Fractiles théoriques et empiriques

Atelier Proba / Stat : Fractiles théoriques et empiriques (P. Garat et F. Girod) Colloque CORFEM 14 et 15 Juin 2012 – IUFM Besançon
ATELIER Proba / Stat (Partie 2)
vendredi 15 / 06 / 2012
Calculs de fractiles empiriques
à l'aide des logiciels et calculatrices
P. GARAT
(1)
, Florent GIROD
(2)
(1) Université de Grenoble, Dept. STID
(2) IREM de Grenoble
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PLAN
1. Introduction : importance des fractiles en Statistique décisionnelle
2. Fractiles d'une loi de probabilité discrète
3. Simulations autour de la loi binomiale
4. Fractiles d'une loi de probabilité abs. continue (loi à densité)
5. Simulations autour de la loi exponentielle
Approximation des fractiles de la loi binomiale
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1. Introduction
Importances des fractiles dans la décision statistique
Les fractiles d'une distribution permettent de construire aisément des intervalles de fluctuation pour une
variable étudiée, et de façon corrolaire des régions critiques, des seuils critiques ;
On utilise les fractiles de la loi binomiale dans le test exact d'une proportion ;
Le rôle de la médiane est essentiel en tant que paramètre de localisation ;
De nombreux ouvrages en Génie Civil sont dimensionnés par rapport aux valeurs centennales
de variables climatiques (hauteur d'eau, neige, force du vent, …)
Autre exemple en santé publique : analyse de sang, ...
Les fractiles dans l'enseignement secondaire
Les fractiles usuels médiane et quartiles sont enseignés dès la classe de Seconde ;
Le diagramme en boîte est enseigné en Première. Il est parfois préconnisé d'utiliser les déciles D1 et D9
pour tronquer les « moustaches » du diagramme.
En Terminale S : le seuil u
0.05
est en réalité le fractile de probabilité 97.5 %
Des applications statistiques autour des fractiles sont possibles en Economie, SVT, Environnement, etc ...
Le calcul des fractiles peuvent donner lieu à des exercices en Algorithmique.
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2. Fractiles d'une loi de probabilité :
cas d'une loi discrète
Définition : Fractiles d’une loi discrète
Soient a
1
< a
2
< … < a
k
< … l’ensemble des modalités d'une variable discrète X
et soient p
1
, p
2
, …, p
k
, … les probabilités associées.
On appelle fractile d’ordre p de X (et on note x
p
) la plus petite modalité a
j
telle que la
probabilité d’être inférieure ou égal à a
j
soit au moins égal à p ; c’est-à-dire :
Prob[X < a
j
] < p et Prob[X ≤ a
j
] ≥ p (1)
Soit encore :
p
1
+ p
2
+ … + p
j-1
< p et p
1
+ p
2
+ … + p
j-1
+ p
j
≥ p
Considérant F(x) la fonction de répartition de X, on peut aussi définir le fractile d'ordre p
de X comme étant le plus petit élément de l'ensemble antécédent par F de [ p ; 1 ] :
x
p
= min { x ∈ IR / F(x) ≥ p }
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Exemple
Considérons l'expérience aléatoire consistant à tirer avec remise 30 boules dans une urne contenant
1/3 de boules blanches.
Soit X = le nombre de boules blanches
tirées.
Le tableau des probabilités cumulées donne :
a0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Prob[X ≤ a ]0.000 0.000 0.001 0.003 0.012 0.035 0.084 0.167 0.286 0.432 0.585
a11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Prob[X ≤ a ]0.724 0.834 0.910 0.957 0.981 0.993 0.998 0.999 1 1 1
a22 23 24 25 26 27 28 29 30
Prob[X ≤ a ]111111111
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