Agrégation Externe Séries formelles Ce probl`eme est en relation

Agrégation Externe
Séries formelles
1
Ce problème est en relation avec les leçons d’oral suivantes :
– 124 Anneau des série formelles. Applications
– 190 Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
On pourra consulter les ouvrages suivants.
– J. Calais. Éléments de théorie des anneaux. Ellipses (2006).
– H. Cartan. Théorie élémentaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables complexes. Hermann (1961).
– S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas. Oraux X-ENS. Algèbre 2. Cassini (2009).
– D. Perrin. Cours d’algèbre. Ellipses (1996).
– R. P. Stanley. Enumerative combinatorics. Vol. 1. Cambridge University Press. (2012)
– P. Tauvel. Mathématiques générales pour l’agrégation. Masson (1993).
– H. Wilf. Generatingfunctionology. S. R. C. Press. (2005).
1. Le 25/11/2014
1
A [resp. K] désigne un anneau commutatif unitaire [resp. un corps commutatif].
Une série formelle ∑
à coefficients dans∑
A est une suite (an )n∈N d’éléments de A.
n
On note S (X) =
an X (ou S =
an X n ) une telle série formelle et A [[X]] l’ensemble de ces
n∈N
n∈N
séries formelles.
∑
On dit que la série formelle
an X n est la série génératrice de la suite (an )n∈N .
n∈N
On définit une addition, une multiplication externe et une multiplication interne sur A [[X]] par :
∑
∑
∑
an X n +
bn X n =
(an + bn ) X n
n∈N
n∈N
λ
(
∑
n∈N
an X n =
n∈N
∑
)(
an X n
n∈N
∑
n∈N
∑
λan X n
)
bn X n
n∈N
=
∑
cn X n
n∈N
où :
∀n ∈ N, cn =
n
∑
ak bn−k
k=0
A [[X]] est une A-algèbre commutative qui ∑
contient A [X] et A comme sous-anneaux.
an X n est définie par :
La valuation d’une série formelle S (X) =
n∈N
{
+∞ si S = 0
min {n ∈ N | an ̸= 0} si S ̸= 0
∑
La dérivée de la série formelle S =
an X n est la série formelle :
val (S) =
n∈N
D (S) =
∑
(n + 1) an+1 X n
n∈N
On note aussi S ′ pour D (S) .
On peut itérer cet opérateur de dérivation, ce qui donne, pour tout entier p ≥ 1, l’opérateur Dp
défini par :
(
)
∑
∑
Dp
an X n =
(n + p) · · · (n + 1) an+p X n
n∈N
n∈N
– I – Généralités sur l’anneau K [[X]] des séries formelles à coefficients dans K
1. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(a) l’anneau A [[X]] est intègre ;
(b) l’anneau A est intègre ;
(c) pour toutes séries formelles S, T dans A [[X]] , on a :
val (ST ) = val (S) + val (T )
En particulier K [[X]] est intègre.
2
2. Soient S =
∑
n∈N
an X n et T =
∑
bn X n deux séries formelles avec val (T ) = 0 (soit b0 ̸= 0).
n∈N
Montrer que, pour tout entier naturel n, il existe un unique couple (Qn , Rn ) ∈ Kn [X] × K [[X]]
tel que S = T Qn + X n+1 Rn .
Dans le cas où S et T sont des polynômes, avec T (0) ̸= 0, on retrouve le théorème de division
suivant les puissances croissantes dans K [X] .
3. Montrer qu’une série formelle est inversible si, et seulement si, val (S) = 0.
1
Pour S ∈ K [[X]] inversible, on note S −1 ou
l’inverse de S.
S
4. Montrer que, pour tout scalaire λ ∈ K \ {0} , la série formelle 1 − λX est inversible d’inverse :
∑
1
=
λn X n
1 − λX
n∈N
5. Montrer que, pour tous scalaires λ ̸= µ dans K \ {0} , la série formelle (1 − λX) (1 − µX) est
inversible d’inverse :et :
(
)
1
1
λ
µ
=
−
(1 − λX) (1 − µX)
λ − µ 1 − λX
1 − µX
6. Montrer que, pour tout entier p ≥ 1, la série formelle (1 − X)p est inversible d’inverse :
∑ (n + p − 1)
1
Xn
p =
(1 − X)
p−1
n∈N
7. On suppose que le corps K est de caractéristique nulle.
Soient S, T deux séries formelles dans K [[X]] , la série T étant inversible.
(a) Montrer que S ′ = 0 si, et seulement si, S ∈ K.
( )′
S
S ′ T − ST ′
′
′
′
(b) Montrer que (ST ) = S T + ST et
=
.
T
T2
S′
T′
(c) En supposant S également inversible, montrer que
=
si, et seulement si, il existe
S
T
un scalaire λ ∈ K tel que S = λT.
8. Montrer que, pour tout entier p ≥ 1, la dérivée p-ème de 1 − X est :
(
)
1
1
p
D
= p!
1−X
(1 − X)p+1
9. Montrer que les idéaux non réduit à {0} de K [[X]] sont de la forme :
(X n ) = {S ∈ K [[X]] | val (S) ≥ n}
Donc l’anneau K [[X]] est principal.
10. Quels sont les éléments irréductibles de K [[X]] ? Écrire la décomposition en facteurs irréductibles
d’une série entière non nulle et non inversible.
