Chapitre 1 Suites numériques, Fonctions numériques de la variable

Notations.
K R C
S(K)Ku, v S(K)
I, J Ra I
I= [inf(I),sup(I)] R
F(I, K)IRf, g F(I, K)
Définition 1 (Suite arithmétique)
a∈Ku u0∈Kn∈Nun+1 =un+a
a
Propriété 1
u a n ∈N
(i)un=u0+na (ii)
n
P
k=0
uk= (n+ 1)u0+n(n+1)
2a
Définition 2 (Suite géométrique)
q∈K∗\{1}u u0∈Kn∈Nun+1 =qun
q
Propriété 2
u q n ∈N
(i)un=qnu0(ii)
n
P
k=0
uk=u01−qn+1
1−q=u0qn+1−1 q−1
Définition 3 (Suite arithmético-géométrique)
a∈Kq∈K∗\{1}u u0∈Kn∈Nun+1 =qun+a
Propriété 3
a∈Kq∈K∗\{1}u
∀n∈N, un=qnu0−a
1−q+a 1−q.
Théorème 1 (Suite récurrente double)
(a, b)∈K2b6= 0
un+2 =aun+1 +bun,∀n∈N.
(E)
r2−ar −b= 0.
(i) (E)r1, r2K(λ, µ)∈K2
un=λrn
1+µrn 2,∀n∈N.

(ii) (E)r0K(λ, µ)∈K2
un= (λ+µn)rn
0,∀n∈N.
(iii)K=Ru∈RN(E)r1=ρeiθ, r2=ρe−iθ 6∈ R
(λ, µ)∈R2
un=λρncos(nθ) + µρnsin(nθ),∀n∈N.
Exercice 1. θ∈]0, π[ (un)u0=u1= 1 n
un+2 = 2 cos(θ)un+1 −unn un
Définition 4 (Limite, Convergence)
`∈Ku `
∀ε > 0,∃n0∈N;∀n>n0,|un−`|6ε.
(un)`(un)
` u `
Exercice 2.
1. u u u
2. uun
un+1 1
Théorème 2
u u
Exercice 3.
Définition 5 (Sous-suite)
v u ϕ :N→N
n∈Nvn=uϕ(n)
Exercice 4. ((−1)n)n∈N
Théorème 3
`∈K
(i) lim u=`
(ii)u `
(iii) lim
n→+∞u2n= lim n→+∞u2n+1 =`
Exercice 5. cos nπ
3n∈N
Proposition 4 (Limite & Inégalité)
(`1, `2)∈R2u v `1`2p∈N
n>p un6vn`16`2

Exercice 6.
Théorème 4 (Caractérisation séquentielle de la borne supérieure)
m∈RARm= sup A
∗ ∀ a∈A, a 6m
∗ ∃ (un)n∈N∈S(A) ; lim u=m
Exercice 7. A=n(−1)n+(−1)n+1
n+1 , n ∈No
A
Définition 6 (Limite infinie)
(i)u+∞
∀M>0,∃n0∈N;∀n>n0, un>M.
(ii)u−∞ (−un) +∞
Théorème 5 (Limite & Signe)
`∈Ru ` ` > 0u
Théorème 6 (Théorème d’encadrement)
u, v, w ` ∈Rv w `
v6u6w u `
Exercice 8. a∈Rlim
n→+∞
an
n!= 0
Théorème 7 (Théorème de la limite monotone - Cas croissant)
u
(i)u ` = sup{un, n ∈N}
(ii)u+∞
Exercice 9. (Constante d’Euler)
n
P
k=1
1
k−ln nn∈N
Théorème 8 (Théorème des suites adjacentes)
u v
(i)u(ii)v(iii) lim(u−v)=0
u v
Exercice 10. un=
n
P
k=0
1
k!vn=un+1 n·n!
e e

Théorème 9 (Caractérisation séquentielle de la limite)
a∈I f ` a
(un)Ilim
n→+∞un=a(f(un))n∈N`
Exercice 11. R?x7→ cos 1
x0
Théorème 10 (Théorème des bornes)
Théorème 11 (Théorème des Valeurs Intermédiaires)
f∈C([a, b],R)y f(a)f(b)c∈[a, b]
f(c) = y
Exercice 12. ε
f[a, b]
Théorème 12 (Théorème de la bijection monotone)
f I f
I J =f(I)f−1
J I f
Exercice 13.
Proposition 5 (Structure)
λ∈Ka∈I f g
(i)f+λg a (f+λg)0(a) = f0(a) + λg0(a)
(ii)fg a (fg)0(a) = f0(a)g(a) + f(a)g0(a)
(iii)g(a)6= 0 f/g a a f
g0(a) =
f0(a)g(a)−f(a)g0(a)
g(a)2
(iv)f◦g f ◦g a (f◦g)0(a) = g0(a)·f0(g(a))
(v)f a x0=f(a)f0(a)6= 0 f−1
x0(f−1)0(x0) = 1
f0(a)
Exercice 14. arcsin arccos arctan
Définition 7 (Dérivées n-ème)
n f f(n)
∗f(0) =f
∗f(n−1) f(n)=f(n−1)0
Proposition 6 (Formule de Leibniz)
f g n (fg)(n)=
n
P
k=0 n
kf(k)g(n−k)

Exercice 15. n x 7→ x2ex
Définition 8 (Classe Cn)
n∈NCnI n
I n I
C∞
Exercice 16. R
R
Théorème 13 (Formule de Taylor avec Reste Intégral)
n∈Nf:I→KCn+1 (a, x)∈I2
f(x) =
n
X
k=0
f(k)(a)
k!(x−a)k+Zx
a
(x−t)n
n!f(n+1)(t)t.
Théorème 14 (Formule de Taylor-Young)
f:I→KCna∈I
f(x) =
n
X
k=0
f(k)(a)
k!(x−a)k+o((x−a)n).
Exercice 17.
Théorème 15 (Primitivation des développements limités)
f:I→Kf n
a∈I
f(x) =
n
X
k=0
ak(x−a)k+o((x−a)n),
F f n + 1 a
F(x) = F(a) +
n
X
k=0
ak
k+ 1(x−a)k+1 +o((x−a)n+1).
Exercice 18.
1. 0
2. 3 0
3. f:R→Rf(x) = x+x3sin 1
xx6= 0 f(0) = 0 f
2 0 f0
1 0
Théorème 16 (Théorème de Rolle)
a < b f [a, b] ]a, b[
f(a) = f(b)
∃c∈]a, b[ ; f0(c) = 0.