Théorèmes de convergence pour les suites réelles 1 Théorème de

Prépa à la Prépa −Lycée Chrestien de Troyes Séance n°2 −Mercredi 8 février
Théorèmes de convergence pour les suites réelles
Version du 08-02-2017 à 07:49
Les suites réelles sont des collections de nombres réels indexés par un indice entier n :
u0,u1,u2,u3,u4,...,un,...
et nous nous proposons d’étudier le comportement du terme unlorsque n devient infiniment grand. Plus pré-
cisément, nous nous intéressons à la limite éventuelle de la suite (un)n∈N.
Pour ce faire, nous présentons trois théorèmes importants d’existence de limites pour les suites réelles et nous les
illustrons au travers d’exemples. Dans l’exercice 3, nous verrons des polynômes de Taylor associés à la fonction
sinus, faisant ainsi un lien avec la séance du mercredi 1er février.
1 Théorème de convergence monotone
Théorème 1 (Théorème de convergence monotone)
Soit (un)n∈Nune suite de nombres réels, qui est croissante.
1. Si la suite (un)n∈Nest majorée, alors la suite (un)n∈Nest convergente, i.e. il existe un nombre réel `tel que :
un−−−−−−→
n→+∞
`
2. Si la suite (un)n∈Nn’est pas majorée, alors la suite (un)n∈Ndiverge vers +∞ :
un−−−−−−→
n→+∞
+∞
Exercice 1 (Somme des inverses des carrés d’entiers)
Pour tout n∈N∗, on pose :
Sn=
n
X
k=1
1
k2
1. Étudier les variations de la suite (Sn)n∈N∗.
2. (a) Démontrer que pour tout k∈N≥2:1
k2≤1
k−1−1 k
(b) En déduire que la suite (Sn)n∈N∗est majorée par 2.
(c) Justifier que la suite (Sn)n∈N∗est convergente et que 1 ≤lim
n→+∞ Sn≤2.
2 Théorème de convergence pour les suites adjacentes
Définition 1 (Définition de deux suites adjacentes)
Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites de nombres réels. On dit que les suites (un)n∈Net (vn)n∈Nsont adjacentes si :
1. une des suites (un)n∈Net (vn)n∈Nest croissante et l’autre est décroissante;
2. la suite (un−vn)n∈Nconverge vers 0, i.e. un−vn−−−−−−→
n→+∞ 0.
Théorème 2 (Théorème de convergence pour les suites adjacentes)
Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites de nombres réels, qui sont adjacentes. Alors :
1. les suites (un)n∈Net (vn)n∈Nconvergent;
2. lim
n→+∞ un=lim n→+∞ vn;
3. si la suite (un)n∈Nest croissante et si `désigne la limite commune des suites (un)n∈Net (vn)n∈Nalors pour tout nombre
entier naturel n:
un≤`≤vn
Remarque : On conserve les notations du précédent théorème. Si la suite (un)n∈Nest strictement croissante et la suite (vn)n∈Nest stricte-
ment décroissante, alors le résultat 3. peut être raffiné comme suit. Pour tout nombre entier naturel n:
un<`<vn
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Exercice 2 (Le nombre en’est pas un nombre rationnel)
Pour tout n∈N, notons :
un=
n
X
k=0
1
k!et vn=un+1 n!
1. Démontrer que les suites (un)n∈Net (vn)n∈Nsont adjacentes. Qu’en déduire?
2. On admet : lim
n→+∞ un=e, où eest la valeur de la fonction exponentielle en 1.
(a) Soient ket qdeux nombres entiers naturels ntels que k≤q. Que dire du nombre q!
k!?
(b) Démontrer que le nombre en’est pas un nombre rationnel.
3 Théorème d’encadrement pour les suites
Théorème 3 (Théorème d’encadrement pour les suites)
Soient (un)n∈N,(vn)n∈N,(wn)n∈Ntrois suites de nombres réels. Supposons que :
•pour tout nombre entier naturel n:
un≤vn≤wn
•les suites (un)n∈N, et (wn)n∈Nsont convergentes et ont même limite, i.e. il existe un nombre réel `tel que :
un−−−−−−→
n→+∞
`et wn−−−−−−→
n→+∞
`
Alors la suite (vn)n∈Nconverge et a même limite que les suites (un)n∈N, et (wn)n∈N, i.e. :
vn−−−−−−→
n→+∞
`
Exercice 3 (Somme des sin(k/n2)pour kallant de 1àn)
1. Soit n∈N∗.
(a) Que vaut la somme
n
X
k=1
k?
(b) Démontrer :
n
X
k=1
k2=n(n+1)(2n+1)
6.
(c) Démontrer :
n
X
k=1
k3=Ãn
X
k=1
k!2 ?
2. Démontrer que pour tout x∈[0 ;+∞[ :
x−x3
6≤sin(x)≤x
3. Pour tout n∈N∗, posons Sn:=
n
X
k=1
sinµk
n2¶. Démontrer que la suite (Sn)n∈N∗converge et préciser sa limite.
4 Plus ambitieux : étude d’une suite définie de manière implicite
Exercice 4 (Étude d’une suite définie de manière implicite)
1. Démontrer que pour tout n≥2, l’équation :
1+ln(x+n)=x
admet une unique solution un∈]0 ;+∞[.
2. Démontrer que la suite (un)n≥2est croissante.
3. Montrer qu’à partir d’un certain rang : ln(n)≤un≤n.
4. Démontrer :
un∼
n→+∞ ln(n)
i.e. : un
ln(n)−−−−−−→
n→+∞ 1.
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