11. Montrer que l’anneau K [[X]] est euclidien (donc principal) pour le stathme :
val : S ∈ K [[X]] \ {0} 7→ val (S)
3
– II – Séries formelles et dénombrement
1. Pour n ≥ 1, on appelle dérangement de In = {1, 2, · · · , n} toute permutation σ de In n’ayant
aucun point fixe.
On note δn le nombre de dérangements de In en convenant que δ0 = 1.
(a) Montrer que :
(b) On désigne par S =
n ( )
∑
n
δk
∀n ∈ N, n! =
k
k=0
∑ δn
(
n
X la série génératrice de la suite
n!
de dérangements dans Sn ).
n∈N
Montrer que S (X) eX =
δn
n!
)
(
n∈N
δn
est la proportion
n!
1
et en déduire que :
1−X
∀n ∈ N, δn = n!
n
∑
(−1)k
k=0
k!
2. Pour tout entier n ≥ 2, on désigne par un le nombre de permutations de l’ensemble In =
{1, · · · , n} d’ordre au plus égal à 2 (les involutions de In ).
On note aussi u0 = u1 = 1
( )
n
n!
(a) Montrer que, pour 2 ≤ r ≤ n, dans Sn il y a
(r − 1)! =
cycles d’ordre r
r
r (n − r)!
distincts.
(b) Calculer u2 , u3 et u4 .
(c) Montrer que :
∀n ≥ 2, un = un−1 + (n − 1) un−2
(u )
∑ un
un
n
n
(d) On désigne par S =
X la série génératrice de la suite
( est la proportion
n!
n! n∈N n!
n∈N
d’involutions dans Sn ).
Montrer que S ′ = (1 + X) S et en déduire que S = eX e
∀n ∈ N, un =
∑
p+2q=n
X2
2
, puis que :
n!
2q p!q!
(e) Déterminer le nombre vn d’involutions de In sans point fixe, en convenant que v0 = 1 et
en remarquant que v1 = 0.
(f) Déterminer le nombre wn d’involutions de In ayant un unique point fixe, en convenant
que w0 = 0 et en remarquant que w1 = 1.
3. Pour tout couple (p, n) d’entiers naturels non nuls, on désigne par up,n le nombre d’applications
surjectives de l’ensemble Ip = {1, · · · , p} sur l’ensemble In = {1, · · · , n} , en convenant que
up,0 = 0 pour tout entier naturel non nul p.
(a) Montrer que :
n ( )
∑
n
∀p ≥ n ≥ 1, n =
up,k
k
k=0
p
4
(b) Pour p ≥ 1 fixé, on désigne par Sp =
X
Montrer que Sp (X) e =
∑ np
n!
n∈N
∑ up,n
n!
n∈N
X n la série génératrice de la suite
(u
p,n
n!
)
.
n∈N
n
X et en déduire que :
∀p ≥ n ≥ 1, up,n =
n ( )
∑
n
k=0
k
(−1)n−k k p
– III – Fractions rationnelles et séries formelles à coefficients dans K
1. Soit :
Q (X) = 1 + α1 X + · · · + αr X =
r
p
∏
(1 − γk X)mk
k=1
un
de degré r ≥ 1 dans K [X] (donc αr ̸= 0) supposé scindé de racines non nulles
( polynôme
)
1
deux à deux distinctes de multiplicités respectives (mk )1≤k≤r .
γk 1≤k≤r
Montrer que, pour toute suite (un )n∈N d’éléments de K, les assertions suivantes sont équivalentes :
(a) il existe un polynôme P ∈ K [X] de degré au plus égal à r − 1 tel que :
∑
un X n =
n∈N
P (X)
Q (X)
dans K [[X]] ;
(b) pour tout n ∈ N, on a :
un+r + α1 un+r−1 + · · · + αr un = 0
(le polynôme Q est le polynôme caractéristique de cette relation de récurrence) ;
(c) pour tout n ∈ N, on a :
un =
p
∑
Pk (n) γkn
k=1
où, pour tout k compris entre 1 et p, Pk est un polynôme de degré au plus égal à mk − 1.
2. Soient r un entier naturel non nul et (un )n∈N une suite d’éléments de K. Montrer que les
assertions suivantes sont équivalentes :
(a) il existe un polynôme P ∈ K [X] de degré au plus égal à r − 1 tel que :
∑
un X n =
n∈N
P (X)
(1 − X)r
dans K [[X]] ;
(b) pour tout n ∈ N, on a :
r
∑
(−1)
k=0
r−k
( )
r
un+k = 0
k
(c) il existe un polynôme R ∈ K [X] de degré au plus égal à r − 1 tel que un = R (n) pour
tout n ∈ N.
5
3. Suite de Fibonacci.
On désigne par (Fn )n∈N la suite de Fibonacci définie par :
{
F0 = 0, F1 = 1
∀n ∈ N, Fn+2 = Fn+1 + Fn
et par F (X) sa série génératrice dans R [[X]] .
(a) Montrer que :
1
F (X) = √
5
où
(
1
1
−
1 − α1 X
1 − α2 X
)
√
√
1+ 5
1− 5
α1 =
, α2 =
2
2
(b) En déduire que :
1
∀n ∈ N, Fn = √ (α1n − α2n )
5
4. Question de monnaie.
De combien de manières différentes peut-on payer la somme de 10, 01 euros avec des pièces de
1, 2 et 5 centimes ?
6