Théorèmes de convergence pour les suites réelles 1 Théorème de
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Prépa à la Prépa − Lycée Chrestien de Troyes Séance n°2 − Mercredi 8 février Théorèmes de convergence pour les suites réelles Version du 08-02-2017 à 07:49 Les suites réelles sont des collections de nombres réels indexés par un indice entier n : u0 , u1 , u2 , u3 , u4 , . . . , un , . . . et nous nous proposons d’étudier le comportement du terme u n lorsque n devient infiniment grand. Plus précisément, nous nous intéressons à la limite éventuelle de la suite (u n )n∈N . Pour ce faire, nous présentons trois théorèmes importants d’existence de limites pour les suites réelles et nous les illustrons au travers d’exemples. Dans l’exercice 3, nous verrons des polynômes de Taylor associés à la fonction sinus, faisant ainsi un lien avec la séance du mercredi 1er février. 1 Théorème de convergence monotone Théorème 1 (Théorème de convergence monotone) Soit (u n )n∈N une suite de nombres réels, qui est croissante. 1. Si la suite (u n )n∈N est majorée, alors la suite (u n )n∈N est convergente, i.e. il existe un nombre réel ` tel que : u n −−−−−−→ ` n→+∞ 2. Si la suite (u n )n∈N n’est pas majorée, alors la suite (u n )n∈N diverge vers +∞ : u n −−−−−−→ +∞ n→+∞ Exercice 1 (Somme des inverses des carrés d’entiers) Pour tout n ∈ N∗ , on pose : Sn = n 1 X 2 k=1 k 1. Étudier les variations de la suite (S n )n∈N∗ . 2. (a) Démontrer que pour tout k ∈ N≥2 : 1 k2 ≤ 1 1 − k −1 k (b) En déduire que la suite (S n )n∈N∗ est majorée par 2. (c) Justifier que la suite (S n )n∈N∗ est convergente et que 1 ≤ lim S n ≤ 2. n→+∞ 2 Théorème de convergence pour les suites adjacentes Définition 1 (Définition de deux suites adjacentes) Soient (u n )n∈N et (v n )n∈N deux suites de nombres réels. On dit que les suites (u n )n∈N et (v n )n∈N sont adjacentes si : 1. une des suites (u n )n∈N et (v n )n∈N est croissante et l’autre est décroissante ; 2. la suite (u n − v n )n∈N converge vers 0, i.e. u n − v n −−−−−−→ 0. n→+∞ Théorème 2 (Théorème de convergence pour les suites adjacentes) Soient (u n )n∈N et (v n )n∈N deux suites de nombres réels, qui sont adjacentes. Alors : 1. les suites (u n )n∈N et (v n )n∈N convergent ; 2. lim u n = lim v n ; n→+∞ n→+∞ 3. si la suite (u n )n∈N est croissante et si ` désigne la limite commune des suites (u n )n∈N et (v n )n∈N alors pour tout nombre entier naturel n : un ≤ ` ≤ v n Remarque : On conserve les notations du précédent théorème. Si la suite (u n )n∈N est strictement croissante et la suite (v n )n∈N est strictement décroissante, alors le résultat 3. peut être raffiné comme suit. Pour tout nombre entier naturel n : un < ` < v n 1 Prépa à la Prépa − Lycée Chrestien de Troyes Séance n°2 − Mercredi 8 février Exercice 2 (Le nombre e n’est pas un nombre rationnel) Pour tout n ∈ N, notons : un = n 1 X k=0 k! 1 n! et v n = u n + 1. Démontrer que les suites (u n )n∈N et (v n )n∈N sont adjacentes. Qu’en déduire ? 2. On admet : lim u n = e, où e est la valeur de la fonction exponentielle en 1. n→+∞ (a) Soient k et q deux nombres entiers naturels n tels que k ≤ q. Que dire du nombre q! ? k! (b) Démontrer que le nombre e n’est pas un nombre rationnel. 3 Théorème d’encadrement pour les suites Théorème 3 (Théorème d’encadrement pour les suites) Soient (u n )n∈N , (v n )n∈N , (w n )n∈N trois suites de nombres réels. Supposons que : • pour tout nombre entier naturel n : un ≤ v n ≤ w n • les suites (u n )n∈N , et (w n )n∈N sont convergentes et ont même limite, i.e. il existe un nombre réel ` tel que : u n −−−−−−→ ` w n −−−−−−→ ` et n→+∞ n→+∞ Alors la suite (v n )n∈N converge et a même limite que les suites (u n )n∈N , et (w n )n∈N , i.e. : v n −−−−−−→ ` n→+∞ Exercice 3 (Somme des sin(k/n 2 ) pour k allant de 1 à n) 1. Soit n ∈ N∗ . (a) Que vaut la somme n X k? k=1 n X n(n + 1)(2n + 1) k2 = . 6 k=1 Ã !2 n n X X (c) Démontrer : k3 = k ? (b) Démontrer : k=1 k=1 2. Démontrer que pour tout x ∈ [0 ; +∞[ : x− 3. Pour tout n ∈ N∗ , posons S n := n X k=1 µ sin x3 ≤ sin(x) ≤ x 6 k n ¶ . Démontrer que la suite (S n )n∈N∗ converge et préciser sa limite. 2 4 Plus ambitieux : étude d’une suite définie de manière implicite Exercice 4 (Étude d’une suite définie de manière implicite) 1. Démontrer que pour tout n ≥ 2, l’équation : 1 + ln(x + n) = x admet une unique solution u n ∈ ]0 ; +∞[. 2. Démontrer que la suite (u n )n≥2 est croissante. 3. Montrer qu’à partir d’un certain rang : ln(n) ≤ u n ≤ n. 4. Démontrer : un i.e. : ∼ n→+∞ un −−−−−−→ 1. ln(n) n→+∞ 2 ln(n)
