{0},la s´erie formelle 1 −λX est inversible d’inverse :
1
1−λX =
n∈N
λnXn
5. Montrer que, pour tous scalaires λ̸=µdans K\ {0},la s´erie formelle (1 −λX) (1 −µX) est
inversible d’inverse :et :
1
(1 −λX) (1 −µX)=1 λ−µλ 1−λX −µ 1−µX 
6. Montrer que, pour tout entier p≥1,la s´erie formelle (1 −X)pest inversible d’inverse :
1
(1 −X)p=
n∈Nn+p−1
p−1Xn
7. On suppose que le corps Kest de caract´eristique nulle.
Soient S, T deux s´eries formelles dans K[[X]] ,la s´erie T´etant inversible.
(a) Montrer que S′= 0 si, et seulement si, S∈K.
(b) Montrer que (ST )′=S′T+ST ′et S
T′
=S′T−ST ′
T2.
(c) En supposant S´egalement inversible, montrer que S′
S=T′ Tsi, et seulement si, il existe
un scalaire λ∈Ktel que S=λT.
8. Montrer que, pour tout entier p≥1,la d´eriv´ee p-`eme de 1 −Xest :
Dp1
1−X=p!1
(1 −X)p+1
9. Montrer que les id´eaux non r´eduit `a {0}de K[[X]] sont de la forme :
(Xn) = {S∈K[[X]] |val (S)≥n}
Donc l’anneau K[[X]] est principal.
10. Quels sont les ´el´ements irr´eductibles de K[[X]] ? ´ Ecrire la d´ecomposition en facteurs irr´eductibles
d’une s´erie enti`ere non nulle et non inversible.
11. Montrer que l’anneau K[[X]] est euclidien (donc principal) pour le stathme :
val : S∈K[[X]] \ {0} 7→ val (S)
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– II – S´eries formelles et d´enombrement
1. Pour n≥1,on appelle d´erangement de In={1,2,··· , n}toute permutation σde Inn’ayant
aucun point fixe.
On note δnle nombre de d´erangements de Inen convenant que δ0= 1.
(a) Montrer que :
∀n∈N, n! =
n
k=0 n
kδk
(b) On d´esigne par S=
n∈N
δn
n!Xnla s´erie g´en´eratrice de la suite δn n!n∈N
(δn
n!est la proportion
de d´erangements dans Sn).
Montrer que S(X)eX=1
1−Xet en d´eduire que :
∀n∈N, δn=n!
n
k=0
(−1)k
k!
2. Pour tout entier n≥2,on d´esigne par unle nombre de permutations de l’ensemble In=
{1,··· , n}d’ordre au plus ´egal `a 2 (les involutions de In).
On note aussi u0=u1= 1
(a) Montrer que, pour 2 ≤r≤n, dans Snil y a n
r(r−1)! = n! r(n−r)! cycles d’ordre r
distincts.
(b) Calculer u2, u3et u4.
(c) Montrer que :
∀n≥2, un=un−1+ (n−1) un−2
(d) On d´esigne par S=
n∈N
un
n!Xnla s´erie g´en´eratrice de la suite un n!n∈N
(un
n!est la proportion
d’involutions dans Sn).
Montrer que S′= (1 + X)Set en d´eduire que S=eXeX2
2,puis que :
∀n∈N, un=
p+2q=n
n!
2qp!q!
(e) D´eterminer le nombre vnd’involutions de Insans point fixe, en convenant que v0= 1 et
en remarquant que v1= 0.
(f) D´eterminer le nombre wnd’involutions de Inayant un unique point fixe, en convenant
que w0= 0 et en remarquant que w1= 1.
3. Pour tout couple (p, n) d’entiers naturels non nuls, on d´esigne par up,n le nombre d’applications
surjectives de l’ensemble Ip={1,··· , p}sur l’ensemble In={1,···, n},en convenant que
up,0= 0 pour tout entier naturel non nul p.
(a) Montrer que :
∀p≥n≥1, np=
n
k=0 n
kup,k
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(b) Pour p≥1 fix´e, on d´esigne par Sp=
n∈N
up,n
n!Xnla s´erie g´en´eratrice de la suite up,n n!n∈N
.
Montrer que Sp(X)eX=
n∈N
np
n!Xnet en d´eduire que :
∀p≥n≥1, up,n =
n
k=0 n
k(−1)n−kkp
– III – Fractions rationnelles et s´eries formelles `a coefficients dans K
1. Soit :
Q(X) = 1 + α1X+··· +αrXr=
p
k=1
(1 −γkX)mk
un polynˆome de degr´e r≥1 dans K[X] (donc αr̸= 0) suppos´e scind´e de racines non nulles
1
γk1≤k≤r
deux `a deux distinctes de multiplicit´es respectives (mk)1≤k≤r.
Montrer que, pour toute suite (un)n∈Nd’´el´ements de K,les assertions suivantes sont ´equivalentes :
(a) il existe un polynˆome P∈K[X] de degr´e au plus ´egal `a r−1 tel que :
n∈N
unXn=P(X)
Q(X)
dans K[[X]] ;
(b) pour tout n∈N,on a :
un+r+α1un+r−1+··· +αrun= 0
(le polynˆome Qest le polynˆome caract´eristique de cette relation de r´ecurrence) ;
(c) pour tout n∈N,on a :
un=
p
k=1
Pk(n)γn
k
o`u, pour tout kcompris entre 1 et p, Pkest un polynˆome de degr´e au plus ´egal `a mk−1.
2. Soient run entier naturel non nul et (un)n∈Nune suite d’´el´ements de K.Montrer que les
assertions suivantes sont ´equivalentes :
(a) il existe un polynˆome P∈K[X] de degr´e au plus ´egal `a r−1 tel que :
n∈N
unXn=P(X)
(1 −X)r
dans K[[X]] ;
(b) pour tout n∈N,on a :
r
k=0
(−1)r−kr
kun+k= 0
(c) il existe un polynˆome R∈K[X] de degr´e au plus ´egal `a r−1 tel que un=R(n) pour
tout n∈N.
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